geri ileri

Genel Matematik

Bölüm 2

Sillogism

Sillogism tamamlanmış bir bilim dalıdır.

(Kant)

2.1 - Sillogism Tanımı

Doğu kültürüne Kıyas olarak geçmiş olan Sillogism, Aritoteles tarafından geliştirilmiş bir mantık yöntemidir. Kıyas sözcüğü Türkçe' de "karşılaştırma" olarak kullanıldığından, sillogism için "Sav" (savunulan düşünce) sözcüğü daha doğru olacaktır. Sillogism, Grekçe “συλλογισμός – syllogismos" (Sonuç, Bilgilenme) sözcüğünden türetilmiştir.

Aristoteles, sillogismi “Bazı nesneler gözönüne alındığında, gereklilikten dolayı bu nesnelerden başkalarının oluşması” olarak tanımlamıştır. Modern tanımı ise, “Doğru oldukları kabul veya iddia edilen, iki veya daha çok önermeden, tümdengelimsel akıl yürütme ile, ulaşılan mantıksal sonuç” şeklindedir. Ref: Wikipedia, vocabulary.com, cambridge sözlüğü, collins sözlüğü.

2.2 - Aristoteles

Sillogism prensiplerini geliştiren ve dünyaya tanıtan Aristoteles, M.Ö. (384 - 322) aralarında yaşamıştır. Yaşamında yazdığı eserleri ile en az iki bin yıl, insanlığın kültürel hazinesinin en en önemli dayanaklarından birisi olmuştur. Bu az rastlanılır bir başarıdır. Nedeni de, büyük olasılıkla Aristoteles’in çok bilgili, çok sistematik ve çok ileri görüşlü olmasıdır. Biyografileri de bunu doğrulamaktadır. Yaşamında “Bilge kişi” anlamına “Filosof” olarak tanınmış ve fikirlerine saygı gösterilmiştir. Aristoteles olağanüstü bir ansiklopedik bilgilenme yeteneği olan insan olarak tanımlanmıştır. Yaşadığı zamandaki tüm bilgileri özümsemiş olduğu söylenmektedir. Doğuşu Makedonya’da, Aleksandropolis (Dedeağaç) yakınlarında Stagira kentidir. Babası, Kral Filip I in bilim danışmanı olduğu için, aristokrasi içinde büyümüştür. Babasının ölümünden sonra, Atina’ ya gitmiş, Platon’un öğrencisi olmuş ve yirmi yıla yakın Atina’da Platon akademisinde kalmıştır. Platonun ölümü ile, akademiden ayrılmış ve Makedonya’da tahta geçen Filip II nin davetine uyarak, eğitmen olarak Makedonya sarayına dönmüştür. Bu görevinde, Kral Filip II nin oğlu İskender ve ve ileride büyük devlet adamları olacak bir çok öğrenci yetiştirmiştir. Yetiştirdiği öğrencilerin her biri sağlam kişilikler ve iyi idareleri ile tarihe geçmişlerdir. Bunlar arasında, Büyük İskender ile birlikte, Antipater (Büyük İskender tarafından atanmış Grek yarımadası genel valisi) , Ptolemaus (Mısırın Büyük İskender tarafından atanmış ilk Grek genel valisi, kendini firavun olarak olarak tanımlamıştır) bulunmaktadır. Makedonya’dan Atina’ya dönüşte, “Lise” adlı kendi okulunu açmış, burada da yirmi yıla yakın bir çok öğrenci yetiştirmiştir. Ölümüne yakın özgürlükçü düşünceleri Atina aristokrasisini rahatsız etmiş, bunun üzerine, “Atinalıları filosofi’ye karşı ikinci kez bir kötülük işlemelerine olanak vermeyeceğim” diyerek yine Atina’ya yakın fakat Makedon egemenliğinde Euboa da Kalkidis kentinde, annesinden kendine kalan bir mülke taşınmış ve burada doğal nedenlerden dolayı ölmüştür. Ölümünden sonra, isteği üzerine eski öğrencisi Makedonya genel valisi Antipater tarafından Stagira da eşinin yanına defnedilmiştir.

Aristoteles, hocası Platon tarafından çok iyi yetiştirilmiştir. Öğrenciliğinde elde ettiği bilgiler, daha sonra sillogismin düzenlemesinde kendisine eşsiz bir zemin sağlamıştır. Platon, düşünsel kavramları (Idea) ları öne çıkaran, idealist, rasyonalist bir filosoftu. Aristoteles, başından beri doğayı inceleyerek yeni bilgiler edinme eğilimli idi. Bu eğilimini, batı filosofik kültüründe etkisi daima görülen Thales’den almış olabilir. Bu konuda, Midilli adasının kıyılarında gözlenen balık türlerini incelemiş ve yayınlamıştır. Aristoteles, hocasının sağlığında, hocasına saygısından dolayı Platonist düşüncede kalmış, Platon’un dünyadan göçmesi ile, düşünceleri Platonizmden Ampirizme yönelmiş ve algılama (perception) ‘u başlıca bilgi kaynağı olarak kabul etmiştir.

Aristoteles, sillogismi, özellikle “Analytica Priora” (Analitik) öncesi, kitabında açıklamıştır. Bu yöntem üzerinde, tamamlayıcı bilgiler, diğer kitaplarında açıklanmıştır. Aristoteles sillogismi, çok iyi düzenlemiş, çok iyi açıklamış, iyi ve kötü yönlerini detaylı belirtmiştir. Öyle ki, kendisinden sonra gelenler, sillogism yöntemini tamamlanmış bir yöntem olarak kabul etmişler ve katkıda bulacak bir şey bulamamışlardır.

Aristoteles' in eserleri, kendisi dünyadan göçtükten sonra, eserleri, “ORGANON”(uzuv, araç, organ) adı altında, M.Ö. 40 yıllarında, Rodoslu Andronikus tarafından yayınlanmıştır. M.S. 3 üncü yüzyılda, Sicilya, Porfiria da’da yaşamış bir neoplatonist filosof olan Porphirius, Aristoteles’in bazı eserlerini, 268–270 arasında yazdığı “Isagog” (Giriş, Başlangıç, Tanıtım) adı ile tanılan eserinde belirtmiştir.

Aristoteles’in geliştirdiği sillogistik lojik, M:S: altıncı yüzyılda, Romalı bir siyasetçi ve filosof olan, Anicius Manlius Severinus Boethius M.S. (477 - 524) tarafından yeniden tanıtılmıştır.

Sillogism, ortaçağa kadar, Aristoteles tarafından belirlendiği gibi uygulanmıştır. Hristiyanlık ile birlikte, sillogism kilisenin tek mantıksal doktrini haline gelmiş, Katolik kilsiesinin bir baskı aracına dönüşmüştür. Kilise, sillogismin bir tür kısır döngü olan tümdengelimsel yönüne ağırlık vermiş, gözlem yolu ile yeni bilgiler elde edilmesini kesinlikle yasaklama gayreti içinde olmuştur. Bir yandan bilgiler genişlemiş ve giderek sillogistik yöntem yetersiz kalmaya başlamış, fakat kilisenin baskıları nedeni ile, olayın bu yönü ile ilgilenme fırsatı bulunamamıştır.

İlk olarak M.S. 11 inci yüzyılda İbn-i Sina (Avicenna), Aristoteles mantığının yetersizliğini farketmiş, mantıkta yeni yöntemler önermiş, İbn-i Sina mantığı, kilisenin baskıcı yöntemlerinden kaçış olanakları arayan skolastik yöntemlere katkı sağlamıştır.

M.S. 12 inci yüzyılda, önemli bir başkaldırıcı din adamı olan Pierre Abélard (1079 – 1142) Aristoteles sillogismi üzerine,” Logica Ingredientibus” gibi kitaplar ve tanıtıcı yazılar yazmış ve vaazlar vermiştir. Bu çalışmalar, o vakit kilisede hakim olan “sorgusuz sualsiz iman”, baskıcı düşüncesi yerine akıl yürütmeyi, mantığı öne çıkardığı için, adeta aforoz edilme durumuna gelmiştir. Pierre Abélard’ın Heloise d’Argenteuil ile yaşadığı destansı ve dramatik ilişki, Fransa edebiyat ve kültüründe önemli bir yer almıştır. Pierre Abélard batının en etkin ve güçlü filosoflarından biri olarak kabul edilmektedir.

M.S. 14 üncü yüzyılda, çok değerli bir filosof ve mantıkçı John Buridan (M.S. 1300 – 1361), “Treatise on Consequence” (Sonuç üzerine İnceleme) ve “Summulae de Dialectica” ve (Dialektik Üzerine Toplam Bilgiler) adlı kitabında, sillogismi tanıtmış fakat özünde bir değişiklik yapmamıştır. Buna rağmen, bazı konularda farklı düşünmüştür.

Aristoteles’in ortaya koyduğu, sillogistik sisitem M.S. 16 yüzyılden başlayarak yeniden incelenmeye başlamıştır. Bu tarihte, bir yandan yeni bilgiler elde edilrken, kilisenin baskısına da yavaş yavaş karşı çıkılmaya başlanmıştır. En önemli kritik, Francis Bacon’dan gelmiş ve yazmış olduğu “Novum Organum”(Organonun Yenilenmesi) kitabında, deneysel bilgilerin en doğru olacak şekilde oluşturulup kullanılmasının gereğine işaret etmiştir. Novum Organum, insanlık tarhinde önemli bir temel taşıdır. Bu kitap, Aristoteles’in kilisenin baskıladığı ampirik yönünü tanıtmış ve insanlığı bilginin gerçek kaynağı olan doğanın gözlenmesi ve deneysel bilgilerin oluşturulması konusunda yönlendirmiştir. Aynı düşüncenin ilk batı düşünürü olan M.Ö. 7 inci yüzyılda, Thales tarafından açıklanmış olması dikkat çekicidir.

İnsanlar bilgilendikçe, kilisenin baskıcı gücüne karşı çıkmışlar ve Rönesans (Yeniden Doğuş) ile birlikte özgürlükçü toplumlar oluşmaya başlamıştır. Rönesans ile, sillogism yeniden ilk günlerdeki özgürlükçü yapısına kavuşmuştur.

19 uncu yüzyıl başında (1800) Immanuel Kant, sillogismi “tamamlanmış ve olgunlaşmış bir öğreti” olarak tanımlamıştır.

19 uncu yüzyıldan başlayarak, matematik çok ilerlemiş ve tümdengelimsel mantığın en önemli uygulması olan matematik için, Aristoteles sillogismi yetersiz gelmeye başlamıştır. Kant’ın düşüncesi, 1879 da Gottlob (Tanrının sevdiği) Frege “Begriffsschrift” (Kavram Yazılımı) eserini yayınlaması ile son bulmuştur. Begriffsschrift, matematik temeli olarak gelişkin, Chrisippus geleneğini benimseyen ve matematik mantığı sembolik mantık şeklinde, yeni “ve”, “veya”. “eğer...ise” gibi bağlaçlarla tanımlayan, özne, yüklem, ilişkiler ve kimliği içeren, ikinci düzey yüklemler mantığıdır. İkinci düzey yüklemler mantığı, matematik için çok uygun olmasına karşın, kolay anlaşılır bir mantık olmadığı için, fazla yaygınlık kazanamamış, ayrıca 1930 larda Kurt Gödel tarafından sıfırıncı düzey sembolik mantık ve birinci derece (özne-yüklem) yüklemler mantığı, az gelişmiş olduklarından dolayı, kararlı olarak tanımlanırken, ikinci düzey yüklemler mantığı gelişkinliği nedeni ile kararsız olarak nitelendirilmiştir. Kurt Gödel’e göre tüm gelişkin mantık sistemleri kararsız, ayrıca en basitinden en gelişkinine kadar tümü mantık olarak yetersiz sistemlerdir. Yine de matematik, kazasız sorunsuz yoluna devam etmektedir.

Frege' ye gelinceye kadar aslında 1837 de Bernard Bolzano “Wissenschaftslehre” (Bilimin Öğretisi) adlı kitabında, Kant’ın aksini belirtmiş ve Aristo sillogisminin çağdaş matematik için artık yetersiz kaldığını ileri sürmüştür. Ne yazık ki, “Bohemya” lı olduğundan ayrımcılık nedeni ile söyledikleri gözardı edilmiş, ancak 20 inci yüzyılda değeri anlaşılmış ve öğretilerinden, sıfırıncı derece olan “Sembolik Mantık” ve birinci derece (özne-tekyüklem) yüklemler mantığı geliştirilmiş, iyi şansa bakılmalı ki, bu her iki mantık sistemi de Karl Gödel tarafından yeterince gelişkin olmadıklarından, kararlı ama yetersiz bulunmuştur. Fregenin ikinci düzey mantık sistemi ise, Karl Gödel tarafından kararsız olarak nitelenmiştir. Günümüzde matematik, kararlı ve anlaşılması kolay bu iki temel mantık üzerinden gelişmektedir. Yetersizlik Kurt Gödel tarafından tüm mantıksal sistemlerin toptan açığı olarak belirlenmiş olduğundan, ayrıca soyut ve uygulanması belirsiz bir kavram olduğundan, bu iki başlangıç düzeyi mantık için ek bir sorun yaratmamaktadır. Yine de gereğinde, başta Fregenin mantığı olmak üzere, daha gelişkin mantık sistemleri de uygulanabilmektedir.

Günümüzde, Aristoteles sillogismi artık tümdengelimsel akıl yürütmenin tek kaynağı olarak kabul edilmemektedir. Yine de halen özellikle çeşitli matematik kanıtlarda uygulanmakta, katolik kilisesinin Vatikan’daki bazı kurullarında (Roman Rota) (Roma Yolu) geçerli olmakta ve mantık öğreniminde giriş konusu olarak önemini korumaktadır.

Kaynak : Başlıca Wikipedia olmak üzere, çeşitli Internet kaynaklarıdır.

2.3 - Sillogism Türleri

Sillojism iki türlü olabilir:

Tümevarımsal (indüktif) sillojism.

Tümdengelimsel (dedüktif) sillojism.

Tümevarımsal sillojism, deney sonuçlarının açıklanması gibidir. Bu nedenle tartışılacak bir yönleri olmadığından sillojism sistematiği içinde olmadıkları kabul edilmişlerdir. Ayrıca 20 inci yüzyıl filosofu olarak tanınan Karl Popper, genelde tümevarım diye bir yöntem olmadığını, her algının zihinde işlendikten sonra şekillendiğini, bu nedenle sadece tümdengelim yönteminin gerçek olduğunu belirtmiştir. Günümüzde, bunu kabul eden çok düşünür bulunmaktadır.

Tümdengelimsel sillojism, geçerli olan tek sillojism yönemidir ve tümdengelimin önemli yöntemlerinden biridir. Günümüzde sillojism sözcüğü sadece tümdengelimsel savlar için kullanılmaktadır. Aristoteles, sillojismi aşağıdaki gibi tanımlamıştır:

“Bu bir akıl yürütmedir. Öyle ki, bazı şeylerin ileri sürülmesi ile bu ileri sürülenlere bağlı olarak, kaçınılmaz başka şeyler ortaya çıkar.”

Böylece bir sillojstik savın incelenmesinin, ileri sürülenler ve bunların akıl yürütme ile ortaya çıkan kaçınılmaz sonuçlarının incelenmesi olacağı görülür. Bu tanımı ile, Sillojismin bir mantık yöntemi olduğu anlaşılabilir.

Mantık biliminin amacı, akıl yürütmelerin doğru yöntemlerle yapılması ve bu doğru yöntemlerle, doğru sonuçların alınmasını sağlamaktır. Mantık biliminin kurucusu Aristoteles’dir. Sillogism de mantığın en önemli kısımlarından biridir. Sillogism yöntemlerini inceledikçe mantıkta ilerlemiş olacağız. Bu bölümde, “Klasik Mantık” olarak tanımlanan Sillogism üzerinde duracağız.

Burada kısaca, tümdengelimin yararlandığı bilgi kaynağı üzerinde durulması gerekli olacaktır. Tüm sistematik batı uygarlığının kurucusu Thales, bilgi kaynağının doğanın incelenmesi ile oluşacağını belirtmiştir. Bu öneriye uygun olarak, kendisi de ilk doğa gözlemcisi olarak tanınmıştır. Doğada değişmeyen gerçekler, Thales’e göre aksiyom olarak alınmalıdır. Örnek olarak, “yaşayanlar” türünün “ölümlü” olduğu, doğanın değişmez bir yasasıdır buna benzeyen doğanın değişmez gerçekleri aksiyom olarak kabul edilmiştir. Tümdengelimsel yöntemler, bilgi kaynağındaki oluşmuş bilgiler arasında yeni ilişkiler bulmaya çalışır. Her tanım zihinde yapılır. Bu tanımın sonuçları da zihinde incelenir. Sonuçların doğa ie ilgili olması koşul değildir. Fakat doğa ile uyumlu sonuçlar, “mantıklı” veya “akla yakın” olarak değerlendirilir. Bilgi kaynağını, hem tümdengelim yöntemleri ile oluşturulan ve kanıtlanan yeni ilişkiler, hem de doğa olayları üzerinde yapılacak yeni gözlemler zenginleştirir. Bilim için, her yöntemin değeri ayrıdır.

Sillogism de, gerek öncüller, gerekse sonuç, birer önermedir. Öncüller, sonucun dışındaki önermelerdir. Geçerli, sillogistik savlarda, öncüller, mantıksal olarak sonucu desteklerler. Gerek her öncülün, gerekse sonuç, “Doğru(T)” veya “Yanlış (F)” olabilir. Savın doğruluk değeri, sonucun doğruluk değeridir. Sillogism yönteminin amacı, geçerli bir sillogistik yapılanmada, doğru önermelerle, aksi savunulamayacak bir sonucun sağlanması ve bu şekilde, sistematik, non-sübjektif, tartışmaya kapalı, itiraz edilemeyecek sonuçlar oluşturulmasıdır.

Bu kısımdaki bilgilerden, sillogismin önermelerden başladığını görebiliyoruz. Önermeler genel olarak daha önce incelenmişti. Sillogism için ise, önermelerin özel bir kümesi kullanılır. Bu özel sillogistik önerme kümesinin elemanlarının anlaşılması için kümeler ve mantık uygulamaları üzerine başlangıç bilgileri gerekir. Bu konuda başlangıç için yeterli olabilecek kadar bilgilenmiş olduğumuzdan (en önemli değer bilgidir) sillogism için özel önermeleri inceleyerek başlayabiliriz.

2.4 - Sillogistik Önermeler

Bir önceki “Matematiğe Giriş” konusunda önermeler tanıtılmış ve önermelerin doğruluk değerlerinin saptanma yöntemleri açıklanmıştı. Burada sillogismde kullanılan önermeler üzerine tamamlayıcı bilgileri inceleyeceğiz.

2.4.1 - Önerme Terimleri

Bir önermede genellikle iki terim bulunur. Bunlar “Özne” (Subject) ve “Yüklem” (Praedikat) (Predikat) terimleridir.

Özne önermenin esas terimidir. Önerme özneyi açıklamak, tanıtmak amacı ile oluşturulmuştur. Yüklem terimi, öznenin bir özellğinin belirtilmesidir. Örnek olarak,

“Çam ağaçları, iğneli yapraklı ağaçlar türündedir.” (Prof. Dr. Faik Yaltırık , özel görüşme)

Burada özne, “Çam ağacı”, yüklem ise, “ İğneli yapraklı” olarak belirlenir. Yüklem, çam ağaçlarının, iğneli yapraklı ağaçlar olmak özelliğini belirtmektedir.

Bu önerme, sıfırıncı düzey sembolik mantık formülasyonu ile,

S→P olarak belirtilir.

Bu önermenin doğru okunması, “Eğer bir nesnenin S olduğu doğruysa, P olduğu da doğrudur” şeklindedir. Nesne olarak bir küme de olabilir. O zaman, “Eğer bir nesnenin, bir S kümesinin elemanı olduğu doğru ise, o zaman bir P kümesinin de elemanı olduğu doğrudur” şeklinde okunur.

Küme sistematiği gözönüne alınırsa,

"S kümesinin tüm elemanları, aynı zamanda P kümesinin de elemanlarıdır.”

olarak ve en son olarak da,

"S kümesi, P kümesi ile eşit kümelerdir”

olarak okunabilir.

Bu önerme “Tümel” bir önermedir. S kümesinin tüm elemanlarının P kümesinin de elemanı olduğunu belirtmektedir. Kaçak yoktur.

Sembolik mantık, ancak ve ancak tümel ilişkileri belirtebilir. Bu yüzden an az ayrıntı belirtebilen mantık kümesi olan sıfır düzey mantık olarak nitelendirilir.

Eğer sadece bazı S kümesi elemanlarının aynı zamanda P kümesi elemanı olabildikleri belirtilmek istenirse, o zaman sıfır düzey mantığın bir düzeyi olan, nicelik olgusunu (Quantification) inceleyebilen, birinci düzey mantık formülasyonunun kullanılması gerekir.

Temelkitap2_1.pngTemelkitap2_2.png (x ∈ S) ∧ Temelkitap2_3.png (x ∈ P)

"S kümesinin tüm elemanları arasında, en az bir tanesi, aynı zamanda P kümesi elemanı olmayı doğrular.” (S kümesinin tüm elemanarı S kümesi elemanı olmayı doğrular. Ama en az bir tane S kümesi elemanı, hem S kümesi elemanı olmayı, hem de P kümesi elemanı olmayı doğrular).

2.4.2 - Olumlu ve Olumsuz Önermeler

Bir önermenin olumlu veya olumsuz olması, formülünde, (¬) sembolü ile belirtilen “Değilleme” sembolünün bulunup bulunmamasına bağlıdır. Örnek olarak,

“Galatasaray bir spor klübüdür.”

Bu önerme, sıfırıncı düzey sembolik mantık formülasyonu ile,

S→P olarak belirtilir.

Bu formülasyonda bir olumsuzluk sembolü (değil) (¬) bulunmadığından, bu önerme, olumlu bir önerme olarak nitelendirilir.

Olumsuz bir önerme,

“Çanakkale, izinsiz olarak geçilebilecek bir geçit değildir.”

Bu önerme sembolik mantık notasyonu ile,

S→¬P

olarak belirtilir. Bu önermenin formülünde, olumsuzluk sembolü (¬) bulunduğundan, bu önerme olumsuz bir önerme olarak nitelendirilir.

Bir başka olumsuz önerme örneği,

Vişne suyu doğrudan içilebilir değildir

Sembolik mantık (sıfır düzey mantık) formülasyonu ile S→¬P (tüm S ler değildir P) olarak belirtilmiştir. Burada (¬) simgesi bulunduğundan önerme (olumsuz), formül, sembolik mantık düzeyinde olduğundan (tümel) dir. Bu önerme tüm S kümesi elemanlarının P kümesi elemanı olmadığını belirtir ve bazılarının P kümesi elemanı olabileceği konusunda açık kapı bırakıyor gibi anlaşılabilir. Bu yorum kesinlikle yanlıştır. Sıfır düzey mantık olan sembolik mantıkta nicelik kavramı yoktur. Her formül tümeldir ve burada da kesinlkle S kümesinin tümü belirtilmektedir. Bu formül ayrıca, S ve P kümelerinin ayrık kümeler olduklarını belirtir. Yani bazı S kümesi elemanlarının aynı zamanda P kümesi elemanı olmasının olanağı yoktur. Aynı önermenin, birinci düzey yüklemler mantığında,

¬ Temelkitap2_4.png (x ∈ S) ∧ Temelkitap2_5.png (x ∈ P)

“Bir tane S kümesi elemanı bile, P kümesi elemanı değildir.”şeklinde açıklandığı görülmüştü.

Görüldüğü gibi, bir önermenin “Olumlu” veya “Olumsuz” olarak nitelendirilmesi , tamamı ile objektif (kişiye bağlı olmayan) bir yöntemle kararlaştırılmaktadır. Karar sübjektif (kişiye bağlı) bir yöntem değildir. Ahmedin “Olumlu” dediğine, Mehmet “Olumsuz” diyemez. Objektivite tüm mantık yöntemleri için geçerlidir. Bu nedenle, mantık yeniden tanımlanabilir. Mantık Arapça "Nutk" söyleme fiilinden türetilmiştir, "Nâtık" (Söyleyen), "Mantık" (Söylenen) anlamındadır. Mantığın tanımı :

“Mantık, doğru düşünme yöntemlerini, objektif kurallar uygulayarak belirlemeye yönelik bir bilim dalıdır.”

olarak yapılabilir.

2.4.3 - Doğru ve Yanlış Önermeler

Önermelerin doğrulunu veya yanlışlığını saptamak mantığın işi değildir. Önermeler ilgi ili anabilim dallarında doğrulanır ve doğrulıkları açıklanır. Önerme matematikle ilgili ide, doğrulama matematikçilerden, jeoloji ile ilgili ise, doğrulama jeologlardan, fizik ile ile ilgili ise, doğrulama fizikçilerden gelecektir. Mantık belirli bir önermenin doğruluğunu ilgili anabilim dalından bilgilenir.

2.5 - Kategorik Önermeler


Aristoteles, “Sokrates” gibi tikel ve “Yunanlılar” gibi genel terimleri, birbirinden ayrı tutar. Aristoteles’ göre, sillogism kuramı, sadece, hem bir önermede özne, hem de başka bir önerme de yüklem olabilen genel terimlerin uygulanması ile çalışabilen savlardan oluşur. Bu genel terimler, sınıf (kategori, küme) olarak tanımlanır.

Aşağıdaki örnermeyi gözönüne alalım,

“Tüm fenerler aydınlatıcıdır.”

Bu önerme, “Fenerler” olarak belirtilen bir nesneler topluluğunu, “Aydınlatıcılar” adı verilen bir nesne topluluğunun bir parçası olduğunu belirtmektedir.

Bu önerme, Fenerler nesne topluluğu ile Aydınlatıcılar nesne topluluğu arasında bir ilişki olduğunu ileri sürmektedir. Eğer bu ilişki varsa, bu önermenin mantıksal doğruluk değeri, “Doğru (T)” dir. Eğer bu ilişki yoksa, bu önermenin mantıksal doğruluk değeri, “Yanlış (F)” dir.

Kategorik önermelerde, kategoriler bazen özne, bazen de yüklem olabilmelidirler. Yukarıdaki önerkte, “Fenerler” kategorisi (sınıf, kategori, küme eşdeğerliği kabul edildiğine göre, sınıf veya küme olarak da nitelendirilebilir) özne, “Aydınlatıcılar” kategorisi, yüklem olarak belirlenir. Biraz sonra göreceğimiz gibi, bu önermenin karşıtı (Konversi),

“Tüm aydınlatıcılar, fenerdir.”

önermesidir. Görüldüğü gibi, gerek “Fenerler” gerekse “Aydınlatıcılar”, hem özne, hem de yüklem görevini üstlenebildikleri için birer kategoridir.

Kategori olabilen terimler sadece tümel terimlerdir. Tikel terimler, kategori olamazlar, çünkü tikel terimler özne olabilir, fakat yüklem olamazlar.

Aristoteles, çalışmalarında sadece tümel terimleri uygulamıştır. Tikel terimler, sillojism de tümel terimlerin analogu olarak kullanılmıştır. Bu analojinin de her zaman yüzde yüz geçerli olmadığı gözlenmiştir.

2.6 - Kategoriler Arası İlişkiler


Bir önermede sadece iki kategori bulunmalıdır. Bir önermede ikiden az veya ikiden fazla kategori bulunması bu önerinin sillogistik sistem içinde incelenebilmesini engeller. Bu çalışmada, sillojistik bir önermede sadece iki kategori bulunduğunu kabul edeceğiz. ile İki kategori arasında ilişkiler,

Toplam Kapsama (Bir kategori diğerinin tüm elemanlarını içerebilir). Örnek olarak, “Hayvan sınıfı, “Kedi” sınıfını tam olarak içerir. Hiçbir kedi türü yoktur ki, hayvan türünden olmasın.

Kısmen İçerme ( Bir kategori diğerinin bazı elemanlarını içerebilir). Örnek olarak, “Voleybolcular” sınıfı “Kadınlar” sınıfı tarafından kısmen kapsanır. Voleybolcular, hem kadın, hem erkek olabilir. Voleybolcular sınıfının elemanlarının sadece bir kısmı kadındır. Voleybolcular sınıfının kadın olan elemanları, kadınlar sınıfnın da elemanlarıdır. Erkek volebolcular ise dışarıda kalmışlardır. Voleybolcular sınıfı, kadınlar sınıfı tarafından kısmen kapsanmaktadırlar.

Toplam Ayrıklık ( İki kategorinin hiçbir ortak elemanı bulunmaz). Örnek olarak “Kedi” sınıfınn hiçbir elemanı “Köpek” sınfının da elemanı değildir.

Eğer bir önermede, kategorilerden birisi, diğerini tam olarak içeriyor veya dışlıyorsa, bu önermelere “Tümel Önerme” adı verilir. Tümel önermeler bir kümenin tüm elemanları anlamına gelir.

Eğer bir önermede, kategorilerden birisi, diğerinin sadece bazı elemanlarını içeriyor veya içermiyorsa, bu önermelere "Tikel Önerme" adı verilir. Tikel terimler, bir kümenin en az bir, ençok diğer kümenin toplam eleman sayısından bir eksiği kadar eleman sayısına sahip olabilen kümeleri belirtirler.

Bu şekilde, kategorileri birbirleri ile ilişkili olan önermeler,

Tümel Önermeler

Tikel Önermeler

olarak ikiye ayrılır. Önermeler ayrıca,

Olumlu Önermeler

Olumsuz Önermeler

olarak ayrıca ikiye ayrıldıklarından, kategorileri birbirleri ile ilişkili olan önermeler, dört tür önerme olabilirler. Bunlar,

Tümel Olumlu Önermeler

Tümel Olumsuz Önermeler

Tikel Olumlu Önermeler

Tikel Olumsuz Önermeler

olarak belirtilirler. Bu önerme türlerinin önem sırası, en önemlisi olan 1 den aşağıya doğrudur.

Aşağıda, dört tane kategorik önerme verilmiştir. Bunların açıklamalarını dikkatle izleyiniz ve kesinlikle açık ve hiç kuşku kalmayacak şekilde anlayınız.

1 - Tüm politikacılar yalancıdır. (Tüm S ler P dir) (Tümel Olumlu)

2 - Hiçbir politikacı yalancı değildir. (Tüm S ler değildir P) (Tümel Olumsuz)

3 - Bazı politikacılar yalancıdır. (Bazı S ler P dir) (Tikel Olumlu)

4 - Bazı politikacılar yalancı değildir (Bazı S ler değildir P)

Bu dört önermeyi dikkatle incelediğimizde, politikacı sınıfı ile yalancı sınıfı arasında, bu dört ilişki tipinden başka bir ilişki olamayacağını anlayabiliriz. Ayrıca bu önermelerin sözel içeriğinin de hiçbir önemi olmadığı görülüyor. S ve P birer yer tutucudur, bunların yerine her türlü sözcük gelebilir. Örnek olarak S = Mühendis ve P = Değerli olarak, özne ve yüklemin yerine yerleştirilmiş olsa, bu tümel olumlu önerme, “Tüm mühendisler değerlidir” olur. Böyle sonsuz sayıda önerme yapılabilir.

Önerme yapısı, diğer adları ile önerme mekanizması veya önerme formu, “Tüm S ler P dir” şeklinde, gündelik dil ile açıklanmıştır. Oysa, gündelik dil yereldir. Açıklamayı Moğolca yaparsanız, Moğol olmayanlar bu açıklamayı anlayamaz. Matematiğin, evrensel olması gereklidir. Bunun için de evrensel matematik notasyonu ile belirtilmesi gerekli olmaktadır. Böylece bu açıklamanın evrensel matematik notasyonu ile deşifre edilerek (gizlilğinin kaldırılması) her dilden açıklanma olanağı sağlanabilir. (Şifr = Sıfır, sözcüğün etimolojik kökeni matematik bilgisinin batı yarımküresine nereden aktarılmış olduğunu açıkça belirtmektedir). (Chiffre = Şifr, günümüzde, Fransızca'da sayı karşılığında kullanılmaktadır).

Bu önerme türlerinden ilişki türleri ile birbirlerinden ayrılan “Tümel” ve “Tikel” önerme türlerini incelemek yeterli olacaktır. Olumluluk ve olumsuzluk, ilişkiler ile ilgili değildir. Önermenin kendi yapısına bağlıdır.

Kategoriler Aristoteles Mantığının araçlarıdır. İnsanlar ölümlüdür söylemi İ Ö dür olarak sembolleştirilir. Burada İ bir kategori veya eş anlamlı olarak bir sınıftır ve mantıksal olarak, "Doğru (T)" veya "Yanlış (F)" gibi bir mantıksal doğruluk değeri yoktur. İ sadece "İnsanlar" sınıfını sembolize eder. Bu Aristoteles tipi bir sembolleştirmedir ve yakında inceleyeceğimiz Chrippus tipi notasyonu uygulayan "Önermeler Mantığı" yönteminden farklıdır. Önermeler mantığında bir önerme, "Deniz mavidir" şeklinde bir bildirimdir ve mantıksal doğruluk değeri ya "Doğru (T)" veya "Yanlış (F)" olabilir. Bu tip notasyon, kategorik notasyondan çok farklıdır.

2.6.1 - Tümel Önermeler

2.6.1.1 - Tümel Olumlu Önermeler

Tümel ilişkileri, matematikte tanımı olmayan “Kategori” kavramı yerine, matematikçe geçerli bir tanımı olan, “Küme” kavramı üzerinden tartışmak daha yerinde olacaktır. Önerme,

“Tüm fenerler aydınlatıcıdır.”

şeklinde idi. Burada Fenerler kümesi ile Aydınlatıcılar kümesinin elemanları arasındaki ilişki incelenecektir. Küme isimleri, bir ortak kabul yani konvansiyon olarak büyük harfle yazılır. Gerek Aydınlatıcılar kümesinin, gerekse Fenerler kümesinin elemanlarının, ortak “Aydınlatma” özelliğini paylaştıklarını düşünelim. Bu durumda, daha küçük olan “Fenerler” kümesinin tüm elemanların aynı zamanda, “Aydınlatıcılar” kümesinin elemanlarının bir kısmı oldukları ortaya çıkar.

Kümeleri düşünürsek, iki kümenin aynı elemanları içermesi, ancak aşağıdaki durumlarda olasıdır.

Her iki küme aynı sayıda aynı elemanları içerir. Bu durumda her iki küme birbirlerine eşittir.

Kümelerden birisi, örnek olarak Fenerler kümesinin eleman sayısı öteki kümeden, buradaki örneğe göre, Aydınlatıcılar kümesinden daha azdır.Bu durumda,Fenerler kümesi ile Aydınlatıcılar kümesi eşit kümeler değildir. Aydınlatıcılar kümesi, Fenerler kümesinin tüm elemanları yanında, başka elemanlar da içerir. Kümeler terminoljisine göre, bir kümenin tüm elemanları, daha büyük bir kümenin de elemanları ise, küçük küme büyük kümenin özalt kümesidir.

Burada görülmüş olduğu gibi, Fenerler kümesi, Aydınlatıcılar kümesinin bir özalt kümesidir. Çünkü, aydınlatıcılar kümesi, Fenerler kümesinden daha geniş kapsamlı ve başka özalt kümeleri de içeren bir kümedir.

Eğer bir tanım, bir kategorinin ( küme ile eşdeğer anlamda kullanıldığını unutmayalım) tüm elemanlarını kapsıyorsa, o önerme, tümel bir önermedir.

Bir önerme eğer, belirli küme elemanlarının bir başka kümenin de elemanları olduğunu belirtirse, bu önerme olumlu bir önermedir. Örnek olarak “Tüm fenerler aydınlatıcıdır.” önermesi bir tümel olumlu önermedir. Çünkü, Fenerler kümesinin elemanlarının aynı zamanda Aydınlatıcılar kümesinin elemanları OLDUĞUNU açıklamaktadır. Tekrar edelim, olumlu bir önerme olması için, bir kümenin tek bir elemanının bile aynı zamanda başka bir küme elemanı olduğunun belirtilmesi yeterlidir. Olumlu olmanın sayı ile bir ilgisi yoktur.

Tümel olumlu önermeler en değerli önermelerdir. Onun için, tümel olumlu önermelere “A sınıfı Önermeler” adı verilir. A sınıfının adı, Latince “AffIrmo” (Kabul Ediyorum) sözcüğünden kaynaklanmaktadır.

Önermelerde, sözel içeriklerin, yer tutucu sembollerle belirtilebileceklerini görmüştük.

“Tüm fenerler aydınlatıcıdır.”

önermesinde, “fenerler” özne (Subjekt) (S), “aydınlatıcılık” yüklem (Praedikat = P) dir. Bu önerme mekanizmasının (Form) , sıfırıncı düzey sembolik mantık formülasyonu ile, S→P olarak belirtilebileceğini görmüştük. Bunun anlamı, Tüm S lerin aynı zamanda P olmalarıdır (Sıfırıncı düzey sembolik mantık, küme elemanlarının tümünü içerir. Kaçak yoktur!). Böylece sözel içeriği değişik S (özne) ve P (yüklem) lerden oluşan sonsuz sayıda önerme yaratılma olanağı sağlanmış olmaktadır.

Aynı önerme birinci düzey yüklemler mantığında,

Temelkitap2_6.png (x ∈ S) → Temelkitap2_7.png (x ∈ P) [n(P) > n(S)]

olarak belirtildiği daha önce açıklanmıştı.

Tümel önermelerde, sıfırıncı düzey sembolik mantık formülasyonu yeterlidir. Çünkü, önerme total bir önermedir ve sembolik mantık, küme elemanlarının toplam olarak başka bir küme elemanı olup olmadığının belirtilmesi için yeterlidir.

Bu durumda, “Tüm fenerler aydınlatıcıdır.” önermesi, (Tümel Olumlu) bir önermedir ve Gerek tümel olma, gerekse olumlu olma nitelikleri tamamen sübjektif (kişinin özel düşüncesi) olmayan objektif (benzer durumların hepsine uygulanan, genel ve non-subjektif kurallar, (kriteryum) (Karar verme yöntemleri) leri ile belirlenmiştir.

Buradan çıkarılacak ders : Mantık yönlemleri, sübjektif yöntemler değildir. Mantık her duruma eşit olarak uygulanan kurallar ile çalışır.

Önermeler Venn diyagramları ile de açıklanabilir. John Venn (1834 - 1923) arasında yaşamış bir İngiliz mantık ve Matematik profesörüdür. Yaratmış olduğu Venn diyagramları, mantık, kümeler kuramı gibi konularda, olayların görsel olarak beliritilmesi ile konuların anlaşılmasında, olağanüstü kolaylık sağlamaktadır.

Venn diyagramlarında, çemberler kullanılır. Bir A sınıfı (Tümel Olumlu) ilişki için çizilen Venn Diyagramı, aşağıdadır.

A sınıfı (Tümel Olumlu) İlişkiyi Açıklayan Venn Diyagramı

Temelkitap2_8.gif

Tümel İlişki (Tüm S ler P dir)

Yukarıdaki Venn diagramı, bir S kümesinin, bir P kümesinin özalt kümesi olması durumunu belirtmektedir. Görüldüğü gibi, P kümesi, S kümesinden büyüktür ve S kümesi, P kümesi tarafından tamamen yutulmuştur. Öyle ki, dışarıda hiç S kümesi elemanı kalmamamıştır.

Tümel olumlu ilişki (Tüm S ler P dir) ilişkisinin bir diğer Venn Diyagramı yorumlaması aşağıda görülmektedir.

Temelkitap2_9.gif

Tümel İlişki (Tüm S ler P dir) (Taralı alanda hiç S elemanı yoktur)

Dikkat edilirse, bu son diyagramda da, P kümesinin S kümesinden büyük olduğu, S ve P kümelerin kesişme alanından başka hiçbir yerde bulunmayan S kümesi elemanlarının bulunabildiği alanın, P kümesi toplam alanından daha küçük olması ile belirtilmiş olmaktadır. Her iki diyagramda da S kümesi elemanlarının tümünün aynı zamanda P kümesi elemanı olduğu, böylece önermenin (Tümel Olumlu) bir önerme olduğu ve S kümesinin P kümesinin bir özalt kümesi olduğu görülmektedir.

2.6.1.2 - Tümel Olumsuz Önermeler


“Tümel Olumsuz” önermeler, her iki kümenin hiçbir elemanı paylaşmadıklarını, dolayısı ile bu iki kümenin ayrık (disjoint) kümeler olduğunu belirtir. Olumsuz bir tümel ilişki (geçiş yok !) (No Pasaran!) tipindedir. (Not: İspanya iç savaşında, bir şehri savunanlar (faşistler), şehri kuşatan orduya (cumhuriyetçiler) büyük kayıplar uğruna geçit vermemişler ve “Geçiş Yok!” anlamına gelen “No Pasaran!” yol kapatma eylemlerinde slogan olmuştur). Örnek:

“Tüm kediler, köpek değildir.

önermesinde, hiçbir “Kediler” kümesi elemanın “Köpekler” kümesi elemanı olmadığını belirtir. Bu önerme, tümel bir önermedir çünkü tüm “Kediler” kümesini, “Köpekler” kümesine doğru itmektedir. Bu önerme olumsuzdur çünkü, tüm Kediler kümesi elemanlarının, Köpekler kümesi tarafından yutulmasına olanak sağlanmamasını önermektedir. Yani “Kediler” kümesi elemanlarının hiçbirinin (tüm olarak), “Köpekler” kümesinin bir elemanı olmadıklarını, “Kediler” kümesinin, “Köpekler” kümesinin bir özalt kümesi olmadığını belirten bir önermedir ve bu nedenle, hem tümel, hem de olumsuz bir önermedir. Bu önerme olumsuzdur, fakat doğrudur. Çünkü gerçekten hiçbir “Kediler” kümesi elemanı “Köpekler” kümesi elemanı değildir ve akla yakın (mantıklı) dır. Çünkü herkes tarafından kabul edilmiş evrensel gerçeklere uyan bir içeriği vardır.

Tümel olumsuz ilişkiler, sembolik mantıkta, olumsuzluk sembolünün kullanılması ile,

S→¬ P

“Hiçbir S, P değildir”olarak belirtilir. Tümel önermelerde, sembolik mantık kapsamındaki formülasyonların yeterli olduğunu daha önce belirtmiştik.

Ayrık kümeler bir Venn diyagramı yorumunda, aşağıda görüldüğü gibi, birbirinden ayrı kümeler olarak belirtilir.

Temelkitap2_10.gif

Ayrık Kümeler

Görüldüğü gibi, ayrık kümeler, hiçbir elemanlarını paylaşmamaktadırlar. Bir başka ayrık kümeler Venn diyagramı uygulaması:

Temelkitap2_11.gif

Ayrık Kümeler (Taralı alanda hiç S elemanı yoktur)

Tümel-olumsuz ilişkilere E sınıfı ilişkiler adı verilir. E sınıfının adı, Latince “nEgo” (Kabul Etmiyorum) sözcüğünden kaynaklanmaktadır. E sınıfı ilişkinin değeri, A sınıfı ilişkiden bir derece düşüktür.

2.6.2 - Tikel Önermeler

2.6.2.1 - Tikel Olumlu Önermeler

Tikel önermelerde, özne sınıfının elemanlarının (eş anlamda kategori, eş anlamda küme) sadece bir kısmı, yüklem sınıfı elemanları ile aynı özelliği paylaşmaktadır. Örnek:

“Bazı tenisçiler kadındır.”

Bu önermede, tenisçilerin sadece bir kısmının, kadın olma özelliğine sahip oldukları belirtilmektedir. Bu önerme bir olayı doğruladığından, “Olumlu” bir önermedir.

Küme olarak düşünülürse, bu durumda S ve P kümeleri farklı kümelerdir, fakat S kümesinin bazı elemanları aynı zamanda P kümesinin de elemanıdırlar.

Bu iki kümenin kesişmesi, her iki kümenin aynı elemanlarını içeren yeni bir küme yaratır. Tikel bir ilişkinin oluşturduğu kesişme olayının Venn diyagramı, aşağıda görülmektedir. (Ucretsiz Venn diyagramları çizimi sağlayan https://www.canva.com sitesine teşekkürler).

Temelkitap2_12.gif

Yukarıdaki diyagrama bakıldığında, Bu diagramın odak alanının S kümesi üzerinde yoğunlaştığını görüyoruz. S kümesinin bazı elemanları, P kümesi ile elemanları ile aynı özellikleri paylaşırken bazı elemanları da paylaşmamaktadır. S kümesinin P kümesi elemanları ile aynı özelliği paylaşan elemanları, iki kümenin, taralı olan kesişme alanında bulunuyor. Bu alan S kümesinin P kümesi ile ortak olduğu alana, küme terminolojisinde “Kesişme Kümesi” adı verilmektedir.

Bir başka kesişen kümeler Venn diyagramı uygulaması:

Temelkitap2_13.gif

Bazı S ler P dir.

Bu diyagramda, x işareti, S kümesinin en az bir elemanının P ile ortak eleman olduğunu belirtmektedir. Venn diagramlarında x işareti sadece kesişme durumunda kullanılır.

İlgilendiğimiz ortak elemanlar ise sadece her iki kümenin kesişme alanının oluşturduğu “Kesişme Kümesi” elemanları olduğu görülüyor. İşte “Bazı S ler” olarak belirtilen tüm, bazı S ler bu kümenin elemanlarıdır. Bu bazı S lerin sayısı ne kadardır? Eğer tüm S ler P kümesi tarafından yutulsa idiler, bu bir tümel ilişki olurdu. Oysa, önermeye göre, tüm S ler değil, sadece bazı S ler P kümesi tarafından içerlendiği için, bu ilişki tümel değil, tikel ilişki olarak nitelendiriliyor. Tikel ilişkinin eleman sayısı, S ve P nin kesişme kümesinin (taralı alan) eleman sayısıdır. Bu bir küme olduğu için, en bir tane elemanı olması gerekir. Bu nedenle, tikel ilişki, tekil ilişkiyi kapsamaktadır. Bunu ikinci Venn diyagramında daha açık olarak görmekteyiz. Tikel ilişkinin maksimum eleman sayısı, kesişme kümesi eleman sayısıdır. Kesişme kümesinin maksimum eleman sayısı ise, en çok, kesişen kümelerin en küçüğünün (burada S kümesi) eleman sayısının bir eksiği olabilir. Çünkü S kümesinin elemanlarının tümü değil, sadece bazıları P kümesi ile ortak ve onlar da sadece kesişme kümesinde bulunuyorlar. En kötü olasıkla, en az bir tane S kümesi elemanın P kümesi ile ortak eleman olmaması gerekir.

Tikel ilişkiler, sayı içeren (nicel) ilişkilerdir. Bu ilişkilerin ancak, 1-düzey, “Yüklemler Mantığı” yöntemlerine göre sembolize etmek gerektiğini daha önce açıklamıştık. Tikel olumlu ilişki, 1-düzey yüklemler mantığında,

Temelkitap2_14.png (x ∈ S) ∧ Temelkitap2_15.png (x ∈ P)

olarak gösterilir ve “Tüm S kümesi elemanları arasında, en az bir tanesi, S ve P dizisi elemanıdır.” olarak anlaşılır.

Bu formülasyonla, tikel ilişkinin en alt limitinin, tekil ilişki olduğu bir kez daha doğrulanmaktadır.

Tikel-olumlu ilişkilere I sınıfı ilişkiler adı verilir. I sınıfı ilişkiler, E sınıfı ilişkilerden bir derece aşağı önemdedir. I sınıfının adı, Latince “AffIrmo” (Kabul Ediyorum) sözcüğünden kaynaklanmaktadır.

2.6.2.2 - Tikel Olumsuz Önermeler


Tikel ilişkiler olumlu olabildiği gibi, olumsuz da olabilir. Tikel-olumsuz ilişkilere O sınıfı ilişkiler adı verilir. O sınıfı ilişkiler, I sınıfı ilişkilerden bir derece aşağı önemdedir. O sınıfının adı, Latince ”negO” (Kabul Etmiyorum) sözcüğünden kaynaklanmaktadır. Venn diagramında x işareti kesişmelerde istenirse kullanılabilir.Sedece tikel önermelerde, kesişme olabilir. Tikel olumsuz önermeler “Bazı S ler P değildir” şeklinde olduğundan, P olmayan S lerin tarafına, “en az bir eleman” anlamına x işareti konulmuştur.

Temelkitap2_16.gif

Olumsuz tikel ilişki örneği:

“Bazı tenisçiler kadın değildir.”

Bu önermenin anlamı, bazı teniscilerin kadınlar kümesi elemanı olmadıklarıdır. Dikkat edilirse, erkektirler demiyoruz. Mantıkta ne söylenmişse odur. Kadınlar kümesinin elemanı olmayan tenisçiler için hiçbir bilgi verilmemiştir. Bu tenisçilerin erkek olduklarını hiçkimse söyleyemez. Tek bilinen, kadın olmadıklarıdır. Ne kadarı kadın değildir? En az bir elemanı kadın değildir. Peki nedir? Tekrar edelim, bunu bilemeyiz, bu konuda bilgi verilmememiştir.

Bu önerme, “Her S, P değildir “ veya “Bazı S ler P değildir” şeklinde belirtilebilir. Yüklemler mantığı sembolleri ile,

¬ Temelkitap2_17.png (x ∈ S) ∧ Temelkitap2_18.png (x ∈ P)

“En az bir tane x (x, S kümesi elemanıdır), P kümesi elemanı değildir.”şeklinde okunur.

Yukarıdaki Venn diyagramında, P kümesinin elemanı olmayan S kümesi elemanları, en az bir tane olarak, S ve P kümelerinin kesişme alanı dışında kalan, S kümesi elemanlarının bulunduğu, x ile işaretli bölgede bulunabilir.

Bu şekilde, (Tümel-Olumlu), (Tümel-Olumsuz), (Tikel-Olumlu) ve (Tikel-Olumsuz) nitelikte, iki küme arasındaki 4 tür kategorik ilişkiyi incelemeyi tamamlamış oluyoruz.

2.7 - Dağıtıklık


Önermelerin değerlendirilmesinde büyük önemi olan dağıtıklık özelliği, çoğunlukla yeterince açık ve anlaşılır olarak açıklanmadığından, az anlaşılmış bir olgudur. Bu kısımdaki açıklamalar çok izlenlenmeli ve anlaşılmış olmasından emin olmak gerekemedir. Aksi halde, sillojism biliminin tam olarak anlaşılması olanağı bulunmaz.

Dağıtıklık özelliği, geçerli sav oluşturma da ve oluşturulmuş savların geçerliğini incelemede büyük hatalara neden olan ve en az bilinen ve zor anlaşılabilen bir özellik olması yanında, yanıltıcı saçmalık oluşturmak için, bilerek veya bilmeyerek en çok kullanılan bir sav özelliğidir. Bu nedenle, insanların bu özelliği iyi bilmeleri, iyi anlamalı ve kandırılmaya karşı uyanık olmaları gerekmektedir.

Bir özelliğin bir sınıf elemanları üzerinde dağıtık olması, o özellğin aynı sınıf elemanlarının Tümü tarafından paylaşılması veya paylaşılmaması koşulu ile gerçekleşir. Burada anahtar sözcük “Tümü” sözcüğüdür.

Kategorik sillojistik önermelerde daima iki terim bulunur. Bunlardan birisi özne, diğeri de bu öznenin bir özelliğidir ve buna yüklem adı verilir. Fransızca adlandırma, bir yüklemin işlevini daha açık olarak belirtir. Yüklemin Fransızcası “Complément” olarak adlandırılır ve matematikte “tamamlayıcı” anlamına gelir. Böylece, yüklem, öznenin tamamlayıcısı, daha da doğru bir söylem ile, öznenin ek bir tanımlayıcısıdır.

Teoriye uygun, kategorik sillojistik sav önermelerinde kullanılabilen kategorik sınıflar tümel ve dağılma yeteneğine sahiptir. Bunlar bazen özne bazen de yüklem olarak kullanılabilir. Tikel terimler hiçbir zaman dağıtık değildir. Çünkü, tikel sözcüğü bir sınıfın tümünü değil sadece bir kısmını belirtir.

Herşeyden önce iyice anlaşılmalıdır ki, mantıkta söylenmeyen hiçbir şey, söylenmiş gibi kabul edilemez. Dağıtıklık tanımında bu tanım kıstlamasına çok dikkat edilmesi gerekir.

Dağıtıklığın ölçütü, kaplamdır. Eğer öznenin kaplamı az, yüklemin kaplamı çok ise, özne ve yüklem arasında kısmî bir özdeşlik vardır ve yüklem özne üzerinde dağıtıktır. Yani, özne kümesinin tüm elemanları, yüklemi sağlarlarlar. Bunun anlamı, özne kümesinin, yüklem kümesinin bir özalt kümesi olmasıdır. Bunun karşıtı doğru değildir. Yani, yüklem kümesi, özne kümesinin bir özalt kümesi değildir. Çünkü, yüklemin kaplamı çok, öznenin kaplamı azdır.

Örnek olarak,

“Tüm ördekler suda yüzer.”

önermesinde, “Ördekler” özne, “Suda yüzebilme” yüklemdir. Bu önermede, özne ve yüklem özdeş kümelerdir. Ne var ki bu bir kısmî özdeşliktir. Tüm ördeklerin suda yüzebildikleri, doğru iken, tüm suda yüzebilenlerin ördek olacakları doğru değildir. “Suda yüzebilenler” in kaplamı daha geniştir. Yani, ördeklerden başka, su kağlumbağaları gibi, başka türden canlılar da yüzebilirler. Bu durumda (yani kismi özdeşlik sağlanması durumunda) , önermenin karşıtı olan,

“Tüm suda yüzenler ördektir”

önermesi doğru değildir.

Dağıtıklığı, önerme tipleri örnekleri üzerinde inceleyelim ve iyice açıklanmış olmasını sağlamaya çalışalım.

2.7.1 - A Tipi Önermelerde Dağıtıklık


Bir A tipi (Tümel Olumlu) önerme örneği:

“Tüm güller, vazoda çekici bir görüntü oluşturur”

Bu önermede, “güller” özne (subject) (S), “vazoda çekici bir görüntü oluşturmak” bu öznenin yüklemidir. Bu önermede, tüm özne sınıfı elemanları, yüklemi doğrularlar. Yani, gül olan vazoda çekici bir görüntü oluşturur. Tüm özne sınıfı elemanları, bu yüklemi paylaştıklarından özne bu önermede dağıtıktır.

Peki yüklem, yani “vazoda çekici bir görüntü oluşturmak” bu önermede dağıtık mıdır? Vazoda çekici görüntü oluşturanların tümü sadece güller olsa, bu yüklem dağıtık olurdu, ama öyle değil, glayöller, papatyalar, sümbüller, daha saymakla tükenmeyecek kadar çok çiçek türleri de güller gibi vazoda çekici bir görüntü oluştururlar. Vazoda çekici bir görüntü oluşturanlar sınıfı salt güllerden oluşmadığı için, yani yüklem sınıfının tüm elemanları özne sınıfı elemanı olmadığı için (sadece bazı yüklem sınıfı elemanları aynı zamanda özne sınıfıdır), bu önermede, yüklem, yani “vazoda çekici bir görüntü oluşturma” dağıtık değildir.

Bir önermede yüklemin dağıtık olup olmaması, bu önermenin karşıtının doğruluk değerinin “Doğru (T)” olması ile sınanabilir. Bu önermenin karşıtı,

“Tüm vazoda çekici bir görüntü oluşturanlar, güllerdir.”

şeklindedir ve doğruluk değeri kesin “Yanlış (F)” dir. O zaman öznenin dağıtık, yüklemin dağıtık olmadığı kanısına varılır.

Bir başka A tipi (Tümel Olumlu) önerme örneği:

“Tüm Kediler Avcıdır.”

Bu önermede “Kediler” özne, “Avcılık” yüklemdir.

Burada, “Kediler” kümesinin tüm elemanlarından bahsediliyor. Eğer bir terim, bir kümenin tüm elemanlarını hedefliyorsa, o terim “Dağıtık” bir terimdir. Kediler özne olduğu için, özne dağıtıktır. Bu önermenin karşıtı ise,

“Tüm avcılar kedidir”

önermesidir ve kedilerin tüm avcılar kategorisi boyunca dağıtık olduğunu (tüm avcılar kategorisinin sadece kedilerden oluştuğunu) yanlış olarak önermektedir. Gerçek ise, “Avcılar” kategorisinin sadece bir kısım elemanları kedidir ve kedilik sınıfı, avcılık sınıfı boyunca dağıtık değildir. Çünkü, birçok avcı sınıfı, kedi sınıfından değildir. Bu örnekte de, A sınıfı önermelerde, öznenin dağıtık, fakat yüklemin dağıtık olmadığı görülüyor.

Bir başka A tipi (Tümel Olumlu) önerme örneği:

“Tüm tavşanlar, tüylü hayvanlardır.”

Burada “tavşanlar sınıfı” elemanları, “tüylü hayvanlar sınıfı” içinde dağıtıktır. Çünkü hiçbir “tavşanlar sınıfı” elemanı, “tüylü hayvanlar sınıfı” dışında başka bir sınıfın elemanı değildir. Yani, “tüylü hayvanlar sınıfı" elemanı olmak özelliği, “tavşanlar sınıfı” elemanlarının bir tanesi bile dışarıda kalmamak üzere, elemanların tümü tarafından özümsenmiştir. Başka bir söylem ile, tüysüz bir tavşan düşünülemez.

Yüklemin dağıtık olup olmamasının anlaşılması için, bu önermenin karşıtını alalım :

“Tüm tüylü hayvanlar tavşandır”

Kesin yanlış, çünkü, tüylü hayvanlar sınıfının tüm elemanları değil, sadece bazı elemanları tavşandır.

Yukarıdaki A sınıfı önermede, tavşan özne, tüylü olmak yüklemdir. İncelemeden çıkan sonuç, bu önermede de diğer A tipi önerme örneklerinde olduğu gibi, öznenin dağıtık olduğu, fakat yüklemin dağıtık olmadığını belirtmektedir.

Literatürde verilmiş olan genel kuralı açıklayabiliriz:

Tümel olumlu tipte (A tipi) önermelerde, sadece özne dağıtıktır, yüklem dağıtık değildir.

2.7.2 - E Tipi Önermelerde Dağıtıklık

E tipi önermeler (Tümel Olumsuz) tipte önermelerdir. Bu tipte bir önerme örneği:

“Hiçbir iyi ekonomist, kötü ekonomik yöntemleri sağlık vermez”

Bu tip önermelerde, özne ve yüklemlerin kaplamları farklıdır. Özne tümel olarak yüklemi desteklemez, yüklem de tümel olarak özneyi desteklemez. Her iki de tümden desteklemez durumda olduklarından tam olarak dağıtıktırlar.

Burada özne, yani “ iyi ekonomist” kesin dağıtıktır, çünkü önerme T ÜM iyi ekonomistleri kapsamaktadır. Yüklem yani "kötü ekenomik yöntemleri sağlık verme” de dağıtıktır. Çünkü yüklem sınıfının T ÜM elemanları özne sınıfından değildir. Yani, tüm kötü ekonomik yöntemleri sağlık verenler arasında bir tane bile iyi ekonomist bulunmaz. Dolayısı ile, yüklem sınıfı elemanları, T ÜM Ü ile özne sınıfını dışlarlar ve bunun karşıtı da doğrudur. Bu önermenin karşıtı, “ Tüm kötü ekonomik yöntemleri sağlık verenler, iyi ekonomist değillerdir” veya” Kötü ekonomik yöntemleri sağlık verenlerin hiçbiri, iyi ekonomist değildir.”, şeklindedir. Görüldüğü gibi, bir E tipi önermenin karşıtı da, yüklemin dağıtık olduğunu belirtmektedir.

Bir başka E tipi (Tümel Olumsuz) bir önerme örneği:

“Hiçbir profesyonel asker savaş sever değildir..”

Bu önermede özne “Profesyonel askerler” kümesi, yüklem “Savaş severler” kümesidir.

Bu önermede, “Savaş severler” kümesinin tüm elemanları taranarak, tüm “Asker” kimliği taşıyan elemanlar, Savaş severler kümesi elemanı olmaktan çıkarılacaktır. Tüm Savaş severler kümesinden çıkarılmış olan Asker kimlikliler, yeni bir Askerler kümesinde toplanacaktır.

"Tüm profesyonel askerler savaş sever değildir.”

Tüm profesyonel askerler kümesi elemanları söz konusu olduğu için, özne dağıtıktır.

Savaş severler kümesinin hiçbir üyesi (tümü) profesyonel asker olmadığından, yüklem de dağıtıktır.

Bu önermenin karşıtı,
“Hiçbir savaş sever, profesyonel asker değildir” veya “Tüm savaş severler, profesyonel asker değildir”

Önerme doğrudur. Bir önermenin kontrası doğruysa, o önermenin yüklemi de dağıtıktır.

Dolayısı ile, hem özne hem de yüklem dağıtıktır.

Genel kuralı açıklayabiliriz:

Tümel olumsuz tipte (E tipi) bir önermede, hem özne hem de yüklem dağıtıktır.

2.7.3 - I Tipi Önermelerde Dağıtıklık


I tipi önermeler, (Tikel Olumlu) tipte önermelerdir. Bu tip bir önerme örneği,

“Bazı koltuklar rahattır”

Bu tip bir önermede, ne “Koltuklar” kümesinin, ne de “Rahat olma” kümesinin tüm elemanları kastedilmemektedir. Hiçbir sınıf ne ötekine tümüyle dahil edilmemiş, ne de ötekinden tümüyle dışlanmamıştır.

Dolayısı ile genel kuralı açıklayabiliriz:

Tikel olumlu tipte (I tipi) önermelerde, ne özne, ne de yüklem dağıtık karakterdedir.

2.7.4 - O Tipi Önermelerde Dağıtıklık


O tipi önermeler, (Tikel Olumsuz) tipte önermelerdir. Bu tip bir önerme örneği,

“Bazı kediler, siyah tüylü değildir.”

Burada, “Kediler” kümesinin tüm elemanlarından değil, bazı elemanlarından bahsediliyor. Dolayısı ile, özne dağıtık değildir. Siyah tüylüler kümesinin hiçbir elemanı (yani tüm elemanlarından hiçbiri) kedi olmadığı söylendiği için, yüklemin tüm elemanlarından bahsedilmektedir. Bu bir toplu dışlama olayıdır, dolayısı ile, yüklem özne üzerinde dağıtıktır.

O tipi önermelerde, yüklemim dağıtık olması, biraz beklenmedik bir olgudur. Fakat iyice incelenince, özne elemanlarının bazılarının yüklem kümesinin tümünden dışlandığı düşünülürse, yüklemin dağıtık olduğu ortaya çıkar.

“Bazı uzmanlar, yetersizdir”

Bu örnekte de, özne, dağıtık değildir. Fakat, yüklem dağıtıktır. Nedenleri açıktır. Özne olan, “Bazı uzmanlar”, tümel bir terim değildir. Yüklem olan “yetersizlik” de uzmanlarının tümünü dışladığı için dağıtıktır (bazılarının tümünü dışlamak, aslında tümünü dışlamaktır). Bu önerme tipinin karşıtı yoktur.

Dolayısı ile genel kuralı açıklayabiliriz:

O tipi önermelerde (Tikel Olumsuz) özne dağıtık değil, fakat yüklem dağıtıktır.

Sonuç olarak, öznenin dağıtıklığı ve eleman sayısı arasında bir ilişki olduğu açıktır.

Tümel önermeler, olumlu veya olumsuz olsunlar, öznelerini dağıtmaktadırlar.

Tikel önermeler ise, olumlu veya olumsuz olsunlar, öznelerini dağıtmamaktadırlar.

Olumlu önermeler, tümel veya tikel olsunlar, yüklem terimlerini dağıtmazlar.

Olumsuz önermeler, tümel veya tikel olsunlar, yüklem terimlerini dağıtırlar.

Aşağıdaki tablo bu kuralları açıklamaktadır.

Önerme Modalitesi Özne Terimi Yüklem Terimi
A Dağıtık Dağıtık Değil
E Dağıtık Dağıtık
I Dağıtık Değil Dağıtık Değil
O Dağıtık Değil Dağıtık


2.8 - Çelişme


İki önerme, eğer, birbirlerinin aksini söylerlerse, “Çelişik Önermeler” olurlar. Eğer bir önerme, bir başkası ile aynı özne ve yüklemi paylaşır, fakat nicelik (sayı) ve nitelikte (özellik) farklı şeyler söylüyorsa bu iki önerme birbirleri ile çelişiktir. A ve O tipleri ile E ve O tipleri, çelişik önermeler yaratabilirler. Örnek olarak,

"Tüm futbolcular sağlıklıdır” (A tipi önerme) (Tümel Olumlu)

önermesi ile,

"Bazı futbolcular sağlıklı değildir” (O tipi önerme) (Tikel Olumsuz)

önermeleri, çelişik önermelerdir.

Çelişik önermelerin her ikisinin birden mantıksal değerinin “Doğru (T)” veya “Yanlış (F)” olmasının olanağı yoktur. Mutlaka birisi “Doğru (T)” iken, diğerinin “Yanlış (F)” olması gerekir.

Bunları sembolik olarak belirtelim. A tipi Önerme,

Tüm S ler P dir. (S→P) (Temelkitap2_22.png Temelkitap2_23.png)

O tipi önerme:

Bazı S ler P değildir. (Temelkitap2_24.pngTemelkitap2_25.png Temelkitap2_26.png)

Aynı şekilde, E ve I tipi önermeler de çelişki yaratabilirler. Bir E tipi önerme,

“Hiçbir meslek sahibi idealist değildir.” (Tümel Olumsuz)

Bir I tipi önerme,

“Bazı meslek sahipleri idealisttir.” (Tikel Olumlu)

Sembolik gösterimleri :

E tipi önerme,

Değildir hiçbir S, P. (No S is P) (¬S→P) (Temelkitap2_27.png→ ¬Temelkitap2_28.png)

I tipi önerme,

Bazı S ler P dir. ((Temelkitap2_29.pngTemelkitap2_30.png Temelkitap2_31.png)

Mantıkta çok sayıda çelişki yaratabilme olanağı bulunur. Dolayısı ile, burada belirtilen örneklerden farklı olan çelişkilerin yaratılmasının başka yöntemleri bulunabilir.

2.9 - Dışlama


İki önerme birbiribirlerinin aksini belirtiyorsa, bunlar “Birbirlerini Dışlayan Önermeler” olarak nitelendirilir. Örnek olarak,

Bu maçta Galatasaray Fenerbahçeyi yenecek.

Bu maçta Fenerbahçe Galatasarayı yenecek.

önermeleri, birbirlerini dışlayan önermelerdir. Bu iki önermenin her ikisi birden doğru olamazlar. Maç oynanırsa, bunlardan sadece biri doğru olabilir. Ama, birçok olası nedenden dolayı maç oynanmayabilir. Maç oynanamazsa, bu önermelerden her ikisi de yanlış olur (Maç gitti, kavga bitti, kimse kimseyi yenemez).

Buradan görülebilir ki, aynı özne ve yüklemi paylaşan bazı A tipi, (Tüm S ler P dir) ve E tipi (Tüm S ler P değildir) önermeler, karşıtlık ve çelişki yaratırlar. Bunların her ikisi de doğru olamaz, ama her ikisi de yanlış olabilir. S ve P ler ayrık sınıflar olabilirler.

2.10 - Alt Dışlama


Birbirleri ile ilişkili, I ve O tipi önermelerin ikisi birden yanlış olamaz, fakat ikisi birden doğru olabilir. Bunlar, “Alt Dışlama İçeren Önermeler” olarak nitelendirilir. Örnek olarak,

“Bazı elmaslar değerli taşlardır” ( I tipi) (Tikel olumlu)

“Bazı elmaslar değerli taşlar değillerdir.” (O tipi) (Tikel Olumsuz)

önermelerinin her ikisi de doğru olabilir, fakat her ikisi de yanlış olamaz.

2.11 - Alt Alternatif


Aynı özne ve aynı yüklemi paylaşan önermeler eğer kalitede (Tümel veya Tikel) aynı fakat nicelikte (Hepsi veya Bazı) farkediyorlarsa, bu önerme çiftlerine, ilişkili (tekabül eden) (corresponding) önermeler adı verilir. Bu aynı zamanda bir zıtlık ifadesidir.

Bir tümel önerme ile ilişkili tikel önerme çiftine “Alt Alternatif çift” adı verilir. Bunlardan tümel olan “üst alternatif” (süper alternatif), tikel olana “Alt Alternatif “adı verilir.

Dolayısı ile, Aşağıda verilen İlişkili A ve I tipi önermeler, bir zıtlık yaratırlar. Örnek,

“Tüm örümcekler sekiz ayaklıklıdır.” (A tipi) (Tümel Olumlu) (I tipindeki ile İlişkili Önerme) (Süper Alternatif) (Güçlü)

“Bazı örümcekler sekiz ayaklıklıdır.” (I Tipi) (Tikel Olumlu) (A tipindeki ile İlişkili Önerme) (Alt Alternatif) (Daha Az Güçlü)

Aynı şekilde, E ve O tipindeki ilişkili önermeler de bir zıtlık yaratırlar. Örnek:

"Hiçbir balina balık değildir” (E tipi önerme) ( Tümel Olumsuz) ( Üst Alternatif)

“Bazı balinalar balık değildir” (O tipi önerme) ( Tikel Olumsuz) (Alt Alternatif)

Üst alterntifin doğruluğu, alt alternatifin de doğruluğunu belirtir, fakat tersi doğru değildir. Alt alterntifin doğruluğu, üst alternatifin de doğruluğunu gerektirmez. Yani, “Bazı hayvanlar kedi değildir” önermesinden “Hiçbir hayvan kedi değildir” bilgisi edinilmez.

2.12 - Zıtlıklar Karesi


Dört tane zıtlık türünün bir “Zıtlıklar Karesi” ile gösterimi geleneksel olmuştur. Zıtlıklar karesi, ilk olarak Aristoteles tarafından önerilmiştir. Bunlar, “Dışlama”, “Alt Dışlama”, “ Üst Alternatif”, “Alt Alternatif” tipi zıtlıklardır.

Zıtlıklar Karesi aşağıda görülmektedir.

Temelkitap2_32.gif

Zıtlıklar Karesi

Mantık çalışmalarında, “Terslikler Karesi” el altında bulunması yararlı olan diyagramlardandır.

Zıtlıklar karesinin verdiği bilgilerin açıklanması için, sadece tek öncüllü savların verdiği bilgilerin “Anlık bilgilenme”, iki ve daha fazla öncüllü savların verdiği bilgilerin”Anlık olmayan bilgilenme” olarak nitelendirildiğinin bilinmesi gerekir.

Zıtlıklar karesinden elde edilebilecek bazı anlık bilgiler aşağıda belirtilmiştir.

Eğer bir A önermesi bir savın tek öncülü ve mantıksal değeri doğru ise, zıtlıklar karesine göre, aynı özne ve yüklemi paylaşan O önermesi yanlıştır.

Eğer bir A önermesi bir savın tek öncülü ve mantıksal değeri doğru ise, zıtlıklar karesine göre, aynı özne ve yüklemi paylaşan I önermesi doğrudur.

Eğer bir I önermesi bir savın tek öncülü ve mantıksal değeri doğru ise, zıtlıklar karesine göre bunun zıddı olan, aynı özne ve yüklemi paylaşan E önermesi yanlıştır.

Zıtlıklar karesinden, dört standart formun doğruluk ve yanlışlığının bilinmesi ile elde edilebilecek anlık bilgilerin bazıları :

Eğer A tipi önerme doğru ise, ilgili E yanlıştır; I doğrudur; O yanlıştır.

Eğer E tipi önerme doğru ise, ilgili A yanlıştır; I yanlıştır; O doğrudur.

Eğer I tipi önerme doğru ise, ilgili E yanlıştır; A ve O belirsizdir.

Eğer O tipi önerme doğru ise, ilgili A yanlıştır; E ve I belirsizdir.

Eğer A tipi önerme yanlış ise, ilgili O doğrudur; E ve I belirsizdir.

Eğer E tipi önerme yanlış ise, ilgili I doğrudur; A ve O belirsizdir.

Eğer I tipi önerme yanlış ise, ilgili A yanlıştır; E doğrudur; O doğrudur.

Eğer OI tipi önerme yanlış ise, ilgili A doğrudur; E yanlıştır; I doğrudur.

Zıtlıklar karesi ile ilgili olmayan ve anlık bilgi veren zıtlıklar da bulunmaktadır. Bunların incelenmsi için, önce sınıflar, sınıf oluşturma özellği ve sınıf oluşturma özellğinin tümleyici üzerinde blgilenmemiz gerekli olacaktır.

Zıtlıklar karesi, Aristoles tarafından oluşturulmuş ve on dokuzuncu yüzyılın ortalarına kadar, tartışılmadan kabul edilmiştir. Geoge Boole ile başlayan yeni çalışmalar, bu konuda yeni bilgiler ve yeni sistematikler ortaya çıkarmış, bunun sonucunda, zıtlıklar karesi günümüzde sadece klasik düşünürler tarafından geçerli kabul edilmektedir.

2.13 - Sınıflar ve Tümleyicileri


Bir sınıf, bazı ortak özellikleri olan nesnelerin topluluğudur. Bu ortak özellikler, “Sınıf Tanımlayan Özellşkler” adı verilir. Örnek olarak, “kediler Sınıfı”, ortak kedilik özellikleri olan, nesnelerin oluşturduğu bir sınıftır.

Bir sınıfın tümleyici sınıfı veya tümleyicisi, bu sınıfa ait olmayan tüm diğer nesneleri içeren bir sınıftır.

Bu şekilde, kediler ve kedi olmayanlar sınıflarının toplamı dünyadaki tüm nesnelerin toplamı olmaktadır.

Bu durumda, bir sınıfın tümleyeni, bu sınıfa eklendiğinde, bir tüm yaratan sınıftır.

Örnek olarak bir ülkenin insanları, %55 oyla bir cumhurbaşkanı seçimi için olumlu oy verirse, olumlu oy vermeyen %45, olumlu oy verenlerin tümleyicisidir ve birlikte tüm ülkenin oy verenlerini tümlerler. Aynı şekilde, oy vermemiş olanların tümleyeni de oy verenlerdir ve aynı şekilde, birlikte tüm ülkenin oy verenlerini tümlerler.

2.14 - Karşıtlık


Bir önermenin karşıtı (Convers) (Evirme), bu önermenin özne ve yükleminin yer değiştirmiş halidir.

Eğer tümel olumlu nitelikte bir A önermesi ele alınırsa, bu tip önermelerinin formu,

S→P

şeklindedir. Bunun karşıtı,

P→S

olarak oluşturulur. Somut örnek olarak,

“Bazı kadınlar voleybolcudur” önermesininde, özne “kadınlar”, yüklem”Voleybolcudur” olarak belirtilir, Bu önermenin karşıtı (tersi),

“Bazı voleybolcular kadındır”

önermesi olarak oluşturulur. Her iki önerme de doğrudur.

“Bazı kadınlar voleybolcudur” önermesi ile, “Bazı voleybolcular kadındır” önermeleri, eğer her iki önerme de doğrulanabiliyorsa eşdeğer önermelerdir. Bunu bir sonraki konu olan “Sembolik Mantık” konusunda inceleyeceğiz.

Görülüyor ki, bir önermenin karşıtında, özne ve yüklem, yer değiştirmekte, fakat nicelik belirten terimler yer değiştirmemektedirler.

Karşıt alma işleminde, nicelik bilgileri, (sayısal bilgiler) yer değiştirmez. Örnek,

Önerme: “ Bazı köpekler, dost canlılardır.”

Kontrapozifi : Bazı dost canlılar, köpeklerdir.”

Bir sonraki konu olan “Sembolik Mantık” konusunda, göreceğimiz gibi, “Eğer özne doğru ise, ve de yüklem doğru ise, önermenin doğruluk değeri de doğrudur.

Karşıtını alalım,

“Bazı kadınlar voleybolcudur.”

Buradan, mantıklı bir önerme ile, karşıtının eşdeğer olduğu anlaşılmaktadır.

Karşıt oluşturulması E ve I tipi önermeler için sorunsuzdur. Fakat, O önermeleri için, karşıt alınması, geçersiz bir önerme oluşması ile sonuçlanır. Bir O önermesi,

“Bazı hayvanlar kedi değildir.”

ise, bunun karşıtı, “Bazı kediler hayvan değildir.” olur ki bu tam anlamı ile yanlıştır. Buradan bir O önermesi ile karşıtının eşdeğer olmadığı ortaya çıkar.

A tipi önermeler de, karşıtlarının alınmasında sorun çıkararır. Doğal olarak,

“Tüm kediler hayvandır.”

önermesinin doğruluğundan, karşıtı olan,

“Tüm hayvanlar kedidir.”

önermesi doğrulanamaz. Tüm hayvanların kedi olmadıkları kesindir. Bu konuda eskiler, “Sınırlı Karşıt Alma”, kuralı oluşturarak bu sorunu aşmaya çalışmışlardır.

Sınırlı karşıt alma yönteminde önce, A tipi önermeden, geçerli bir I tipi önerme yaratılması için alt alternatifi olan bir I tipi önerme yaratılır. A tipi “Tüm kediler hayvandır.” önermesinin alt alternatfi bir I tipi önerme olan ,“Bazı kediler hayvandır” önermesine geçilir. Oluşturulan I tipi önermenin karşıtı alınır ve

“Bazı hayvanlar kedidir” geçerli önermesine kavuşulur. Buna “Sınırlama ile karşıtlık” adı verilmektedir. Karşıt alma işlemleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Önerme Karşıt
A:Tüm S ler P dir I :Bazı P ler S dir (Sınırlama ile)
E:Hiçbir S, P değildir E: Hiçbir P, S değildir
I: Bazı S ler P dir I : Bazı P ler S dir
O: Bazı S ler P değildir (Karşıt alma geçerli değil)

2.15 - Çevirme


Çevirme, (Döndürme) (Inversiyon) veya “Oblivyon” işlemi, bir önermenin kalitesini (olumlu veya olumsuz) tersine (olumlu ise olumsuza, olumsuz ise olumluya) çevirip, yüklemini de, yüklemin tümleyicisi ile yer değiştirerek oluşturulur. Herşeye rağmen, önermenin öznesi değişmeden kalır. Aynı şekilde orijinal nicelik [Tüm (Hiçbir) veya Bazı] aynı şekilde değişmeden kalır.

Eskiden Osmanlılar “Lata” adı verilen, pardesü ile ceket arası bir giysi giyerlermiş, çok kumaş gittiği için, pahalı bir giysiymiş, onun için eskidiğinde “Ceditçi” (Yenilemeci) olarak adlandırılan terzilere gider, içini dışına döndürtürlermiş. Buna “Tersyüz etme” adı verilirmiş. tersyüz edilen giysi, orijinal ile aynı değil ama aynı işlevi yerine getirirmiş. Obversiyon da aynı öyledir. Bir önerme çevrilir (inverté veya oblivé) edilir. Tersyüz olan, orijinal ile aynı olmaz, ama nitelik ve nicelik açısından aynı olur. Bir önerme ile oblivionu eşdeğerdir ve kolayca birbirlerinden çıkarılabilirler.

Obversiyon oluşturma, gündelik dil ile yanıltıcı olabilir. Bunun için bu çalışmada mantıksal formülasyona dayalı daha açık ve yanılmalardan koruyucu bir yöntem izleyeceğiz. Tüm önerme tiplerinde (tümel ve tikel) geçerli olduğu için birinci düzey yüklemler mantığını uygulayacağız.

Obversiyon işlemi, tümleyici oluşturmayı gerektirdiğinden, öncelikle, evrensel kümenin tanımlanması gerek ki, tümleyicinin neyi evrensel küme kümeye tümlediği belli olsun.

Evrensel küme tanımlanmamış da olabilir. O zaman sanal (virtual) bir evrensel küme olduğu düşünülür. Örnek,

Örnek olarak bir A tipi (Tümel Olumlu) bir önermeyi gözönüne alalım :

Temelkitap2_33.png (x ∈ A) → Temelkitap2_34.png

“Tüm daire sahipleri oy verme hakkına sahiptir”

Burada, yüklem, “oy verme hakkına sahip olmak” dır. Bunun evrensel kümesi tanımlanmamış olduğuna göre, tümleyicisi nasıl saptanacaktır? Son derece basit, önce sanal bir evrensel küme olduğu varsayılır ve tümleyici buna göre saptanır.

P = {Oy verme hakkına sahip olanlar}

¬P = {Oy verme hakkına sahip olmayanlar}

U = P ∪ ¬P

U = {P , ¬P}

Buradan, sanal evrensel kümenin, yüklem kümesi ve yüklem kümesinin olumsuzunun birleşim kümesi olarak düşünüleceği ortaya çıkar.

U = {Oy verme hakkına sahip olanlar kümesi, oy verme hakkına sahip olmayanlar kümesi}

Buradan, eğer evrensel küme açık olarak tanımlanmamışsa, yüklemin tümleyicisin, yüklemin olumsuzu olacağı görülebilir.

Burada kuvvetli bir dikkat çekme olacak, mantıkta hiçbir söylem uydurulmaz. Ne söylenmişse o dur. Eğer “uslu” denilmişse tersi “yaramaz” olarak belirtilemez. Eğer “uslu” denilmişse, tersi “uslu değil” olarak belirtilir. Sadece eğer evrensel küme, U = {Uslu} ∪ {Yaramaz} olarak tanımlanmışsa, uslunun tümleyicisinin “yaramaz” olacağını belirtme hakkımız olur. Bunun dışında, “uslu” yükleminin tümleyicisi (tersi) “uslu olmayan” olmalıdır.

Obiliviyon işleminde, yüklemin tümleyicisi (B’)alınır ve önermenin niteliği değiştirilir.

Temelkitap2_35.png (x ∈ A) → Temelkitap2_36.png

“Değildir daire sahiplerinin tümü, oy verme hakkına sahip olmayan”

Tümel bir önerme olduğundan sembolik mantık sembolizasyonu ile belirtilebilir.

¬S → P’

"Değildir tüm S ler P nin tümleyicisi”

Böylece A tipi bir önermenin, obversiyonu, E tipi bir önerme olur.

A tipi önerme Temelkitap2_37.png E tipi önerme

Dikkat edilirse, orijinal önerme ile obversinin doğruluk değerleri aynı kalmaktadır. Çünkü obversiyonun obversiyonu orijinal önermedir. Obversiyonun her iki tarafı negatif hale getirilirse, işlemin değeri değişmez,

¬¬ S → ¬P’

¬P’ = P olduğundan ve iki negatif birbirini götürdüğünden, önerme,

S → P

“Daire sahiplerinin tümü, oy verme hakkına sahiptir.”

olarak orijinal önermeye dönüşür. Bu nedenle obversiyon, orjinal önermenin eşdeğeridir ve obversiyonun niteliği ile niceliği orjinal önermeninkiler ile yanıdır.

A tipi bir önerme (ikinci örnek)

"Kedilerin tümü yaramazdır”  (A) tipi önerme, (Tümel Olumlu), Mantıksal değeri “Doğru (T)”

Temelkitap2_38.png (x ∈ kedi) → Temelkitap2_39.png (x ∈ yaramaz)

Obversi:

Temelkitap2_40.png (x ∈ kedi) → Temelkitap2_41.png (x ∈ yaramaz olmayan)

Dikkat edilirse, denklemin her iki tarafı da eksi ile çarpılmış, dolayısı ile denklemin dengesi bozulmamıştır. Yani orijinal önermenin doğruluk değeri ile obversinin doğruluk değeri aynı kalmıştır. ¬Temelkitap2_42.png = Temelkitap2_43.png ( Temelkitap2_44.png ‘in tümleyeni) olduğundan,

Temelkitap2_45.png (x ∈ kedi) → Temelkitap2_46.png (x ∈ yaramaz olmayan)

olarak belirtilebilir.

Obversin yorumu :

"Değildir tüm kediler, yaramaz olmayan” ( E) tipi önerme (Tümel, Olumsuz), Mantıksal değeri “Doğru (T)”

Eğer yorumu ileri taşırsak, (eğer “yaramaz”ın tümleyeninin “uslu” olduğu açıkça belirtilirse),

"Değildir tüm kediler uslu.” ( E) tipi önerme, (Tümel, Olumsuz), Mantıksal değeri “Doğru (T)”

"Tüm kediler uslu değildir.” ( E) tipi önerme, (Tümel, Olumsuz), Mantıksal değeri “Doğru (T)”

Sonuç :

Temelkitap2_47.png

Artık önermeyapılaını formüllerle açıklamaya alışmaya başladığımızdan, Bir önermenin obliviyonunun yürüyüşünün yapısını formüllerle açıklayabilecek düzeye gelmiş olmalıyız.

Obliviyon, bir önermenin ana işlemcisinin etrafınfaki terimleri her ikisinin de negatini (olumsuzunu) almaktır. Tek işlemci ile açıklanan bir önermede ana işlemci, önermenin tek olan işlemcisidir. Bir denklemin her iki tarafının da negatifinin alınması, denklemin değerini değiştirmez, bu yüzden, orijinal önerme ile obliviyonunun nitelik ve nicelik değerleri ve önermenin mantıksal doğruluk değeri aynı kalır.

E tipi (Tümel olumsuz) bir önermeyi inceleyelim :

Temelkitap2_48.png (x ∈ A) → Temelkitap2_49.png (x ∈ B)

Oblivyon,

Temelkitap2_50.png (x ∈ A) → Temelkitap2_51.png (x ∈ B)

Düzenleme ile (Temelkitap2_52.png Temelkitap2_53.png ve Temelkitap2_54.png (x ∈ B) ↔ Temelkitap2_55.png (x ∈ B’) olduğundan),

Temelkitap2_56.png (x ∈ A) → Temelkitap2_57.png (x ∈ B’)  (Oblivyon A tipi önerme)

Temelkitap2_58.png (x ∈ A) → Temelkitap2_59.png (x ∈ B)

Temelkitap2_60.png (x ∈ A) → Temelkitap2_61.png (x ∈ B) (Orijinal önerme) (E Tipi)

Birbirlerini çıkarımla elde edilebilir olduğundan, önerme ↔ obliversi olur.

Bu yapının gidişi, her uygun örnekle örneklenebilir.

Bu yapının (form), bir örneği,

"Değildir Hiçbir kedi uslu” (Tümel olumsuz) Mantıksal değer : “Doğru (T)”
“Hiçbir kedi uslu değildir.”

Tüm kediler uslu değildir.

Yüklemin tersi (tümleyicisi) alınıp, yüklem yerine konulur ve önermenin niteliği değiştirilir,

¬Temelkitap2_62.png (x ∈ A) → Temelkitap2_63.png

İki negatif bir pozitif yapar,

Temelkitap2_64.png (x ∈ A) →Temelkitap2_65.png

“Tüm kediler, uslu olmayanlardır” Mantıksal değer : “Doğru (T)”

E tipi önerme Temelkitap2_66.png A tipi önerme

olarak yeniden belirlenir.

I tipi bir önerme,

"Bazı kediler sevecendir” (Tikel Olumlu) Mantıksal değer : “Doğru (T)”

Temelkitap2_67.png (x∈S) ∧ Temelkitap2_68.png

Okunuşu : “Bazı Kediler kümesi elemanları, aynı zamanda Sevecenler kümesinin de elamanıdırlar.”

Obversiyonu,

Temelkitap2_69.png (x∈S) ∧ Temelkitap2_70.png

“Bazı kediler sevecen değillerdir.” ( O tipi) (Tümel Olumsuz) Mantıksal değer : “Doğru (T)”

I tipi önerme Temelkitap2_71.png O tipi önerme

Geri dönüş,

¬Temelkitap2_72.png (x∈S) ∧ Temelkitap2_73.png

O tipi bir önerme,

Temelkitap2_74.png (x∈S) ∧ Temelkitap2_75.png

Obversiyonu,

¬Temelkitap2_76.png (x∈S) ∧¬ Temelkitap2_77.png

¬Temelkitap2_78.png (x∈S) Temelkitap2_79.png

Örnek önerme,

"Bazı kediler saldırgan değildir” (Tikel Olumsuz)  ( O tipi) (Mantıksal değer : “Doğru (T)”)

Obversiyon,

"Bazı kediler saldırgandır.” (Tikel Olumlu) (I tipi) (Mantıksal değer : “Doğru (T)”)

O tipi önerme Temelkitap2_80.png I tipi önerme

Obversiyon Sonuçları

Temelkitap2_81.png

E tipi önerme Temelkitap2_82.png A tipi önerme

I tipi önerme Temelkitap2_83.png O tipi önerme

O tipi önerme Temelkitap2_84.png I tipi önerme

Obversiyon Sonuçları (Sözel)

Modalite (Form) Önerme Obvers
A Tüm daire sahipleri,oy verme hakkına sahiptir Daire sahibi olmayanların hiçbiri,oy verme hakkına sahip değildir
E Hiçbir kedi uslu değildir. Tüm kediler,uslu olmayanlardır
I Bazı kediler sevecendir Bazı kediler sevecen değildir.
O Bazı kediler saldırgan değildir Bazı kediler saldırgandır.

Obversion çok kullanılan bir anlık dönüştürme (tek önerme üzerinden alınan bilgilerle uygulanan dönüştürme) şekli değildir. Burada sadece bilgi vermek amacına yönelik olarak incelenmiştir.
Not . Çok zor olduğu söylenen obversiyon işleminin ne kadar basit olduğu görülüyor. Bize önerme yapılarını, sembolik olarak belirtmek için deneyi sağlamıştır. Önerimiz, bu konudaki, formülleri gayet iyi anlamaya çalışmalı, kendi örneklerimizi bu formüller üzerine uygulayarak, yapısal fomüller üzerine çok iyi bir deneyim kazanmalıyız.

2.16 - Kontrapozitif


Bir önermenin kontrapozifi, bu önermenin öznesinin, yükleminin tümleyicisi ile, yükleminin de öznenin tümleyicisi ile, yer değiştirilmesi ile oluşturulur. Bir önermenin kontrapozifinin geçerli yapıda olmaları durumunda, örijinal önermenin nitelik (kalite) ve niceliğinde değişme olmaz. Bu şekilde, A ve O tipinde önermelerin, kontrapozifleri de A ve O tipinde kalır. Örnek olarak bir A tipi önerme, “Genel kurulda oy verebilenler tüm hak sahipleridir.” ise, bu önermenin kontrapozifi, “ Tüm hak sahibi olmayanlar, genel kurulda oy veremeyenlerdir, ” şeklindedir ve hem orijinal önerme, hem de kontrapozitifi A tipini korurlar. Aynı özellik O tipinde de gözlenir, fakat kontrapozifin söylemi biraz tuhaf olur. E tipi önermelerin kontrapozifleri, geçerliği koşula bağlı O tipi önermeler verirler. Bunlara, “Sınırlama ile geçerli” yapılar adı verilir. Tikel olumlu I tipi önermelerin kontrapozitifleri hiçbir şekilde geçerli yapılar oluşturmazlar.

Aşağıda bu sonuçları özetleyen bir tablo verilmiştir.

Tip Nitelik Kalite Nicelik Önerme Kontrapozitif
A Tümel Olumlu Tümü Tüm S ler P dir. A:Tüm P olmayanlar S olmayanlar değillerdir.
E Tümel Olumsuz Tümü Hiçbir S,P değildir. O :Bazı P olmayanlar S olmayanlar değildir.(Sınırlama ile geçerli)
I Tikel olumlu Bir kısmı Bazı S le P dir. Kontrapozitif geçerli değildir.
O Tikel olumsuz Bir kısmı Bazı S ler P değildir. O : Bazı P olmayanlar S olmayanlar değildir .

2.17 - Sav Türleri

Sillogistik savların ( Tümdengelimsel sillogistik savların) sınıflandırılması için, ne uluslarası literatürde, ne de M.E.B de belirlenmiş bir sınıflandırma yöntemi bulunmamaktadır. Bazı kaynaklardaki sınıflandırmalar, alıntı yapılarak tekrarlanmakta fakat aslında bunlar, zamanla çağdışı kalmış sınıflandırmalardan oluşmaktadır.

Bu çalışma da, You Tube Video Kayıtlarında açıklanmış olan, Açık Lise TV sınıflandırma yöntemini düzenleyerek sunacağız. Bu sınıflandırma,

Temelkitap2_85.gif

şeklinde, bu çalışma çerçevesinde tanımlanmışlardır. Sav türlerini teker teker, ayrıntılı olarak incelemeye çalışacağız.

2.17.1 - Basit Savlar

2.17.1.1 - Kategorik Sav (Sillogism)

Kategorik sillogism, kategoriler (insan, köpek, canlı) gibi kategoriler üzerinden uygulandıklarından, kategorik sillogism olarak adlandırılmışlardır.

Kategorik Sillogismlerde,

Her sav, bir özne ve bir yüklem içerir. Bu yüzden, kategorik sillogism için, “Yüklemli Sav” adı da verilmektedir.

Özne kategori içine yerleştirilir.

Kategori, yüklemin kendisidir.

Örnek olarak, “Sokrates insandır” belirtmesinde, Sokrates özne, insan kategoridir. Bu tümce, Sokrates öznesini, insan kategorisi içine yerleştirmiştir.

Kategoriler, kendilerinden tanımlı olduklarından, kategorik sillogism yerine sillogism terimi eşdeğer olarak, birbirleri yerine kullanılagelmiştir. Bu çalışmada biz de bu iki tanım arasında bir ayrım gözetmeyecek ve yöntemi, sadece sillogism olarak tanımlayacağız.

Kategorik sillojismler üzerinde, bilgilenmiş olduğumuzdan, bunları artık daha detaylı çıkarımlar için uygulayabiliriz. Bilindiği gibi, A,E,I,O olmak üzere 4 tip önerme tanımlanmıştır. Bu kategorik önermeler, genel olarak iki öncül ce bir sonuç olmak üzere, 3 tip önermenin bulunduğu sillojism (kıyas) adı verilen bilgilenme grupları halinde incelenir. Bir sillojism, iki öncülden elde edilen bilgilenmeyi belirten bir sonuç önermesinden oluşur. Kategorik sillojismler, kategorik önermeleri içerdiklerinden bu şekilde adlandırılmışlardır. Genel olarak kategorik sillojismler sadece “Sillojism” olarak adlandılırlar. Bir örnek üzerinde incelemeye devam edelim (M.Copi et Al. Introduction to Logic S.211):

Hiçbir kahraman korkak değildir.
Bazı askerler korkaktır.
-------------------------------------
∴ Dolayısı ile bazı askerler kahraman değildir.

Yukarıdaki örnek, standart yapı (standart form) da bir kategorik sillojismdir. Standart yapıda bir kategorik sillojismde,

Gerek öncüller, gerekse sonuç, standart önerme tiplerinden (A,E,I,O) oluşur.

Önermeler, belirli bir standart sırayı izler. (Büyük öncül), (Küçük öncül), (Sonuç)

Bir sllojism iki öncül, bir sonuçtan oluşur.

Tüm sillojism de S (özne), M (orta terim) ve P (yüklem) olmak üzere sadece üç terim bulunabilir.


Bir kategorik sillojismin standart formda olması, bu sillojismlerin tanınması, geçerlilik denetimi açısından çok önemlidir. Bu çalışmada, standart formda bir sillojism basitçe sillojism olarak adlandırılmıştır.

Sillojismlerin terminolojisi üzerinde bilgi vererek devam edeceğiz.

2.17.1.1.1 - Sillojism Terimleri

Verilmiş olan örnekte, ∴ simgesi, demek ki, dolayısı ile gibi sonuç bildiren sözcükleri belirtir ve bir sillojismin sonuç önermesini belli eder. Verilmiş olan örneğin sonuç önermesi, “Bazı askerler kahraman değildir.” önermesidir ve “O” tipindedir. Burada “kahramandır” sözü, sonuç önermesinin yüklemi (P) dir. Yine “kahraman” sözcüğü ilk öncül önermenin öznesi olarak ortaya çıkmaktadır. Sonuç önermesinin yüklemini taşıyan önerme, ilk önermedir ve buna “Majör terim” adı verilmektedir. Sonuç önermesinin öznesi “asker” sözcüğüdür ve bu da ikinci önermenin öznesi olarak ortaya çıkmaktadır. İkinci önermeye “Minör” terim adı verilmektedir. Majör terim ilk, minör terim ikinci sıradadır ve sıralanma, ilk terimin sonucun yüklemini, ikinci önermede sonucun öznesini taşımakta olduğundan majör ve minör adları sıralanmaya göre değil özelliğe göre verilmiştir.

Sillojismin üçüncü terimi,”orta terim” olarak adlandırılır. Orta terim, sonuçta hiçbir zaman görülmez, fakat majör ve minör öncüllerin her ikisinde de zorunlu olarak bulunmalıdır. Burada orta terim, “korkaktır” terimidir. Bu örnekte orta terim, majör ve minör öncüllerin yüklem (predikat) (P) terimidir.

Bilgileri özetleyelim:

Bir kategorik, standart sillojismde iki öncül ve tek bir sonuçtan oluşan üç önerme ve üç terim bulunur.

Öncüllerin ilki majör öncül, ikincisi minör öncül adını alır.

Sonucun yüklemi, hem majör hem de minör önermelerde bulunur.

İlk terim, majör terim, ikinci terim orta terim, üçüncü terim minör terim olarak adlandırılır.

Orta terim hiçbir zaman sonuç önermesinde bulunmaz, fakat majör ve minör öncüllerin her ikisinde de bulunması zorunludur.

2.17.1.1.2 - Sillojism Modalitesi

Her sillojismin bir yürüyüş şekli, diğer adı ile modalitesi bulunur. Sillojism modalitesi, öncüllerin ve sonucun, örme tiplerinden belirlenir. Örnek olarak verilen örnekte, majör öncül, “Hiçbir kahraman korkak değildir. “, aynı zamanda, “Tüm kahramanlar korkak değildir” olarak söylenebildiğinden, “tümel olumsuz”, “E” tipi önermedir. Minör öncül, “Bazı askerler korkaktır.” önermesi bir “tikel olumlu”, “I” tipi önermedir. Sonucun “O” tipi bir önerme olduğunu daha önce belirtmiştik. Dolayısı ile bu savın modalitesi “EIO” olarak belirlenir.

2.17.1.1.3 - Sillojism Modalite Sayısı

Sillojismlerin salt modaliteleri, geçerli yapıları olduğunu belirmekte yetersizidir. Bir sillojismin tam olarak belirlenmesi için, her modalite için ek bir indis değerine gereksinme vardır. Bunu A ve B olarak iki örnekle açıklayabiliriz. A sillojismi (savı),

Temelkitap2_86.png Temelkitap2_87.png
Temelkitap2_88.png de Temelkitap2_89.png
------------------------------------------
Temelkitap2_90.png Temelkitap2_91.png dır.

Bu savın modalitesini inceleyelim,

Tüm büyük bilim adamları kolej mezunudur. (Tümel, olumlu) dolayısı ile (A) tipi,
Bazı profesyonel atletler kolej mezunudur.  (Tikel, olumlu) dolayısı ile (I) tipi

-------------------------------------------------------
∴ Bazı profesyonel atletler büyük bilim adamlarıdır. (Tikel , olumlu) dolyısı ile (I) tipi.
Bu şekilde, bu önermenin modalitesinin (AII) olduğunu görebiliyoruz.

Bu savın yapısını inceleyelim,

Tüm P ler M dir.
Bazı S ler M dir.
------------------------

∴ Bazı S ler P dir.

Burada majör öncül, tüm P lerin M olduğunu açıklıyor. Majör öncül A tipi bir önermedir ve A tipi önermelerin karşıtları doğru değildir. Yani, tüm P lerin M olması doğru ise, karşıt önerme olan, tüm M lerin P olması yanlıştır.
Bu konuda, 2.4.15 deki “Karşıtlık” (Convers) konusunda bilgi verilmiştir. Ama hatırlatma için, bir (A) tipi önerme olan, “Tüm tavşanlar hayvandır” önermesi doğru, fakat karşıtı (konversi) olan”Tüm hayvanlar tavşandır” önermesi yanlıştır.

Bu durumda, sonuçta önerilen, bazı S lerin M olması nedeni ile, bu S lerin aynı zamanda P olması doğrulanmaz. Sav yanlıştır ve yapısı geçersizdir.

B savı,

Temelkitap2_92.png Temelkitap2_93.png
Temelkitap2_94.png Temelkitap2_95.png

Temelkitap2_96.png

Temelkitap2_97.png Temelkitap2_98.png

Yapısı:

Tüm M ler P dir.
Bazı M ler S dir.

----------------------

∴ Bazı S ler P dir.

İncelendiğiinde, B savının da (AII) modalitesinde olduğu görülür. Aynı modalitedeki iki savın birinin geçersiz, birinin geçerli olması, salt modalite aynılığının geçerlik aynılığı için yeterli olmadığını belirtmektedir.

Geçerlikleri farklı olan aynı modalitedeki iki savın birbirleri ile nerede farklı olduklarının anlşılması için, yapılarına bakmak yeterlidir. Fark orta terimin öncüller arası dağılımından kaynaklanmaktadır.

(A) savında orta terim, her iki öncülün yüklemi iken, B savında orta terim, her iki öncülün öznesidir.

Bu durumda, modaliteleri aynı olan savların eşdeğerliklerinin belirlenmesi için, modalite sayıları adı verilen sayıların devreye alınması gerekir. Modalite sayısı, orta terimin sav içinde dağılımını belirten bir sayıdır.

Yapılan incelemeler, aynı modalitede bir savda, orta terimin sadece ve yanlız sadece dört türlü dağılabileceğini belirtmiştir. Bunlar modalite sayılarıdır ve aşağıda görüldüğü gibi verilirler.

Orta terim, majör öncülün öznesi ve minör öncülün yüklemi olabilir; veya,

Orta terim her iki öncülün yüklemi olabilir; veya,

Orta terim her iki öncülün öznesi olabilir; veya,

Orta terim, majör öncülün yüklemi ve minör öncülün öznesi olabilir.

Yapısal oluşum (form) olarak belirtildiğinde,

M — P P — M M — P P — M
S — M S — M M — S M — S

--------------------------------------------------------------------------------------------------------

∴ S — P ∴ S — P ∴ S — P ∴ S — P

olarak belirlenir.

Savlarda 3 önerme ve her önermenin 4 tane modalitesi varsa, oluşturulabilen sav (kategorik, düzenli sillojism) modalite sayısı Temelkitap2_99.png = 64 tanedir. Her modalitede 4 olasılık olabildiğine göre, toplam sav sayısı 64×4 =256 tür sav yapısı olabilir. Bunlardan sadece 24 tanesi geçerli yapıdır. Bu geçerli yapıladan sadece 15 tanesi koşulsuz geçerli, 9 tanes de koşullu olarak geçerlidir.

Wikipedia da koşulsuz geçerli formların isimleri ve örnekleri bir liste olarak açıklanmıştır. Bu liste, aşağıda görülmektedir.

İsim Modalite ve Sayı
Barbara AAA-1
Celarent EAE-1
Darii AII-1
Ferioque EIO-1
Cesare EAE-2
Camestras AEE-2
Festino EIO-2
Baroco AOO-2
Disamis IAI-3
Darapti AII-3
Bocardo OAO-3
Ferison EIO-3
Celemes AEE-4
Dimatis IAI-4
Fresison EIO-4

Tümel olumlu/Tümel Olumlu/∴ Tümel Olumlu

Koşullu geçerliliği olanlar,

İsim Modalite ve Sayı Koşul
Barbari AAI-1 S var olmalı
Celaront EAO-1 S var olmalı
Camestros AEO-2 S var olmalı
Cesaro EAO-2 S var olmalı
Datisi AAI-3 M var olmalı
Felapton EAO-3 M var olmalı
Calemos AEO-4 S var olmalı
Fesapo EAO-4 M var olmalı
Bamalip AAI-4 P var olmalı

Bu konuda ilk örnek, aşağıda görülmektedir.

Hiçbir kahraman korkak değildir.  (Bazı P ler M değildir)  (Tümel Olumsuz) (E)
Bazı askerler korkaktır. (Bazı S ler M değildir) (Tikel Olumlu) (I)
-------------------------------------
∴ Dolayısı ile bazı askerler kahraman değildir. (O)  (Bazı S ler P değildir) (Tikel Olumsuz) (O)

Bu örnekte, orta terim her iki öncülün de yüklemidir. Dolayısı ile modalite sayısı 2 olmaktadır. Önerme EIO-2 (Festino) olarak belirlenir. Yukarıdaki tablodan görüldüğü gibi bu bir koşulsuz geçerli yapıdır. Eğer S,M,P terimleri değiştirilirse , yapı aynı kaldığından sav sürekli geçerliğini koruyacaktır.

Hiçbir iyi müzisyen yeteneksiz değildir.  (Bazı P ler M değildir)  (Tümel Olumsuz) (E)
Bazı insanlar yeteneksizdir. (Bazı S ler M değildir) (Tikel Olumlu) (I)
-------------------------------------
∴ Dolayısı ile bazı insanlar müzisyen değildir. (O)  (Bazı S ler P değildir) (Tikel Olumsuz) (O)

Orta terim her iki öncülün yüklemidir. Dolayısı ile modalite sayısı 2 olmaktadır. Önerme EIO-2 (Festino) olarak belirlenir. Yapı aynı geçerli yapı olduğundan sav geçerlidir, fakat iki savın söylemleri, birbirlerinden farklıdır.

Demek ki bir savın geçerliğinin belirlenmesi için, yapısının berlirlenmesi yeterli olacaktır.

Diğer örnekler:

1 - Barbara (AAA-1)
Tüm insanlar ölümlüdür. (M— P) (Tümel Olumlu) (A)
Tüm Grekler insandır. (S — M) (Tümel Olumlu) (A)
----------------------------------------
∴ Tüm Grekler ölümlüdür. (S — P) (Tikel Olumlu) (A)

Orta terim (insanlar), majör öncülün öznesi (M) ve minör öncülün yüklemidir (M) dolayısı ile modalite sayısı 1 dir. Bu nedenle AAA-1 olarak değerlendirilir. Tabloda görüldüğ gibi bu 15 koşulsuz geçerli formdan biridir. Dolayısı ile bu sav geçerlidir.

2 - Aşağıdaki sav, Sokrates tarafından söylenmiştir:

Tüm insanlar ölümlüdür. (M — P) (Tümel Olumlu) (A)
Sokrates insandır. (S— M) (Tikel Olumlu) (I)
----------------------------------------
∴ Sokrates ölümlüdür. (S — P) (Tikel Olumlu) (I)

Orta terim (insanlar), majör öncülün öznesi (M) ve minör öncülün yüklemidir (M) dolayısı ile modalite sayısı 1 dir. Sav AII-1 (Darii) tipindedir. Darii, koşulsuz geçerli bir yapı olduğundan, Sokrates savı da geçerlidir.

3 - Celarent (EAE-1)

Hiçbir iyi yetişmiş insan terbiyesiz değildir. (Hiçbir M, P değildir.) (Tümel Olumsuz) (E)
Tüm kaliteli insanlar iyi yetişmiştir. (Tüm S ler M dir.)  (Tümel Olumlu)  (A)
------------------------------------------------------
∴ Hiçbir kaliteli insan terbiyesiz değildir. (Hiçbir S, P değildir) (Tümel Olumsuz)  (E)

Orta terim (iyi yetişmiş), majör öncülün öznesi (M) ve minör öncülün yüklemidir. Dolayısı ile modalite sayısı 1 dir. Bu nedenle EAE-1 olarak değerlendirilir. Bu formun adı Celarent dir ve tabloda görüldüğ gibi Celarent, koşulsuz geçerli 15 formdan biridir. Dolayısı ile bu sav geçerlidir.

Görüldüğü gibi, çok dikkatli mantıksal analiz ile, bir savın geçerliği, taksonomisinden belirlenebilir.

2.17.1.1.4 - Geçerlilik Ön Koşulları

Kategorik standart savların geçerli olmaları için, oluşturulmalarında dikkat edilecek ön koşullar aşağıda incelenmiştir.

1 . Dört Önermeden Kaçınılmalı

Standart kategorik sa iki öncül ve bir tek sonuçtan oluşur. Önerme sayısının artışı, oluşacak savı standart olmaktan çıkarır ve klasik yöntemlerle değerlendirilmesi yapılamaz. Bu nedenle, standart iki öncül + bir sonuç yapısından ayrılmamalıdır.

2 . Orta Terim En Az Bir Öncülde Dağıtık Olmalı

Önceden de incelemiş olduğumuz gibi, orta terimin dağıtıklığı, algılanması çok zor olan bir olgudur ve sav geçerli olmasını doğrudan etkiler. Örnek olarak bir tarihçi, aşağıdaki sav için saçma ve geçersiz değerlendirmesini yapmıştır:

Tüm Ruslar devrimcidir. (Tümel Olumlu) (A) P — M
Tüm anarşistler devrimcidir. (Tümel Olumlu) (A) S — M
-----------------------------------  --------------------------- ----------
∴ Tüm anarşistler Rustur. (Tümel Olumlu) (A) S — P

Bu önerme (AAA) tipindedir ve Orta terim, majör ve minör terimlerin yüklemi olduğundan (AAA-2) olarak nitelendirilir. (AAA-2) önermesi ise, ne koşullu, ne de koşulsuz olarak geçerli olan sav tipleri arasında değildir.
Geçerli olmamasının nedeni, orta terimin, hiçbir öncülde dağıtık olmamasıdır. Orta terim sonucun özne ile yüklemini birbirine bağlayan bağlaç durumundadır. Bu bağlaç, bağlama görevini tam olarak yapamazsa, savın sonucu yanlış olur.

İlk önerme olan,

“Tüm Ruslar devrimcidir.” önermesinde, Rusların tümü belirtildiğinden Ruslar dağıtıktır. Fakat, orta terim, “devrimci” dağıtık değildir, çünkü Rusların devrimcilerin tümünü okuşturduğu belirtilmemiştir. Gerçi yanlış olurdu ama, Rusların devrimcilerin tümünü kapsadığı, yani devrimciliğin tüm Ruslar boyunca dağıtık olduğunu belirtmek için, “Tüm Ruslar devrimcilerin tümünü oluşturururlar” denilmesi gerekirdi ve bu önerme yanlış olurdu. Bunun nedeni, A tipi bir önermenin karşıtı doğru değildir. Yani “Tüm devrimciler Rustur.” önermesi doğru değildir. Fakat bir A tipi önermede yüklem, tümleyicisi ile yer değiştirirse, “Tüm Ruslar devrimcilerin bir kısmını oluşturur.” önermesi elde edilir ve bunun karşıtı, “ Devrimcilerin bir kısmı Rustur” eşdeğer olarak “Bazı devrimciler Rustur.” önermesine ulaşılır. Bu önerme doğrudur, Rusların devrimcilerin tümünü oluşturmadığını ve devrimcilerin Ruslardan başka uluslardan da elemanları olduğunu belirtir. Bu bilgi ile, devrimciliğin salt Ruslar ile sınırlı kalmadığı görülmektdir. Yani, Ruslar devrimciler kategorisi üzerinde dağıtık değillerdir.

Benzer yolla, ikinci önerme de de Rusların, anarşistlerin tümünü kapsamadığı belirtilebilir. Böylece orta terim ikinci önerme de dağıtık değildir. ve bir savın geçerli olması için en az bir öncülde, orta terimin dağıtık olması kuralına uyulmadığı belirlenir. Bu sav, orta terimin en az bir öncülde dağıtık olması kuralına uyulmadığı için, geçersizdir.

Çok kez söylemiş olduğumuz gibi, orta terimin dağıtık olmaması, birçok sav yapısının geçersiz olmasına neden olmuştur. Buna rağmen, orta terimin dağıtık olmaması durumunun saptanması, özellikle deneyimi az olanlar için kolay değildir. Bu nedenle, bir savın geçerli olup olmadığının taksonomik özelliklerine (tablodaki bilgilere) dayanarak belirlenmesi daha güvenli olacaktır.

Buradan çıkarılacak ders, bir konu üzerinde yeterli bilgisi olmayanların, o konu üzerinde konuşmasının doğru olmadığıdır.

Bir başka ders de, eğer bir konu üzerinde çalışılıyorsa, o konu üzerinde konuşacak kadar bilgi sahibi olmaya çalışmanın gerekli olmasıdır. (Pseudo uzmanlık kabul edilemez).

Bu kural, aynı zamanda, iki tikelden bir sonuç çıkmayacağını da belirtir. Çünkü orta terim, en az bir öncülde dağıtık olmalıdır, oysa tikel önermelerde dağıtıklık olmaz.

3 . Sonuçta dağıtık olan her terim, öncüllerde de dağıtık olmalıdır.

Eğer, öncüllerde, bazı sınıf üyeleri üzerinde bilgi veriliyorsa, sonuçta ise aynı sınıfın tüm üyelerini kapsayacak bir iddia yapılıyorsa, o zaman hakkımız olmayan bir uzatma (ekstrapolasyon) yapıyoruz demektir. Bu hem yanlış, hem de haksızlık olur. Bu duruma “kuraldışı yöntem safsatası” (fallacy of illicit process) adı verilir.

Kuraldışılık hem majör hem de minör terimden kaynaklanabilir. Majör terimden kaynaklanan kuraldışı yönteme, “majör terim kuraldışılığı”, minör terimden kaynaklanan kuraldışılığa, “minör terim kuraldışılığı” adı verilir. Örnek olarak,

Tüm balinalar, memeli hayvanlardır. M — P  (Tümel Olumlu) (A)
Kediler balina değildir.  S — ¬M  (Tikel Olumsuz) (O)
-----------------------------------------------
∴ Kediler memeli hayvan değildir.  S — ¬P  (Tümel Olumsuz)  (E)

Sonucun yanlış olduğu ilk bakışta görülüyor. (AOE) tipi de geçerli bir sav sav tipi değildir. Geçersiz olmasının nedeni, az bilgi ile çok iddia da bulunmaktır. Majör tip (A) tipidir ve bu tipte, sadece özne dağıtık olup, yüklem dağıtık değildir. Yani tüm balinalar memeli hayvanlardır ama tüm memeli hayvanlar salt balinalardan oluşmaz. Yani, balina olmayan türlerin de memeli olmak hakkı vardır ve kediler de onlardan biridir. Bu durum”kuraldışı majör terim safsatası” durumuna girmekte ve savı geçersiz kılmaktadır.

4 . İki olumsuz öncülden bir sonuç çıkmaz

(E) veya (O) tipinde bir olumsuz önerme, bir sınıfın kısmen veya tüm olarak başka bir sınıfın dışında olduğunu belirtir. Belirli sınıflara ait olmamak verilen bilgilerdir fakat hangi sınıfa ait olduklarını belirten bir bilgi yoktur. Bu durumda sonuçta önerilen durum geçerli olmaz. Buna “dışlayıcı öncüller safsatası” (fallacy of exluded premisses) adı verilir.

5 . Öncüllerden biri olumsuz ise, sonuç da olumsuz olmalıdır.

Eğer sonuç olumlu ise, bu durumda S veya P sınıfının tümünün veya bir kısmının biribiri içinde oldukları belirtir. “Tüm kediler tüylüdür” gibi, önermeler böylece “içerleyen” (inclusif) önermelerdir. Böyle bir önerme ise, sadece bir sınıfı içerleyeni kendisi de ikinci sınıf tarafından içerlenen bir sınıfın içerlenmesi ile sağlanabilir. Böyle bir içerlenme de, sadece olumlu önermelerle yapılabilir. Bu şekilde, anvak iki olumlu öncül, olumlu bir sonucu verebilir. Aksi halde, “olumsuz öncülden olumlu önerme çıkarma safsatası” içinde düşülür. Bu da kolayca belirlenen bir safsata türüdür.

Hiçbir bilgin inek değildir. (Tümel Olumsuz) (E)
Bazı tembeller inektir. (Tikel Olumlu) (I)
-------------------------------
∴ Bazı tembeller bilgindir.  (Tikel Olumlu) (I)

Bu tam bir safsatadır. Orta terim bilginlerin inek olmadığını belirtiyor. Sonuç ise, inek olanın bilgin olabileceğini öneriyor. (EII) taksonomu geçerlilik tablolarında bulunmamaktadır. Sav, geçersizdir. Zaten, tembeller bilgin olamaz, bilgin olmak için çok çalışmak gerekir.

Sonuç olarak, eğer öncüllerden birisi olumsuz ise, olumlu sonuç önermek, yanılgının açıklanması gibi olur.

6 . Öncüllerden ikisi de tümel olursa, sonuç da tümel olmalıdır.

İki tümel öncül, sonuçta hiçbir yeni sınıf ithal etmeden sonuca varabilirler. Oysa ki tikel öncüller, sınıf ithal etme gereğindedir. Bu nedenle, sadece tümel öncüller yeni sınıf ithal etmeden sonuca varabildiklerinden, iki tümel öncülden ancak tümel bir sonuç çıkarılabilir. Örnek,

Tüm evcil kuşlar ev kuşları olabilirler.  (A) (Tümel Olumlu)
Hiçbir kartal evcil kuş değildir.  (E) (Tümel Olumsuz)
-------------------------------------------
∴ Bazı kartallar ev kuşları olamaz. (O) (Tikel Olumsuz)

Bu savın yapısı AEO-1 dir ve tablolarda geçerli olduğu belirtilen bir tip değildir. Zaten kartallarının tümünün evcil olmadığı belirtilmişken, sadece bir kısmının evcil olmadığının açıklanması akla yakın değildir. Sonuç önermesi, kartallar sınıfını sisteme dahil etme gareti içindedir ve geçersiz bir çabadır. Sonuçta, iki tümel öncülden, tikel bir sonuç çıkarma gayreti içinde olan önermenin sonucu “Yanlış (F)” dir. Buna “yeni sınıf ithal etme saçmalığı” adı verilir. Doğru sonuç, “Hiçbir kartal, ev kuşu olamaz.” önermesi olmalıydı.

7 . Bir kategorik sillogismin sonucu daima, zayıf olan öncüllere bağlıdır

Bu konuda yukarıdaki örnek bir fikir verebilir. Bu örnekte sonuç, zayıf olan öncüle bağlı olarak oluşmuştur.

8 - Öncüllerin kaplamları ne ise, sonucun kaplamı da o kadar olmalıdır.

2.17.1.2 - Hipotetik Savlar


Hipotetik (Varsayımsal) savlar, “Koşullu Savlar” olarak da adlandırılır. Hipotetik savlarda, öncüller gerçek değil varsayımsaldır. Hipotetik savlar, basit savlar sınıfı içinde incelenebilirler. Bunun nedeni, yapılarının basit ve kolay izlenebilir olmasıdır.

Hipotetik savlarda, öncüller her zaman doğru olmayabilir. Bunlar çoğunlukla kabul edilmiş doğal gerçeklerdir. Koşulun gerçekleşmiş olup olmadığı, gözlem yapılarak saptanır. Bu nedenle hipotetik savlar gözlem konusunda tümevarımsal (indüktif), akıl yürütme konusunda tümdengelimsel sayılabilir. Karl Popper’in, tümevarımsal savların da aslında tümdengelimsel yöntemleri kullandığı konusundaki düşünceleri, sağlam gerekçelere dayanmış olabilir.

Koşullu savlarda, savın geçerliliği yapılmış olan seçimin ve oluşturulan sonucun, koşulun belirttiği seçim olankalrı içinde olması gereklidir. Geçerli bir savda sonuç, öncüller tarafından tartışmasız bir şekilde desteklenmeli ve oluşturulan sonuç yapılmış seçimin ışığında, başka hiçbir olanağı düşündürtmeden zorlayıcı olmalı, sonuçtan başka hiçbir olasılık olmamalıdır.

İki tür hipotetik sav tanımlanmıştır. Bunlar, “Bitişik Koşullu” (Konjonktif) ve “Ayrık Koşullu” (Disjonktif) savlardır. Bunları ayrı ayrı inceleyeceğiz.

2.17.1.2.1 - Bitişik Koşullu Hipotetik Savlar

Bitişik koşullu (Konjonktif) hipotetik savlar, “ eğer ... ise, demek ki” yapısındadır. Burada bir tercih yoktur. Sadece, koşulun geçerliği ile düşüncenin yönlendilmesi sağlanır. Örnek,

Eğer Ahmet başarılı ise, ailesi bilinçlidir.  (Koşul)
Ahmet başarılıdır. (Gözlem)
-------------------------------------------
∴ Ahmedin ailesi bilinçlidir. (Sonuç)

Bu sav geçerlidir, çünkü seçim, koşul belirten öncülün, ortaya koyduğu “başarı” ve bilinçli olmak” arasında yapılmış, sonuç yapılan seçimle uyumlu olaracak şekilde oluşturulmuştur.

Bir başka örnek :

Eğer bakımı yapılmamış ise, araç arıza yapar.  (Koşul)
Aracın bakımı yapılmıştır.  (Gözlem)
-------------------------------------------
∴ Araç arıza yapmamıştır.  (Sonuç)

Bu sav da geçerlidir, çünkü seçim, ilk öncülün belirttiği, “bakım” ve “arıza” seçenekleri arasında yapılmış, yapılan seçim sonucu yönlendirmiştir.

2.17.1.2.2 - Ayrık Koşullu Hipotetik Savlar


Ayrık koşullu (Disjonktif) savlar, “ ya ... veya ...” yapısındadır.Burada kesin bir seçim yapılmalıdır. Sonucu, yapılmış seçim belirler. Örnek :

Haydutlar Hasan’ ya parasını vermesini, yoksa canını kaybedeceğini söylemişlerdir.  (Koşul)
Hasan parasını vermiştir.  (Seçim)
-------------------------------------------
∴ Hasan canını kurtarmıştır..  (Sonuç)

Bu sav geçerlidir, çünkü seçim dışlayıcı koşul belirten ilk öncülün belirttiği koşullar arasından yapılmıştır. Hasanın parayı vermesi ile, canının kurtulacağı doğrulanmıştır. Dışlayıcı bir koşullu önermede, yapılacak seçim iki olasılıktan birini doğru, diğerini yanlış hale getirmektedir. Sonuç daima doğrulanmış veya doğrulanmamış olasılıklardan birini belirtmelidir ve bu savda da aynen böyle olmuştur.

Bir başka örnek :

Ağa, “ya bunu muhtar olarak seçersiniz, ya da köyünüzü yakarım” demiştir.  (Koşul)
Söylediği kişi seçilmiştir.  (Gözlem)
-------------------------------------------
∴ Köy yakılmaktan kurtulmuştur.  (Sonuç)

Sonuç, yapılan seçimle uyumlu olduğu için, bu sav geçerlidir.

2.17.1.2.3 - İkilem (Dilemma)


İkilem, karşısındakini seçeneksiz bırakarak isteğini kabul ettirme gayreti içinde olanın oluşturduğu, zorlayıcı, bitirici bir savdır.

Çeşitli ikilem yapıları bulunmaktadır. Burada dünyada belki de en ünlü ikilemi II Mehmet’ten (Fatih) , babası II Murat’a yazdığı ve açık bir ikilemi içeren emirnameyi inceleyeceğiz.

Eğer ben padişah isem, emrediyorum ordunun başına geç.

Eğer sen padişah isen görevinin başına geç.

---------------------------------

∴ Her iki durumda da ordunun başına geçeceksin.

Görüldüğü gibi, ikilem, karşıdakine hiçbir seçenek bırakmayan bir zorlamadır.

Tanrı insanları ikelemlerle karşılaşmaktan korusun.

2.17.2 - Bileşik Savlar (Polisillogism)


2.17.2.1 - Zincirleme Sav


Bileşik bir sav, birbirinde ekli bağımsız savların alt alta yazılmaları ve bir alttakinin bir üstteki sonucu önerme olarak kabul etmesi ile gerçekleşir. Buna zincirleme sav da denilir. Her sav kendi içinde değerlendirilir ve değerlendirme sonucu, öncül olarak bir alttakine aktarılır. En son sonuç, en son son önermeden elde edilir ve tüm zincirin sonucu olarak kabul edilir. Örnek olarak,

Tüm kuşlar özgürdür.

Özgür olan mutludur.

-----------------------------

∴ Tüm kuşlar mutludur.

Tüm kuşlar mutludur.

Mutlu olan neşelidir.

--------------------------------

∴ Tüm kuşlar neşelidir.

Tüm kuşlar neşelidir.

Neşeli olan şarkı söyler.

-----------------------------

∴ Tüm kuşlar şarkı söyler.

Zincirleme savın sonucu en son sonuç olmaktadır. Uygun savların birbirine eklenmesi ile kuramsal olarak sonsuz uzunlukla zincirleme savlar oluşturulabilir.

2.17.2.2 - Sorit


Soritler, zincirleme savların kısaltılmış şekilleridir. Soritlerde her önermenin yüklemi, bir sonraki önermenin öznesi olmaktadır.

Sokrates bir insan ise bir memeli hayvandır.

Eğer bir memeli hayvan ise bir omurgalıdır.

Eğer bir omugalı ise, bir hayvandır.

Sokrates omurgalıdır.

--------------------------------------------

∴ Sokrates bir hayvandır.

Görüldüğü gibi, soritlerde, her savda olduğu gibi tek bir sonuç bulunmaktadır.

Bir başka sorit örneği,

Şakıyan kuşlar neşelidir.

Neşeli olan mutludur.

Mutlu olan mutluluk verir.

-----------------------------

∴ Şakıyan kuşlar mutluluk verir.

Sorit, zincirleme sav ile aynı yöntemi uygular, fakat daha kısa ve daha derli-topludur.

2.17.3 - Düzensiz Savlar

Bu konuda en önemli örnek olan Entimem’i inceleyeceğiz.

2.18.3.1 - Entimem


Entimem, “Eksik Sav” olarak da adlandırılır. Bir diğer ismi de Aristotles tarafından verilen “Retorik Sillogism” (Törensel Sav) sözcüğüdür. Bunun nedeni, törenlerde söylenen belirli savlerın, eksik sav özelliğini taşımasıdır.

Entimem örnekleri RationalWiki sayfasından alınmıştır.

“Noel Baba sana hediyeler verecek, çünkü sen iyi bir çöcuksun.”

Bu entimem, söylenmemiş fakat söylenmiş olduğu varsayılan öncülleri içeren bir kategorik sav olarak nitelendirilir.

Noel Baba iyi çocuklara hediyeler verir.

Sen de iyi çocuksun.

------------------------

∴ Noel Baba sana de hediyeler verecek.

Bir diğer örnek :

Savaşta insanlar ölür.

----------------------

∴ Savaş kötüdür.

Bu entimem, gizlenmiş öncülün de eklenmesi ile,

Ölüme neden olan herşey kötüdür.

Savaş ölüme neden olur.

----------------------

∴ Savaş kötüdür.

Görüldüğü gibi, Entimem aslında öncülleri saklanmış, düzensiz yapıda bir kategorik savdır.

Bu konuda en önemli örnek olarak, René Descartes’ın 1637 yılında yayınladığı, ünlü “Discours de la Méthode” (Yöntem üzerine Söyleşiler” kitabında çok konu ettiği “Cogito” (Düşünüyorum) savını inceleyeceğiz.

O tarihlerde çok etkin olan kilisenin, “Düşünmeden körü körüne inanış” baskısına karşı çıkan, “Şüpheci”(Agnostik) düşüncenin ilk oluşumcuları arasında olan Descartes , bu düşüncenin temeli olarak, “Cogito, ergo sum” (Düşünüyorum, demek ki varım) retorik savını ileri sürmüştür

Bu sav söylenmemiş öncülleri ile, Antoine Léonard Thomas, tarafından

Dubito (Şüpheleniyorum)

Ergo Cogito (Düşünüyorum)

------------------------------------

∴ Ergo Sum (Demek ki varım)

şeklinde, açıklanmıştır. Türkçeye,

Süpheleniyorum, süphelenen düşünür.

Düşünen var olur.

Ben de düşünüyorum

----------------------------------

∴ Ben de varım.

şeklinde bir sorit olarak geçmiştir.

Cogito, kısa sürede bir başkaldırışın sembolü haline gelmiş ve batı dünyasına, araştırmacılığı, bilimselliği, doğa kurallarının belirlenmesine çalışılmasını, akılcı (rasyonel) düşünceyi getiren bir uyanışın öncüsü olmuştur.

2.18 - Doğruluk, Geçerlilik, Tutarlılık


2.18.1 - Doğruluk

Doğruluk sadece önermelerin bir özelliğidir. Savlar için doğruluk söz konusu değildir. Bu konuda kesin bilgili olunmalı ve hiçbir yerde savlar için “Doğru (T)” betimlemesini kullanmamalıyız.

Daha önce açıklanmış olduğu gibi, önermelerin doğruluğu, önermenin içeriğine göre, ya ilgili bilim dalının açıklaması ile, ya özel bir tercih olarak, ya da mantıksal kuralların uygulanması ile belirlenir.

2.18.2 - Geçerlilik

Geçerlilik sadece savların bir özelliğidir ve savın söylemine değil sadece ve yanlız sadece savın yapısına (formuna) bağlıdır. Geçerli bir sav, öncüllerin sonucu yüzde yüz desteklediği bir savdır. Öncüllerin sonucu yüzde yüz desteklemesi, sav yapısının, öncüllerin mantıksal değerlerinin “Doğru (T) olması halinde, hiçbir şekilde, sonucun mantıksal değerinin “Yanlış (F)” olmasına olanak vermemesi ile sağlanabilir. Sadece geçerli yapılar sav olarak nitelendirilebilir. Sav tanımı, sadece geçerli olan yapılara (form) sav denilebileceğidir. Geçeriz yapılar "safsata" (fallacy) olarak adlandırılırlar.

Sav formları, aslında, savın sınıf yapısıdır. Sınıf yapısı belli olan bir savın, yapısındaki yer tutuculara değişik sözcükler atanması ile sonsuz sayıda, aynı yapıda, sav önekleri oluşturulabilir.

Asıl sorun, sav yapısının bulunmasıdır. Savlar, önermelerden oluşur. Önerme yapıları da mantıksal formüllerle açıklanır. Mantıksal formüllerle çalışabilme aşamasına gelmiş insanlar, önce önerme yapılarını, sonrasında da bu önermelerle yapılacak sav yapılarını belirleyebilirler.

Bu çalışmanın başından beri, birçok önermenin, gerek sıfır gerekse birinci düzey mantık formüllerinden yararlanarak gerçekleştirmiş bulunuyoruz. Bu mantıksal formüllerlerden yararlanarak, belirli savların strüktürünü (yapısını) (formunu) çıkarabiliriz.

Bir sav örneğini gözönüne alalım,

“Yağmur yağarsa, sokaklar ıslanır.”

“Yağmur yağıyor.”

------------------------------------------

∴ Sokaklar ıslanacaktır.

Birinci öncül, tek yönlü koşullu bir önermedir. Bir nicelik içermediğinden, 0-düzey mantık olan sembolik mantık formülasyonu ile sanallaştırılabilir.

“Eğer (yağmur yağdığı) doğrulanırsa, (sokakların ıslanacağı) da doğrulanır. ”

“(Yağmurun yağdığı) doğrulandı.”

------------------------------------------

∴ “(Sokaklar ıslanacaktır).”

Bu noktada, birkaç tane ilginç durumla karşı karşıyayız. İlk olarak, savın yapısı belli olmuştur. Yani öncüller ve sonuç artık değişmeyecektir ve görevimiz, oluşmuş bir yapının formunun bulunmasıdır. Şu an için zaten onu bulmak için çalışıyoruz. İkincisi, parantez içindeki sözcüklerin hiçbir önemi yoktur. Bu sözcüklerin değişmesi, savın yürüyüşünü (yapısını) (mekanizmasını) (formunu) (strüktürünü) değiştirmeyecektir.

Parantezler birer yer tutucudur. Bunların içi, her türlü sözcükle doldurulabilir, fakat savın yapısı aynı kalır.

“(#) ise, (@) dır.”

“(#) dir”.

----------------------

∴ “(@) dır.”

“(Şöyle) ise, (Böyle) dir.”

“(Şöyle) dir.”

----------------------

∴ “(Böyle) dir.”

“(Şekerli gıdaları çok tüketirsem) ise, (Kan şekerim yükselir).”

“(Şekerli gıdaları çok tüketmiş durumdayım”.

----------------------

∴ “(Kan şekerim yükselecek) tir.”

Buradan, yer tutuculara değişik değerler atayabiliyoruz. Savın söylemi değişiyor. Fakat, savın işleyiş şekli (yapısı) (mekanizması) (formu) değişmiyor. Yavaş yavaş savın formunu bulmaya yaklaşıyoruz.

Burada bir başka olgu, geçerli bir sav yapısında, öncüllerin mantıksal doğruluk değerleri, “Doğru (T)” oldukça, sonucun da yapısal değerinin yüzde yüz “Doğru (T)” olması gerektiğidir. Geçerli bir sav yapısında, öncüllerin doğruluğu sonucun doğuluğunu desteklemekte ve öncüllerin doğruluğunun sonucun da doğruluğunu zorunlu kılmasıdır. Bu durum, bu savın hiçbir örneğinin bir ters örnek yaratamayacağı (Doğru öncüllerle yanlış sonuç verecek hiçbir örnek yaratılamayacağı) dır ve bu da bir savın geçerli olmasının koşuludur. Yani burada henüz yapıyı bulamadık ama en azından yapının geçerli olduğunu bulabilmiş durumdayız. Savın yapısının bulunması için sıfır düzey mantık (Sembolik Mantık) bize yardımcı olacaktır.

Sembolik mantık (sıfır düzey mantık) da, tek yönlü, koşullu önerme, daha önce görmüş olduğumuz gibi,

p → q

olarak belirtilir. Burada p, “yeter koşul” , q ise “gerek koşul” olarak adlandırılır. Bir örnek,

“Set kapanırsa, dere taşar.”

Burada, p = setin kapanması, q = derenin taşmasıdır. Eğer set kapanırsa (setin kapanmamış olduğu doğrulanmışsa) ve dere taşmamışsa, (derenin taştığı yanlışsa) , o zaman koşullar birbirini desteklemiyor anlamı çıkar ve önerme yanlış olur. Eğer setin kapanması derenin taşması için yeterli, derenin taşmış olması da setin kapanmış olması için gerekli ise, önerme doğru olur. Eğer set açık ( kapalı olduğu yanlış) ve dere yine de taşmışsa (taşması doğru), o zaman gerçek olan gözönüne alınır. “Madem dere gerçekten taşıyor, o zaman önerme geçerlidir, gerek koşul oluşmuştur, yeter koşul oluşmamışsa, mutlaka bilmediğimiz bir başka yeter sonuç doğrulanmıştır” şeklinde düşünülür. Eğer hem yeterli koşul, hem de gerekli koşul, doğrulanmamışsa, yani set açık iken dere akıyorsa, set kapalı olunca (yeter koşul doğrulanınca) , derenin de taşacağı (gerek koşulun da doğrulanacağı) düşünülerek, önerme geçerli sayılır.

İlk önermeye, sembolik mantığın tek yönlü koşullu önermesi olan p → q önermesini uygulayalım.

p → q (p ise q dür.) (p doğruysa, q de doğrudur.)

p  (p dir.) (p doğrudur.)

------------ -------------- ---------------------------------------

∴ q  (demek ki q dür.)  (demek ki q de doğrudur.)

Sonuçta, bu savın yapısını saptayabilmiş durumdayız. Bu yapı sanal bir yapıdır. Gerçek olanlar bu yapının örnekleri olacaktır. Bu yapıda, p ve q birer yer tutucudur. Bu yer tutuculara istenen sözel içerikler atanarak böyle sanal yapıların gerçek dünya örnekleri oluşturulabilir. Geçerli yapıların tüm örnekleri de geçerli olur. Zaten geçerli bir yapıdan geçersiz bir örnek (ters örnek) yaratılması olanaksızdır.

Yukarıda belirlediğimiz bu sav yapısı, yüzyıllar önce, “Modus Ponens” (Yeter Koşulu Doğrulama) olarak adlandırılmıştır. Modus Ponens,

p → q  (Doğru ise)  Eğer bir taxonom memeli hayvan ise omurgası vardır. (Tümel)

p  (Doğru ise) Kediler memeli hayvandır. (Tikel)

----------------------- ----------------------------------------

∴ q (Demek ki q de mutlaka doğrudur) ∴ Kedilerin omurgaları vardır. (Tikel)

olarak uygulanır.

Modus Ponens’in yapısının geçerliliği nasıl anlaşılır. Çok basit. Önce ne ileri sürüldüğüne bakalım. İlk öncül de p → q (tek yönlü koşullu önerme) nin sonucunun “Doğru (T)” olduğunu ileri sürülmektedir. İkinci öncülde ise, yeter koşul p nin de doğruluğu ileri sürülmektedir. Sonuç önermesinin doğruluğunu, bu iki öncül önermesinin birleşiminin doğruluğu belirlemektedir. Modus Ponens’in yapısının geçerli olduğu, aynı tüm savlar gibi, iki öncülün mantıksal doğruluk değerlerinin “Doğru (T)” olması durumunda, sonucun da mantıksal doğruluk değerlerinin daima “Doğru (T)” olması belirleyecektir. Bir savın yapısının geçerli olması, öncüllerin birleşiminin sonuç ile oluşturulacağı bir tek yönlü koşullu önermenin hepdoğru (Tavtologi) olması ile olasıdır. Bu tek yönlü koşullu önermenin yeter koşulu, öncüllerin birleşimi, gerek koşulu da sonuç önermesidir. Modus Ponens’in geçerlilik koşulu,

“Eğer ((p → q ) ve p) doğru ise, q de doğrudur.”

önermesinin, p ve q nün tüm mantıksal değerlerinin kombinasyonu için bir tavtologi olmasıdır.

Sembolik Mantık formülasyonu ile, Modus Ponens’in mantıksal doğruluk değeri algoritması,

((p → q) ∧ p)) → q

olarak belirlenir.

Sembolik mantık konusunu tamamladığımızda, çok basit sembolik bileşik savlar( mantıksal formüller) dışında, Modus Ponens algoritması gibi karmaşık mantıksal formüllerin, bilgisayar olmadan hesaplatılmasının çok kolay olmayacağını göreceğiz. Ama bunu bilgisayarlarla kolayca yapma olanağımız var. Bilgisayar kullanımı ile doğruluk tablosu hesaplayan bir çok web sitesi ve Matematica ve SAGE başta olmak üzere çok sayıda matematik destek programı bulunmaktadır. Bunlardan birisini kullanalım, ve giriş satırına,

((p =>q) /\ p ) -> q

yazalım. Anında aşağıda görülen doğruluk tablosu oluşur.

Temelkitap2_100.gif

Doğruluk tablosundan görüldüğü gibi, hesaplama aracı, ara kademeleri atlamış ve doğrudan, p ve q yer tutucularına yerleştirilmiş değerlerin mantıksal doğruluk değerlerine göre, Modus Ponens’in doğruluk algoritmasının, p ve q değer tutucu (değişken) lerin, tüm mantıksal kombinasyonları için, mantıksal değerlerini vermiştir. Bu mantıksal değerler, formülde bulunan tüm mantıksal değişkenlerin kombinasyonları ile "Doğru (T)" sonucunu vermektedir.

Eğer formüldeki tüm mantıksal değişkenlerin, tüm mantıksal değer kombinasyonlarında, sonuç daima "Doğru (T)" olarak bulunuyorsa bu formül bir "HepDoğru", Almanca karşılığında, bu bir "Tavtologi" olarak adlandırılır. Tavtologinin tam karşıtı, "HepYanlış" veya "Çelişki" olarak adlandırılır. Çelişki durumunda, formüle girmiş olan tüm mantıksal değişkenlerin tüm kombinasyonlarında, sonuç daima "Yanlış (F)" çıkmalıdır.

Modus Ponens'in geçerliğinin araştırıldığı mantıksal çalışma, ilk önce Modos Ponens sav yapısının bir mantıksal formül olarak düzenlenmesi ile başlamıştır. Daha sonraki adım bu oluşturulan formülde bulunun tüm mantıksal değişkenlerin, tüm kombinasyonlarını içeren bir doğruluk tablosu hazırlanmış ve bu tabloda, her satırda öncüllerin mantıksal değerlerinin "Doğru (T)" durumunda, aynı satırdaki sonucun mantıksal değerinin de "Doğru (T)" olması kontrol edilmiştir. Yukarıdaki tablodan da görüldüğü gibi, Modus Ponens yapısında bu daima doğrulanabilmektedir. Modus Ponens yapısında, oluşturulan doğruluk tablosunun her satırında öncüllerin mantıksal değerleri "Doğru (T)"iken, sonucun da daima aynı şekilde "Doğru (T)" olduğu saptanmaktadır. Bu saptamalar,Modus Ponens sav yapısının geçerli olduğunu belirlemektedir. Daha da fazlası Modus Ponens yapısının doğruluk tablosu, Modus Ponens mantıksal formülasyonun bir Tavtologi olduğunun belirlenmesi, Modus Ponens sav yapısının geçerli bir sav yapısı olduğunu daha fazla incelemeye gerek bırakmayacak şekilde doğrulamaktadır.

Hepdoğru (Tavtologi) duvara toslamak gibidir. Ne yaparsanız yapın, yani p ve q gibi, formülasyona girmiş olan tüm mantıksal değişkenlerin permütasyon çiftlerinin mantıksal değerleri ne olursa olsun, sonucun mantıksal doğruluk değerinin "Doğru (T)" olmasını değiştiremezsiniz.

Ne var ki, yukarıdaki Modus Ponens algoritmasında, mantıksal değişkenler p ve q olarak iki iken, doğruluk tablosunda sadece p yer tutucusunun değerleri verilmiştir. Diğer mantıksal değişken olan q nün mantıksal değeri tabloda verilmemiştir. Ayrıca bir öncül algoritması olan p → q de tabloda verilmemiştir. Daha açıklayıcı bir doğruluk tablosu, tüm öncül sutunlarını içerecek bir doğruluk tablosu olacaktır.

Doğruluk tablolarını Mathematica’ da daha kontrollu olarak sağlayabiliriz. Mathematica da mantıksal doğruluk tablolarının hesaplanmasında kullanılacak fonksiyon, BooleanTable [ ] fonksiyonudur. Bu fonksiyonun uygulanması ile, istediğimiz tüm ara kademelerini içeren bir doğruluk tablosu hazırlayabiliriz.

BooleanTable [ ] fonksiyonunun kullanımı,

BooleanTable[ {hesaplanacak mantıksal doğruluk tablosunun sütun formülleri} , {Mantıksal yer tutucular (p , q , ...)}]

şeklindedir.

Mathematica’da, mantıksal semboller özeldir ve yazı sembollerinden farklıdır. Yazıda, p → q olarak belirtilen gereklilik ilişkisi, formül hesaplatılacak iken, Escape => Escape şeklinde girilerek, veya semboller listesi içinden ⇒ (implies) (gerektirme) sembolü seçilerek, veya Implies [p , q] fonksiyonunun uygulanması ile oluşturulabilir.

Yukarıdaki örnek savın yapısı için, sadece sonucu istersek,

Temelkitap2_101.png

True
True
True
True

şeklinde bir algoritma çözümü yeterli olabilir. Oluşturulacak mantıksal doğruluk tablosunda, ara kademelerin de görüntülenmesi istenirse, istenilen ara kademe sütununu belirterek

Temelkitap2_102.png

True True True True
True False False True
False True True True
False False True True

yazılarak istenilen mantıksal doğruluk tablosu oluşturulur. Oluşan mantıksal doğruluk tablosunun sütunları, giriş sırasındadır. Burada, p , q , p =>q ve ((p =>q) ∧ p ) -> q dür. Daha anlatımlı (expessif) bir tablo görüntülenmesi istenirse, elde edilen verilerden yararlanılarak, aşağıda görüldüğü gibi, daha açık bir Mathematica tablosu oluşturulabilir.

p q p→q ((p→q)∧p))→q
T T T T
T F F T
F T T T
F F T T

Genel olarak, Mathematicanın standart çıktısı ile yetinecek ve yukarıda görüldüğü gibi, ikinci açıklayıcı bir tablo yapmaya gerek duymayacağız.

Modus Ponens algoritmasının doğruluk değer talosunda, öncüllerin p → q ve p olduğu ve bunların mantıksal doğruluk değerleri “Doğru (T)” olduğunda, sonucun mantıksal doğruluk değerinin “Doğru (T)” olduğu görülmektedir. Tabloda yine hiçbir satırda, öncüllerin mantıksal doğruluk değerleri “Doğru (T)” olduğunda, sonucun mantıksal doğruluk değerinin “Yanlış (F)” olduğu görülmemektedir. Yani Modus Ponens sav yapısı, ters örneğe olanak vermemektedir. Bu iki koşul, savların geçerlilik kriteryumudur ve Modus Ponens sav yapısı bunu sağladığından, Modus Ponens sav yapısının, geçerli bir sav yapısı olduğuna karar verilir.

Bir mantıksal yapının geçerlilik araştırmasında, bu yapının mantıksal formülasyonun bir tavtologi çıkması her zaman tercih edilir, fakat buna her zaman erişilemez. Bir mantıksal yapının doğrulanabilmesi için aynı satırda tüm öncüllerin mantıksal doğruluk değerlerinin "Doğru (T)" iken sonucun da daima "Doğru (T)" olması yeterlidir.

Tüm savların yapıların mantıksal incelenmesinde, önemli olanların öncüllerin ve sonucun sütunları olduğu daima gözönüne alınmalıdır. Modus Ponens örneğinde, öncül sütunları, p → q ve p, sonuç sütunu ise, ((p → q) ∧ p) → q dür. Bu sütunların mantıksal doğruluk değerlerinin, p ve q yer tutucularının mantıksal doğruluk değerlerine bağlı oldukları için, her mantıksal doğruluk tablosuna, yer tutucu (değişken) ler olan p ve q değerlerinin mantıksal doğruluk değeri sütunlarının konulması aydınlatıcı olmaktadır.

Duvara toslamak gibi olan bir başka ilişki, hepyanlış (Contradiction , İngilizce, Fransızca) (Çelişki) ilişkisidir. Burada, hepdoğrunun tersi olarak, p ve q yer tutucularına yerleştirilmiş değerlerin mantıksal doğruluk değerleri ne olursa olsun (yani ister “Doğru (T) ister “Yanlış (F)” olsun, savın doğruluğu daima “Yanlış (F)” çıkar.

En son ilişki şekli (Sürdürülebilir) (Contingent) bir ilşkidir. Bu tip bir ilşkide, p ve q yer tutucularına yerleştirilmiş değerlerin mantıksal doğruluk değerlerinine göre, savın mantıksal doğruluk değerlerinin bazen “Doğru (T)” bazen “Yanlış (F)” olabileceği belirlenir. Sürdürülebilir ilişkiler, matematik kanıtlamaları için çok değerlerlidir. Duvara toslamak yoktur, bir önceki aşamanın sonuçları, bir sonraki aşamaya, onun da sonuçları, bir sonraki aşamaya beslenebilir. Bu şekilde uzun kanıtlamalar sürdürülebilir. Sürdürülebilir bir sav yapının geçerli olduğu, aynı satırda tüm öncüller,“Doğru (T)” olduğunda, sonucun “Yanlış (F)” olmaması ile açıklanır. Eğer aynı satırda öncüllerin tümünün mantıksal doğruluk değerlerinin “Doğru (T)” olduğu, sonucun ise, mantıksal doğruluk değerlerinin “Yanlış (F)” olduğu görülürse, o savın geçersiz olduğu kanısına varılır (ters örnek oluşumu).

Modus Ponens yapısının geçerli olduğunu, bilgisayar yardımı ile saptayabildik. Modus Ponens, sanal bir yapı planıdır (form). Gerçek dünya örnekleri, bu yapıdaki yer tutuculara, gerçek dünya değerleri atamakla oluşturulur. Geçerli olduğu belirlenen, Modus Ponens gibi tüm yapıları geçerli savlarda, yapısındaki, p ve q gibi yer tutucularına, gerçek dünya söylemleri atandığında, sonsuz sayıda gerçek dünya örnekleri yaratılabilir.

Burada yaptığımız gibi, önce bir sav oluşturup, yapısını bulmaya çalışmak, sonra bu yapının geçerliğini saptamak, uygun bir çalışma şekli değildir. Sav yapılarının saptanması her zaman kolay olmayabilir, buna gerek de yoktur. Literatürde, geçerli sav yapıları açıklanmıştır. Bu geçerli sav yapılarından birini almak ve bu yapıya uygun örnekler oluşturmak en güvenli çalışma şekli olabilir.

Örnek olarak, Modus Tollens, (Gerek koşulun değillenmesi) geçerli olduğu, yüzyıllar öncesinden saptanmış bir sav yapısıdır. Modus Tollens, “Gerek koşulun doğrulanmaması” (Denying the consequent) olarak tanınır. Modus Tollens yapısı,

p → q

¬q

-----------

∴ ¬p

şeklindedir. Bu yapının geçerli olması için, bu savın sanal sınıf yapısı olan ((p → q) ∧ ¬q) → ¬p önermesinin bir tavtologi olması gerekir.Aynı sitenin veya en doğrusu Mathematica'nın kullanımı ile Modus Tollens önermesinin doğruluk tablosu anında saptabilir. Modus Tollens önermesinin doğruluk tablosu aşağıda görülmektedir.

Temelkitap2_103.gif

Görüldüğü gibi Modus Tollens önermesinin mantıksal sonucu bir tavtologidir ve dolayısı ile, Modus Tollens yapısı geçerli bir sav yapısıdır.

Aynı çalışmayı Mathematica ile gerçekleştirelim, (Dikkat, mantıksal semboller !)

Temelkitap2_104.png

True True False True True
True False True False True
False True False True True
False False True True True

Mathematica'nın öntanımlı fonksiyonlarını kullanarak ve ara kademelerini biraz daha arttırarak Modus Tollens yapısının mantıksal sonucunu yeniden Mathematica'ya hesaplatalım :

scratch_3.png

True True False True False False True
True False True False False False True
False True False True False True True
False False True True True True True

Daha kolaylıkla anlaşılabilmesi için elde edilen sonucu bir tablo olarak yeniden düzenleyelim :

p q ¬q Implies[p,q] Implies[p,q]∧¬q ¬p Implies[Implies[p,q]∧¬q,¬p]
T T F T F F T
T F T F F F T
F T F T F T T
F F T T T T T

En son tablo, Modus Tollens yapısının doğruluk sonucunun, sembolik mantık bağlaçlarının standart doğruluk tabloları izlenerek kolayca doğrulanabilecek şekilde düzenlenmiştir.

Modus Tollens yapısının geçerliliğinin denetiminde, p ve q nünün tüm mantıksal değer kombinasyonlarında, Modus Tollens'in mantıksal formülü olan ((p→q)∧¬q))→¬q formülünün mantıksal doğruluk değeri ne olur? Sorusunun yanıtı aranır.

Modus Tollens algoritmasının doğruluk değer tablosunda, öncüllerin p → q ve ¬q olduğu ve bunların mantıksal doğruluk değerleri “Doğru (T)” olduğunda, sonucun mantıksal doğruluk değerinin “Doğru (T)” olduğu görülmektedir. Tabloda yine hiçbir satırda, öncüllerin mantıksal doğruluk değerleri “Doğru (T)” olduğunda, sonucun mantıksal doğruluk değerinin “Yanlış (F)” olduğu görülmemektedir. Yani ModusTollens sav yapısı, ters örneğe olanak vermemektedir. Bilindiği gibi, bu iki koşul, savların geçerlilik kriteryumudur ve Modus Tollens sav yapısı bunu sağladığından, Modus Tollens sav yapısının, geçerli bir sav yapısı olduğuna karar verilir.

El ile hesaplaması uzun zaman alabilecek, üstelik hatalı sonuç çıkarılması kuvvetle olası bir doğruluk tablosunun bu kadar kolay elde edilebilmesi, bilgisayarların olağanüstü yeteneklerinin bize açılmış olması nedeni iledir. Böyle kolay sonuç alabilme yeteneğinin kazanılmış olması, çalışmalarımızdan azımsanmayacak bir yarar kazanmış olduğumuzun göstergesi sayılabilir.

Modus Tollens sav yapısına uygun bir gerçek örnek yaratalım.

p → q (Doğru ise) (Olumlu)  Eğer bir taxonom memeli hayvan ise doğumla çoğalır. (Tümel Olumlu) (A)

¬q  (Doğru değil ise) (Olumsuz)  (Peygamber Devesi) doğumla çoğalmaz. (Tikel Olumsuz) (O)

----------------------- ----------------------------------------

∴ ¬p (Demek ki, p de doğru değildir.) (Olumsuz) ∴ (Peygamber Devesi) memeli hayvan değildir. (Tikel Olumsuz) (O)

Dikkat !

Eğer ikinci öncül, gerek koşulu (consequent) doğruluyorsa, sav kesin geçersizdir.

p → q  (Doğru ise)  (Olumlu)

q  (Doğru ise)  (Olumlu)

-----------------------

∴ ¬p (Demek ki, p de doğru değildir) (olumsuz)

İki olumlu öncülden, olumsuz bir sonuç çıkmaz, yani bu sav yapısının geçersiz olduğu ilk görüşte belirlenir. Doğruluk tablosu sonuçları aşağıda görülmektedir.

Temelkitap2_105.gif

Doğruluk tablosu bu sefer sürdürülebilir bir önerme sonucunu belirtiyor. Sonuçlar, iki doğru öncül için (p ve q “Doğru (T)”) , sav önermesinin sonucunun “Yanlış (F)” olacağını belirtiyor. Geçerli bir sav için, öncüllerin “Doğru (T)” olmaları, sonucun da “Doğru (T)” olmasını gerektirir. Oysa bu savın doğruluk tablosunda, aynı satırda, öncüller “Doğru (T)” iken sonuç “yanlış (F)” olmaktadır. Dolayısı ile, bu sav yapısı geçersizdir. Bu yapıya dayalı gerçek dünya örnekleri oluşturulamaz.

Aşağıda görüldüğü gibi, bu geçersiz yapıya dayalı her gerçek örnek, mantıksal doğuluk değeri “Yanlış (F)” olan bir sonuç önermesini ortaya çıkarır.

p → q  (Doğru ise) (T)  Eğer bir canlı memeli hayvan ise omurgası vardır. (T)

q  (Doğru ise) (T)  Yılanın omurgası vardır. (T)

----------------------- ----------------------------------------

∴ p (Demek ki p de mutlaka doğrudur) (T) ∴ Yılan memeli hayvandır.  (F)

Bu savın yapısı geçerli değildir. Çünkü, öncüllerin doğruluğu sonucun doğruluğunu desteklemez. Burada “memeli hayvan” özne, “omurgalı olmak” yüklem (Kategori) dir. Burada yüklem, özne üzerinde dağıtık değildir. Yani özne ve yüklem kümeleri eşit kümeler değildir. Özne, kategorinin özalt kümelerinden sadece biridir. Oysa, sav her omurgalının memeli hayvan olmasıdır ki bu yanlıştır. Bir tür, omurgalılar kümesinin bir elemanı olabilir ama bu onun aynı zamanda mutlaka memeli hayvan türürnün de bir elemanı olmasını gerektirmez. Pekala, başka bir özalt kümenin, mesala “sürüngenler” özalt kümesinin elemanı da olabilir, çünkü bazı sürüngenler de omurgalıdır. Örnekte de bu durumla karşılaşılmıştır. Bu nedenle, öncüller doğru iken, sonuç yanlış olmaktadır. Özetle, doğruluk tablosu sonuçları, savın yapısının (formunun) geçerli olmadığı sonucunu vermiştir. Bu yüzden de örneğimizde görülen ve bu yapının örneklerinden biri olan, yukarıdaki örneğin sonucu yanlış çıkmaktadır.

Burada bir savın formunun bulunması ve bulunan formun geçerliğinin saptanması için temel adımlar açıklanmıştır. Geçerli sav formları biraz sonra verilecek bilgilenme kuralları (Rules of Inference) listesinde açıklanmıştır. Önce literatürden geçerli bir sav formu bulunması ve bu yapılar üzerine örneklemeler yapılması, geçerliği garantili savların oluşturulması için en uygun yol olacaktır.

Temelkitap2_106.gif

2.18.3 - Tutarlılık

Bir savın eğer formu geçerli ise ve tüm öncülleri, mantıksal olarak “Doğru (T)” ise, bu sav “Tutarlı” (Sound) (Mantıklı) olarak nitelendirilir. Tutarlı savlar, geçerli savlara göre iki kez daha değerlidirler. Formu geçerli savlar “Mantık Doğrusu” olarak nitelendirilir. Mantık doğrusu niteliğindeki savlar ayrıca akla yakın iseler, “Bilgi Doğrusu” niteliğini kazanırlar.

Tutarlılık terimine dikkat etmek gerekir. Bazen "Akla yakın , Mantıklı" anlamına kullanılır.

Tutarlılık terimi, bazen de mantık sistemlerinin değerlendirilmesinde kullanılır. Eğer bir mantık dili (mantık sistemi), örnek olarak 0-düzey mantık dili olan "Sembolik Mantık" dilinin tutarlılığı tanımlanmaya çalışılırsa, "O mantık dilinde, hem bir konjektür (hipotez) hem de onun karşıtı kanıtlanabiliyorsa, o mantık dili "Tutarsız" olarak nitelendirilir. Karl Gödel, 0-düzey mantık dili (Sembolik Mantık) ve 1-düzey mantık dili (Yüklemler Mantığı) dillerini "Tutarlı" fakat "Yetersiz" yani, o dilde formüle edilen tüm hipotezlerin, aynı dil içinde kanıtlanarak teorem haline getirilemeyeceğini kanıtlamıştır.

Yani, "Tutarlı" teriminin ne amaçla kullanıldığına olağanüstü dikkat edelim.

2.19 - Mantık Doğrusu, Bilgi Doğrusu

Bu konu, sınırları oldukça belirsiz, dikkatle incelenmesi gereken bir konudur. Burada ancak, en anlaşılabilir örnekleri inceleyebileceğiz.

Herşeyden önce açıklığa kavuşturulması gereken olgu, ister sillogistik (tümdengelen) (bilgiden bilgiye) (dedüktif) olsun, ister (tümevarımsal) (deneyden bilgiye) (indüktif) olsun, her savın bir yapısı (formu) vardır ve bu yapı hem sillogistik, hem de deneysel gerçek dünya örnekleri ile gerçekleştirilebilir. Sorun, önermelerin doğruluk değerlerinin saptanmasından kaynaklanır.

Tümdengelimsel önermelerin, mantıksal doğruluk değerleri, kesinlikle belli ve ya “Doğru (T)”, ya da “Yanlış (F)” dir. Eğer “Doğru (T)” ise, kesin “Doğru (T)”, eğer “Yanlış (F)” ise kesin “Yanlış (F)” dir. Mantıksal doğruluk değerleri, kesinlikle belli olduğundan, tümdengelimsel önermeler, Doğru (T)” veya yanlış (F)” olarak, “Sağlam Önerme” (Muhkem Kaziyye) (Hükmü Verilmiş Önerme) olarak adlandırılırlar. Sağlam önermelerden oluşan savlar da, eğer geçerli iseler, mantık doğrusu niteliğini kazanırlar.

Sorun, tümevarımsal (deneye dayalı) önermelerin de sağlam önermeler olup olamayacaklarından kaynaklanır. Bu önermeye göre, bazen olası, bazen de değildir.

Örnek olarak, “Tüm insanlar ölümlüdür.” önermesi, gözleme (deneye) dayalı bir önermedir. Bu güne kadar bu önermeyi değersiz kılacak bir gerçek dünya ters örneğine rastlanmamıştır. Katı matematik görüşe göre bu bir konjektürdür ve kanıtlanmadığı için teorem (evrensel gerçek) değildir. Evrensel gerçek olmadığı için de sağlam bir önerme değildir. Bir görüşe göre ise, bu artık bir evrensel gerçektir. Kanıtlanması gerekli değildir ve gereğinde aksiyom olarak alınabilir. Aksiyom olduğu için de, sağlam bir önermedir. Günümüzde ikinci görüş daha yaygındır. Fakat her deneysel önermenin doğruluğu, bu kadar kesin olarak belirlenemez.

“Tüm kuğular beyazdır” önermesi, ilk bakışta yanlışı yok gibi görünür. Gerçekte ise, Avusturalyanın kuş uçmaz, kervan geçmez bir köşesinde siyah kuğuların varlığı saptanmıştır. Şimdi “Tüm kuğular beyazdır.” önermesi “Yanlış (F)” olur da ne kadar “Yanlış (F)” olur? Yüzde yüz doğru olmayan, yüzde yüz yanlış olur. Siyah kuğunun bulunması, “Tüm kuğular beyazdır.” önermesi için bir ters örnektir ve ters örneğin kanıtlanması, önermeyi değersiz hale getirir.

Sorunun en büyüğü, tümevarımsal önermelerde, yüzde yüz doğruluğun araştırılıp belirlenmesinin olanaksız olduğu durumlarda ortaya çıkar.
Bir tümevaraımsal önermenin doğruluğu veya yanlışlığı kesin olarak saptamazsa, sağlam olup olmadığına bakılır.

Alkid, belirli başlangıç maddelerin belirli koşullarda reaksiyonu ile oluşan bir boya ham maddesidir. Belirli koşullarda yürütülen reaksiyon sonunda aynı alkid bileşimi elde edilir. Her alkidin viskozite özelliği bellidir. Belirli bir alkide “Alkid 222” adı verilirse, ve viskozitesi saptansa, “Alkid 222 nin viskozitesi 20 dir” önermesi ileri sürülse, bu artık bir evrensel gerçektir ve önerme sağlamdır. Deney şartlarının aynılığı sağlanırsa, dünyanın her yerinde aynı viskozite değeri elde edilir. Önerme deterministik açıdan kesinlikle sağlamdır. Ama kendi varlığına bile şüpheli gözle bakan aşırı agnostik görüşler bu önermenin sağlamlığını tartışabilir.

Görüldüğü gibi, tümdengelimsel kaynaklı önermelerin sağlamlığı tartışmasızdır. Tümdengelimsel önermeler için sağlamlık nosyonu söz konusu değilidir. Tümdengelimsel önermeler, ya “Doğru (T)” ya da “Yanlış (F)” dir. Tümevarımsal tipte önermelerin ise, yüde yüz doğruluğu veya yanlışlığı çok az durumda saptanabilir. Tümevarımsal önermeler, genel olarak kriteri pek de belli olmayan ve insandan insana değişebilen bir sağlamlık nosyonu ile değerlendirilebilirler.

Sağlamlık denysel sonuçların açıklandığı önermelerin, tutarlılık savların özelliğidir, birbirine karıştırılmaması gerekir.

2.19.1 - Mantık Doğrusu

Yapısı geçerli her sav, bir mantık doğrusudur. Örnek,

“0.7 uçlu kalem ince yazar.”

“Benim kalemimin ucu 0.7 dir.”

---------------------------------------

∴ “Benim kalemim ince yazar”

Bu önermenin yapı adayı,

p → q

p

---------------------------------------

∴ q

Eğer önermelerin mantıksal doğruluk değerleri doğrulanabilirse, Modus Ponens olacaktır. Fakat bu önermeler sağlam değildir. 0.7 uçlu kalemin ince yazacağı nereden bellidir? Nitekim, 0.7 uç, 0.5 uçtan kalın yazar. Ayrıca, badana fırçası ile graffiti yapılır ve “ ince yazılmış” denilebilir. Üstelik, bu doğru da olabilir, çünkü daha kalın bir fırça ile yazılandan daha incedir. Yani ne “Yanlış (F)” ne de “Doğru (T)” diyemiyoruz. Çünkü incelik-kalınlığı ayırdedilmesi sağlayabilecek bir skala verilmemiştir. Skala İtalyanca ölçüt anlamına gelir. Milano kentintindeki “La Scala” operası, “Her operanın değeri benim ile ölçülmelidir” anlamına adlandırılmıştır. Türk soprano, rahmetli Leyla Gencer, Bu operanın kadrolu sanatçısı olarak, Türkiye’ye büyük şeref kazandırmıştır. Kesin bir değerlendirme sağlanabilmesi için bir incelik-kalınlık skalası tanımlayalım. İnceliğin ölçütü 0.5 mm olsun ve 0.5 mm den yukarı uçlar kalın sayılsın, o zaman birinci önermenin doğruluğu veya yanlışlığı belirlenmiş olur.

Savın yapısı, bu durumda, Modus Ponens yapısında değildir. Savın yapısı,

p → ~q

p

-----------------

∴ ¬q

olarak belirlenir. Bu yapının geçerliliği, savın yapısının doğruluk tablosunun incelenmesi ile belirlenir.

Temelkitap2_107.gif

doğruluk tablosu bir tavtologi olduğundan, sav yapısı (formu) geçerlidir.

Sonucu matematica ile doğrulayalım,

Temelkitap2_108.png

True
True
True
True

Bu yapının bir gerçek dünya örneği,

“0.7 mm uçlu kalem ince yazmaz.”

“Benim kalemim 0.7 uçludur.”

----------------------------------------

∴ “Benim kalemim ince yazmaz.”

Tanımlanmış olan incelik-kalınlık kriteryumundan yararlanılarak, öncüller ve sonucun doğruluğu belirlenebilir. Bu önermede yapı geçerli, öncüllerin mantıksal doğruluk değerleri “Doğru (T)” (Dolayısı ile sonucunki de öyle, çünkü savın yapısı geçerli), o zaman bu hem geçerli hem de tutarlı bir savdır ve hem bir mantık, hem de bir bilgi doğrusudur. (Bu savın tutarlılığını belirleyen incelik-kalınlık kriteryumu, konvansiyonel değil, özel bir tanımdır. Bu nedenle, bu savın değerlendirilmesi sırasında bilgi olarak verilmesi zorunludur. Çünkü, önermelerin mantıksal doğruluk değerleri, bu özel kritere göre belirlenmektedir ve kullanıcıların değerlendirmenin neye göre yapıldığını bilmeleri gerekir).

Bir başka örnek,

“Tüm polonyalılar Rusya karşıtıdır.”

“Alissia polonyalıdır.

∴ "Alissia Rusya karşıtıdır.”

Bu savın yapısı bir Modus Ponens adayıdır. Eğer ilk önerme doğrulanabilirse, yapısı geçerli ve bir mantık doğrusu olabilecektir. Fakat, ilk öncülü sağlam değildir, çünkü Rusya karşıtı olmak, tüm polonyalılar üzerinde dağıtık olmayacağının olasığı kuvvetlidir. En azından böyle bir kanıt yoktur. Bir tane ters örnek bile, bu önermeyi boşa çıkarmaya yeterlidir. Ama bu önermeye “Yanlış (F)” veya “Doğru (T)” diyemiyoruz. Çünkü elde kanıt yok. Sağlam olup olmadığını da bilemiyoruz. Çünkü ancak önermenin büyük çoğunlukla desteklendiğini bilebilirsek bunu sağlam olarak nitelendirebiliriz. Ayrıca Polonyada azımsanmayacak bir Tatar azınlık var, Türkçe konuşuyorlar, Rusya da akrabaları var, yani bir toplam Rusya karşıtlığı söz konusu olamaz. Özetle kesin bir değerlendirme yapamıyoruz ve bu yüzden, bu sav bir ne bir mantık ne de bir bilgi doğrusu oluşturamaz.

2.19.2 - Bilgi Doğrusu

Önermeleri sağlam olan mantık doğruları, aynı zamanda bilgi doğrularını oluştururlar.

“Aktif fay çizgisi üzerindeki bir yer, deprem riski altındadır.”

“Sakarya aktif fay çizgisi üzerindedir”

--------------------------------------------

∴ “Sakarya deprem riski altındadır.”

Bir Modus Ponens yapısında olan, dolayısı ile, yapısı geçerli olan ve sağlam önermelerden oluşan bu sav, hem bir mantık, hem de bir bilgi doğrusudur.

Dikkat edilirse, bilgi doğrusu olmak için, bir savdan sadece geçerli bir yapı ve sağlam öncüller aranıyor. Bilgi doğruları, tümdengelen savlardan oluştuğu gibi, sağlam öncüllerden oluşan, geçerli yapıya sahip tümevarımsal savlardan da oluşabilmektedir.

2.20 - Bilgilenme Kuralları

Sillogism bilimi, tümdengelimsel akıl yürütmenin en önemli yöntemi olduğu belirtilmişti. Sillogisme dayalı bilgilenme (inference) kuralları, doğru yapıda olan ve bilgilenme için yararlanılabilecek sav yapılarfını açıklar. Bu kurallar, aşağıda görüldüğü gibi, Wikipedia’da listelenmiştir.

Temelkitap2_109.gif

Örnek olarak, Toplama (Adisyon) kuralını inceleyelim. Bu kural,

p → (p ∨ q)

olarak belirtiliyor. Geçerlik kontrolü,

Temelkitap2_110.png

True True True
True False True
False True True
False False True

olarak yapılır ve değişkenlerin her mantıksal değer kombinasyonları sonunda, sav yapısı formülünün bir tavtologi (hepdoğru) verdiğinden, sav yapısının geçerli olduğu belirlenir. Bu yapının bir gerçek dünya örneği,

p = “Çok çalışıyor”

q = “Geride çok iş bırakmış”

olsun, sonuç önermesi,

“Çok çalışıyor veya geride çok iş bırakmış”

olarak örneklenebilir. Bu kuralın kesin bir bilgilenme için fazla bir işe yaramayacağını, çünkü sezgilenebilen (intuitif) (akla yakın) olan veya olmayan her q nün, p ye eklenebileceği görülebilir.

Birleşme kuralını inceleyelim, bu kural,

p

q

Temelkitap2_111.png

∴ p ∧ q

olarak belirtilir. Sözel olarak,

Temelkitap2_112.png

“Eğer q de doğruysa”,

-------------

“(demek ki) p ve q de doğrudur”. Bu önermenin gerçerli olduğu ilk bakışta anlaşılır çünkü, eğer bileşenlerden her ikisi de doğruysa, birleşimin de mantıksal doğruluk değeri “Doğru (T)” olmaktadır. Bu bir sembolik mantık kuralıdır. Yine de Mathematica ile kontrol edelim,

Temelkitap2_113.png

True True True
True False True
False True True
False False True

sonuç tavtoloji ve sav yapısı geçerli.

Tek tek önermelerin mantıksal doğuluk değerlerinin saptanması, mantıksal sonuç durumu dışındaki önermeler için, mantığın işi değildir. Bu yüzden, önermenin doğruluğunu saptayabilme yetkisi olan bir kaynaktan doğrulanmış olan önermelerden oluşan bir gerçek dünya örneği,

“Ahmet çalışkan bir öğrecidir.”

Ahmet düzenli bir öğrencidir

-------------------------------

(Demek ki) Ahmet çalışkan ve düzenli bir öğrencidir”

Bu örnekte öncüllerin doğruluğunu, sınıf öğretmeninin tanıklığından anlamış olduğumuz varsayılsın, bu öncüllerin sağlam olduklarını açıklar. Geçerli yapıda bir savda, öncüllerin mantıksal doğruluk değerlerinin “Doğru (T)” olması durumunda, sonucun doğrulanması kaçınılmaz olmaktadır. Bu nedenle, birleşmenin kesin bir bilgilenme sağladığı, bu bilginin yeni ve kesin bir bilgi olacağı kuşkusuzdur.

Hipotetik Sillogismi (Koşullu Savı) inceleyelim,

p → q

q → r

-----------

∴ p → r

Sözel olarak,

"Eğer p doğruysa, q de doğrudur.”

"Eğer q doğruysa r de doğrudur.”

---------------------------------------------

(Demek ki) p doğruysa, r de doğrudur.

Bu savın geçerliği, sezgisel olarak doğrulanabilir. Ama yine, doğruluk tablosu yöntemi ile kontrol edelim.

Temelkitap2_114.png

True True True True True True
True True False True False True
True False True False True True
True False False False True True
False True True True True True
False True False True False True
False False True True True True
False False False True True True

Doğruluk tablosu, savın geçerli yapıda olduğunu belirlemektedir. (Öncüllerin birleşimin doğruluğu, sonucun doğruluğunu gerektiriyor). Bir gerçek dünya örneği üzerinde bilgilenme sağlayalım,

"Eğer büyük deprem olursa, işe gitme gereği kalmaz.

"Eğer işe gitme gereği kalmazsa, takım elbise giyme gereği kalmaz.”

---------------------------------------------------------------------------------------

“(Demek ki), büyük deprem olursa, takım elbise giyme zorunluğu olmaz.”

savın kesin ve yeni bir bilgi ile bilgilenme sağladığı görülmüş olur.

Bu tabloda görülmeyen Yapıcı Açmaz, (Constructive Dilemma) sav yapısını inceleyelim,

(p → q) ∧ ( r → s)

p ∨ r

-----------------------------

∴ q ∨ s

Bu savın yapısının geçerliği olduğu açıklanmıştır. Ama yine de Mathematica ile kontrol edelim.

Temelkitap2_115.png

True True True True True
True True True False True
True True False True True
True True False False True
True False True True True
True False True False True
True False False True True
True False False False True
False True True True True
False True True False True
False True False True True
False True False False True
False False True True True
False False True False True
False False False True True
False False False False True

Sonuç tavtologi ve yapı geçerli. Bir yapıcı açmaz örneği, (El ile çözümü denemeyin!!!)

Eğer hava açık ise spora, kapalı ise sinemaya gideceğim. (p → q) ∧ ( r → s)
Hava ya açık ya da kapalı olabilir. p ∨ r

------------------------------------------------------------------------------------------

∴ Ya spora . veya sinemaya gideceğim  ∴  q ∨ s  (Başka çıkış yok !)

Yine tabloda bulunmayan Yıkıcı Açmaz (Desructive Dilemma) sav yapısı,

(p → q) ∧ (r → s)

¬q ∨ ¬s

-----------------------

Temelkitap2_116.png

Temelkitap2_117.png

True True True True True
True True True False True
True True False True True
True True False False True
True False True True True
True False True False True
True False False True True
True False False False True
False True True True True
False True True False True
False True False True True
False True False False True
False False True True True
False False True False True
False False False True True
False False False False True

Yapı geçerli. Bir yıkıcı açmaz örneği,

"Eğer hava kötü olursa tarlaya gitmeyeceğim.” (p → q)
“Eğer hava sıcak olursa, verandada dinlenmeyeceğim.” (r → s)
“Ya tarlaya gitmeyeceğim veya verandada dinleneceğim.”  ¬q ∨ ¬s
--------------------------------------------------------------  -----------------
“∴ Hava ne kötü ne de sıcak olmayacak” ∴ ¬p ∨ ¬ r

sonuç her açmazda olduğu gibi başka çıkış yolu bırakmıyor.

2.21 - Safsatalar

Safsata (Fallacy) geçersiz bir savı geçerli gibi sunup, akıl karışıklığından maddi çıkar sağlamaya çalışmaktır. Savlar en büyük safsata kaynağıdır. Aristoteles bile 13 tip safsata saptamış ve bunları (Sofistik Karşı Gelmeler) (Sophistical Refutations) kitabında açıklamıştır. Safsata yapmak sahtekarlıktır ve dünyanın en şerefsiz olayıdır. Safsataların formal (Sillogism olarak yapısı olarak formüle edilmiş) ve informal olarak çok sayıda olabilecekleri belirtilmiştir. Burada sadece çok kısıtlı sayıda formal safsata türlerini tanıtabileceğiz. Daha fazlası için literatürden araştılıp incelenebilir.

Matematik, daima tutarlı (yapılanması doğru, önermeleri doğru, önermelerin doğruluğunun sonucun doğruluğunu sağladığı) savlardan yararlanır. Buna rağmen, safsatalar üzerinde bilgili olmak, çoğu zaman bizleri yanılgılardan koruyabilir. Mantık filosofları, hataların sonsuz olduğunu ve hataları sınıflandırma olanağı olmadığını ileri sürerler. Yine de, hatalı savların sınıflandırılması yapılmaya çalışılmıştır. Yapısı uygun olup sonucu gerçeklere uygun olmayan her sav, “safsata” (fallacy), “yanılgı”, ”mantıksızlık” , “sofizm” olarak adlandırılır. Sofizm olrak adlandırılması, “bilgisever” olarak tanılanabilecek sofizm sözcüğünün, sofistlerin, paraya, lükse, sosyal statü’ye düşükünlükleri yanında, uzun uzun hiçbir yere götürmeyen karşılıklı konuşmaları nedeni ile bilgelikten uzaklaşmaları ve“safsatacı” olarak nitelendirilmeleridir. Hatalı savlar, tamel olarak iki türdür. Bunlar,

2.22.1 - Dört Terim Safsatası (Eş Söylem Safsatası) (Quaternio Terminorum)

Bilindiği gibi, normal kategorik savlarda sadece üç terim olabilir. Bunlar, “Özne”, “Orta terim” ve “Yüklem” terimlerdir. Üç terim ile kısıtlı olmasının nedeni, ancak üç tane terimle, terimler arasında doğrudan bir ilişki kurulabilmesidir. “Eğer S ile M arasında bir ilişki varsa” ve “M ile P arasında bir ilişki varsa”, “büyük bir olasılıkla S ve P arasında da bir ilişki vardır”.

Temelkitap2_118.gif

Üç tane terim ile bu düşünce geçerli olabilir. Fakat dört tane terim arasında böyle bir ilişki sağlanamaz. Bu yüzden geçerli sillogism terimleri 3 ile sınırlandırılmıştır.

Yine de, insanları kandırmak için dört terimli savlar oluşturulabilir. Bu savların en kötü tarafı, tanınmasını zorlaştıracak sözel olarak aynı, fakat anlam olarak farklı iki orta terim kullanılmasıdır. Orta eterimlerin sözel olarak aynı olmasından dolayı bu tür safsataya “Eş Söylem Safsatası” adı verilmektedir. Aşağıdaki örnek, Wikipedia’dan alınmıştır :

Temelkitap2_119.gif

Bu sav da görüldğü gibi 4 tane terim bulunmaktadır. Bunlar 1, 2,..,4 e kadar numaralandırılmıştır. Sonuç anlamsız, sav 4 terimli olduğundan geçerli değildir.

Sorun 4 terim olduğunun saptanabilmesidir. Burada Hiçbir şey, söylemi aynı (Equivocal) (Equi = eşit, Voce -okunuşu vooçe- = ses , Latince) (Latince okunuşu : Ekuivokal) (Ekivokal = Eş Söylemli ,Türkçe) ola

masına karşın, anlamları farklı olarak kullanılmıştır. (Hiçbir şey = Sonsuz mutluluktan daha iyi bir şey) , (Hiçbir şey = hiçlik, salamlı sandviçin bile olmaması).

Böylece, farklı anlamı olan terimlerin, söylemlerinin aynı olması yanıltıcılığından yararlanılarak, gerçek bir sav gibi sunulmasına “Eş Söylemli Safsata” adı verilir.

Eş Söylemli Safsatanın en büyük yanıltıcığı, iki orta terimin, aynı sözcüklerden oluştukları için, kolayca gözden kaçabilmeleridir.

Bu nedenle, savları incelerken son derece dikkatli olunmalı ve neyin, neyi ileri sürdüğü iyice belirlenmelidir.

2.22.2 - Dağıtık Olmayan Orta Terim Safsatası

Aşağıdaki, sav İtalya’da esef verici olarak her seçim kampanyasında, özel ortamlarda tekrarlanmaktadır.

Kürtaja taraftar olanlar imansızdir.

Benim partim kürtaja taraftar değildir.

-------------------------------------------

∴ Benim partimden başka partilerin üyeleri imansızdır.

Bu sav her iki öncülde birden, orta terim dağıtık olmadığından geçersizdir ve çirkin bir yanıltıcı safsatadır. Dinlerin amacı, iyi ahlak ve doğru sözdür. Bu söylemde hem kötü niyet, hem de kötülemekten çıkar sağlama amacı bulunmaktadır.

Aslında, hiçbir kürtaj taraftarı bunu dine saygısızlıktan yapmaz. Ama, küçük de olsa böyle bir grup olsa bile, hiçbir zaman tüm kürtaj taraftarlarının tümünü kapsamaz. Bazıları, dünyaya gelmemiş ceninin insan olarak oluşmadığını ve annenin daha fazla hakkı olduğuna inanır. Belki başka düşünce grupları da vardır, ama kesin olan tek şey, kürtaja karşı olmanın, yüzde yüz imansız olma anlamına gelmediğidir. Yani, imansızlık, kürtaja taraftar olanların üzerinde dağıtık değildir.

İkinci öncülde de de, orta terim dağıtık değildir, en azından böyle bir ileri sürmenin dayanağı yoktur. Belirtilen partinin kürtaja karşı olduğu doğrulanabilir. Ama kürtaja karşı olan başka partiler de olmadığı üzerinde hiç bir somut kanıt belirtilmemiştir. Yani var da denilemez, yok da denilemez. Mantıkta daima en kötü olasılık dikkate alınır ve bu nedenle, ikinci öncülde de orta terimin dağıtık olmadığına karar verilir.

Bir savda, öncüllerden ikisinde birden orta terim dağıtık değilse, o sav geçersizidir ve “Dağıtık Olmayan Orta Terim Safsatası” oluşturur

Dağıtık olmayan orta terim safsatasının yükü ağırdır. Bu safsatya başvuran kadar, bu safsataya inanan da ağır suçlu olur. Özellikle oy verirken insanlar son derece dikkatli olmalı ve doğruyla yanlışı birbirinden ayırmayı bilmelidir. Bu gibi ahlaksız safsatalar yüzünden çok suçsuz kişi zan altında kalmış, çok siyasi parti hiç suçu olmadığı halde, haksız olarak oy kaybına uğramıştır.

Not: Öncüllerden sadece birinde orta terim dağıtık olmazsa, yine de sav geçerli olabilir. Ama, her iki öncülde birden orta terim dağıtık değilse, sav kesin geçersizdir. Çünkü, bu tür savlarda, öncüller sonucu desteklemez.

2.21.3 - İki Olumsuz Öncül Safsatası

İki olumsuz öncülden bir sonuç çıkmaz. Bunun nedeni, olumsuz önermelerin sadece olumsuzluğu belirmeleri, fakat olumlu durumnun ne olabileceğini hiçbir zaman bildirmemeleridir.

İki öncül örneğini inceleyelim,

“Sabiha Gökçen Havaalanına metro yoktur.”

“Sabiha Gökçen Havaalanına otobüs yoktur.”

Sonucu bağlamakta zorluk çekeriz. O yok, bu yok, ne var? Bu konuda hiçbir bilgi yok. Bu sav neyi savunuyor? Hiçbir şeyi, yani bu iki öncülün sonucu olarak, “Sabiha Gökçen Havaalanı çöldedir” denilse, onun bile öncüllerde bir dayanağı yok. Bu yüzden, iki olumsuz öncülden hiçbir sonuç çıkmaz. Bu bir safsatadır.

2.21.4 - Olumsuz Bir Öncülden Olumlu Sonuç Çıkarılması

Bu konuda bir örnek

“Bazı çalışanlar, x partisine oy vermez.”

“Tüm çalışanlar, tatil severler.”

-----------------------------------------------

∴ Bazı tatil severler, y partisine oy verir. (Tatil severler, tüm çalışanlar üzerinde dağıtık değildir. Sadece tatil severlerin bir kısmı çalışanlardandır).

Kimse y partisinden bahsetmiş değildir. Tek söylenmiş olan şey, “x partisine oy vermemiş olmak” tır. Bu bir olumsuz önermedir, bundan olumlu bir sonuç çıkarılamaz. Bu önermenin yapısı,

Temelkitap2_120.png (x ∈ S) → ¬Temelkitap2_121.png (x ∈ P)

Temelkitap2_122.png ((x ∈ S) → Temelkitap2_123.png (x ∈ R)

------------------------------------

Temelkitap2_124.png ((x ∈ R) → Temelkitap2_125.png (x ∈ T)

şeklindedir. Bu bir geçersiz yapıdır çünkü, öncüllerin sadece birisi (ikinci öncül) sonucu desteklemektedir. Birinci öncülün yüklemi ile sonucun yüklemi farklı sınıftandırlar (¬Temelkitap2_126.png (x ∈ P) != Temelkitap2_127.png (x ∈ T)). Geçerli olabilecek sav yapısı, tüm öncüllerin sonucu destekledileri,

Temelkitap2_128.png (x ∈ S) → ¬Temelkitap2_129.png (x ∈ P)

Temelkitap2_130.png ((x ∈ S) → Temelkitap2_131.png (x ∈ R)

------------------------------------

Temelkitap2_132.png ((x ∈ R) → ¬Temelkitap2_133.png (x ∈ P)

“Bazı tatil severler, x partisine oy vermez.”

olmalıdır.

Tikel yapıların geçerliliğini, bilgisayar ile saptamak olanağı normalde yoktur. Aristoteles’in sadece tümel önermelerle çalışmış olmasının bir anlamı olduğu görülüyor. Şu andaki bilgilerimizle, tikel yapıların geçerliliğini, ancak inceleyip akıl yürütmekle saptamaya çalışabiliyoruz.

2.21.5 - Bilgisizlik (Argumentum Ad Ignorantum)

Bilgisizlikten kaynaklanan, safsatalar, bunlar çok yanıltıcı sonuçlara neden olabilirler. Örnek olarak, en tanınmış tümevarım (indüksiyon) safsatası olarak adlandırılır.
◼ Gözlemlediğimiz kuğular beyazdır.
-------
◼ /∴ Tüm kuğular beyazdır.
Buradaki safsata, dünyanın her yerindeki kuğuların rengini bilmeden, dar bir bölgede yapılan gözlemin tüm dünyada geçerli olduğunun ileri sürülmesidir. Oysa bu sav yanlıştır ve Avustralyanın çok az gidilen bir bölgesinde siyah kuğuların bulunduğu saptanmıştır. Ampirik (gözleme dayalı) (deneysel) bilgilerin uluorta genelleştirilmesi doğru değildir. Dünya çok büyüktür. Bir yerde gözlenen bilgilerin, tüm dünyada geçerli olmasının belirtilmesi, ancak sitematik gözlemler ve araştırmalar sonucunda belli olabilir. Bilgisizlikten kaynaklanan saçmalığa bir başka örnek,
◼ Milli gelirde azalma saptanmıştır.
-------
◼ /∴ Hükümetin mali politikaları doğrudur.
Gerçekten de bilgizlikten kaynaklanan büyük bir yanılma ve safsata örneği. Buna benzer , bilgizlikten kaynaklanan (Ad Ignorantum) çok safsata örneği bulunabilir.

2.25.6 - Otorite Kayması (Ad Verecundiam)

Uzmanlık alanından başka konularda sav oluşturmak. Burada ileri sürülen her sav, bir tartışmaya yaratır. Çünkü savı ileri sürenin otoritesi başka alanda olduğundan, uzmanlığı tartışmalıdır. Örnek olarak Paris 7 inci daire Üniversitesinin (Pierre et Marie Curie) çok katlı binasında kat aralarında izolasyon için asbest kullanıldığı çok sonraları belirlenmiştir. Bu işi yaptıranın üniversite içinde, dediğini yaptırabilen, ama inşaat ve sağlık konularından anlamayan bir yetkili olduğundan şüphelenilmektedir Bu kişinin, olayın vehameti ve onarımın olanaksızlığı ortaya çıkınca kaybolduğu ve izlerini sildiği anlaşılmıştır. (Kabahat samur kürk olmuş, kimse üzerine almamış!). Ad verecundiam tipi önermelerin öncülleri çoğunlukla deneysel bilgiler, savın türü de tümevarımsaldır (indüktif). Çünkü bir insan, bildiği konu dışında, genellikle ancak gözlemlere dayanan bilgileri ileri sürebilir.

2.25.7 - Kişiliği Hedef Alma (Ad Hominem)

Bu tür savlar, bir insanın özelliğinden dolayı ileri sürdüğü savların doğruluğunu belirtmeye çalışmaktır. Oysa, ne kadar saygın bile olsa, şahsiyetin, ileri sürülen savların doğruluğunu sağlayamayacağı (veya tam tersi) bilinmektedir.

2.25.8 - Çoğunluğa Popülist Çağrı (Ad Populum)

Bir politikacının, topluluğun hislerini ve emellerini okşayan savlar ileri sürerek, kendine politik çıkar sağlamaya çalışmasıdır. Örnek :
◼ Birçok insan ileri sürdüğüm düşünceleri onaylamaktadır.
----------
◼ /∴ İleri sürdüğüm düşünceler doğrudur. (Aksini savunmak suçtur).

2.25.9 - Acındırma Yöntemi (Ad Misericordium)

Bir insanın yoksulluğuna dayanarak, ileri sürdüğü savların doğruluğuna inandırmaya çalışmak. Örnek,
◼ Bu insan çok yoksuldur.
----------
◼ /∴ İleri sürdüğü düşüncenin doğru olduğunu kabul edip kendisine bir iyilik yapalım.

2.25.10 - Korkutma Yöntemi (Ad Baculum)

Argumentum ad baculum. Bir insanın korkularından yararlanarak ileri sürülen savı doğru kabul etmesinin sağlanmasıdr.
Örnek,
◼ Kiliseye riayet etmeyeni öcüler alır.
------
◼ /∴ Herkes kiliseye riayet etmelidir.
Bir başka örnek,
◼ Rasat yapmak, Tanrının işine karışmaktır.
◼ Tanrı işine karışıldığı şehri cezalandırır.
------
◼ /∴ Rasat yapmak şeamet getirir. (Rasathaneyi yıkalım).
Bir başka örnek,
◼ Kim ki okur Farisî, gider dinin yarısı.
-----
◼ /∴ Kimse Farsça öğrenmesin. (ki biz de cahil kalanlar ile dolacak ülkeyi rahatça yönetelim) (Farsça bilim dili olarak kabul edilirdi, halen de öyledir). Atatürkten, Afganistan’a elçi gidecek olan Hikmet Bayur’a : "Gidiniz ve orada öğreneceğiniz bilimi Türkiye’ye getiriniz.")

2.21.11 - Ignoratio Elenchi

Bu bir "Non Sequitur" tipi, saçmalıktır. Genellikle non sequitur (okunuşu : non sekitur) (ilgisiz), öncüllerle sonucun ilgisinin olmadığı bir sav için söylenir. "Ignoratio Elenchi" daha hafif bir non seqitur olayını belirtir. Tanımsal olarak, İgnoratio Elenchi, "bir şeyin nasıl reddedileceğininin gözardı edilmesi" olarak açıklanır ve ilk olarak Aristoteles tarafından belirtilmiştir. Bu sözcük Antik Grekçe λεγχος (elenchos) (elenksos) sözcüğünden türemiş ve Latinceye (elenchus) olarak geçmiştir. Bir savın sonucunun yanlışlığının, gözardı edilmesi, gözönüne alınmaması anlamında kullanılır. Örnek,
◼ Ben evime iki kat daha ekledim.
◼ İmar yasası buna izin vermiyor
-----
◼ /∴ İmar yasası bunu kabul etmeli
Görüldüğü gibi tamamı ile yanlış (yasayı etkileyecek yetkimiz yok!) ve öncüllerin sonucun doğruluk değerini etkileyemediği geçersiz bir sav türü ile karşı karşıyayız.

2.21.12 - Akıl Karıştırıcı Soru

Akıl karıştırıcı soru, bir sorgulama tekniğidir. Suçlanan kişiye, doğruluk değeri “Yanlış” olan bir önerme ile karışık olarak doğruluk değeri “Doğru” olan bir önerme içeren bir sav sorulur. Suçlanan kişi, gerçekten suçlu ise, kendini temize çıkarmak için basitçe reddedemeyeceği bu sorudan kurtulmak amacı ile vereceği yanıtta, kendini ele vereceği düşünülür. Bu tür savın bir başka adı da karmaşık soru (kompleks soru) dur.

2.21.13 - Yanlış Neden (Non Causa Pro Causa)

Öncüllerin, yanlışıkla sonuçlara bağlandığı durum olarak belirtilir. En az üç türü bilinmektedir. Latincesi "Non Causa pro Causa" (Olayın nedeni, belirtilen neden değil!) (Bu neden bu olayı oluşturmaz!) (Bunun Nedeni, Bu Değildir !) olarak belirtilen genel durum, bir savda kulanıldığında, "öncüllerin doğruluk değerleri, sonucun doğruluk değerini etkileyemez", durumu ortaya çıkar.
Örnek,
◼ Bir şehirde kötütük azarsa, Tanrı o şehri yok eder.
◼ Hiroşima’da kötülük çoktu.
-----
◼ /∴ Tanrı Hiroşimayı yerle bir etti. (Yok Artık !)
(Genellemeler doğru değildir ama, Japonların da dünyanın en ahlaksız insanları olduğunu ileri sürmek insafsızlıktır.)

2.21.14 - Post Hoc, Ergo Prompter Hoc

Bir olayın, kötü bir olayı izlemesi (daha sonra oluşması) nedeni ile kötülenmesidir. Buna (Post hoc, ergo prompter hoc) yani, (Birşeyden sonra, o şey nedeni ile) saçmalığı (veya aldatmacası) dır. Örnek,

◼ Bunun zamanında deprem oldu,
--------
◼ /∴ Bu adam uğursuzdur.
Ne kadar haksız ve kötüleme amacı ile yapılan bir yutturmaca.
Doğa olaylarını insanları kötülemek için kullanmak
insafsızlıktır. Bir başka örnek,

◼ Rasathane kuruldu.
◼ Deprem oldu
-----
◼ /∴ Rasat yapmak şeamet getirir. (Yok Artık !)
Bunu sözleyen en büyük din yetkilisi olunca, artık söylenecek söz kalmıyor.
Bazı durumlarda, yeterli bilgi olmadığından, bir şeyin nedeni olarak, o şeyle ilgisi olduğu sanılan (ve bazen yeni araştırmalar sonucunda ilgisi olmadığı saptanan) şeylerin neden gösterildiği olabilir. Bu gibi yanılgılardan sakınmak için, bilim adamlarının yeni bilgiler ortaya çıkarmaları veya filosofların belirli olayları daha yakından incelemeleri gereklidir.

2.21.15 - Petitio Principii

Petitio Principii’nin (okunuşu : petisyo prinsipii) anlamı "Döngü" dür. Döngü, sonucun anlamının öncüllerle aynı olmasıdır. Yani, yeni bir çıkarım oluşturulmaz, fakat, öncüllerin daha değişmiş şekilleri sonuç olarak belirtilir. Genellikle, bu bir saçmalama türü değildir. Örnekler ve sonuç birbirlerinden ayrılamaz ve söylenen genelde doğrudur, ama bu yanıltıcı da olabilir. Faydasız olması ise, hiç kuşkusuzdur. Dolayısı, ile faydasız şeyden kaçınmak daha iyidir. Örnek,

◼ İyi Frig Etnologları, Gordiyonu iyi tanır. ◼ ----
◼ /∴ Gordiyonu iyi tanıyanlar, iyi Frig etnologlarıdır. (Belki de iyi tur rehberleridir!)

Görüldüğü gibi öncül ve sonuç arasında bir fark yok, ama sonuç olarak yeni bir şeyin ortaya konulduğu da yok. Yani, yanlış bir şey yok, ama faydalı bir şey de yok. Buna "Kendi Kuyruğunu Kovalamak" veya "Kısır Döngü" adı verildiği de olmaktadır.

2.21.16 - Uygulama Yanlışlığı

Bu tür saçmalık, özel bir durumda geçerli olan bir önermeyi, geçerli olmadığı durumlarda kullanılması ile oluşur. Çok verilen bir örnek, “On Emir” (Evamiri Aşere) de belirtilen, “Sen Öldürmeyeceksin !” emridir. Bu emir geçerli olarak kabul edildiğinde, yurdu korumak için direnmek bile, bu emre karşı gelmek anlamına gelir. Bugün de çözülmemiş olarak kalmış olan bu açmaz, sonuçta, emrin tümüyle gözardı edilmesi ile sonuçlanmıştır. Çok saygıdeğer, barışçı, hümanist ve doğal olarak bu emre sıkı sıkıya bağlı olan “Quaker” tarikatı, Pensilvanya’da bir ara iktidara gelmiş, güzel işler yapmış, fakat kızılderililer’in hücumlarını önleyemedikleri için iktidardan düşmüşlerdir.
Bu konudaki örneklerden birisi, "Aforizm (Euphorisma) adı verilen genel sözcüklerdir. Örnek olarak, "İyilik yap, iyilik bul" bir aforizmdir. "Emek olmadan, keyif olmaz", "Yeni gelen çorbasını içer" "Beleyen derviş, muradına ermiş"gibi sözcükler de, yine bu sınıfa giren "klişe" tipi sözcüklerdir. Bundan başka daha birçok slogan tipi genellemeler de yanlış olarak ileri sürülen önermeler arasındadır. Uygulama yanlışlığı üzerine söylenmiş çok tanınmış sözler,"Kuraldışılıklar, kuralları bozmaz "Kuraldışılıklar, kuralları kanıtlar", "Anayasayı bir kez delmek ile bir şey olmaz" "Benden sonra tufan" gibi sözlerdir.

2.21.17 - Ters Uygulama Yanlışlığı

Bu tip saçmalılar, yeterince doğrulanma olmadan yapılmış genellemelerle görülür. "Uygulama Yanlışlığı", genelde geçerli olan bir önermenşin özelde yanlış olarak uygulanması iken, bu yanlışın tersi, yani “Ters Uygulama Yanlışlığı”, özelde geçerli olan bir önermenin, yanlış olarak genelleştirilmesidir. Örnek,
"Bu köpeğin adamı nasıl kovaladığını gördün mü? Tüm köpekler felakettir" diyerek ağır bir haksızlığın yolu açılmış olur. Buna benzer birçok haksız genelleme örneği verilebilir. Yani, "Toptan tekfir" (Toptan kafir ilan etme)'den kaçınmak gerekir.

Safsatalar çok sayıda olduğundan bunların ancak çok azını ve yapısal olanlarını burada inceleyebildik. Bu konuda en büyük kaynak Wikipedia’da bulunmaktadır. Daha fazla bilgi almak isteyenler bu kaynağa ve Internet üzerinde yayınlanmış birçok kaynağa başvurabilirler.

Not : Sillogism konusuna burada sadece nokta koyuyoruz. Bu konuyu ancak ana hatları ile inceleyebildik. Aslında bu konu, bir mantıkçının tüm yaşamını kapsayacak kadar geniş olan, “Mantık” (Lojik) biliminin bir parçasıdır.

Bu kısımda, matematiğin tek çalışma şekli olan tümdengelimin, tek çalışma şekli olan akıl yürütme yönteminin sistematize edilmiş şekli olan “Sillogism” üzerinde önemli bir temel bilgi sağlandı. Ayrıca, kümeler konusu, 0-Düzey Mantık (Sembolik Mantık) ve 1- Düzey Mantık (Yüklemler Mantığı) üzerine başlangıç bilgileri sunuldu. İlerideki çalışmalar için bu bilgiler çok yararlı olacak ve bilgisi olduğumuz konular üzerinde gelişmemizi sağlayarak ilerlememizi kolaylaştıracaklardır.

Buraya kadar çok az bilgisayar kullanma gereği oluştu. Bunun nedeni, henüz matematiğin filosofik temellerini inceliyor olmamızdır. İlerideki konularımızda yoğun bir bir bilgisayar kullanımı bizi bekliyor olacaktır.

Created with the Wolfram Language

Geçerli html5