geri ileri

Genel Matematik

Bölüm 3

Kümeler Kuramı

Kümeler kendini tek bir nesne olarak kabul ettiren,

fakat birçok nesneden oluşan topluluklardır

(Cantor)

3.1 - Kümelerin Tanıtımı

Bir önceki bölümde, kümeler üzerinde başlangıç bilgileri verilmişti. Bu yüzden, kümeleri tanıyoruz. Burada konunun bütünlüğünün sağlanması açısından, kümeleri yine en baştan ele almaya çalışacağız.

Kümeler konusu, insanların aklında ilk olarak sonsuz büyüklükler olarak oluşmuştur. M.Ö. 450 yıllarında, Elea'lı Ksenon, "Aşil ve Kaplumbağa" paradoksu ile, birim uzunluğun Temelkitap3_1.png , Temelkitap3_2.png , Temelkitap3_3.png ,... şeklinde giderek küçülen aralıklara bölünebileceğini ve bu şekilde, sonsuz sayıda, sonsuz küçük alt aralıklara bölünebilecek bir büyüklüğün, bu parçaların yeniden birbirine eklenerek, sonlu büyüklükler oluşturabileceğini belirtmiştir. Her bir periyod'da Aşil bir alt birim ilerlerken, kaplumbağa da bir alt birim ilerleyecek ve Aşil kaplumbağaya sonlu bir zamanda erişemeyecektir. Bu paradoks bugüne kadar aşılamamıştır. Sonsuz büyüklüklerle, ile ilgilenen matematikçiler, birisi "Sanal Sonsuzluk", birisi de "Gerçek Sonsuzluk" olarak adlandırılan iki tür sonsuzluk olabileceğini düşünmüşler, sanal olan bir büyüklüğün sonsuz kadar artma olasığı, gerçek olan da sonsuz sayıda nesnenin birlikte bulunması olarak tanımlanmıştır. Sanal olan sonsuzluk ile çalışmanın olanaklı, fakat gerçek olan ile çalışmak biraz korkutucu olarak düşünülmüştür.

Ortaçağda, Saksonyalı Albert, "Questiones subtilissime in libros de celo et mundi" (Göklerin ve dünyanın kitaplarında, geniş anlamlı sorular) adlı kitabında, sonsuz büyüklükte kümelerden bahsetmiştir. Albert, sonsuz büyüklükte bir küme ışımasının üç boyutlu (3-D) bir uzayda, her eleman, eşmerkezli bir istridye kabuğuna yerleştirilirse (mapping) , sonunda elde dilecek hacmın, sonsuz bir küme ile aynı olacağını kanıtlamıştır. Onsekizinci yüzyılda, çoğunluk sonsuz kümelerin oluşabileceğine inanmazken, Bolzano, sonsuz kümeleri desteklemiştir. Bolzano, sonlu kümeleden farklı olarak, sonuz kümelerin kendi özalt kümelerinin elemanları ile 1 e 1 benzerlik içinde olabileceğini söylemiştir. Buna rağmen, matematik olarak, belirli bir sistematiğe dayanan kümeler kuramını 1875 de Georg Cantor tanımlamıştır.

3.2 - Georg Cantor

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (okunuşu: Kantor, anlamı: şarkıcı -Latince-) . St. Petersburg (okunuşu: Zankt Peetersburg, Sovyetler döneminde adı Leningrad olarak değiştirilmiş, bugün eski adı ile tanınıyor) şehrinde 1845 yılında doğmuştur. Cantor, müzisyen bir aileden gelmiştir. Atalarının sinagogda ilahi söyleyenlerden olduğu için, şarkı söyleyen anlamında Cantor soyadını almış oldukları düşünülmektedir. Daha sonralar, Musevilikten Lüteryenliğe geçmişlerdir. Borsa simsarı olan babası varlıklı bir insandı. Ailesi 1856 da Almanya'ya taşınmıştır. Cantor, Berlin üniversitesinde tezini tamamlamış, Halle üniveritesinde Matematik Profesörü olarak çalışmış, tüm kariyerini Halle'de (kendisi istememesine karşın) tamamlamak zorunda kalmıştır. Yaşamını 1918 de kaybetmiştir.

Cantor 1867 ile 1871 arası sayılar kuramı üzerinde çalışmış ve bilimsel yayınlar yapmıştır. Bu çalışmalar değerli olmasına karşın ilerdeki günlerde gelecek olan parlak çalışmalarının habercileri olmamışlardır.

187 de Cantor, İsviçreye bir seyahat yapmış, orada Richard Dedekind ile tanışmıştır. İkisi arasında bir arkadaşlık başlamış ve Cantor, Dedekind'in derin soyut görüşünden etkilenmiştir.

Geri dönüşünda, sayılar kuramından, trigonometrik serilere geçmiş ve serilerde olanak verilen aynı elemanın iki kez kullanılabilmesinin önlendiğinde, kümelere varılacağını ve kümelerin, matematiksel mantık ile birlikte, tüm matematiğin temeli olduğunu keşfetmiştir.

Cantor, "Kümeler Kuramı" üzerine ilk yazısını 1874 de Crelle Journal de zorlukla yayınlatabildiği, "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" (Gerçel Cebirsel Sayıların Tümüne İlişkin bir özellik üzerine) olarak yayınlamış, bu yazısında kümeler kuramını tanıtmıştır.

Kümeler kuramı üzerinde bu temel yayın, Kronecker'n karşı çıkması yüzenden engellenmeye çalışılmış ve ancak Dedekind'in desteklemeleri ile yayınlanabilmişti. Cantor, bir kez daha Crelle dergisine yazı vermemiştir.

Kümeler kuramı üzerine bu temel yayın, yayınlandıktan sonra büyük ilgi çekmiş, adeta matematiğin kümeler kuramı ve matematik mantık üzerinden yeniden tanımlanmasına yol açmış, Cantor'a da büyük prestij yanında bir okadar da karşı çıkma yaratmıştır.

1879 ve 1884 arası, Cantor altı yayın yaparak kümeler kuramını tanıtmıştır. 1879 de Heine'nin tavsiyesi üzerine Halle üniversitesinde ful profesörlüğe atanmış, fakat Berin üniversitesine atanma isteği, Kronecker ve sınıf arkadaşı Schwartz tarafından engellenmiş ve kariyerini Halle de tamamlamak zorunda kalmıştır.

Acta Mathematica daki beşinci yayını özellikle önemlidir ve ayrıca kendi imzası ile monograf olarak da yayınlanmıştır."Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre" (Kümeler Kuramının Genel Temelleri" adında bu yazıda, "Transfinit Sayılar"'ın doğal sayıların bağımsız bir alt sınıfı olarak tanınmasını sağlamıştır.

Cantor' un yazılarının filosofik ve matematik içeriklerini tartışmamız için, çalışmakta olduğumuz bu matematiğe giriş düzeyi için biraz erkendir. Cantor'un çalışmalarının ışığında, matematik yeniden tanımlanmış, doğal sayılar, gerçel sayılar, ve alt grupları olan transfinit sayılar, transendental sayılar, cebirsel sayılar yeniden tanımlanmıştır.

1888 de Richard Dedekind sayılar kuramını, kümeler ve mantık üzerine yeniden tanımlayan ünlü çalışması, "Was sind und was sollen die Zahlen?" (Sayılar nedir ve niçin olmalıdırlar) monografını yayınlamıştır. Bu çalışma, sonsuz bir kümeyi tanımlamakta ve doğal sayıların oluşumu için aksiyomatik bir metot ortaya atmaktadır. Bu metot 1 den başlayarak doğal sayıları, "Successor" (sonraki) fonksiyonundan yararlanarak oluşturmaktadır. Bu çalışmadaki tanımlar, bir yıl sonra 1889 da İtalyan Peano tarafından anlaşılır hale getirilmiş ve "Dedekind-Peano Aksiyomları" oluşturulmuştur. Günümüzde bu aksiyomlar tamamı ile geçerlidir. Sadece doğal sayıların 0 veya 1 den başladığı konusunda fikir birliği sağlanamamıştır.

Cantor'un düşüncelerine karşı duranlar, başta Kronecker olmak üzere, Henri Poincaré, Luitzen (Işıkveren) Jan Brouwer (Bira Yapan) , Ludwig Wittgestein, Herrmann Weyl, "Konstrüktivist"(Yapılandırıcı), akımı savunanlardır. Bu akım daha sonraları "İntiüsyonik" (Sezgisel) mantık akımı olarak da belirecektir. Bu akım mensupları, Cantorun sonsuzluk üzerine çalışmalarını "Tanrının işine karışmak" olarak algılamışlar ve bu durum, Ailesinin Musevi kökenine karşın, inanmış bir Lüteryen olan Cantor'un üzerinde çok kötü bir etki yaratmıştır.

Cantor'u destekleyenler, en parlak, en ilerlemeci, en açık fikirli matematikçiler olmuştur. Richard Dedekind ve David Hilbert destekçiler arasındadır. David Hilbert 1926 da, "Hiçkimse bizi, Cantorun yarattığı cennetten kovamaz!"demiştir.1897 de Cantor Zürihte, "Matematikçiler Konrgesi" ne katılmış, bu kongrenin katılımcıları olan Hurwitz, Cantor'un çalışmalarından çok etkilenmiş ve fonksiyonlar kuramını zenginleştirdiğini belirtmiştir. Jacques Hadamard, kümeler kuramının matematik için bilinen ve gerekli bir aracı olduğunu belirtmiştir.

Kümeler kuramının matematiğe getirdiği yenilikler ve tamamlanmış olma algısı her türlü tartışmanın üzerindedir. Buna iki tane, çağ açan yapıtın oluşmasına olanak sağlaması da eklenebilir. İlki Gotlob Frege nin 1879 da yayınlanmış olan "Begriffsschrift Eine Der Arıthmetischen Nachgebildete Formelsprache Der Reinen Denkens" (Kavram Yazıtı) (Aritmetik üzerine gerçek düşüncenin formal söylemi, kavram yazıtı) kitabıdır. Frege, bu kitabında, matematiği, Aristoteles mantığı yerine Chrisippus mantığı temelline dayalı hale getiren ünlü başyapıtıdır. Bu kitap , ikinci düzey mantık ve kümeler kuramına dayalı olarak yeniden tanımlamıştır. Diğeri, yazımı 1902 lerde başlayan ve on yıl süren, Cambridge profesörleri Alfred North Whitehead ve Lord Bertrand Russel tarafından yazılan, 1910, 1912 ve 1913 de basılan üç ciltlik "Principia Mathematica" adlı temel eserdir. Principia Mathematica, Frege'nin açtığı yolu tamamlayan "Logicist" (Mantıkçı) matematiğin kurucu temel eseridir. Mantıkçı, Principia Mathematica, ileride az bir değişiklikle, Hilbert'in "Formalist" programına esin kaynağı olacaktır. Günümüzdeki matematik genel ölçülerde bu akımların öncülüğünde oluşmaktadır. Bu da günümüzdeki matematiğin en genel anlamda, Cantor'un açtığı yoldan yürüdüğünü gösterir ve Cantor'un çalışmalarının inanılmaz engin sonuçlarını gözönüne serer.

Zürich kongrasi sıralarında, Cantor, kümeler kuramındaki ilk paradoksu hisseder. Bu paradoks, ordinal sayılar ile ilgilidir ve Cantor bu konuda, Hilbert'e mektup yazmıştır. Cantor bu paradoksu önemsememiş ve fazla üzerinde durmamıştır. Cantor daha sonra kümeler ile ilgili temel paradoksu da hisseder fakat bunun da üstünde durmaz. 1897 de Peano'nun asistanı Cesare Burali-Forte, paradoksları farkeder ve yayınlar, fakat o da ciddiye alınmaz. Zermelo aynı paradoksu farkeder, fakat Hilbert'e söylemesi dışında bir yayın yapmaz. Sonuçta 1902 de Lord Bertrand Russel kendi adı ile anılan temel paradoksu yayınlar ve bu bir panik havasına neden olur. Bir küme kendi kendinin elemanı değilse, böyle bir sonsuz küme nasıl olabilir? Sonsuz küme olduğundan herşeyi içermesi gerektir ama tanımı öyle değildir. İçerir de denemiyor, içermez de denemiyor. Tam bir paradoks. Bu paradoks aslında mühendisilik için hiç sorun değildir, çünkü mühendislik sonlu kümelerle (köprü ayakları gibi) çalışır. Ama kuramsal olarak matematikte yıkıcı etkisi yaşanmıştır. Bu paradoksun çözümü günümüze kadar tartışmalı olmuştur. Çözümü ise Russell tarafından önerilen "Tipler Kuramı", Zermelo, Fraenkl, Axiom of Choice dan oluşan ZFC axiomatik küme tanımı ve bunun gibi aksiyom sistemleri ile bu paradokstan kaçınılmaya çalışılmaktadır.

Tüm bu paradoksların ana teması, bir şekilde başıboş sonsuz kümelerin oluşumuna olanak sağlamamaktır. Bu yüzden kümeler kuramı günümüzde, "Sezgisel Küme Kuramı" olarak paradokslara aldırmadan veya "Aksiyomatik Kümeler Kuramı" ile "Restricted Comprehension" (Kısıtlı İçerik) yöntemi ile kontrolsüz sonuz kümeler engellenmiş olarak incelenmiştir. Biz bu çalışmamızda, başlangıç düzeyi olan sazgisel kumeler kuramı ile başlayacağız. Her ikisinin yöntemleri arasnda, sonsuz kümelerin kontrolü dışında hiçbir tanım ve uygulama farkı yoktur.

Cantor, 1890 da "Deutsche Mathematiker-Vereinigung" (Alman Matematikçiler Birliği) nin kurulmasını tamamlamış ve 1893 yılına kadar bu kuruluşun başkanlığını yapmıştır. 1904, de Royal Society Cantor'a Sylvester Madalyası vermiştir. Bu bir matematikçiye verilen en yüksek nişandır. 1911 de Iskoçya da ünlü St. Andrews Universitesi 100 üncü kuruluş yılı nedeni ile yapılan kutlama törenlerine en itibarlı yabancı davetli olarak Cantor'u davet etmiş, bir yıl sonra da, fahri doktora vermiştir.

1882 de Cantorun psikolojik rahatsızlığı başlamıştır. Rahatsızlığı ara sıra artan fakat aralarda da hiç kendini belli etmeyen bipolar (bazen iyi, bazen rahatsız) tipi düzensizlik olduğundan, kariyerine Halle den 1913 yılında emekli olana kadar devam etmiştir. 1917 de yatırıldığı sanatoryumda, 1918 de kalp krizinden vefat etmiştir. çok az matematikçi, yaşamında Cantor kadar büyük buluşlar yapma olanağına sahip olmuştur. Kendisini saygı ile anıyoruz.

3.3 - Kümelerin Tanımı

Bir küme, çok iyi tanımlanmış ve birbirinden farklı nesnelerin topluluğudur. Bir kümeyi oluşturan elemanlar (aynı zamanda küme üyeleri -members-olarak da tanınır), başka kümeler, sayılar, sözel veriler ve benzeri nesneler olabilir.

Cantor 1895 de küme tanımını, aşağıdaki gibi yapmıştır.
"Unter einer "Menge" verstehen wir jede Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objekten mit unserer Anschaung oder unseres Denkens (welche die "Elemente" von M genannt werden) zu einem Ganzen."
– Georg Cantor
"Bir M küme' si, tam olarak birbirlerinden ayrılabilen belirli, algılayabildiğimiz veya düşüncelerimizde var olan m nesnelerinden (öyle ki bunlar M kümesinin elemanları olarak tanımlanır) oluşan bir topluluk olarak tanınır." (Tercümenin sorumluluğu tamamı ile bu satırların yazarına aittir ve tercüme orjinalini ana hatları ile aksettirmeye çalışmıştır. Tercümenin, orijinal tanımı bire bir aksettirdiği iddia edilmemektedir).

Küme elemanları üzerine tek kısıtlama, iki elemanın birbiri ile aynı olmamasıdır. Kümeler büyük harfle, elemanlar eğer küme değillerse, küçük harfle belirtilirler.

Bu tanıma uygun küme örnekleri,
Clear[A, B]
A = {9 , Istanbul , Kare , Mendil,SofyaAleksandropulos}
{9,Istanbul,Kare,Mendil,SofyaAleksandropulos}
B = {16,28,2,3,56,56,78}
{16,28,2,3,56,56,78}

Mathematica küme (set) verilerini sırasız listeler olarak algılar. Listeler, bir elemanı birden fazla içerebildiğinden, bir listenin aynı zamanda bir küme olarak çalışmasını sağlamak için eğer varsa, tekrarlı (duplikat) elemanların listeden çıkarılması yeterlidir. Duplikat elemanların kontrolü,
DuplicateFreeQ[A]
True
DuplicateFreeQ[B]
False

Burada, sadece B de tekrarlı (duplikat) elemanlar olduğu görülüyor. Bu durumda, A bir küme olarak hareket edebilecek bir listedir. B listesinin de küme olarak hareket edebilmesi için duplikat elemanlarının temizlenmesi gereklidir. Temizleme işlemi, aşağıda görüldğü gibi, önce B listesindeki duplikat elemanların temizlenmesi, sonra temizlenmiş listenin yeniden B değişkenine atanması, yani bir tahrip edici atama yöntemi ile gerçekleştirilir.
B = DeleteDuplicates[B]
{16,28,2,3,56,78}

İşlem sonunda B listesinin , B kümesine dönüşüp dönüşmediğini kontrol edelim,
B
{16,28,2,3,56,78}
İşlem sonucunda B listesinin de bir kümeye dönüştüğü belirlenmiş olmaktadır.

Küme elemanları küme olabilirler.
G= {{34,89},{44,92}}
{{34,89},{44,92}}
GG={A,B}
{{9,Istanbul,Kare,Mendil,SofyaAleksandropulos},{16,28,2,3,56,78}}
Bir nesnenin bir kümenin elemanı olduğu,
x ∈ A
olarak belirtilir. Bu formülün okunuşu, "x nesnesi, A kümesinin elemanıdır," şeklindedir.

Bir nesnenin bir kümenin elemanı olmadığı,
x ∉ A
olarak belirtilir. Bu formülün okunuşu, "x nesnesi, A kümesinin elemanı değildir." şeklindedir.

Bu şekilde, istenilen sayıda, birbirinden farklı eleman içeren kümeler oluşturulabilir. Fakat böyle düzensiz, elemanları birbirleri ile ilgisiz kümelerin kullanım yerleri fazla değildir. İşe yarayan kümeler, belirli bir sıralaması olan ve elemanları birbirleri ile bir şekilde ilgili olan, yani aynı yüklemi sağlayan elemanlardan oluşan kümelerdir.

Aynı yüklemi sağlayan elemanlardan oluşan kümeler,
Clear[A]
Temelkitap3_17.png
şeklinde tanımlanırlar. Bu tanım, A kümesi, 0 dan başlayan doğal sayılar kümesinin elemanlarından oluşur. Bu elemanların değerinin en yükseği 3 olup diğerleri, 0 dan başlayan doğal sayılar kümesinin, değeri 3 ve daha düşük olan elemanlarıdır.

Bu tanım ile A kümesi,
A = {0,1,2,3}
{0,1,2,3}
olarak tanımlanır ve kümenin tüm elemanları, 0 ile başlayan doğal sayılar kümesinin de elemanı olmak yüklemini (yükümlülüğünü) sağlarlar.

3.4 - Sonsuzluk Farkları

Cantor, kümeleri eleman sayıları ile değerlendirmiştir. Kullanıcı tanımlı, sonlu kümeler, sayılabilir kümelerdir.

Sayılabilirlik, küme elemenlarının sayısının belirlenmesi için, bir yöntem geliştirilip geliştirilemeyeceği olarak tanımlanmıştır.

Ayrık karakterli (discret) sayılar olan sayma, sayıları, doğal sayılar, tamsayılar, cebirsel sayılar sayılabilir sonsuz kümeler yaratabilirler ve dolayısı ile, sonsuzlukları aynı büyüklüktedir. Gerçel sayıların sonsuz kümelerinin büyüklüğü, sayılamaz sonsuzdur.

Cantor'un bu hiç işitilmemiş şekilde sonsuzluklar arası farklılıkların olduğunu belirtmesi, matematik için büyük bir adım olmuştur. Bu konuda bir katkısı olamayanların yarattıkları poblemlerlerle uğraşmak, Cantor'un sağlığını etkilemiştir.

3.5 - Kardinalite

Bir kümenin kardinaliesi onun eleman sayısıdır. Bir kümenin kardinalitesi, iki ( | ) (stroke) arasında küme adı ile, |A| şeklinde belirtilir. Kümenin büyüklüğü eleman sayısı ile ölçüldüğünden bu gösterim doğaldır. Yine de daha spesifik (öze bağlı) bir gösterim şekli n(A) "A kümesinin eleman sayısı" (nnumber of element of the set A) olarak gösterilir. Mathematica'da,

Clear[A]

In[23]:=

A = {71, 2, 3, 4}

Out[23]=

{71, 2, 3, 4}

In[16]:=

Length[A]

Out[16]=

4

olarak bir kümenin kardinalitesi belirlenebilir.

3.6 - Tek Elemanlı Küme

Eğer bir kümede sadece bir tek eleman varsa, bu kümeye singleton küme adı verilir. Örnek olarak,

A = {1} , B = {2} , C = {Archway}

singleton kümelerdir.

3.7 - Açık ve Kapalı Kümeler

Öntanımlı bazı sayı kümelerini daha önce görmüştük. Kapalı ve açık kümeler, bu sayı kümelerin bir özelliği olarak düşünülebilir. Kapalılık ve açıklık konusu, matematiğin topoloji bilim dalının konularındsan biridir. Bu konuyu daha ileri konuların tartışıldığı ileri çalışmalarda tartışacağız. Şimdilik, aşağıdaki uygulama ile tanımını tanıtacağız.

Bir kümenin iki elamanı ile, belirli bir matematik işlemine girildiğinde, işlem sonucu bu kümenin bir elemanı olursa, bu küme, bu işlem altında kapalı bir küme olarak nitelendirilir.

Örnek olarak, tamsayılar kümesi, toplama, çıkarma ve çarpma altında kapalı iken, bölme altında kapalı değildir. Gerçel sayılar kümesi, dört işlem altında da kapalıdır.

3.8 - Ayrık Kümeler

Eğer iki kümenin hiçbir elemanı ortak değilse, bu iki küme, "Ayrık Kümeler" olarak nitelendirilir. Eğer A ve B kümeleri, ayrık kümeler ise,

Temelkitap3_19.png (x ∈ A) → (x ∉ B)

"Tüm x ler için (x Akümesinin bir elemanı ise, B kümesinin de elemanı olmaması gerekir", önermesinin doğrulanması gerekir. Örnek olarak,

A = {23} ve B = { } kümeleri, ayrık kümelerdir ve A ≠ B olarak belirtilirler.

3.9 - Eşit Kümeler

Aynı elemanları içeren kümeler, eşit küme olarak kabul edilir. Eşit kümelerin tüm elemanlaı aynı, sadece isimleri farklıdır. A ve B kümelerinin eşit küme olmaları için,

Temelkitap3_20.png (x ∈ A) ↔ (x ∈ B)

"Bir x elemanının B kümesi elemanı olması için A kümesinin de elemanı olması gerekli ve yeterlidir", önermesinin doğrulanması gerekir. Bu önermenin doğrulanabilmesi için ise, A ve B kümelerinin aynı elemanları paylaşmaları gereklidir. Örnek olarak,

A = {1,2,3} ve B= {1,2,3} olarak tanımlanmışsa, A ve B kümeleri eşit kümelerdir ve A = B olarak açıklanırlar.

3.10 - Bir Kümenin Tümleyicisi

Kümeler kuramında, bir A kümesinin tümleyeni (Complement), A kümesinde olmayan elemanların bulunduğu kümedir.

Doğal olarak, A kümesi bilinmektedir ama, A nın tümleyeni kümesi, A kümesinin hangi kümeye tümleneceği bilinmezse, belirlenemez.

A kümesini evrensel kümeye tümleyen kümeye "Mutlak Tümleyen" (Absolute Complement) adı verilir.

Pratikte, genel olarak kullanıcı tanımlı evrensel kümelerle çalışılır. Bunlara "Sözü Edilmekte Olan Evren" (Universe of Discourse) adı verilir. Bir A kümesini, sözü edilmekte olan evrene (B) tümleyen kümeye, "Göreli Tümleyen" (Relative Complement) adı verilir.

A kümesinin tümleyeni, A' veya Temelkitap3_81.png olarak belirtilir. A kümesinin tümleyeni,

Temelkitap3_82.png = {x | (x ∈ U) ∧ (x ∉ A)}

Okunuşu: "Temelkitap3_83.png kümesi öyle bir kümedir ki, x olarak tanımlanan herhangibir elemanı, evrensel kümenin bir elemanı olmakla birlikte, A kümesinin bir elemanı değildir."

olarak tanımlanır. Mutlak sonsuz küme (U) yerine, tanımlı bir küme (B) kullanılabilir.

Bir tümleme işleminin gerçekleştirilmesi aşağıdaki şema'dan izlenebilir. Aşağıdaki şema da A kümesinin elemanları belirlidir. B kümesi, sözü edilmekte olan (tanımlı olan) evrendir ve onun da tanımı bellidir. Uygulamalarımızda, A kümesinin kardinalitesinin düşük, B kümesinin kardinalitesinin daha yüksek olarak seçilecektir. Yani, sözü edilmekte olan evren olan B nin kardinaliesi, A kümesinden daima yüksek olacaktır. Eğer A ve B kümeleri eşit kümeler olursa, bunların birbirlerine tümleyenleri boş küme Ø olur.

A kümesi= {1 , 2 , 3}, B kümesi (sozü edilmekte olan küme) (kısaca tanımlanmış evren) (universe of discourse) = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10} olarak tanımlanmış olursa, A kümesini tanımlanmış evrene tümleyeni = {4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10} olur. Bu küme de aslında B ile A nın fark kümesidir, yani A' = (Tanımlı Evren - A) = B\A olarak belirtilir.

Temelkitap3_84.gif

Bir A kümesinin, Tanımlı Bir B Evrenine Tümlenmesi

Temelkitap3_85.png

In[167]:=

A = {1, 2, 3}

Out[167]=

{1, 2, 3}

In[168]:=

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 10}

Out[168]=

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10}

Complement [to (Universe B) , of A]  (means B - A = B\A)

In[119]:=

Complement[B, A]

Out[119]=

{4, 5, 6, 7, 8, 10}

Bu değer, aynı zamanda B - A = B \ A değerine eşittir.

In[169]:=

Complement[A , B]

Out[169]=

{}

Kümelerin simetrik farkı A Δ B ise, A Δ B = (B\A) ∪ (A\B) = Complement[B, A] ∪ Complement[A, B] olarak hesaplanır. Sayısal değer,

In[170]:=

Complement[B, A] ∪ Complement[A, B]

Out[170]=

{4, 5, 6, 7, 8, 10}

olarak bulunur. Bu sonuçlar, yukarıda incelenen "Küme Farkları" paragrafındaki, küme farları tanımları ile uyum halindedir.Yine yukarıdaki paragrafta, çözümü Venn diyagramında gösterilmiş olan örneğin, Mathematica ile hesaplama yöntemi aşağıdadır.

Temelkitap3_86.png

In[172]:=

A = { 1, 2, 3, 4 , 5 }

Out[172]=

{1, 2, 3, 4, 5}

In[123]:=

B = {4 , 5 , 6 , 7}

Out[123]=

{4, 5, 6, 7}

Küme farklarını hesaplanması için, eğer tanımlı evren kümesinden, herhangibir küme çıkarılacak ise, Complement[Tanımlı Evren, Küme] şeklinde, kümenin, tanımlı evrene tümleyicisinin belirlenmesi yeterlidir.

A - B = Complement [A, B]

(B kümesinin A kümesinden farkı = B kümesinin A tanımlı evrenine tümleyicisi)

Evren-Küme = Complement[Evren , Küme]

In[124]:=

Complement [A , B]

Out[124]=

{1, 2, 3}

B- A = B \ A = Complement[B , A]

Bu sonuçlar, bir önceki küme farkları konusunda verilmiş olan, küme farklarının, Venn diyagramları ile, görsel olarak belirlenmesi şeması ile bulunan sonuçlar ile aynıdır. Bu Mathematica fonksiyonu, Görsel Venn diyagramlarının sayısal eşdeğeridir.

Özetle,

Complement [B , A] = Complement[in universe of B , of A] = A' = B-A

Complement [A, B] = Complement[in universe of A, of B] = B' = A-B

Bu formüllerden Mathematica' da olmayan küme farkları hesaplanabilir.

Görüldüğü gibi, Mathematica ile kümelerin farkları kolayca belirlenebilmektedir.

3.11 - Evrensel Küme

Evrensel küme, en büyük kardinalitesi olan küme anlamına gelir. Tamamen düşünseldir, çünkü insanların sonsuzluk üzerine fazla bilgileri yoktur. Sonsuz küme genel olarak tüm kümeleri içine alır. Sonsuz küme U (Universal) sembolü ile gösterilir ve

Temelkitap3_27.png

önermesini doğrulular.

Sonsuz kümeler, kümeler kuramında çelişki yaratır. Bu çelişki Russell paradoksu olarak bilinir.

3.12 - Boş Küme

Hiçbir eleman içermeyen bir küme, boş küme olarak adlandırılır. Boş küme, Ø sembolü ile gösterilir. Bu harf, İskandinav alfabelerinde (özellikle Danimarka alfabesinde) kullanılan ö harfi karşılığı, bir büyük harftir "SØRENSEN" (zöörenzen) . Boş küme,

Ø = { }

olarak tanımlanır. Boş küme,

Temelkitap3_28.png

koşulunu doğrular. İçinde en az bir elemanı olan kümeler, "Boş olmayan küme" olarak belirtilir.

Boş kümenin hiçbir elemanı olmadığından, kardinalitesi sıfırdır. Boş kümeyi sıfıra özdeş olarak kabul eden kaynaklar da bulunmaktadır. (Elliott Mendelson, "Introduction to Mathematical Logic" , Chapman and Hall). Sıfıra özdeş olarak kabul edildiği Mathematica Ø sembolünü tanır fakat veri olarak {} şeklinde kullanmak daha doğrudur.

Length[Ø]
0

Temelkitap3_29.png

Temelkitap3_30.png

Boş küme sadece { } veya Ø olarak gösterilir. Sadece Ø boş kümedir ve Ø den başka yerleşimler boş küme değildir. Örnek olarak, { Ø } kümesi, boş küme değil, elemanı boş küme olan tek elemanlı bir kümedir. Kardinalitesi 1 dir. Uygulamalarda bu ayrıntıya olağanüstü dikkat etmek gerekmektedir.

In[34]:=

Length [{Ø}]

Out[34]=

1

Boş küme, bir kümedir ve bir kümeye eklendiğinde o kümenin kardinalitesi arttırır. Örnek,

Temelkitap3_31.png

Temelkitap3_32.png

Temelkitap3_33.png

Temelkitap3_34.png

Temelkitap3_35.png

Temelkitap3_36.png

Temelkitap3_37.png

Temelkitap3_38.png

Temelkitap3_39.png

Bu sonuç boş kümenin hiçbir kümenin otomatik olarak elemanı olmadığını belirtir. çünkü boş küme bir kümedir ve bir kümenin elemanı olduğunda, o kümenin kardinalitesini arttırır ve bu da o kümeyi özel bir küme haline getirir. Eğer bir kümede eleman olarak boş küme olmasını istersek, bunu B kümesinde olduğu gibi kendi elimizle eklemeliyiz. Yoksa, boş kümenin gelip kendi kendine eklenmesini beklersek çok bekleriz.

Boş küme, evrensel kümenin, evrensel küme de, boş kümenin tümleyicisi olarak kabul edilir. Bunun nedeni, eğer uygulanan küme kuramı sonsuz kümeyi destekliyorsa, sonsuz kümenin bir elemanının da boş küme olması gereğidir. O zaman, sonsuz küme, boş küme ile, boş olmayan kümelerden oluşan bir küme olarak düşünülebilir. Boş küme, boş olmayan kümelerin, boş olmayan kümeler de boş kümenin evrensel kümeye tümleyicileridir.

Boş kümenin, her kümenin doğal alt kümesi olarak kabul edildiğini biraz sonra göreceğiz.

3.13 - Kümelerin Kesişmesi

Eğer A kümesi ile B kümesinin, bazı elemanları ortaksa, yani hem A hem de B kümesinin elemanı iseler, ortak olan elemanlar, "Kesişme Kümesi" (Intersection Set) adı altında, yeni bir küme oluştururlar.

Küme kesişmesi sembolü ( ∩ ) sembolüdür. Bu iki işlenenli bir işlemcidir ve kesişen iki küme, işlenenler olarak işlev görürler. A ve B kümelerinin kesişme kümesi olan C kümesi,

C = A ∩ B

olarak tanımlanır.

Yüklem (Predikat) notasyonu ile, A ve B kümelerinin kesişme kümesi,

∃x = { x | x ∈ A ∧ x ∈ B} ( A , B ≠ Ø)

olarak belirtilir. Bu tanım, "Eğer A ve B kümelerinin kesişme kümesi boş küme değil ise, bu küme,en az bir tane, hem A hem de B kümesine ait olan ortak elemandan oluşur" şeklinde okunmalıdır.

Bir başka söylem ile,

∃ x (x ∈ (A ∩ B) , ( x ∈ A ∧ x ∈ B), (A , B ≠ Ø)

Bu yazılım,"Eğer A veya B kümeleri boş küme değilse, ve bir kesişme kümesi oluşturuyorlarsa, kesişme kümesi, en az bir tane hem A hem de B kümesine ait olan bir ortak elemandan oluşur" şeklinde okunur.

Örnek olarak, bir A, B ve CC kümeleri, aşağıda görüldüğü gibi tanımlanmışlardır. (Not: Mathematica' da, C sembolü, saklı sözcük (Reserved Word) olarak tanımlı ve kullanıların kullanılımına kapalıdır. Bu nedenle C yerine, CC sözcüğü kullanılmıştır).

Temelkitap3_40.png

In[67]:=

A = {23, 2, 4, 3, 9, 83}

Out[67]=

{23, 2, 4, 3, 9, 83}

In[68]:=

Sort[A]

Out[68]=

{2, 3, 4, 9, 23, 83}

In[69]:=

B = {231, 19, 3, 4, 78, 2}

Out[69]=

{231, 19, 3, 4, 78, 2}

In[70]:=

Sort[B]

Out[70]=

{2, 3, 4, 19, 78, 231}

Out[44]=

{2, 3, 4, 19, 78, 231}

olarak tanımlanmışlarsa, bu iki kümenin kesişme kümesi olan CC kümesi,

In[71]:=

CC = A ∩ B

Out[71]=

{2, 3, 4}

olarak belirlenir.

Mathematica kesişme sembolü ( ∩ ) yü tanır ve yukarıda görüldüğü gibi, kesişme kümesini derhal oluşturur. Ayrıca Mathematica'da kesişme kümesi elemanları sonucunu döndüren, Intersection [küme1 , küme2, küme3, ..., küme n] fonksiyonu da aşağıda görüldüğü çağrılabilir.

In[72]:=

CC = Intersection[A, B]

Out[72]=

{2, 3, 4}

Kesişme kümesinin kardinalitesi,

In[73]:=

Length[CC]

Out[73]=

3

Daha kestirme bir yaklaşım,

In[75]:=

Length[Intersection[A, B]]

Out[75]=

3

Küme hareketleri, 1880 de John Venn (Cambidge Universitesi Mantık Profesörü) tarafından Euler diagramlarının gelişmiş şekli olarak açıklanmıştır. Venn diagramları tüm küme hareketlerini açıklamak için çok kullanışlıdır.

Venn diyagramlarının çizimi için, WolframAlpha'nın matematikçisi, Eric Weinstein'in bir uygulama programı aşağıda verilmiştir. Mathematica, bu programı okuyabildiğinde, basit Venn diagramlarını görüntüleyebilir.

Temelkitap3_41.png

In[44]:=

Show[Graphics[VennDiagram[2], AspectRatio -> Automatic, PlotLabel -> "A ∩ B"]]

Graphics:A ∩ B

İki Kümenin Kesişmesi

Yukarıdaki küme, verilmiş olan Eric Weinstein'a (Mathworld) ait kod ve Matematica'nın çizim aparatları kullanılarak çizilmiştir. Kesişme kümesinin elemanlarını, A ve B kümelerinin ortak elemanları oldukları görülmektedir.

Creately sitesi olanakları kullanılarak, çok çekici görüntülü Venn diyagamları çizilebilir. Aşağıda, bu sitenin sağladığı olanaklarla çizilmiş, iki kümenin kesişmesini belirten Venn diyagramı görülmektedir.

Temelkitap3_43.gif

İki Kümenin Kesişmesi

Yukarıdaki kesişme Venn diagramında, kesişme kümesinin bir elemanı olarak belirtilen x, iki kümenin kesişmesi için yeteri ve gerekli koşul olan, "Kesişme kümesinin kardinalitesi en az 1 olmalıdır" kuralını görsel olarak belirtmektedir. Kesişme kümesinin kardinalitesi en az 1 olursa, kesişme kümesinin eleman sayısı da, en az 1 eleman olmalıdır.

üç kümenin kesişmesinin Venn diyagramı, yine Creately sitesi ‘nin olanakları kullanılarak çizildiğinde aşağıdaki görüntü elde edilmiştir.

Temelkitap3_44.gif

üç Kümenin Kesişmesinin Venn Diyagramı

Venn diyagramları, kolay ve Mathematica'ya göre biraz daha gelişmiş olarak, WolframAlpha sitesinden yararlanılarak çizilebilir.

WolframAlpha sitesinin veri giriş çubuğuna,

A intersect B

girişi yapıldığında,

sonucu alınır.

üç kümenin kesişmesi için, WolframAlpha sitesine

A intersect B intersect C

kodu girildiğinde,

Temelkitap3_45.gif

sonucu alınır. Koyu renkli alan, ortak elamanların bulunduğu, kesişme kümesini belirtir. Hiçbir el emeği gereği olmadan kabul edilebilir bir Venn diyagramı görüntülenmesi sağladığından, WolframAlpha sitesi, tercih edilmektedir. Yukarıdaki grafikteki x, Mathematica çizim araçlarından yararlanılarak eklenmiştir. Yine de Mathematica, yukarıdaki kodları içeren sayfalarda en kolay ve zahmetsiz olarak sonucu vermektedir.

In[47]:=

Show[Graphics[VennDiagram[3], AspectRatio -> Automatic, PlotLabel -> "A ∩ (B ∩ C)"]] // TraditionalForm

Temelkitap3_46.gif

üç kümenin kesişmesinin Venn diyagramı

Mathematic ve WoframAlpha anacak 4 taneye kadar kümelerin kesişmesini görüntüleyebilir. Daha fazla küme kesişmesinin Venn diyagramı zaten çok karışık olacağından, bu kısıtlamanın fazla bir önemi yoktur.

Bir kümenin, boş küme ile kesişmesi sonucunda oluşacak kesişme kümesi, yine bir boş kümedir. Mathematica ile,

Temelkitap3_47.png

In[78]:=

A = {Ali, Ahmet, Aylin}

Out[78]=

{Ali, Ahmet, Aylin}

In[51]:=

Intersection[A, {}]

Out[51]=

{}

Bunun nedeni, kesişme kümesinin kesişen kümelerin ortak somut elemanları olan bir küme olması gereğidir. Oysa, boş kümenin, kesişme kümesine vereceği değil bir ortak eleman, bir eleman bile yoktur. Boş küme, her boş olmayan küme için ayrık kümedir ve ayrık kümelerin kesişme kümeleri, boş kümedir. çünkü ayrık kümelerin ortak elemanları yoktur. Örnek,

Temelkitap3_48.png

In[80]:=

A = {1, 2, 3}

Out[80]=

{1, 2, 3}

In[81]:=

B = {4, 5, 6}

Out[81]=

{4, 5, 6}

In[82]:=

Intersection[A, B]

Out[82]=

{}

3.14 - Kümelerin Birleşmesi

İki (veya sonsuz sayıda) kümenin birleşimi ikili bir işlemci olan ∪ (union) işlemcisinden yararlanılarak belirtilir. Birleşen kümeler A ∪ B gibi, birleşme işlemcisinin sağ ve sol işlenenlerini oluştururlar.

A ve B gibi iki kümenin birleşmesi sonucunda, bir C kümesi oluşuyorsa, Yüklem notasyonunda,

A ∪ B = { x | x ∈ A ∨ x ∈ B} (A , B ≠ Ø)

olarak açıklanır. Bu tanım, "A ve B kümeleri boş küme değillerse, ikisinin birleşme kümesinin elemanları, ya A kümesinin, ya B kümesinin veya her ikisinin de elemanlarıdır" şeklinde okunur.

Bir başka söylem ile,

∃ x (x ∈ (A ∪ B) , ( x ∈ A ∨ x ∈ B), (A , B ≠ Ø)

"Eğer A ve B kümeleri boş küme Ø değillerse, A ve B kümelerinin birleşme kümesi, en az bir tane, ya A, ya B veya hem A hem de B ye ait olan bir elemandan oluşur." önermesinin doğrulanması gerekir.

Mathematica, birleşme sembolü ( ∪ ) yu tanır.

Temelkitap3_49.png

In[84]:=

A = {25, Hasan, Niki, 34}

Out[84]=

{25, Hasan, Niki, 34}

In[85]:=

Sort[A]

Out[85]=

{25, 34, Hasan, Niki}

In[86]:=

B = {45, 36 , 34, Hasan}

Out[86]=

{45, 36, 34, Hasan}

In[87]:=

Sort[B]

Out[87]=

{34, 36, 45, Hasan}

In[88]:=

A ∪ B

Out[88]=

{25, 34, 36, 45, Hasan, Niki}

Mathematica, küme birleşimleri için spesifik Union [ Temelkitap3_50.png , Temelkitap3_51.png , Temelkitap3_52.png , Temelkitap3_53.png , ... , Temelkitap3_54.png] fonksiyonunu içerir. Bu fonksiyonun çağrılması ile de küme birleşimlerinin sonucu döndürülebilir.

In[89]:=

Union[A, B]

Out[89]=

{25, 34, 36, 45, Hasan, Niki}

Küme birleşimlerinde, ortak elemanlardan sadece bir tanesinin, birleşim kümesi elemanı olarak atandığı gözden kaçırılmamalıdır.

Küme birleşmesi sonucunda sadece bir tek birleşim kümesi oluşur. Bu da Venn diyagramlarında, tek bir çember olarak belirtilir.

In[64]:=

Graphics[Circle[{20, 20}, 3], ImageSize -> Small]

C = A ∪ B

Temelkitap3_55.gif

İki kümenin birleşimi

Birleşen kümelerin sayısı ne olursa olsun, sonuçta sadece bir tane birleşim kümesi oluşur.

WolframAlpha sitesinde, küme birleşmesi,

A union B

olarak girilebilir. Bu veri çalıştırıldığında, aşağıdaki sonuç alınır.

Temelkitap3_56.gif

Oluşan birleşim kümesinin tek renkli olarak görüntülenmesi, birleşim işlemi sonunda sadece bir tek birleşim kümesi oluştuğunu belirtir.

Boş kümenin herhangibir küme ile birleşimi sonucu aynı kümedir. Bu doğaldır çünkü, birleşim kümesi her iki kümenin tüm elemanlarını içerecektir. Oysa, boş kümede hiçbir eleman olmadığından, birleşim kümesine eleman veremez ve boş küme ile birleşen boş olmayan bir kümenin birleşmesi sonucunda oluşacak birleşme kümesi, boş olmayan kümenin eşit kümesi olur. Formül olarak,

A ∪ Ø = A

Örnek olarak,

In[90]:=

A

Out[90]=

{25, Hasan, Niki, 34}

In[91]:=

Union[A, {}]

Out[91]=

{25, 34, Hasan, Niki}

Birleşim kümesinin sadece A kümesi elemanlarından oluştuğu açıkça görülmektedir.

3.15 - Alt ve özalt Kümeler

Bir A kümesinin tüm elemanları, aynı zamanda B kümesinin de elemanı iseler, bu küme hem eşit kümelerdir, hem de birbirlerinin alt kümesi olarak nitelendirilirler. Alt küm sembolü, ( ⊆ ) şeklindedir ve "Eşit veya Alt Küme" olarak okunur. Eğer A ve B eşit kümeler ise,

A ⊆ B ve B ⊆ A tanımları geçerlidir.

Bir A kümesinin, bir B kümesinin alt kümesi olması, sadece ve yalnız sadece,

Temelkitap3_57.png

koşulunun doğrulanması ile olasıdır. Burada dikkat edilmesi gereken tanımın ya tüm A kümesi elemanlarını kapsadığı veya hiçbirini kapsamadığıdır. Yani kardinalitesi 0 olan bir küme de herhangibir kümenin alt kümesi olabilir.

Eğer A ve B kümeleri eşit değil, yani A≠B ise, bu iki kümenin kardinaliteleri farklı olacaktır. Kardinaltesi büyük olan kümeye "Büyük Küme", kardinalitesi küçük olana "Küçük Küme" adı verilir. Eğer, küçük kümenin tüm elemanları, aynı zamanda büyük kümenin de elemanları iseler, küçük küme büyük kümenin bir "özalt Kümesi" olarak nitelendirilir. özalt küme sembolü ( ⊂ ) şeklindedir ve açık ucu büyük kümeye dönüktür. Eğer A ⊂ B olarak, belirtilmişse, A kümesi, B kümesinin bir özalt kümesi, B kümesi de A kümesinin bir üst kümesidir. Bu olay, B ⊃ A olarak da gösterilebilir, fakat, genellikle bu tip gösterim fazla kullanılmaz.

Uygulamada genel olarak, özalt küme kavramı gözardı edilir ve alt küme ( ⊆ ), (Subset Equal) sembolü kullanılır. Bu şekilde, kullanıcı A ve B kümelerinin eşit veya salt alt-üst kümeler olduklarını sezgi ile algılamak zorunda kalır.

Alt küme olayını iyi aydınlatmak için A ve B kümelerini yeniden tanımlayalım.

Temelkitap3_58.png

In[123]:=

A = {1, 2, 3}

Out[123]=

{1, 2, 3}

In[124]:=

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Out[124]=

{1, 2, 3, 4, 5, 6}

In[125]:=

A == B

Out[125]=

False

In[126]:=

Length[A] < Length[B]

Out[126]=

True

Böylece, A kümesi ie B kümesinin birbileri ile eşit kümeler olmadıkları ve B kümesinin üst, A kümesinin de alt küme olduğu belirlenmiş olmaktadır. Böylece A ⊂ B yazılması en doğru açıklama olacak iken genellikle A ⊆ B olarak yazılmakta ve okuyucunun A ve B kümelerinin eşit küme olmayıp, A kümesinin, B kümesinin sadece bir alt kümesi olduğunu anlaması beklenmektedir. Bu konuda belirtilen sembolizme dikkatle yaklaşılması sağlık verilir.

Mathematica'da, bir B kümesinin olası tüm alt kümelerinin belirlenmesi, Subsets[B] fonksiyonunu çağırarak belirlenir.

In[114]:=

Subsets[B]

Out[114]=

{{}, {1}, {2}, {3}, {4}, {5}, {6}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6}, {2, 3}, {2, 4}, {2, 5}, {2, 6}, {3, 4}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6}, {1, 2, 3}, {1, 2, 4}, {1, 2, 5}, {1, 2, 6}, {1, 3, 4}, {1, 3, 5}, {1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {1, 4, 6}, {1, 5, 6}, {2, 3, 4}, {2, 3, 5}, {2, 3, 6}, {2, 4, 5}, {2, 4, 6}, {2, 5, 6}, {3, 4, 5}, {3, 4, 6}, {3, 5, 6}, {4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 5}, {1, 2, 3, 6}, {1, 2, 4, 5}, {1, 2, 4, 6}, {1, 2, 5, 6}, {1, 3, 4, 5}, {1, 3, 4, 6}, {1, 3, 5, 6}, {1, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5}, {2, 3, 4, 6}, {2, 3, 5, 6}, {2, 4, 5, 6}, {3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5}, {1, 2, 3, 4, 6}, {1, 2, 3, 5, 6}, {1, 2, 4, 5, 6}, {1, 3, 4, 5, 6}, {2, 3, 4, 5, 6}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}}

Alınmış olan sonuçlar son derece ilgiçtir. Bu sonuçlar, herşeyden önce, matematik uygulamalarında bilgisayar kullanımının çok doğru ve yerinde bir karar olduğunu belirtir. Gerçekten, kardinalitesi çok az sayılabilecek olan, 6 elemanlı bir kümenin bile, olası alt kümelerinin belirlenmesi, nerede ise el ile yapılamayacak kadar emek yoğun bir işlem olmaktadır. Oysa, Mathematica ile bu kolayca gerçekleştirilebilmektedir.

Alınan sonucta belirtilen, en son olası alt küme, B3 kümesinin kendisidir. Bu sonuç, bir kümenin alt kümelerinden kardinalitesi en büyük olanın kendisi olduğunu doğrulamaktadır. Ama, Mathematica gibi programlarda doğrulama olmaz. Mathematica tanıma göre programlanmış olan bir program paketidir. çıktıları sadece yapılmış olan tanımların doğru uygulandığı zaman alınacak sonuçları belirtmektedir. Bu sonuçlar, izleyenlere "doğrusu buymuş" bilgisini sağlamaktan, yani yol gösterici olmaktan öte kuramsal bir değeri yoktur. Mathematica gibi yardımcı programların bir başka önemli işlevi, el yapılmak için fazla emek isteyen işlemleri hızla gerçekleştirilebilmelerdir.

Alınan sonucun ilgiç noktalarından başka birisi, A kümesinin eleman tanımında bulunmadığı halde, olası alt kümeler listesinde beliren { } kümesidir. Boş küme adı verilen bu ilginç kümenin nasıl olup ta her kümenin bir alt kümesi olabildiği aşağıda açıklanmıştır.

Bir kümenin alt küme adayları, öncelikle kendisi ve sonra kendisinden birer eleman azaltılmış kümelerdir.

A= {1 , 2 , 3}

olsun. Alt küme olabilecek ilk küme {1 , 2 , 3] kümesidir.

Alt küme olabilecek ikinci aday [1,2] kümesidir.

Alt küme olabilecek üçüncü aday [1] kümesidir.

Alt küme olabilecek dördüncü aday [] kümesidir.

Böylece, boş kümenin tüm kümelerin alt kümesi olduğu anlaşılmaktadır. Bir başka örnek,

Temelkitap3_59.png

Temelkitap3_60.png

Burada da boş kümenin her kümenin bir alt kümesi olduğu görülmektedir. Bunun birçok kanıtı vardır.

Eğer bir kümesi, tüm elemanları aynı zamanda bir B kümesinin de elemanları olması durumunda, B kümesinin bir alt kümesidir. Oysa, boş küme Ø de hiç eleman yoktur. Bu durumda tüm elemanları aynı zamanda B nin elemanları sayılır ve boş küme Ø her kümenin bir alt kümesi olur.

Bu konuda, bir başka kanıt (en ikna edici olan), eğer A boş olmayan bir küme ise, A kümesinin boş küme Ø ile kesişmesinin sonucunda oluşacak küme bir boş küme olacaktır.

In[128]:=

Intersection[{7, 9}, {}]

Out[128]=

{}

Kesişme kümesi, her iki kümenin alt kümeleridir. dolayısı ile, boş küme Ø, hem kendi kendisinin hem de ne olursa olsun, diğer kümenin alt kümesidir. Örnek,

In[130]:=

Intersection[{Ahmet, Veli, Selim, Stefan}, {}]

Out[130]=

{}

Bir başka kanıt, bir A kümesi, eğer tüm elemanları B kümesinin elemanları ile aynı ise, B kümesinin bir alt kümesidir. Boş kümenin hiçbir elemanı yoktur. Eğer A kümesi boş küme ise, tüm elemanları (hiçbiri yoktur) B kümesinin de elemanı olmalıdırlar. Bu yüzden, boş küme Ø, hem kendi kendisinin hem de hangi küme olursa olsun, diğer kümenin alt kümesidir

Aynı zamanda çelişki ile de açıklanabilir.

Düşünün, bir boş küme Ø ve bir A kümesi var. Tanım olarak boş küme Ø, eğer Ø deki bazı elemanların A da bulunmadığı durum dışında A kümesinin bir alt kümesidir. Yani eğer Ø de, A daki elemanlardan farklı bir eleman olsa, A nın alt kümesi olmayacaktır. Oysa Ø de hiç eleman yoktur. Dolayısı ile A da bulunmayan bir eleman da yoktur. Bu yüzden boş küme Ø her kümenin bir alt kümesidir.

Bu açıklamaları, Stephen and Penny ‘ye boçluyuz.

Eğer bir küme, bir başka kümesinin alt kümesi fakat özalt kümesi değil ise, her iki küme birbirlerine eşit kümelerdir.

Tanım olarak incelersek, bir küme, bir başka kümenin alt kümesi ise, kendisinin bütün elemanları, üst kümede aynen bulunmakta demektir. Buna ek olarak kendisi, üst kümenin bir öz alt kümesi değilse, üst küme ile farklı eleman sayıları yoktur ve bu iki küme birbirlerine eşittir. Matematik olarak belirtilmek istenirse,

(B !⊂ A) ∧ (B ⊆ A) → (B = A)

Bu ifade, "Eğer, bir küme, bir başka kümenin alt kümesi ise fakat öz alt kümesi değilse bu iki küme birbirleri ile eşit kümelerdir.

Bu ifade,"İki kümenin birbirlerine eşit olabilmeleri içini bu iki kümenin birbirlerinin özalt kümeleri olmamaları, fakat alt kümeleri olmaları yeterlidir."

veya,

"Bir kümenin bir başka kümenin alt özalt kümesi olmaması, fakat alt kümesi olması için gerekli koşul, he riki kümenin eşit kümeler olmasıdır."

Bu ifade, tek yönlü koşul bağlacı (→) ile bağlı iki önermeyi (p ve q önermelerini) içerir. Tek yönlü koşul ifadesi,

p → q

şeklindedir ve "p, q için yeterlidir" olarak belirtilir. Bu önerme, sadece ardıl (q) nün "Yanlış" (F) olduğu durumda yanlıştır. Matematik daima başlatıcı (koşul belirleyici) nin "Doğru" (T), ardılın da "Doğru" (T) olduğu durumlarla ilgilenir.

Burada q , A=B şeklinde tek (atomik) bir önermedir. Başlatıcı p önermesi ise, ve (∧) bağlacı ile bağlanmış iki basit önermeden oluşan bileşik bir önermedir. Bu önerme,

(B !⊂ A) ∧ (B ⊆ A)

şeklindedir ve (∧) işlemcisinin tanımı gereği, sadece her iki basit önerme "Doğru" (T) ise doğrudur. Böylece p önermesinin "Doğru" (T) olması için, hem A kümesinin B kümesinin bir alt kümesi olduğu "Doğru" (T) olmalı, hem de A kümesinin B kümesinin bir öz alt kümesi olmadığı "Doğru" (T) olmalıdır.

Bu ifadede de, eğer p → q önermesi "Doğru" (T) ise ve p de "Doğru" (T) ise, "Modus Ponens" (Doğruluğu belirten yöntem) ("Yeter koşlun doğrulanması" olarak adlandırılan bir sav formudur. (p → q önermesi "Doğru" (T) ise, p de "Doğru" (T) ise, dolayısı ile q de "Doğru" (T) dir) şeklinde bilgilenme ile, q nün doğruluğu belirlenir. Bu bir çıkarımdır ve sav olarak ileri sürülmüştür. Dikey açıklama ile,

p → q

p

∴ ------

q

olarak, Yatay açıklama ile,

(B !⊂ A) , (B ⊆ A) /∴ (B = A)

olarak belirtilir. Mathematica ile,

Temelkitap3_61.png

In[132]:=

A = {1, 2, 3}

Out[132]=

{1, 2, 3}

In[133]:=

B = {1, 2, 3}

Out[133]=

{1, 2, 3}

In[134]:=

Subsets[B]

Out[134]=

{{}, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}

Bu alt kümeler listesinde {1,2,3} dışında, her küme, B kümesinin özalt kümesidir ve hiçbiri A kümesine eşit değildir. A kümesi B kümesinin eşit alt kümesi, yani eşit kümesidir. Dolayısı ile A kümesi ile B kümesi eşit kümelerdir.

3.16 - Russell Paradoksu

1890 lara doğru, herşey yoluna girmiş gibi görünmekteydi. Kümeler kuramı kabul görmüş, daha ilerisi, kümelerin matematiğin temeli olduğu geniş ölçüde kabul edilmişti. Matematikte herşey kümelerle açıklanmaya başlamış, "Modern Matematik" herşeyin "Matematik Mantık" yolu ile açıklanabildiği, her hipotezin, matıksal olarak geçerli kanıtının bulunması halinde teorem (evrensel gerçek) haline gelebileceği, evrensel gerçeğin "gerçek" (her ne demekse) olduğu bir cennet (Hilbert'in sözleri ile "Cantor'un bizi getirdiği cennet") oluşmaya başlamıştı. Dedekind, Peano, Russel, Hilbert ve ekibi, bu kuramı kuvvetle destekliyorlardı.

Tam bu tarihlerde Cantor, kümeler kuramının bazı teoremlerinde zayıflıklar, Grek terminolojisine göre"Insolubilia" (çözülemeyenler) (paradoks) hissetmeye başlamıştır. Son bulgulara göre Cantor, sonraları ün kazanmış olan Burali-Forti, Russell, Berry paradokslarının tümünü, detayı ile biliyordu. Peki niçin fazla üstünde durmamıştı? Bunu bugün açıklayamayız, sadece bazı düşünceler ileri sürebiliriz. Bugün Cantor'un bunun üzerinde fazla durmadığını, çünkü insanların "Megara" ekolüne göre "Insolubilia" (çözülemeyen) paradoksların bulunduğunu bildikleri için fazla önemsemedikleri düşünülmektedir. Başka nedenler de olabilir. Belki Cantor, tam gaz giden ve matematiği mantığa bağlayan en önemli kuramın, daha başlangıçta gölgelenmesini istememiş olabilir.

Paradoks (çelişki) (çözümsüzlük) (Insolublia) ilk olarak Elea'li Ksenon (Zeno) tarafından "Aşil ve Kaplumbağa" paradoksunun açıklanması ile başlar. Bu paradoks, matematik ile doğanın uyumsuzluğunu, özellikle sonsuzluk işe karışınca, insanların çaresiz kaldıklarını, açıkça gözler önüne seren anıtsal bir çalışmadır.

Aşil ve kaplumbağa paradoksu, yüzyıllar boyunca çözümlenememiş, on dokuzuncu yüzyılda Ludwig Wittgenstein'in çalışmaları da sonuç vermemiştir. çünkü insanların sonsuzluk konusunda bilgileri yoktur. En gelişmiş teleskoplar bile içinde bulunduğumuz "Samanyolu Galaksisi"nin değil dışını, içine bile tüm olarak görememektedir.

Bir başka paradoks "Yalancının Paradoksu" olarak adlandırılan "Yalan söylüyorum, ben Mehdi değilim" diyen adamın söylemidir. Eğer gerçekten Mehdi ise, önerme yanlış, eğer Mehdi değilse önerme doğrudur. Ama kim bilebilir?

Bir başka paradoks Giritli Epemenides'in söylediği, "Tüm Giritliler kesin yalancıdır" sözüdür. Epemenides gerçekten Giritli olduğundan, bu önermeye doğru denilse bir türlü, yanlış denilse başka türlü sorun çıkmaktadır. Yine de Epemenides paradoksunun tam bir paradoks olmadığı da belirtilmektedir.

Özetle, insanlar paradokslarla birlikte yaşamaya alışmışlardır ve yenilerinin çıkması onları fazla rahatsız etmeyecektir. çünkü insanlar, yaşadıkları evren üzerinde hiç denilecek kadar az bilgi sahibi olduklarını bilmektedirler. Dinlerin de oluşması da bu yüzdendir. çünkü insanlar, bilemedikleri, bilimsel yöntemle (henüz) bulamadıkları gerçekleri bulabilecekleri umuduyla, dinlerin saçma sapan dogmalarına sorgusuz sualsiz inanma ile, bulamadıkları doğruları bulabileceklerini sanmaktadırlar.

Cantor'un farkettiği, fakat insanların geç farkettikleri gibi, kümeler kuramı öyle sıradan bir kuram değil, son derece karmaşık bir evren olan yaşanan dünyayı, sistematik ve bilimsel bir açıklamaya kavuşturmayı amaçlayan, son derece karmaşık bir kuramdır. Günün birinde, bilgimizin sınırlarını zorlayınca, duvara toslayacağı açıktı. Ama çok büyük bir adam olan Cantor, bunu erken açıklayıp moralimizi bozmak istememiş olabilir.

İlk atış, 1897 de yayınlanan, Peano'un asistanı Burali-Forti'den, ordinal sayıların paradoksa götürdüğü üzerine bir yayın olmuştur. Burali-Forti henüz genç olduğundan, bu yazı fazla etki yaratmamıştır. Bir noktada atış savuşturulmuştur. İlginç olan, bu konu üzerine Cantor'un Hilbert' e daha önce bir mektup yazıp konu üzerinde bilgi vermiş olduğudur.

Bundan hemen sonra, Max Planck enstitüsünden Dr. Zermelo, Hilbert'e sonsuz kümeler üzerinde bir zorluk olduğunu bildirmiştir. Her ikisi de büyük bir olasılıkla kümelerin büyüsünü bozmamak için sessiz kalmışlardır.

Esas bomba, 1902 haziranında patlamış, Lord Bertrand Russel, Alfred Noth Whitehill ile ünlü "Principia Mathematica" nın ikinci cildini yazarken sonsuz küme paradoksunu saptamış ve dünyayı ayağa kaldırmıştır.

Principia Mathematica, ikisi de Cambrige profesörü olan, Alfred North Whitehill ile, Lord Bertrand Russell'in birlikte yazdıkları, yazımı on yıl süren, 1900 lerde başlayıp ancak 1910 da basılabilen ve ilk baskısı zarar eden, bugün ise, her kitaplıkta bir örneği olduğu için milyonlar getiren, matematiği lojik ve kümeler temelinde sistematize etmek amacını taşıyan, bu amaca da kısmen ulaşmış olan, anıtsal bir eserdir. Lord Russell, paradoksun, ikinci cildinin yazımı sırasında 1902 haziranında farkına varmıştır. Aslında paradoks çok basittir. çaydanlıklar kümesini düşünelim, her çaydanlık bu kümenin üyesi olsun, kümenin kendisi çaydanlık olmadığından bu kümenin üyesi olamaz. Yani çaydanlıklar kümesinin özelliği, kendi kendisinin üyesi olmamasıdır. Şimdi bu kümeyi sonsuza çekelim ve adına R diyelim. Eğer x çaydanlıklar kümesi ise, tanım olarak R kümesinin bir elemanı olamaz. Bu koşul,

X ∉ R

olarak açıklanır. Fakat R evrensel kümedir ve tüm kümeler onun alt kümeleridir. Bu düşünce ile, çaydanlılar kümesi de onun alt kümesi olması gerektiği için, kendi kendisi de kendi kümesinin bir elemanı olmak zorundadır. Bu durum,

x ∈ R

olarak açıklanır. Bu olayda, kümeler kuramı, hem bir önermeye, hem de karşıtını doğruluyorsa, bir çelişki var demektir. Bir kuram için, tek bir çelişki bile tutarsızlık demektir. Tutarsız bir sistem ile hiçbir teorem açıklanamaz. Yani kümeler kuramını çöpe atmak gerekir.

Öyle ama, kümeler kuramı herhangibir kuram değil. Tüm matematik bu kuramla açıklanıyor. Kümeler kuramını çöpe atmak demek bir noktada, tüm matematiği çöpe atmak demektir. Eğer tüm matematik çöpe atılırsa, binaların sağlamlığı, genetik kodların çözümü, füzelerin uzaya gönderilmesi, onun bunun kafasına nükleer bombalar atılması nasıl sağlanacak? Buna bir çözüm bulmak gerekir.

Ne yazık ki aranan kesin kuramsal çözüm, aradan yüzyıldan fazla geçmiş olmasına karşın, halen bulunamamıştır.

Paradoksu inceleyen Russell ve Whitehead (rolü çoğunlukla gözardı edilmektedir) bunun "Kısıtsız İçerik" (Unrestricted Comprehension) olarak adlandırılan, ve küme tanımında, yüklemin sınırsız kullanımı ile ilgili terim olduğunu bulmuşlardır. Kümenin ortak yüklemi doğrulayan elemanlar tarafından oluşacak şekilde oluşturulması,

A = {x | P(x)}

olarak gerçekleştirilir. Burada P(x) (x in yüklemi) gelişigüzel seçilirse, paradoksa yol açılmış olmaktadır. Russel ve Whitehead paradoksu önlemenin yolunun, yüklem seçiminde bir kısıtlama sağlanması ile olacağını anlamışlar ve kısıtlı içeriğin sağlanması için bir yol bulmaya çalışmaya başlamışlardır. Aksi halde, Principia Mathematica'nın amaçları gerçekleşmemiş olacaktı. Bunun sonucu da dünyanın tutarlı bir matematik sisteminden yoksun kalacağı idi. Dünya tutarlı bir matematik sisteminden yoksun olursa, hiçbir teoremin doğruluğunun belirlenmesi sağlanamaz. Herkes, kendi algısına göre bir matematik sistemi oluşturur ve işler tam bir kaos içine yuvarlanır.

Russell ve Whitehill bu paradoksun yanından dolaşmak için, "Tipler Hiyerarşisi" bir kuram oluşturmuşlardır. Tipler kuramı, Principia Mathematica'ya ek B: "Tipler Doktrini" olarak bir ek yazmıştır. Tipler kuramı halen de geçerli olmakla birlikte genel kabul görememiştir. Bunu nedeni, bu kuramın matematik içeriğinin çok ağır olması ve herkesin anlamakta zorluk çekmesi yanında, bir yandan yüklem, bir yandan da yüklemin tipi ile uğraşmanın pratik olmaması olarak açıklanmaktadır. Ayrıca, birçok matematikçi bu yöntemi "Ad Hoc" yani amaca yönelik olup genel çözüme yönlenmeyen bir yöntem olarak nitelendirmişlerdir. Yine de zaman içinde birçok doktorant, doktora tezlerinde tipler kuramından yaralanmışlardır. Halen de yararlanılmaya devam edilmektedir.

Paradoksun saptanması ile, birlikte Russell 1902 haziranının 16 sında de Frege‘ye bir mektup yazmış ve durumu açıklamıştır. Bu noktada, Frege, çok önemli olan ve matematiği Aristoteles mantığı yerine, geliştirilmiş Chrisippus mantığına dayandırmak amacı ile yazdığı anıtsal, "Grundgesetze der Arithmetik" (Aritmetiğin Temel Yasaları) kitabının ikinci cildinin basım aşamasında idi, paradoksun ağır ve tahrip edici anlamını ilk farkeden Frege olmuştur. Frege tarihsel bir soğukkanlıkla gerçeği kabul etmiş ve Grundgestze nin ikinci baskının eki olarak paradoksu açıklamıştır. Russell paradoksu, Frege'nin kümeler ile ilgili birçok düşüncesinden vazgeçmesine yol açmıştır.

Frege, kendi mantık sistematiği içinde paradoksu önleyecek bir yöntem geliştirmiştir. Fakat Fregenin mantık sistemi, yüklem ve yüklemin de özelliğinin belirtilmesine olanak veren herkesin kolay anlayamayacağı, karmaşık bir ikinci derece mantık olduğundan, önlem de aynı güçlüğü içerdiğinden genel kabul görememiştir. 1930 larda ise, Gödel tarafından, Fregenin ikinci derece mantığı, çok zengin içerikli olduğundan tutarsız ve tüm mantık sistemleri gibi yetersiz bulunduğundan, dünya en azından tutarlı bulunan sıfır ve birinci derece mantığa kaymıştır.

Frege aynı tarihte durumu açıklayan bir mektubu Hilbert' göndermiş ve Hilbert yanıtında, akıllara durgunluk verecek şekilde, durumun Zermelo ve kendisi tarafından iki yıldan beri bilindiği şeklinde olmuştur. Bugünkü bilgilerle bu paradoksa, "Cantor, Burali-Forti, Zermelo, Hilbert, Whitehill, Russell Paradoksu" adı verilmekte fakat en dünyaya en çok duyuran Russell olduğundan, "Russell Paradoksu" olarak tanınmaktadır.

Russell paradosunun benzerleri daha sonra, "Berry Paradoksu" ve "Richard Paradoksu" olarak tanınan paradokslar olmuştur.

Russel ve Fregenin çabaları genel kabul sağlayamazken, Zermelo 1908 de radikal bir öneri ile, "Gordiyonun Düğümü"nü çözmüştür. Zermelo, sınırsız içeriği önleyecek basit bir aksiyom sistemi (Axiom Schemata) önermiştir. Zermelo aksiyomları, tip kovalamayı gerektirmediğinden, basit ve anlaşılır olduğundan, derhal kabul görmüş ve kendilerini "Cantor'un cennetinden" , "Kaos'un cehennemine" düşmüş sayan matematikçiler de rahat bir nefes almışlardır. Kısa süre sonra, Zermelo aksiyomlarının bir mantık açığı içerdiğini saptayan ve bu açığı kapatan Fraenkl da bu aksiyom sisteminde dahil olmuş ve bu aksiyomlar, "Zermelo Fraenkl" aksiyomları olarak tanınmıştır. ZF olarak adlandırılan bu aksiyom sisteminin de yetersiz kaldığı daha sonra anlaşılmış ve buna bir de Zermelo'nun 1904 da bulduğu "Seçim Aksiyomu" (Axiom of Choice) eklenerek, ZFC aksiyom sistemi oluşturulmuş bu aksiyom sistemi aksiomatik küme kuramının temeli olarak kabul edilmiştir.

Temelkitap3_62.gif

ZFC Aksiyomları

1925 de von Neumann, kümeler kuramına "Tipler" kuramından bağımsız bir aksiyometrik sistem önermiştir. Bu sistem kümeler ve sınıflar arasında farklılık olduğu temeline dayanmakta ve kümelerin paradoksları önleyecek kurallarla bağlı kümeler (Sets) ile, kuralsız nesne toplulukları olarak sınıfları (Classes) birbirinden ayrı olarak nitelendirmiştir. Daha sonraları Gödel ve Bernays tarafından desteklenmesine rağmen, Von Neumann aksiyometrik küme kuramının kullanımı giderek azalmıştır. Bunun nedeni büyük bir olasılıkla kullanıcıların kümeler ve sınıflar arasındaki farkı kolay izleyemelerinden kaynaklanmaktadır. Daha sonraları Quine "NF" (New Foundation) adını verdiği, yeni bir sistem önermiştir. Bu sistem de tipler kuramı gibi üst üste sıralamalı (stratified comprehension axiom) bir sistemdir ve çok yaygınlık kazanmamıştır.

Bir başka çaba da, "Sezgisel Mantık" ve "Yapısalcı Matematik" taraftarı olanların, başı Luitzen Jan Brouwer ile Arendt Heyting tarafından çekilen, sezgiselci, konstrüksivist matematik akımını benimseyenler tarafından önerilen yöntemlerdir. Bu yöntemler, paradoksları önlemekle birlikte, bilinen matematiğin yarısını da geçersiz saydığından yaygınlık kazanamamıştır.

En büyük bomba ise 1956 da Paul Cohen tarafından patlatılmış ve ne yapılırsa yapılsın, kümeler kuramının tutarlığının kümeler kuramı içinden kanıtlamayacağı kanıtlanmıştır. Bu çalışma, kümeler kuramı ve mantığa dayalı matematiğin tutarlığının kendi içinden kanıtlanamayacağı görülmüştür. Cohen'in kanıtı, matematik için bir ilk olan "Forcing" yöntemine dayanmaktadır. Cohen'in kanıtlarının yıkıcı etkisinden kaçınmak isteyen matematikçiler, uzun süre bu yeni kanıt yönteminin geçerli olup olmayacağını tartışmışlar fakat 1963 de Kurt Gödel'in bu yöntemi ve çalışmayı doğrulayıp kutlaması ile, her türlü karşı görüş tatmin olmuştur. Bugün, bu çalışmanın etkileri tartışılmaktadır.

Bu durumda, bugün için, matematik boştadır. Hiçbir teoremin doğruluğu (doğruluk ne demekse) ileri sürülememektedir. Bu durumun çözümü için, matematiğin geçerliğine bir dinsel inanış gibi inanmamız istenmektedir.

Bu devirde, böyle bir istek saçmalıktan başka değildir. Herşeyin sorgulandığı ve her yanııtın kanıtının arandığı bu devirde sorgusuz sualsiz inanışın yeri var mıdır? Asla yoktur. öyleyse sorgulayalım, bu kanıya nasıl varılmıştır? Bu kanı, soyut bilginin soyut bilgi ile desteklendiği, somut hiçbir değere dayanmayan bir soyut mantık sistematiği olan tümdengelimsel (dedüktif) mantık sistemi ile oluşturulmuştur. Hiçbir gerçek tarafı yoktur. Uygulamacı görüş, küme kuramında paradoksun, gerçek yaşamda hiçbir şekilde gerçekleşme olasılığı olmayan, kendi kendisini, eleman oolarak içermeyen sonsuz kümelerden kaynaklandığını ve başka hiçbir sorun çıkmadığını, dolayısı ile kümeler kuramının tutrsız sayılmasının aşırı, şüpheci bir görüş olacağını savunmaktadırlar.

Saf mantıkçılar ise, kümeler kuramında, hem bir teoremin, hem de karşıtının kanıtlanabildiğini (Russell paradoksu), dolayısı ile küme kuramının toptan çöpe atılması gerektiğini, ama canlandırmak için, çeşitli aksiyomları sağlabilen topluluklara küme olabilme şansı tanındığında kümeler kuramının kullanılabileceğini belirtmişlerdir. Ne var ki Cohen'in çalışmaları, bu olasılığı da devre dışı bırakmaktadır. Yani, bu görüşe göre, ne sezgisel, ne de aksiyometrik küme kuramının, tutarlı olup olmadığına karar verilemez (undecidable).

Belki de, kümeler kuramı, paradoksal olmasına karşın, herşeye rağmen güncel yaşamda tutarlı olabilen tek mantıksal sistem olabilir.

Mühendisler, küme kuramı ve mantığa dayalı, "Sezgisel Küme Kuramı" nı kullanmaktadırlar. Bugüne kadar hiçbir kuramsal sorun yaşanmamıştır. Yaşanan tüm katastroflar, insan hatasından kaynaklanmıştır.

Bir fizikçi, kimyacı ve mühendis olduğum için, şahsen doğal olarak ampirist ve pragmatistim. Ampiristler deney yapar ve deney sonuçlarını biraraya getirip geçerli matematik bağıntılar oluşturmaya ve bu bağıntıları oluşturken en karmaşık matematik yöntemleri uygulamaktan kaçınmazlar. Biri yapamazsa başka yetenekli olanlar yapar ama, eninde sonunda, gerçekleşmesi gereken şeyler gerçekleşir. (Que sera, sera!).

Eğer belirli bir metal çubuğa belirli bir noktadan uygulanan kesme kuvvetleri bu çubuğa sehim yaptıramamışlarsa, uygulamacı için bu iş bitmiş demektir. Bu noktadan sonra tüm tanrıların şeytanları biraraya gelse, aynı koşullarda bu çubuğa sehim yaptıramaz. Matematik niye geçersiz olsun? Tüm dünya geçerli bağıntılar bekliyor. Bu körü körüne bir inanış değil deneysel sonuçlara saygıdır.

Daha önceleri Descartes "Matematiğin doğal olayları açıklamaktaki yetersizliğini dengeleyebilecek bir yöntem bulunmalı", en yeni olarak da Einstein (Kendisi fizikçidir!) tarafından açıklanan"Matematik doğaya yaklaştıkça kesinliğinden kaybeder, doğadan uzaklaştıkça kesinlik kazanır." sözcükleri boş değildir. Matematik doğanın aracıdır ve öyle kaldıkça da her yönüyle geçerli olacaktır.

ZFC bugün için en geçerli aksiyometrik küme sistemi olarak kabul edilmektedir. Bunun nedeni ZFC bir topluğa ancak aksiyomlardaki koşulları sağlayabiliyorsa küme olma hakkını tanımakta olmasıdır. Sadece paradoksa götürmeyecek olan topluluklar küme olarak tanınmaktadır. Aksiyomları sağlayamayan nesne toplulukları ile ilgilenilmemektedir. Ali Nesin bu durumu, "Kolay değildir küme olmak" şeklinde açıklamaktadır. Sadece aksiyomları sağlayabilen nesne toplulukları küme olarak adlandırıldığından ZFC ile ilişkileri izlemek kolay olmaktadır. ZFC ve von Neumann aksiyomlarının paradoksları önleme yetenekleri aynı olarak saptanmıştır. Günümüzde literatürde görülen çoğu çalışmalar ZFC yi, bazı çalışmalar da von Neumann yöntemini izlemektedirler. Tipler kuramı ve diğer kuramlar daha çok, matematik içinde kullanılmaya devam edilmektedir.

Russell paradoksunun açıklandığı 1902 den bugüne kadar bu paradoksun önlenebilmesi için bazıları yukarıda açıklanmış olan çeşitli çalışmalar yapılmasına ve yapılmaya devam edilmesine karşın, Russell paradoksunun doğru bir şekilde giderilmesi, bugün için tartışma konusu olmakta devam etmektedir

3.17 - Sezgisel ve Aksiyomatik Küme Kuramları

Kümeler kuramı bugün için "Nahif Kümeler Kuramı" veya "Sezgisel Kümeler Kuramı" adı verilen sınırsız içeriğe olanak veren paradoksal sistem ile "Aksiyometrik Kümeler Kuramı" olarak adlandırılan paradokstan arındırılmış sistemler olarak incelenmektedir.

Sezgisel kümeler kuramı iki aksiyomu hareket noktası olarak kabul eder.

Soyutluk veya İçerik Aksiyomu (Axiom of Abstraction (or Comprehension)

Her nesne topluluğu, ya listeleme ile veya belirli bir yüklem ile tanımlanırsa, bir küme oluşturur. Ayrıca, bir nesne eğer listelenemişse veya belirli bir yüklemi doğruluyorsa, bir küme elemanı olabilir. Sembolik olarak, eğer P(x) bir yüklem (Predikat) ise, {x|P(x)} kümesi vardır ve ∀a[a∈{x|P(x)}↔P(a)] olur.

Genişleme Aksiyomu (Axiom of Extension)

Eğer iki küme aynı elemanları içeriyorlarsa, bu iki küme birbirine eşittir. Sembolik olarak ∀x(x∈A∧x∈B)→(A=B)
olarak açıklanır.

İçerik aksiyomu çok güçlüdür ve kontrolsuz olarak uygulandığında Russell paradoksu gibi yıkıcı paradokslara neden olur. Kontrollü olarak uygulandığında ise, sezgisel küme uygulamaları, aksiyomatik küme uygulamaları kadar güvenli olur.

Sezgisel küme kuramı, mutlaka modası geçmiş, paradokslara gömülmüş bir küme kuramı değildir. Kendi kendsini eleman olarak içermeyen sonsuz kümeler dışında, sezgisel küme kuramını geçersiz kılan bir çelişki yoktur. Bu ayrıntıya dikkat edildiği sürece, sezgisel küme kuramı ZFC ye uygun kümeler haline gelir. özellikle uygulamalı matematikte (ki ilk hedefimiz budur) sezgisel küme kuramının dikkatli olarak, yani çelişki yaratmayacak şekilde ( kendi kendi içermeyeceği varsayılan sonsuz küme oluşumunun varsayılmadığı sürece), kullanımının hiçbir sakıncası olmayacaktır.

Ayrıca, paradoksların sadece kullanıcı tarafından tanımlanan, kendi kendini eleman olarak içermeyen sonsuz kümelerin oluşturulmaya çalışılması ile ortaya çıktığını, bunun dışındaki sonsuz ve sonlu kümelerde, paradoks sorunu olmadığını da belirtmek yararlı olacaktır.

En yeni ve en son yorumlar, Paul Cohen'in, "tamamamlanmamış (yetersiz) ve karar verilemez olmak" üzerindeki sonuçları, sadece "Bazı matematik akıl yürütme yöntemlerinin, ya kararlı olmadığı, ya da konu ile ilgili yararlı sonuç sağlamakta yetersiz kalacağı" üzerine olduğu, bu sonuçların mantık ve "Matematiğin Temelleri" üzerinde etkili olacağı, fakat uygulamalı matematiğe bir etkisi olmayacağı yönündedir.

Siz değerli okuyucularla birlikte yürüttüğümüz bu çalışmanın içindekiler listesi çok uzun ve kapsamı tüm matematiğin temellerini kapsayacak genişlikte olacaktır. Bu çalışma süresince, matematik dilini ve yöntemlerini tanımaya çalışacağız. Bu nedenle, şimdilik aşırı derinliğe kaçmayacak ve sadece genel bir anlayış için gerekli bilgiler üzerinde durmaya çalışacağız. Bu çalışma tamamlanınca, kazandığımız bilgiler ile donanımlı olarak, ikinci aşamada aksiyometrik kümeler kuramı gibi biraz daha derin konularla ilgilenmeye çalışacağız.

3.18 - Kuvvet Kümesi

Bir kümenin "Kuvvet Kümesi" (Power Set) bu kümenin oluşturulabilir tüm alt kümelerini eleman olarak içeren bir kümedir. Bir X kümesinin eleman sayısı x (boş kume hariç), gerçek elemanlarının sayısı olmak üzere, kuvvet kümesi, Temelkitap3_63.png 'n eleman sayısı,

| Temelkitap3_64.png| = Temelkitap3_65.png

olarak belirtilir. Burada kuvvet kümesi, Temelkitap3_66.png eleman sayısına, boş küme Ø ve x kümesinin kendisi de dahildir. Eğer eleman bir küme ise, tek bir eleman sayılır. Örnek olarak, bir Θ (teta) kümesi Θ = {x , y ,z} olarak tanımlanmışsa, | Temelkitap3_67.png| = Temelkitap3_68.png = Temelkitap3_69.png8 yani, Θ kümesinin kuvvet kümesi Temelkitap3_70.png nın eleman sayısı, 8 olacaktır. Temelkitap3_71.png kümesinin Matematica da oluşturulması aşağıda görülmektedir.

Temelkitap3_72.png

Out[81]=

{{}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}

Sonuçta, kuvvet kümesi,

Temelkitap3_73.png = {{Ø} , {x} , {y} , {z} , {x , y} , {x , z} , {y , z} , {x , y , z}}

olarak bulunur. üç elemanlı bir kümenin, kuvvet kümesinin Hasse diyagramı,

Temelkitap3_74.gif

Θ = {x , y ,z} Kümesinin Kuvvet Kümesi Temelkitap3_75.png nın Elemanları (Kaynak : Wikipedia)

Yukarıdaki şekil, kuvvet kümelerini anımsamak için iyi bir yöntem olabilir. üç elemanlı bir kümenin, kuvvet kümesinin eleman sayısı, bir kübün köşegönlerini dolduracak kadardır (8 küme = Temelkitap3_76.png).

3.19 - Kümelerin Farkı

Bir küme ile başka bir kümenin farkı iki kümenin birbirlerine eşit olmayan elemanlarının oluşturduğu bir kümedir. Buna "Fark Kümesi" adı verilir .

B - A = B \ A ,

A - B = A \ B

olarak gösterilir.

B - A = B \ A = B deki elemanlar - A ve B deki ortak elemanlar

B - A = B \ A = B deki elemanlar - A ve B nin kesişim kümesi elemanları

Eğer,

A ve B ayrık kümeler ise, kesişim kümeleri, boş küme Ø dir. Bu durumda B - A = B olacaktır.

A ⊆ B ise, A - B = Ø olacaktır.

Temelkitap3_77.png

In[160]:=

A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5}

Out[160]=

{1, 2, 3, 4, 5}

In[161]:=

B = {4 , 5 , 6 , 7}

Out[161]=

{4, 5, 6, 7}

kümeleri verilmiş olsun.

Intersection[A, B]

Temelkitap3_78.png

B \ A = B - A = B - (A ∩ B)

B \ A = B - A = {4 , 5 , 6 , 7} - {4 , 5} = {6 , 7}

A \ B = A - B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} - {4 , 5} = {1 , 2 , 3}

A \ B = {1 , 2 , 3} (A - B) (Fark A, B) ( sadece ortak elemanlar kaybolmuş!)

B \ A = {6 , 7} = (B - A) (Fark B, A) ( sadece ortak elemanlar kaybolmuş!)

Fark işleminde, A \ B ile B \ A farklarının (A kümesinin B kümesinden farkı) ile (B kümesinin A kümesinden farkı) kümelerinin birbirlerinden farklı kümeler olduklarına dikkat edilmelidir. Eşit kümelerin birbirlerinden farkları boş küme Ø olur. Ayrık kümelerin fark kümeleri tanımlı değildir.

Bu örnekte uygulanan fark işlemleri aşağıdaki Venn diagramınde görülmektedir.

Temelkitap3_79.gif

İki küme arasındaki fark işlemleri.

Bu diyagramdan, aynı sayısal sistemde olduğu gibi,

A - B = A \ B = A - (A ∩ B) = A \ (A ∩ B)

B - A = B \ A = B - (A ∩ B) = B \ (A ∩ B)

olarak hesaplanabileceği görülmektedir.

İki kümenin simetrik farkı, Δ sembolü ile gösterilir ve her iki kümenin kesişim kümesinin dışındaki öz alt kümelerinin birleşiminden oluşur. Tanımı,

A Δ B = (A \ B) U (B \ A)

şeklindedir . Bu tanımın okunuşu,"A ve B olarak tanımlanmış iki kümenin simetrik farkı, A \ B ve B \ A kümelerinin birleşim kümesidir" şeklindedir. Yukarıdaki örnekte tanımlanmış olan A ve B kümelerinin simetrik farkı,

A Δ B = {1 , 2 , 3 , 6 , 7}

kümesidir. Bu küme, Şekil 1.2.10 - 4 de sarı ve yeşil ile gösterilen alanların tümünü, yani şekilde açık yeşil ile renklendirilmiş olarak görülen kesişim kümesi dışında kalan tüm alanları kapsar.

Mathematica ile, küme farkları ve simetrik küme farkları, küme tümleyicilerinin uygulanması ile daha kolay olarak hesaplatılabilecektir.

3.20 - Sıralı İkiler, Kartezyen çarpım

Küme elemanlarının prensip olarak sırasız oldukları, veya başka bir söylemle, elemanlarının sıralanma şeklinin küme tanımını ilgilendirmeyeceği belirtilmişti. Bu durumda, bir küme elemanlarının sıralanma durumu üzerine konuşulması, ilk bakışta anlaşılmaz olabilir. Aslında belirli bir düzeni (Order) olan kümelerin matematikte büyük önemi vardır.

Bir düzen denilince, ilk akla gelen küçükten büyüğe sıralamadır. Oysa sıralama her türlü olabilir. Örnek olarak örgü örmede uygulanan "İki ters, bir düz", "Haraşo (Güzel, Rusça) " yöntemleri de birer düzen kalıbıdır. Jacquard tarafından delikli silindirler ile uygulanan "Jakar" kalıpları, ileride IBM makinelerinin delikli kart okuyucularına esin vermiştir.

Küme elemanlarının düzeni, kendinizin tanımladığı veya genel olarak tanınmış olan her türlü düzen kalıplarından oluşabilir. En temel şekilde, küme elemanlarının hiçbir kalıba uymaları gözetilmemiş vahşi kümelerde bile, ister istemez bir düzen vardır. Bu insan eliyle oluşturulmamış bir düzen olan ve ister istemez her kümede oluşan düzen, elemanların yazılma sırasıdır. Bu da, yüzde yüz sırasız diye bilinen tüm kümelerin, ister istemez bir iç düzenleri olduğunu belirtir. İşte kümelerin kartezyen çarpımları, kümelerin bu iç düzenlerinden yararlanılarak oluşturulan sıralı kümelerdir.

Internet' te yayınlanmış sayfaların çoğu, wikipedia dahil, kaynak olarak, Halmos Naive Set Theory" kitabını göstermektedir. Aşağıdaki açıklamalar da aynı kaynaktan alınmıştır.

Elemanları küme olan aşağıdaki kümeyi gözönününe alalım.

{a, b, c, d}

Bu kümenin her elemanı bir eşik olsun, her eşik kendisi (ilk ve son eşik) ile kendisinden önce gelen elemanları içeren yeni bir küme oluşturarak, hepsini yeni bir küme içinde toplasın.

Temelkitap3_90.png

In[177]:=

CQ = {{a} , {a, b} , {a , b , c} , {a , b , c, d}}

Out[177]=

{{a}, {a, b}, {a, b, c}, {a, b, c, d}}

Bu yeni CQ kümesini istersek değişik bir sıra ile de yazabiliriz.

CQ = {{a , b , c} , {a} , {a , b , c, d} , {a,b} }

Şimdi sırası karıştı, ama bu kümenin ilk bir eleman sırası vardı ve acaba buna bir şekilde geri dönebilirmiyiz? Evet bir yolu var. önce tek elemanlı kümeyi yerleştiririz, sonra iki elemanlı ve böyle devam edersek, tüm kümeyi orjinal sıralama ile yeniden oluşturabiliriz. (Restitüsyon).

CQ= {{a} , {a,b} , {a , b , c} , {a , b , c, d}}

Aynı kolaylıkla, bu sıralamanın tersini de, yani büyükten küçüğe doğru sıralamayı da gerçekleştirebiliriz. Şimdi durumu netleştirelim. Bir sıralamayı (Order) tanımladık ve bir kümenin elemanın dağıtımı ne olursa olsun, aynı sıralamayı bir şekilde yeniden tutturabiliyoruz. Tabii, CQ kümesinin eleman yapısının da, buna olanak verecek şekilde oluşmuş olması da bu derece rahat hareket edebilmemizi sağlamaktadır.

İkili topluluklar (a,b) şeklinde parantez, içinde gösterilir. Parantez içinde gösterilen değerler bir "Tuple" (Topluluk) dur. Tuple olarak verilen değerlerin sıralaması ve eleman sayısı tanımdan sonra değişmez. Bu (a,b) topluluklarına "Sıralı İkililer" (Ordered Doubles) adı verilir. Bu sıralı ikililerin ilk elemanı, Kartezyen koordinat sisteminin absis eksenine, ikinci elemanı da Kartezyen koordinat sisteminin ordinat eksenine uyarlanmışlardır ve Analitik Geometrinin iki boyutlu düzlemde belirli bir noktasını belirleyen (x,y) koordinatlarını oluşturmaktadırlar. Kartezyen koodinat sistemi, 1600 lü yıllarda René Descartes (Renatus Carthegianus) tarafından tanıtılmışlardır. İkili topluluklar, aynı zamanda ikili ilişkilerin de başlangıcıdır.

İkili toplulukların sırası, dadece ve yanlız sadece kümelerin elemanlarının orijinal tanım sırasına bağlıdır. Sıralı ikililerin sırasısında, iki kümenin elemanlarının tanım sıralarına erişmek olanağı vardır. Bu da her kümenin elemanalrının düzenli bir sıralaması olmasa bile hiç değilse elemanlarının tanım sıraları olduğunu belirtir. Yani hiçbir küme tam anlamı ile düzensiz değildir. En azından eleman tanım sırası vardır.

Dörtlü bir kümenin sıralanması kolayca gerçekleştirilebildiğine göre, ikili (iki elemanlı) bir kümenin sıralı ikilisinin oluşturulabilmesi, çok daha kolay olmalıdır. İki elemanlı bir A dizisi,

A = {a , b}

olarak, tanımlanmış olsun, Burada eğer ilk olarak a alınacak şeklinde bir karar alınacaksa,

C = {{a}, {a, b}};

olarak oluşur. Descartes bunlardan a yı x koordinatı, b yi de y koordinatı olarak tanımlamıştır.

Eğer, (a , b) = (x , y) olacaksa, a = x, b = y olmalıdır.

Bunun kanıtlanması için, eğer a = b ise (a,a) ve küme eşit elemanlardan sadece birini alacak olduğundan, bir tekli küme (singleton) olacaktır {a}. Eğer aksine, (a , b) bir tekli küme ise, o zaman {a} = {a , b} olacak ve zorunlu olarak b ∈ {a} olacak bu da b = a anlamına gelecektir.

Şimdi, (a , b) = (x , y) olduğunu düşünelim,

eğer a = b olursa, her ikisi de bir tekli küme olacak ve x = y olacaktır. Bu şekilde a, b, x, ve y nin tümü birbirine eşit olacaktır.

Eğer a ≠ b ise, ister istemez x≠y olmalıdır. Bu durumda, (a , b ) = (x , y ) eşitliğinin sağlanması için, a = x, b = y olmalıdır.

Eğer A ve B birer küme iseler, acaba bir (a , b) ikilisinin ilk elemanının A kümesinden ikinci elemanın da B kümesinden alınabilme olanağı var mı?

Bunun kanıtlanması yapılabilir. Eğer a elemanı A kümesinin bir elemanı (a ∈ A) ise, b elemanı da B kümesinin bir elemanı ise, (b ∈ B), ve A ∪ B de her iki kümenin birleşimi ise, o zaman hem {a}, hem de {b} , A ∪ B in alt kümesi olmak zorundadırlar. Sorit olarak yazarsak,

a ∈ A

b ∈ B

{a} ⊂ A

{b} ⊂ B

----------------------------

∴ {a , b} ⊂ (A ∪ B)

olur. Hem {a} kümesi hem de {b} kümesi, A ∪ B nin alt kümeleri oldukları için, hem {a} hem de {a,b} , P(A∪B) nin alt kümesi ve P(P(A∪B)) nin de birer elemanıdırlar.

((a ∈ A) ∧ (b ∈ B)) → (a , b) ∈ P(P(A ∪ B))

Bu bilgilerle, ZFC nin (specification) ve (extension) aksiyomlarının uygulanması ile (A x B) olarak adlandırılan, a∈A ve b∈B olan (a,b) çiftlerini içeren bir kümenin oluşumu sağlanabilir. Bu küme,

A × B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B}

olarak tanımlanır ve bu kümeye A ve B kümelerinin "Kartezyen çarpımı" kümesi olarak adlandırılır. Tanımda iki nokta yerine | da kullanılabilir. Böylece,

A × B = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B}

olarak tanımlanabilir. Kartezyen çarpım kümesinin oluşumunun kanıtlanması, salt bilgi vermek amacına yöneliktir ve bu aşamada mutlaka anlaşılması gerekli değildir.

İki kümenin Kartezyen çarpım kümesi, eleman olarak a ∈ A ve b ∈ B olan (a,b) sıralı ikilileri içeren bir kümedir. Aynı tanımın eşdeğeri de a ∈ A ve b ∈ B olan (a,b) sıralı ikililerinin A ve B kümelerinin Kartezyen çarpımı adı verilen ve AXB olarak gösterilen bir kümenin elemanları olmalarıdır. Bu çalışmada, A ve B kümelerinin kartezyen çarpımı kümesini K olarak adlandıracağız. olarak Bu isim, Kartezyen çarpım kümesinin bir alt kümesi olan R kümesi ile karıştırılmasının önlenmesiçin yapılmıştır. İlişki kümesi R 'n adı, "Relation" (İlişki) sözcüğünden türetilmiştir. İlişkiler, kısa süre sonra inceleyeceğimiz bir konu olacaktır.

R kümesi elemanları, birinci ve ikinci eksenlere (absis ve ordinat) projeksiyonları,

A = {a | belirli bir b için ((a , b) ∈ K))

B = {b | belirli bir a için ((a , b) ∈ K))

olarak belirtilir. Bu da, Kartezyen koordinatlarda (a,b) nin projeksiyonu (yansıması, taşınması) dır.

Kartezyen çarpım kümesinin kardinalitesi (eleman sayısı), çarpımı oluşturan kümelerin kardinalitelerinin çarpımıdır.

n(A x B) = n(A) x n(B)

Kartezyen çarpımın oluşturulması basit, fakat eski günlerde zahmetli bir olay olmaktaydı. Artık uzay çağında yaşadığımız için kartezyen çarpımlar, olağanüstü kolay, olağanüstü çabuk ve insan eli gerektirmeden, salt bilgisayarlar tarafından hesaplanabilmektedir.

Kartezyen çarpım için, en öğretici örnek A = B = {1 , 2 , 3} eşit kümelerini kartezyen çarpımlarının oluşturulmasıdır. İki eşit küme elemanları arasında oluşturulacak Kartezyen çarpımı kümesi, tek küme elemanları arasındaki Kartezyen çarpımı kümesine eşittir. Bu iki kümenin Kartezyen çarpımlarının eleman sayısı, n(A) x n(B) = n(A x B) = 3 x 3 = 9 olacaktır. Aynı şekilde 3 elemanlı bir kümenin Kartezyen çarpımı kümesinin eleman sayısı da n(A) x n(A) = 9 olacaktır.

Kartezyen çarpımların oluşturulması için eskiden bir tablo yapılırmış. Bu tablonun ilk sütunu A kümesi, ilk satırı da, B kümesi elemanlarından oluşturulurmuş.

Kartezyen Çarpım
  1 2 3
3 square square red square
2 square red square square
1 red square square square

Mavi ile belirtilen hücreler B kümesi, yeşil ile belirtilen hücreler de, A kümesinin elemanlanlarıdır. Bundan sonra, kartezyen çarpım kümesi elemanları, her satır içinde en üstten başlayarak sıra ile oluşturulabilir. Kartezyen çarpımı kümesine, "Sıralı İkililer" denilmesinin nedeni bundandır.

1 2 3
1 (1,1) (1,2) (1,3)
2 (2,1) (2,2) (2,3)
3 (3,1) (3,2) (3,3)

Sonuçta A X B Kartezyen çarpım kümesi, (1,1) , (1,2) , (1,3) , (2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , (3,2) , (3,3) olarak oluşturulur.

Günümüzde Kartezyen çarpımın bulunması, Math Celebrity , Easy Calculation , MathPortal veya eguruchela sitelerinin birinden yararlanılarak bulunabilir.

Yukarıdaki örneğin Kartezyen çarpımı, Math Celebrity bu sitesinden,

Temelkitap3_91.gif

olarak oluşturulmuştur.

Yukarıdaki sonuç, n(A) = 3 ve n(B) = 3 iken n(A X B) = 3 x 3 = 9 olduğunu göstermektedir.

Kartezyen çarpımı farklı kümelerde, değişebilir (komütatif) değildir. Yani, (A ≠ B) → (A x B ≠ B x A) sonucunu gerektirir.

İlişki kümeleri, sıralı ikililerin birbirleri arasında belirli bir ilişki kuralını (örnek olarak, birinci eleman büyüktür ikinci eleman gibi) doğruladıkları, elemanları sıralı ikililerden oluşan bir kümedir. Bir R ilişki kümesi,


R = {{Temelkitap3_92.png} , {Temelkitap3_93.png} , {Temelkitap3_94.png} , . . . , {Temelkitap3_95.png} ,
{Temelkitap3_96.png} , {Temelkitap3_97.png} , {Temelkitap3_98.png} , . . . , {Temelkitap3_99.png}
.
.
.
{Temelkitap3_100.png} , {Temelkitap3_101.png} , {Temelkitap3_102.png} , . . . , {Temelkitap3_103.png}}

şeklinde ise, bunun tersi (inversi),

R' = {{Temelkitap3_104.png} , {Temelkitap3_105.png} , {Temelkitap3_106.png} , . . . , {Temelkitap3_107.png} ,
 {Temelkitap3_108.png} , {Temelkitap3_109.png} , {Temelkitap3_110.png} , . . . , {Temelkitap3_111.png} ,
.
.
.
{Temelkitap3_112.png} , {Temelkitap3_113.png} , {Temelkitap3_114.png} , . . . , {Temelkitap3_115.png} }
şeklinde olacaktır. Bu iki kümenin birbirlerinden farklı olacağı açıktır. Aşağıdaki sayısal örnek bunu belirtmektedir. (Not: Sayısal örnekler kanıt değildir, sadece uygulama sonucunu belirtirler. Böyle bir sonucun alınacağının kanıtı sadece tümdengelimsel (dedüktif) mantık yöntemleri ile olur. Aslında yukarıdaki dedüktif kanıt, bu sonucun sadece bu sonucun alınabileceğini ve başka hiçbir sonucun alınamayacağını açıklar. Bir başka deyişle, eşit olmayan kümelerin Kartezyen çarpımlarının komütatif olamayacağı bir teorem olarak bir önceki satırda kanıtlanmış durumdadır. Matematikte sayısal örneğe gerek yoktur. Ayrıca, sayısal sonucun bir değeri de yoktur. Sayısal örnekler salt işlemin yürüyüşünün iyice anlaşılması amacı ile verilmektedir. )

Örnek,

In[2]:=

A = {1 , 2 , 3 , 4}

B ={6 , 7 , 8 , 9 10}

A X B =

Temelkitap3_116.gif

B X A =

Temelkitap3_117.gif

Her ikisinin de farklı kümeler oldukları görülüyor. Bu olgu, kuramsal olarak da açıkça belirtilmiştir, çünkü her farklı iki kümenin sıralı ikilerinin eleman düzeni birbirlerinden farklıdır. Kardinalite farkının önemi yoktur. önemli olan düzendir. A ve B kümeleri eşit kardinalitede fakat farklı kümeler olsalar, yine de A x B ≠ B x A olacaktır. Sadece eşit düzende olan eşit kümelerin Kartezyen çarpımları değişebilir özellik taşır. Yani [(A x B = B x A) → (A = B)] " A ve B kümelerinin Kartezyen çapımlarının değişebilir olmaması, her iki kümenin farklı kümeler olmasını gerektirir". Burada sıralı kümelerden bahsediyoruz. Sıralı kümelerin eşitliği elemanlarının ve sıralarının aynı olmasını gerektirir. Sıralı kümelerde, A = {1 , 2 , 3} ve B = {3, 2, 1 } ise bunlar aynı kümeler değildir. Sadece A = {1 , 2, 3} ve B = {1 , 2 , 3} kümeleri eşit kümeler olarak kabul edilirler. A ve B kümelerinin sıralı olarak eşit olması halinde Kartezyen çarpımlarının değişebilir olması, iki eşit küme için K = A x B = B x A = A x A olmasını gerektirir. Bu önemli olgu, ilişkilerin sıralı olarak iki eşit küme arasında değil sadece bir tek kümenin elemanları arasında da eşdeğer olarak incelenebileceğini belirtir.

Sıralı ikililerin, küme kuramında önemi büyüktür. Prensip olarak hiçbir sıra kavramını içermeyen kümelerden, salt eleman sıraları (eleman indisleri) ne dayalı ve sıralaması, A ve B ye benzemeyen bir K (K = A X B) kümesi oluşmasına olanak sağlamaktadır.

K kümesi, kendine özgü, bağımsız sıralama sistemine sahip, bir kez oluştuktan sonra, elemanlarının sıralaması değiştirilemeyen özel bir kümedir. Bu kümenin önemini, ikili ilişkilerin ve sıralı kümelerin incelenmesi sırasında göreceğiz.

3.21 - Küme İşlemlerinin özellikleri

3.21.1 - Tekgüçlülük (Idempotans) Yasaları

Idempotans yasaları, kümelerin kesişme ve birleşmelerinin tanımlarından kaynaklanır.

3.21.1.1 - Bir Kümenin Kendisi ile Kesişmesi

Bir kümenin kendisi ile kesişmesinin sonucu yine kendisidir.

A ∩ A = A

3.21.1.2 - Bir Kümenin Kendisi ile Birleşmesi

Bir kümenin kendisi ile birleşmesinin sonucu yine kendisidir.

A ∪ A = A

3.21.2 - Değişme (Komütasyon) Yasaları

Değişme, işlemde, işlenenlerin yer değiştirebilmeleri özelliğidir. Kesişme (Intersection) ve Birleşme (Union) işlemlerinin yer değişme özellikleri vardır.

3.21.2.1 - Kümelerin Kesişmesinin Değişme Yasası (Komütatiflik)

A ∩ B = B ∩ A

Bu formülde görüldüğü gibi, değişme özelliği olan işlemlerde, işlenenler işlemci etrafında yer değiştirilebilir.

Mathematica da, bu soyut bağıntının, uygulamada doğru sonuç verip vermeyeceği sorgulanabilir.

Temelkitap3_118.png

In[179]:=

A = {1, Hasan , 16 , Kemal, Gül}

Out[179]=

{1, Hasan, 16, Kemal, Gül}

In[180]:=

B = {16, Gül , Hasan}

Out[180]=

{16, Gül, Hasan}

Bakalım, tüm küme kesişmelerinin değişme özelliği var mı ? Matematica' da bunu == (çift eşit) işlemcisi ile sorgulayabiliriz. çift eşit işlemcisi, "bu işlem doğulanabilir mi ?" sorgusunu yapar.

In[181]:=

A ∩ B == B ∩ A

Out[181]=

True

Bu yanıt olağanüstü değerlidir. Mathematica, tüm küme kesişmelerinin değişme (komütasyon) özelliği olduğunu doğruluyor. Bunun anlamı, ne kadar sayısal örnek çözülürse çözülsün, daima kesişmenin değişme (komütason özelliğinin doğrulanacağıdır. Bu doğrulama, hiçbir sayısal örneğe gerek olmadığını, sonucun daha baştan olumlu olacağını belirtiyor. AMA, BU DOĞRULAMA "KüME KESİŞME İŞLEMİNİN DEĞİŞME öZELLİĞİ VARDIR" HİPOTEZİNİ KANITLAYIP, TEOREM HALİNE GETİRMEZ. Burada doğrulanan, matematikte hiçbir önemi olmayıp, uygulamada son derece önemli olan "Sayısal Doğrulama" (Numerical Approval) dir. Matematikte bir hipotezin kanıtlanıp, teorem haline gelebilmesi için sadece mantık yöntemleri ile herkesin kabul edebileceği bir kanıt "Rasyonel Kanıt" oluşturulması gerekir. Bunun dışında sayısal doğrulamaya dayanan "Ampirik Kanıtlar" (Deneysel sonuçlar) ( Tümevarımsal bilgiler) kanıt olarak kabul edilmez.

Kanıt olmamasına karşın, generik sayısal doğrulama son derece önemlidir. Bizi gereksiz yere deney yapmaktan korur. Yine bir sayısal uygulama ile, küme kesişmelerinin değişme özelliği olup olmadığını kontrol edelim.

In[183]:=

C1 = A ∩ B

Out[183]=

{16, Gül, Hasan}

Out[182]=

{16, Gül, Hasan}

In[184]:=

C2 = B ∩ A

Out[184]=

{16, Gül, Hasan}

Her iki yöntemle oluşan kesişme kümelerinin eşit olup olmadıklarını kontrol edelim.

In[185]:=

C1 == C2

Out[185]=

True

Bu sonuç, A ve B gibi iki tanımlı küme nin kesişmesinin, birleşme özelliği olduğunu, ve hangi yoldan gidilirse gidilsin, aynı kesişme kümesinin oluşacağını açıklar. Generik ilşiki Mathematica tarafından doğrulandığına göre fazla uygulama yapılması sayısal sonucu değiştirmeyecektir.

Kuramsal olarak düşünülürse, küme kesişmesinin tanımı,"Hem A kümesine ait, hem de B kümesine ait elemanların oluşturduğu bir küme", olarak yapıldığı için, oluşacak tek kümenin A ve B nin mi, yoksa B ve A nın mı ortak elemanlarından oluşacağı sorusunun yanıtı, "hangi taraftan başlanılılırsa başlansın, sonuçta aynı tek kümeye varılır" olacaktır (Q.E.D.) (Quod Est Demonstratum) (Kanıtlanması Gereken Budur).

3.21.2.2 - Kümelerin Birleşmesinin Değişme Yasası (Komütatiflik)

Bu özellik,

A ∪ B = B ∪ A

olarak belirtilir. Bu konuda, doğrudan tümdengelimsel (rasyonel) kanıtlama ile başlayarak, tüm spekülasyonu baştan engelleyelim.

Bir A ve B kümelerinin birleşmesi nereden başlanılırsa başlansın sadece ve yanlız sadece bir tek birleşme kümesi verir (Q,E.D).

Böylece hiçbir sayısal örnek yapılması gereli olmaz. Fakat, daha fazla açıklama amacı ile, sayısal bir örnek yapılması yararlı olabilir.

In[186]:=

A ∪ B == B ∪ A

Out[186]=

True

In[187]:=

CC1 = A ∪ B

Out[187]=

{1, 16, Gül, Hasan, Kemal}

In[188]:=

CC2 = B ∪ A

Out[188]=

{1, 16, Gül, Hasan, Kemal}

In[189]:=

CC1 == CC2

Out[189]=

True

Sonuç A ∪ B = B ∪ A

olarak bulunduğundan, küme birleşmesinin değişme özelliği olduğu, sayısal olarak da doğrulanmış olur.

3.21.3 - Birleşme (Asosiyasyon) Yasaları

3.21.3.1 - Kümelerin Kesişmesinin Birleşme Yasası (Asosiyatiflik)

Bu özellik,

A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C

olarak belirtilir.

Kuramsal olarak, "her iç kümenin de sadece bir tek kesişme kümesi olacağı için, bu kümenin oluşumuna, hangi taraftan başlanılırsa başlanılsın, sonuç değişmez" (Q.E.D).

Sayısal örnek,

Temelkitap3_119.png

In[191]:=

C1 = { 2, 16, 32 45}

Out[191]=

{2, 16, 1440}

In[192]:=

A ∩ (B ∩ C1) == (A ∩ B) ∩ C1

Out[192]=

True

In[193]:=

C2 = A ∩ (B ∩ C1)

Out[193]=

{16}

In[194]:=

C3 = (A ∩ B ) ∩ C1

Out[194]=

{16}

In[195]:=

C2 == C3

Out[195]=

True

Böylece,

A ∩ (B ∩ C1) = (A ∩ B) ∩ C1

olduğundan, küme kesişmelerinin birleşme (assosiatif) özelliği olduğu, sayısal olarak da doğrulanmış olur.

3.21.3.2 - Kümelerin Birleşmesinin Birleşme Yasası (Asosiyatiflik)

Bu özellik,

A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C

olarak belirtilir.

Bu yasanın tutacağı daha baştan bellidir. (A ∪ B ∪ C) bir tane özgün kümedir. Yani, kümeler sadece bir tane özel kümeye birleşirler. Bunun elemanlarının hangi taraftan yerleştirilmeye başlanacağı hiç önemli değildir (Q.E.D.).

Teorem'in kanıtlanması ile, tüm uygulamaların doğrulanacağı olgusu da kesinleşmiş olur. Yine de bir sayısal örnekle bu yasanın doğrulandığını görelim. A, B, C1 kümeleri tanımlı kümeler olsun,

In[196]:=

A ∪ (B ∪ C1) == (A ∪ B) ∪ C1

Out[196]=

True

Out[2]=

True

Sayısal doğrulama sağlandı. Sayılar nerede? A, B ve C1 kümeleri tanımlı ve aşağıda görülen değerleri var olduğu için Mathematica bunları tanımlı değişkenler olarak kabul edip, değerlerini kullanarak bağıntıyı doğrulayıp doğrulamayacağına karar veriyor. Doğrulayabilirse, "True" (Doğru) kararını veriyor. Verilmiş değerler,

In[197]:=

A

Out[197]=

{1, Hasan, 16, Kemal, Gül}

In[198]:=

B

Out[198]=

{16, Gül, Hasan}

In[199]:=

C1

Out[199]=

{2, 16, 1440}

Siz de lütfen kendi tanımladığınız kümelerle aynı uygulamayı tekrar ediniz.

3.21.4 - Dağılım (Distribüsyon) Yasaları

3.21.4.1 - Birleşmenin Kesişme Etrafında Dağılımı

A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

In[200]:=

CCX = {Janet, Michel, Jean};

Not : bildirim sonunda (;) (Semi kolon) olduğunda, Mathemetica atamayı kabul eder fakat işlem sonucunu görüntülemez.

In[201]:=

A ∪ (B ∩ CCX) == (A ∪ B) ∩ (A ∪ CCX)

Out[201]=

True

Sayısal olarak doğrulandı.

3.21.4.2 - Kesişmenin Birleşme Etrafında Dağılımı

In[18]:=

A ∩ (B ∪ CCX) == (A ∩ B) ∪ (A ∩ CCX)

Temelkitap3_120.png

Sayısal olarak doğrulandı.

3.21.5 - Kimlik (Identity) Yasaları

Kimlik yasaları, belirli tanımı olan kümelerin başka bileşimli kümelerden farklı olmasından, yani kimliğin sakınımı prensibinden kaynaklanır. Belirli bir bileşimi olan kümeler bileşimlerini korurlar, kümelerin adları değil bileşimleri sakınımlıdır.

3.21.5.1 - Bir Kümenin Boş Küme Ø ile Birleşimi Yasası

Bir kümenin, boş küme ile birleşmesinin sonucu, aynı kümedir. Not : Boş küme, bir kümenin elemanı ise, o kümenin bileşimi , boş küme dışında aynı elemanlara sahip bir kümeden farklıdır. Boş küme, elemanı olduğu kümenin özelliklerini değiştirir. Bu nedenle boş küme her kümenin otomatik elemanı değildir. Açıkça (eksplisit olarak) eleman olarak belirtilmesi gerekir. Oysa küme birleşimlerinde, birleşim kümesi, her iki bileşenin tüm elemanlarını içermelidir. Boş kümede eleman olmadığı için, birleşim kümesinde bir etkisi görülmez. O yüzden bir kümenin boş küme ile birleşim kümesi, yine aynı küme olacaktır.

A ∪ Ø = A

In[203]:=

(A ∪ {})

Out[203]=

{1, 16, Gül, Hasan, Kemal}

Sayısal olarak da doğrulandı.

3.21.5.2 - Bir Kümenin Sonsuz Küme ile Birleşimi Yasası

Temelkitap3_121.png

Kanıt : Evrensel küme, tüm kümeleri alt kümeleri olarak içerdiğinden, kendi alt kümelerinden biri ile birleşimi yine Evrensel küme olacaktır.

Temelkitap3_122.png

Temelkitap3_123.png

Temelkitap3_124.png

Temelkitap3_125.png

Temelkitap3_126.png

Temelkitap3_127.png

Kanıtlanan bir teorem, tüm gerçek örnekler için geçerlidir. Bu nedenle, eldeki sayısal örnekle de geçerli olmaktadır.

3.21.5.3 - Bir Kümenin Boş Küme Ø ile Kesişmesi Yasası

Boş kümede hiç eleman olmadığı için, hiçbir küme ile ortak elemanı olamaz. O yüzden, tüm kümelerin boş küme ile kesişme kümeleri boş kümeye eşittir.

In[62]:=

A ∩ {}

Out[62]=

{}

Bu yasanın olması gerektiği gibi, sayısal olarak doğrulandığı görülmektedir.

3.21.5.4 - Bir Kümenin Evrensel Küme ile Kesişmesi Yasası

Evrensel küme, tüm kümeleri alt kümesi olarak kabul eder bu nedenle, A kümesi de doğal olarak evrensel küme U nun alt kümesidir. Yani, A kümesinin tüm elemanları, evrensel küme ile ortaktır. İki kümenin kesişme kümesi, her kümedeki ortak elemanları içereceğinden, A kümesinin, evrensel küme U ile kesişme kümesinin , U ile A'nın ortak elemanları olan, tüm A kümesi elemanlarını içereceği açıktır.

Evrensel küme (Universal Set) ile sayısal örnek yapılamadığından, tenımlı bir evrensel küme (Universe of Discourse) görevini yapan B kümesi ile sayısal olarak uygulama yapılırsa,

Temelkitap3_128.png

In[208]:=

A = {1 , 2, 3}

Out[208]=

{1, 2, 3}

In[209]:=

B = {1 , 2 , 3 , 45 , 66, 234}

Out[209]=

{1, 2, 3, 45, 66, 234}

In[210]:=

A ∩ B == A

Out[210]=

True

In[211]:=

A ∩ B

Out[211]=

{1, 2, 3}

Alıınmış olan sonuç, yasanın olması gerektiği gibi, sayısal olarak da doğrulandığını belirtmektedir.

3.21.6 - Küme Tümleyicilerinin Yasaları

3.21.6.1 - Ardışık Tümleme Yasası

Ardışık tümleme yasası,

(A')'

olarak belirtilir. Bu yazılımın anlamı, bir tümleyenin, tümleyeninin orijinal kümeye eşit olacağıdır. Bunun sayısal olarak kontrolü için, A kümesinin, tümleneceği tanımlı evrensel kümenin (universe of discourse) belirtilmesi gereklidir. Not : "Discourse" Türkçeye "Diskur" (Söylem) olarak geçmiştir. Biz lisede iken, öğretmenler, bir öğrenciye açıklama yaparken, "Diskur çekiyor" denilirdi. Bazen bu çalışma içinde de ister istemez diskur çekmek zorunda kalıyoruz. örnek, "Bol bol uygulama yapınız".

Ardışık tümleme yasasının sayısal olarak doğrulanması,

Temelkitap3_129.png

In[213]:=

A = {1, 2, 3}

Out[213]=

{1, 2, 3}

In[214]:=

B = {1 , 2, 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10}

Out[214]=

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

In[215]:=

Complement[A, B]

Out[215]=

{}

In[216]:=

Complement[B, Complement[B, A]]

Out[216]=

{1, 2, 3}

şeklinde gerçekleşir. İçiçe ifadelerin yorumu kolay olmayabilir. Bu yazılım, B evreninde, A kümesinin tümleyicisinin, yine B evreninde tümleyicisi anlamına gelmektedir. Yani, belirli bir tanımlı evrende, (A')' = A olduğunu sayısal olarak doğrulamaktadır.

3.21.6.2 - Bir Küme İle Tümleyicisinin Birleşimi Yasası

Bir küme A ile tümleyicisi olan A' nün birleşimi, A ve A' nün alt kümeleri oldukları evrensel kümeye eşittir. Evrensel küme uygulama için uygun olmadığında, evrensel küme işlevini yapacak B kümesi, tanımlı evrensel küme (Universe of Discours) olarak tanımlanmıştır.

A ∪ A' = U

In[217]:=

Union[A, Complement[B , A]]

Out[217]=

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Bu yasa sayısal olarak doğrulanmış olmaktadır. Mantıksal olarak doğruluğu da kolayca kanıtlanır. Tümleyicinin elemanları B de olup A da olmayan elemanlar olduğu için, küme ile tümleyicisinin birleşimi, kesinlikle tanımlanmış evrene eşit olmak zorundadır. Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum) (Kanıtlanması Gereken Budur).

3.21.6.3 - Bir Küme İle Tümleyicisinin Kesişmesi Yasası

Bir küme A ile, bu kümeyi belirli bir evrensel kümeye tümleyeninin, kesişme kümesi boş küme Ø dir.

A ∩ A' = Ø

In[218]:=

Intersection[A , Complement[B, A]]

Out[218]=

{}

Bu yasa da sayısal olarak doğrulanmıştır. Mantıksal olarak da, A kümesi ile tümleyeni olan A' kümeleri ayrık (disjoint) kümelerdir. Ayrık kümelerde ortak eleman olmadığı için, kesişme kümeleri boş küme Ø dir. Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum) (Kanıtlanması Gereken Budur).

3.21.6.4 - Evrensel Küme ve Boş Kümelerin Tümleyenleri Yasası

Evrensel küme U nun mutlak tümleyeni boş kume Ø dir. Boş kümenin mutlak tümleyeni de evrensel küme U dur.

Ø' = U ve U' = Ø

In[219]:=

Complement[B, {}]

Out[219]=

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

In[220]:=

Complement[{}, B]

Out[220]=

{}

B = Evrensel Küme olarak kabul edilirse, bu yasanın da sayısal olarak doğrulandığı kabul edilir. Mantıksal olarak da, şöyle doğrulanabilir. Mutlak evrensel küme U evrendeki tüm kümeleri alt küme olarak içerir ve geride hiçbir şey kalmaz. Evrensel kümenin küme olarak tümleyicisi olarak boş küme Ø, evrensel kümenin tümleyicisi sayılabilir. Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum) (Kanıtlanması Gereken Budur).

Boş küme Ø, tam boş bir küme olduğuna göre, tümleyeni de tam dolu bir küme olmalıdır. Bu da mutlak evrensel küme U dur. Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum) (Kanıtlanması Gereken Budur).

3.21.6.5 - Bir Küme ile Ait Olduğu Evrensel Kümenin Tümleyicisinin Kesişmesi Yasası

Bir A kümesi ile tanımlı veya mutlak evrensel evrenin tümleyicisinin kesişmesi,

A ∩ B' = A-B

sayısal olarak denendiğinde,

In[221]:=

A

Out[221]=

{1, 2, 3}

In[222]:=

B

Out[222]=

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

B' = A - B = {} olarak tanımlanır. Küme çıkarmasında negatif yoktur. Tüm elemanlar tükenince geriye boş küme kalır.

In[223]:=

Complement[A, B]

Out[223]=

{}

B nin A ya tamamlanmak için hiçbir elemana gereksinmesi yoktur. Bunun için B kümesinin, A tanımlı evrenine tümleyicisi, boş küme Ø olmaktadır.

In[225]:=

Intersection[A, Complement[A, B]]

Out[225]=

{}

Bunun anlamı, B kümesinin, A tanımlı evrenine tümleyicisinin , A kümesi ile kesişmesidir. Bu uygulama verilerinde, B kümesinin, A tanımlı evrenine tümleyicisinin boş küme Ø olduğu için, A kümesinin de boş küme ile kesişmesi sonucu, yine boş küme Ø olmaktadır.

Bu formül, aslında trivial (değersiz, gereksiz, abes) bir işlemdir. Mantık açısından, B' nün anlamı, A da olan ve B de olmayan elemanlardan oluşan tümleyici kümedir ve bunun anlamı A-B dır. Sonuçta sadece A da olan ve B de olmayan elemanlar kalacaktır. Bunun A ile kesişmesi yine B' kümesini verecektir. İşlem trivial dir, çünkü zaten B' kümesi hesaplanmış olarak elimizde vardır. özetle,

Complement [B , A] = Complement[in universe of B , of A] = A' = B-A

Complement [A, B] = Complement[in universe of A, of B] = B' = A-B

olarak tanımlanır.

3.21.7 - De Morgan Yasaları

Augustus De Morgan , (27 Haz 1806 – 18 Mart 1871) yılları arasında yaşamaış değerli bir matematikçi ve mantıkçıdır. De Morgan Yasalarını bulmuştur. Ayrıca, benim de bir yıl araştırma danışmanı olarak çalıştığım, Londra üniversitesi, University College'in ilk profesörlerindendir. Aynı zamanda, London Mathematical Society'nin kurucuları arasındadır.

Kümeler için De Morgan yasaları iki tanedir.

Birinci de Morgan yasası,

(A ∪ B)' = A' ∩ B'

İkinci de Morgan yasası,

(A ∩ B)' = A' ∪ B'

olarak verilmiştir.

Kümeler için De Morgan yasaları, bu çalışma çerçevesinde özgün bir yöntemle, vak'a incelemesi ile kanıtlama (Proof by Cases) yöntemi ile kanıtlanmıştır. Bu kanıt, sayfa içeriğinin arttırılmaması düşüncesi ile ayrı bir sayfada verilmiştir.

3.21.8 - Kararlılık Prensibi

(1) A ⊆ B olduğunda, eğer ve sadece eğer, A ∪ B = B olduğunda,

(2) A ⊆ B olduğunda, eğer ve sadece eğer, A ∩ B = A olduğunda,

sistem kararlıdır.

Bu konuda, sayısal ve kuramsal bilgiler ile uygulama örnekleri, De Morgan kurallarının kanıtlanması sayfasından alınabilir.

3.22 - İlişkiler

İlişkiler, matematik derslerinde yeterince açıklanmayan gizemli bir konudur. Aslında, ilişkiler matematikte temel bir konum oluşturur, fonksiyonlar konusunun başlangıcıdır ve matematiğin iyi anlaşılması için ilişkilerin iyice özümlenmesi gerekir.

İlişki, karmaşık bir olaydır. Bazen tanımlanamayabilir ve belki de gerçekte var olan bir ilişkinin varlığı çok geç anlaşılabilir veya hiç anlaşılamayabilir. Bu konuda çok dikkatli olmak gerekir. özellikle doğal olayların belirli bir sistematiğe (matematik modele) uyarlanması çok güç olabilir. Doğal olaylar çok içiçedir. Olayları etkileyen parameterelerin ve bu parametrelerin sonuca etkilerinin saptanması bazen insan kapasitesinin üstünde bir çaba gerektirebilir. Doğa üstü olaylar yoktur. Her olayın belirli bir sistematiği (sebep - sonuç ilişkisi) vardır, fakat bazen bunların algılanabilmesi, insan anlayışı için olanaksız denilecek kadar güç olabilir. Bir süre anlaşılamayan ilişkiler, bir gün açığa çıkarılabilir. Einstein yapısını belirleyene kadar, Fotoelektrik etki insanların nedenini anlayabildikleri bir şey değildi ve doğa üstü kuvvetlerin bir kanıtı olduğu, yani bir mucize olduğu sanılıyordu. Mucizeler yoktur. İnsanların anlayış zayıflığı vardır. Anlaşılabilen doğal ilişkiler matematik formüllerle açıklanmaya çalışılır. Doğanın dili matematiktir. İnsanların doğal olayları algılamak için yeterli matematik bilgilerinin olması gerekir (Galileo Galilei).

İlişkiler n sayıda nesne arasında (n-ary) oluşabilir. Doğal olarak böyle bir lişkinin incelenmesi çok zordur. Sadece (a ve b) gibi iki öğe arasında oluşan (2-ary) ilişkilerin incelenmesi, akıl kapasitemizi biraz daha az zorlayabilecek nitelikte olabilir. Bu çalışmamızda, sadece (2-ary) ilişkileri inceleyeceğiz.

2-ary ilişkilere genel olarak ikili ilişkiler adı verilir.İkili ilişkiler, yaşamımımızın her noktasında ortayaya çıkar. İnsanların birbirleri ile, futbol klüplerinin karşılıklı, ülkelerin ikili ilişkileri vardır. Bütün bunlar, bu konu içinde incelenirler.

1 - "Bir hadise var, can ile canân arasında..."
Soyut kişisel ve ölçülmesi olanaksız bir ilişki .

2 - "Can'ın Canan'a 200 T.L. borcu var"
Somut, ölçülebilir, doğrulanabilir fakat, kişisel ve genel olmayan bir ilişki.

3 - a şahsı, b şahsına boçludur.
Bu genel ve sözel bir ilişkidir. Sözel ilişkilerin de, böyle genel, ölçülebilir, doğrulanabilir olması gerekir.

4 - (25<30)
Bu ilişki, sayısal, ölçülebilir, doğrulanabilir, fakat sadece 25 ve 30 sayıları ilgili, genellikten yoksun bir ilişkidir.

5 - "a Sayısı, b sayısından büyüktür."
(a>b) olarak belirtilen bu ilişki, genel sayısal bir ilişkidir. Genel sayısal ilişkiler, ölçülebilir, doğrulanılabilir ve her türlü özel hale uygulanabilir.

İlk örnek ne yazık ki, matematik olarak değerlendirilemez. Bu, insanlık için özeldir ve teknolojinin bu konular ile ilişkili olanakları sağlayacak kadar ilerlememesi için bildiğimiz bütün duaları etmeliyiz.

İkinci örnek, genel "Borçluluk" ilişkisinin özel halidir. Tek işe yarayacağı yer, genel bir ilişkinin özel hali olmaktır.

Üçüncü örnek, genel sosyal bir ilişkidir. Bu tür ilişkileri, durumu uygun olan tüm özel ilişkiler doğrulayabilirler. Amaç ta budur.

Dördüncü örnek, özel sayısal bir ilişkidir. Genel bir ilşiki türünün özel hali olmaktan başka bir değeri yoktur.

Son örnek genel sayısal bir ilişki tanımıdır. Durumu uygun olan özel sayısal ilişkiler bu genel ilişkiyi doğrulayabilirler.

2-ary olarak nitelendirilen ikili ilişkiler daima iki öğe arsında oluşur. İlişki yönü çoğunlukla, ilk elemandan ikincisine doğru yönlendirilmiştir. Örnek olarak (a < b) olarak belirtilen ilişkide, ilişkinin yönü a dan b ye doğrudur. İlişkinin sözel açıklaması,"a küçüktür b" şeklindedir. Bu ilişkiyi ancak a nın b den küçük olması doğrulayabilir.

Bu noktada, son derece soğukkanlı ve sorumlulukla işlem yapılmalıdır. Ne söylenmişse, onunla yetinilmesi, söylenmemiş şeyleri, söylenmiş gibi kabul edip asla işlem yapılmamamalıdır. Söylenmiş olan sadece a nın b den küçük olması gerektiğidir. Hiç kimse b hakkında birşey söylemememiştir. Nasıl olsa, a küçüktür b denildi, bu aynı zamanda b büyüktür a anlamına gelir, düşüncesi yanlıştır. Kendi düşüncemizle hiçbir zaman işlem yapamayız. Ne söylenmişse, onu uygulamak zorundayız.

Bazı ilişkilerin doğrulanması salt kendisinin incelenmesi yeter. İkinci bir elemana gerek yok gibi görünür. Örnek olarak, "Eğer bir kişinin saçları dökülmüşse, o kişi keldir" denildiğinde, Bu ilişkinin doğrulanması için salt kendisine gerek görülecektir. Gerçekten, bir kişinin kel olduğunun doğrulanabilmesi için,salt kendi saçının dökülmüş olduğunun doğrulanmasına gerek olacaktır. Ahmedin saçı dökük diye Mehmedin kel olduğu belirlenemez.

Bu ilişki biraz sonra doğrulanması için kendinden başka bir elemana gerek olmayan "Yansımalı İlişki" türünde bir ilişkidir. Burada, tek değil iki kez kendisine gerek duyulmaktadır. Yansımalı ilişkide, aynı ögenin bir özelliğinden (saçı dökük olmak) , başka bir özelliği (kel olması) doğrulanmaktadır. Bu bir (a,b) çifti değil, (a,a) çiftidir.

İlişkileri doğrulanacak çiftler nasıl bulunacak? Fabikadaki en iyi basket oynayan çalışanı bulmak isterssek, herkesin ouyununu birbaşkası ile karşılaştırmak zorundayız. Dokuz bin kişilik bir fabrikada, hiç kimseyi dışarıda bırakmayacak ve bir ikiliyi sadece bir kez inceleyebilecek tek yöntem, fabrika çalışanlarını bir kümenin elemanları olarak toplayıp, bu kümenin Kartezyen çarpımını oluşturmaktır. Onun da belirli bir çalışma sınırı var. Eleman sayısı küçük kümeler yapıp, iyi oynayanların saptanması yapılabilir.

Yavaş yavaş farkedildiği gibi, ilişkilerin doğrulandığı sıralı ikilileri içeren kme, iki kümenin Kartezyen çarpım kümesinin alt kümesidir. Eğer, Kartezyen çarpım kümesinin tüm sıralı çiftler bu ilişkiyi doğruluyorsa, bu ""Tam Destek", hiçbir sıralı ikili bu ilişkiyi desteklemiyorsa, "Sıfır Destek"olayları gerçekleşir.

A ve B kümelerinin elemanları arasındaki ikili ilişkilerin incelenmesi için, ilişkinin yönü daima belirtilmelidir. A dan B'ye doğru ilişkiler, A → B olarak belirtilir. İlişki yönünün başlangıcını oluşturan A kümesine "Tanım Kümesi", Sonucunu oluşturan B kümesine "Değer kümesi" adı verilir.

İlişki yönünün ters yönündeki ikişkiye, "İlişkinin Tersi" adı verilir ve R-1 olarak belirtilir. İlişkinin değer kümesi, ters yöndeki ilişkinin tanım kümesi olur.

A kümesinden B kümesine doğru bir ilişkide, elamanlar arası ilişki, eskiden (a ~ b) (a tilde b) olarak belirtilirken, en yeni olarak, aRb olarak belirtilmektedir. Bu ilişkiyi doğrulayan, Kartezyen çarpımın alt kümesi yine aRb olarak adlandırılır. İlişkiler genel olarak A → B olarak belirtildiğinden, genel olarak aRb yerine, sadece R kümesi olarak belirtilmektedir.

İlişkiler ile birlikte, sıralı kümeler gözönüne alınmaya başlanmıştır. Küme elemanları, normal olarak sıralı değildir. Fakat, sayma sayıları kümesi gibi doğal olarak sıralı kümeler de bulunmaktadır. Kartezyen çarpımı ve ilişkiler kümesi R de, içerikleri sıralı kümelerdir.

İlişki incelemelerinden ne amaçlanır. Bu inceleme sonucunda, verilen ilişkinin türü, saptanmaya çalışılır. Bunun için, bu ilişkinin davranışı, daha önce belirlenmiş olan ilişki davranışları ile karşılaştırılır ve uyan bir davranış türü saptandığında, verilen ilişkinin, belirlenen türden bir ilişki olduğu saptanmış olur.

Bu ilişkinin türünün belirlenmesi için, ilişki türlerinin, önceden belirlenmiş davranışlarının listesinin elde olması gerekir ki, bunlar arasından veilen ilişkiye uyan bulunmuş olsun. Bunun için tüm ilişki türleri içeriği aynı kümelerin Kartezyen çarpımı kümesinin elemanları arasında denenir. Buna deneme platformu adı verilir. Aynı deneme platformunda, verilen ilişki de denenerek, aynı davranı gösteren ilişki türünden, verilen ilişkinin türü saptanabilir. Bunun başka bir yöntemi yoktur ve ayrıca bu yöntem, sadece el ile yürütülmektedir. Yapay zeka organize edilebilir, fakat bu gereksiz yere büyük bir emeğin kullanılması anlamına gelir. Çünkü, ilişkiler matematikte fonksiyonların temeli olmaktan başka bir işlevi olmayan bir konudur.

İlişki türlerinin denendiği platform nasıl olmalı? A kümesinden B kümesine doğru bir ilişki AxB Kartezyen kümesinin bir alt kümesidir. Bu Kartezyen çarpım sıralı çiftlerinden, ilişkiyi doğrulayanlar teker teker belirlenecektir. Bu durumda, deney kümeleri en düşük kardinalitede tutulup, gereksiz yere emek sarfından kaçınmak gerekir.

Çoğu ilişkiler, ikili çiftlerle incelendiğinde imzaları oluşur. Sadece geçişli (transitif) ilişkilerde a, b , c gibi üç elemanın incelenmesi gerekir. Bu durumda, ilişkilerin standart inceleme platformunun, en az üç elemanlı iki eşit kümeden oluşması yeterlidir.

Standart deney kümelerimizin oluşması için iki yöntem uygulanabilir. Bu çalışmada, her ikisi de uygulanacaktır.

İlk yöntem, A = {1 , 2 , 3} ve B = A = {1 , 2 , 3} kümelerinin oluşturulmasıdır. Bu iki kümenin Kartezyen çarpımının kardinalitesi n(A) x n(B) = 3 x 3 = 9 sıralı çift olacaktır. Bunların teker teker sınanması, nisbeten kolay olacaktır. Bundan daha kolay ve geçerli bir yöntem yoktur.

Deney platformunun basitliğinin ilk yararı, Kartezyen kümesinin oluşturulması sırasında görülecektir. A ={1,2,3} ve B={1,2,3} kümesinin Kartezyen çarpım kümesi, hiçbir yardımcı programa gereksinme duyulmadan,

K = A x B = (1 , 1) , (1 , 2) , (1 , 3) , (2 , 1) , (2 , 2) , (2 , 3) , (3 , 1) , (3 , 2) , (3 , 3)

olarak oluşturulur. İncelenen ilişkiyi destekleyen sıralı çiftler, bu kartezyen kümenin eşit veya alt kümesi olacaklardır.

Her şeyden önce, Bu kodların anlamının iyice anlaşılması gerekecektir. Bu kodlar soyut değil somut sayılardır. Sayısal ilişkilerde gerçek değerleri ile değerlendirilmelidirler. Örnek olarak ≤ ilişkisi, "sıralı ikilinin ilk elemanı ikinci elemanından küçüktür." olarak yorumlanmalıdır. Bu önermeyi, deney platformunun kartezyen çarpımını oluşturan sıralı ikililerden, (1 , 2) , (1 , 3) , (2 , 3) sıralı çiftleri doğrular. Bu doğrulama (1 ≤ 2) , (1 ≤ 3) ve (2 ≤ 3) olduğundandır. Bu doğrulama sırasında deney platformunun sıralı çiftlerinin gerçek değerleri kullanılmıştır.

Sözel ilişkiler incelendiğinde durum değişir. Burada 1 , 2 , 3 değerleri gerçek sayılar değil, gerçek sıralı küme elemanlarının giriş sıralarıdır.

Bir başka kodlama yöntemi, A = {a , b , c} ve B = A = {a , b , c} kodlamasıdır. Bu kodlama soyut dur. Burada a , b ve c kodları sadece sıra indisleri belirtir. Yani, a değeri, kümenin ilk elemanını, b değeri ikinci, c değeri üçüncü elemanını belirtir. Sözel ilişkiler için bu şekilde değerlendirilir. Sayısal ilişkilere gelince, a , b sıra değerlerinden 1 , 2 gerçek değerleri oluşturmak gerekir. Aslında a , b koldlaması, yorumlandığında,, aynı 1 ,2 değerlerinin yerini tuttuğu ortaya çıkar.

İçerikleri a , b , c olarak kodlanmış iki sıralı eşit kümenin Kartezyen çarpımları,

K = (a , a) , (a , b) , (a , c) , (b , a) , (b , b) , (b , c) , (c , a) , (c , b) , (c , c)

olarak oluşturulur. Buradaki a , b değerlerinin sadece birer yer tutucu olduklarının gözden kaçırılmaması gerekir.

Bu konuda bir uygulama yapalım. Aşağıdaki uygulama, Hintçe (Hindî) orijinalinden den Türçeleştirilerek verilmiştir.

Bir A kümesi {Ahmet , Ali , Davut , Kerim} olarak, bir B kümesi {Suna Meryem , Fatma} olarak verilmiştir. Bunlardan Ahemet ve Ali Suna'nın erkek kardeşleridir. Davut Meryem'in, Kerim de Fatma'nın erkek kardeşleridir. Bu iki kümenin A → B yönünde ilişkisinde, "Erkek kardeşidir" ilişkisini destekleyecek sıralı ikilileri belirleyiniz.

Bu problemde, birbirlerine eşit olmayan sözel elemanlar içeren, iki ayrık küme bulunmaktadır. Bu genel değil, sadece 7 kişi arasındai özel kardeşlik ilişkisidir. Genel bir ilişki tipi araştırılması olmadığından kodlama gereği aslında yoktur. Ama, uzun eleman isimlerinin yazılmasından kaçınmak için a, b kodlaması yapılabilir.

A = {a , b , c , d}, B = {e , f , g}, eguruchela sitesinden Kartezyen çarpım,

A x B = {{a,e},{a,f},{a,g},{b,e},{b,f},{b,g},{c,e},{c,f},{c,g},{d,e},{d,f},{d,g}}

olarak bulunur. Yer tutucular,

a = Ahmet , b = Ali , c = Davut , d = Kerim , e = Suna , f = Meryem , g = Fatma

Kodların, elemanların giriş sıralarını izlediğini not ediniz.

Destekleyen sıralı ikililer, (Burada bilgisayar desteği yok. Teker teker, el ile sınama yapılmalı.)

aRb = R = {{a , e}, { b , e}, {c , f} , {d , g}}

Dikkat edilirse, işiki yönü A → B olduğu için, doğrulamalar, salt A kümesi elemanları gözönüne alınarak, aRb şeklinde yapılıyor. A = {a , b , c , d} olduğu için, sadece" Erkek kardeşidir" ilişkisi konrol ediliyor.

Kodlamalar gerçek değerlere dönüştürüldüğünde,

R = {{Ahmet, Suna} , {Ali , Suna} , { Davut, Meryem} , {Kerim, Fatma}}

sıralı ikililerinin, ilişkiyi destekledikleri görülür. Buradan hiçbir kuramsal bilgi elde edilemez. Bu tam olarak özel bir örnektir.

İlişkiler konusu, matematiğin zor anlaşılan konularından biridir. Bunun için, olabildiğince açık olarak tanıtılması gerekmektedir. Konunun karmaşası, aynı ilişkinin birden çok tilişki türünde olabilmesidir. Bunun nedeni, aynı ilişkinin, bir den çok ilişki türünün tanımını sağlayabilmesidir. Örnek olarak, portakal hem, "Meyve", hem "Narenciye" hem "Elipsoid" tanımlarını sağlayabilmektedir. İlişkiler de bunun gibidir. Kaos gibi görünen olay, aslında birden çok sayıdai tanımı sağlamak olayıdır. Çok dikkat edilerek bu konudaki tüm zorluklar aşılabilir.

İlişkiler konusunun gerçek dünyada en önemli bir uygulanması, "İlişkisel Veri Temelleri" (Relational Databases) uygulamalarıdır. Çok önemli (çünkü her konuda uygulanabilen) ve çok kullanışlı bir bilgisayar yöntemi olan "İlişkisel Veri Temelleri", aslında, tek kümenin elemanları arasında, tanımlanan her türlü ilişkiyi saptayıp, rapor dökümlerini yapabilen hazır bilgisayar programlarıdır. Örnek olarak bir mahallenin insanları ve bu insanların isim, soyisim, adres gibi bazı özelliklerini, ilişkisel veri temeline bir veri tablosu olarak verilir. Her girilen insan bir "alan" olarak belirlenir. Seçilen ve girişi yapılan her alanın kayıt edilecek özelliklerine, elemanın alt alanları adı verilir. Girişi yapılan bu veri tablosu, aslında bir kümenin elemanı olan tuple' leri içeren bir küme tanımıdır. Diyelim ki bu tuple'lerin (alan) ilk alt alan adı, elemanın isim özelliği olsun, arama adı " Stephanie" olan tüm kişilerin bulunması olarak tanımlandığında, ilişkisel veri temeli (örneğin MySQL), veri giriş kümesi (Tablo) da yer alan tüm alanların (kişi), ilk alt alan (subfield) olan ad alanını tarayarak, adı böyle olan tüm komşuları yakalayabilir. Bize son derece karmaşık gelen ilişkisel veri temellerinin alt yapıları, bu derece basittir ve sadece çok boyutlu dizi tanımlarına dayanan kolay bir programlama uygulamasıdır.

İlişkiler konusu, geniş bir uygulaması olan önemli bir konudur. Bu konuda, kendimizin oluşturacağı veya literatürlerden bulunacak örneklerin incelenmesinde ve alınacak sonuçların literatür sonuçları ile karşılaştırılmasında büyük yarar bulunmaktadır.

3.22.1 - İlişki Türleri

A ve B gibi iki küme, arasındaki ilişkiler,"Boş İlişki" , "Tam İlişki", "Kimlik İlişkisi", "Yansımalı" (Refleksif), "Yansmasız" (İrrefleksif), "Simetrik", "Anti-Simetrik", "Geçişli" (Transitif) , "Eşdeğerlik İlişkisi" (Equivalence) ve az uygulanan başkaları olabilir. Bunları teker teker inceleyerek daha çok bilgi edinmeye çalışacağız.

3.22.1.1 - Boş İlişki

A ve B kümelerinin elemanları arasında, hiçbir ilişki olmaması durumunda, bu iki küme arasındaki ilişki, boş bir ilişki olur ve ilişki kümesi R = Ø olur.

Örnek olarak,

A = {1 , 2 , 3} ve B = {4 , 5 , 6} olsun, Bu iki kümenin Kartezyen çarpımı,

[1,4} , {1,5} , {1,6} , {2,4} , {2,5} , {2,6} , {3,4} , {3,5} , {3,6}

olur. Bu sıralı ikililerin tanım (a) ve değer (b) elemanları arasında, herhangibir ilişki olmadığı saptanırsa, ilişki kümesi R,

R = {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B, (a,b) ∉ R }

olarak açıklanır. Bu açıklama, "R kümesi, (a,b) sıralı çiftlerinden oluşur. Bu sıralı çiftlerin ilk elemanı olan a elemanları tanım kümesinin, ikinci elemanları olan b elemanları ise, değer kümesinin elemanlarıdır, fakat hiçbir (a,b) çifti R kümesinin elemanı değildir." şeklinde okunur.

3.22.1.2 - Yansımalı İlişki

Yansımalı (refleksif), kendi üstüne dönen anlamına gelir. Yansımalı ilişkide, aynı elemanın belirli bir özelliğinden yararlanılanılarak başka bir özelliği doğrulanır. İlişki sistematiğinde, yansımalı ilişki, doğrulanması için, kendinden başka elemana gereksinme duyulmayan bir ilişki içeren ilişki türlerine denilir. Tanım olarak,

aRa = R = {a | a ∈ A , {a,a} ∈ R}

olarak açıklanır.

Matematiksel olarak, Bir A kümesinde, bir ilişkiyi, eğer çiftlerin, birbirlerine eşit olan bileşenleri tarafından doğrulanıyorsa. O zaman bu ilişki, yansımalı bir ilişki olarak nitelendirilir ve ∀a ∈ A : aRa olarak belirtilir. Bu formülde, ( | )yerine bazı literatürlerde olduğu gibi ( : ) (kolon) kullanılmıştır.

İlişki tanımları son derece yanıltıcıdır. Doğru sonuçların alınması için, bu tanımların doğru yorumlanması gerekir. Yansımalı ilişki, kümelerdeki eşit bileşenli sıralı çiftlerin tümü tarafından desteklenen ilişkiler olabileceğini belirtmektedir. Ama sadece bu sıralı çiftlerin desteklediği ilişkiler ile sınırlı kalacağını belirtmemektedir. Bu tanımın yanıltıcı kısmıdır. Tanım, sadece yansımalı bir ilişkinin bileşenleri birbirine eşit sıralı (a,a) çiftlerce destelenmesi gerektiğini söylemekte, fakat ilişki daha başka çiftlerce de desteklenebilmesi durumunda, bunları da dışlamamaktadır. Fakat, bir yansımalı bir ilişkiyi doğrulayan sıralı çiftler arasında mutlaka (a,a) çiftleri olması gerekmektedir.

Yansımalı ilişki örnekleri:

Bunların tümü, ana diyagonal üzerinde olan sıralı (a,b) sıralı çiftleri leri tarafından doğrulandığı gibi, eşittir ilişkisi dışındaki yansımalı ilişkiler, ana diyagonalin, dışında olan bazı elemanlar tarafından da doğrulanabilir.

Yansımalı ilişkilerin ilk örneği olarak, kimlik ilişkisini inceleyeceğiz. Kimlik ilişkisinin bir diğer ismi, eşitlik ilişkisidir. Kimlik ilişkisini sadece (a,a) çiftleri destekler bu yüzden, kimlik ilişkisi, en az kardinaliteye sahip yansımalı ilişki türüdür.

Her türlü kimlik ilişkisi için, doğrulama ilişkisi eşitliktir. Her türlü veri için eğer a = a ise, kimlik ilişkisi doğrulanır. Bir (a,b) çiftinde, eğer a = 3 ise, bu ilişki ancak b = a olursa doğrulanabilir. Bu ilişki türü eğer R, aRa teriminin kısaltılmışı ise,

aRa = R = {a | a ∈ A , {a,a} ∈ R}

olarak, belirtilir. Bu tanım, oluşturmuş olduğumuz inceleme platformunda, Temelkitap3_155.png, Temelkitap3_156.png) şeklinde, sadece ana diyagonal elemanlarını içerebilecektir. Her kimlik ilişkisi, yansımalı bir ilişkidir, fakat tersi doğru değildir.Çünkü, ana diyagonal elemanları dışında desteklenen yansımalı ilişki türleri de bulunmaktadır.

Kimlik ilişkisi (a,a) nın ne zaman karşımıza çıkabileceğini düşünelim. Eğer gelişigüzel elemanlı A ve B kümeleri varsa ve ilişki A → B (A dan B ye doğru) olarak tanımlanmışsa, Her iki kümede en az bir tane birbirine eşit eleman bulunmazsa kimlik ilişkisi doğrulanmaz.

İki eşit küme elemanları arasındaki ilişki incelemesinde, (a,a) , (b,b) , (c,c) çiftlerinin oluşması kaçınılmazdır. Fakat, ancak ilişki tanımı, eşitlik ilişkisi ise, bu çiftler ilişkiyi doğrulayarak, ilişki kümesinin elemanı olabilir.

İlişki kümesi aRb 'nin her elemanının, (a,b) çiftlerinden oluştuğu bilinmektedir. Bu sıralı çiftlerin ilk bileşeninin, 2-D (iki boyutlu) uzayda, absis değerini, ikincisinin de ordinat değerini oluşturduğu düşünülebilir. İlişki kümesinin elemanları olan sıralı çiftler, kümelerinin Kartezyen koordinatları, 2-D Kartezyen uzayda bir (absis, ordinat) noktası oluştururlar. Bu olgu, tüm ikili ilişki kümeleri R lerin 2-D (planar) uzayda bir nokta ailesi (görüntü kümesi) , (yansıma) , çizim = mapping) şeklinde olarak görüntülenmesi sonucunu verir.

2-D Kartezyen koordinat sistemi,

Kartezyen Koordinat Sistemi

İlk olarak hangi sıralı ikililerin eşitlik (veya kimlik) ilişkisini doğruladığını saptayalım.

Eşitlik (veya kimlik) ilişkisini sağlayan sıralı ikililer, (a,a) , (b,b) , (c,c) çiftleri olarak belirlenir.

Bundan sonra, bir tablo halinde, Kartezyen koordinatlar arasında, eşitlik veya kimlik ilişkisini doğrulayan elemanları belirtelim. Aşağıdaki tabloda, kırmızı ile boyalı tablo elemanları, kimlik ilişkisini destekleyen sıralı ikililerin, bulunduğu hücrelerdir.

Kimlik İlişkisi
  1 2 3
3 square square red square
2 square red square square
1 red square square square

Grafik olarak da aşağıdaki şekilde görüntülenir.

Temelkitap3_168.png

Kimlik ilişkisini doğrulayan sıralı çiftler

Görüldüğü gibi eşitlik veya kimlik ilişkisini doğrulayan elemanlar, standart deney seti için sadece ana diyagonal elemanlarıdır. Bu yüzden, her kimlik ilişkisi bir yansımalı ilişkidir. Fakat, tersi doğru değildir. Yani, her yansımalı ilişki bir kimlik ilişkisi değildir. çünkü, bir yansımalı ilişkiyi ana diyagonal üzerinde olanlar dışında başka sıralı çiftler de (bölünebilirlik ilişkisi gibi) doğrulayabilir.

İkinci olarak, bölünebilirlik ilişkisini inceleyelim. Bölünebilirlik a|b olarak belirtilir ve a ile b nin bölünmesi sonucunda hiç kalan olmazsa, a nın b ye bölünebildiği anlaşılır. Örnek olarak, 6 sayısı 3 sayısı ile bölünebilir. Tüm sayılar 1 ve kendilerine bölünebilirdir. Bu nedenle, ana diyagonal elemanları ve (x,1) değerindeki elemanlar bölünebilirlik özelliğini desteklerler.

Bir A = {1 , 2 , 3) kümesinde bölünebilirlik ilişkisini herşeyden önce ana diyagonal elemanları (1,1) , (2,2) , (3,3) sıralı çiftleri destekler çünkü her sayı kendi kendine bölünebilir. Bu nedenle, ana diyagonal elemanları ve (x,1) değerindeki elemanlar, bölünebilirlik özelliğini desteklerler. Bölünebilirlik ilişkisini destekleyen diğer sıralı ikililer, (x,1) niteliğinde, (2,1), (3,1) sıralı çiftlerdir. Çünkü, her sayı 1'e bölünebilir. Bunun dışında, standart deney setinde, bölünebilirliği destekleyen sıralı çift yoktur. Sonuçta, aRb bölünebilirlik ilişkisini (a nın b) ye bölünebilirliğini destekleyen,

(1, 1), (2 , 2) , (3 , 3) , (2, 1), (3 , 1)

elemanlarıdır. Bölünebilirlik bir yansımalı ilişkidir ve çünkü öncelikle tüm diyagonal elemanlar bölünebilirlik ilişkisini desteklemektedir. Bu yansımalı ilişkiyi, ana diyagonal elemanları yanında başka sıralı çiftler de desteklemektedir.

Temelkitap3_211.png

Graphics.Bölünebilirlik İlişkisini Doğrulayan Sıralı İkililer

olarak belirlenir.

Bir başka örnek olarak, eşittir veya büyüktür (≥) ilişkisinin A = {1 , 2, 3} kümesindeki desteğini inceleyelim.

Bundan sonra ilk yapılacak şey, hangi sıralı çiftlerin, (≥) ilişkisini doğruladığının saptanmasıdır.

Doğrulayan sıralı çiftleri bir tablo üzerinde belirtelim.

  1 2 3
3 Doğrular
2 Doğrular Doğrular
1 Doğrular Doğrular Doğrular

Görüldüğü gibi, ana diyagonalin altındaki ve ana diyagonaldeki tüm sıralı çiftler (≥) ilişkisini doğrulamaktadırlar. Bu verilerin grafik olarak görüntülenmesi aşağıda görülmektedir.

Temelkitap3_195.png

≥ ilişkisini destekleyen sıralı çiftler

A = {1 , 2 , 3} kümesinde, ≤ ilişkisi de aynı şekilde, incelenir. İlişkiyi, diyagonal elemanları yanınnda, (1,2) , (1,3) , (2,3) elemanları da desteklerler.

Grafik olarak gösterim aşağıda görülmektedir.

Temelkitap3_209.png

Eşittir veya küçüktür ilişkisini doğrulayan sıralı çiftler

Aşağıdaki açıklamalar verilmiştir.

Kimlik (eşitlik) ilişkisi ∀ a ∈ A , aRa ∈ R olduğu için yansımalıdır. Aynı durum, ≤ ve ≥ için de geçerlidir, fakat, < ve > için değil.

İlişkilerin görsel olarak belirtilebildiği "Digraph" (Directed Graph) (Doğrultman Grafiği) (Digraf) olarak adlandırılan bir grafik türü bulunmaktadır. Bu grafiklerin bilgisayar yardımıyla çizilmesi, son derece kolaydır. İlk önce Graphviz sayfasıaçılır. Sonra örnek sayfalarının birindeki program silinerek aşağıdaki program yazılır.

digraph finite_state_machine {
"Reflexive Relation"
size="3"
node [shape = circle]; "1" "2" "3";

 "1" -> "1";
 "2"->"2";
"3"->"3";
 }

(Generate Graph) ile çalıştırılır ve aşağıda görüldüğü gibi bir grafik elde edilir.

Temelkitap3_213.gif

Digraf noktalarına "Node" (Düğüm) denilir. Buradaki veride üç ilişki sıralı çifti, yani yani üç tane nodal nokta bulunur. Bunlar 1 (ilk veri) , 2 (ikinci veri) ... olarak yerleşirler, Digraph'a yerleşen nodal noktalar (1,1) , (2,2) ve (3,3) gibi ilişkinin tarifli olduğu üç noktadır. ilk nodal nokta (11 den ilşkinin olduğu nodal noktaya doğru bir ok çizilir. Refeksif ilişki, nokta üzeriende bir çember olarak belirtilir bu (1,1) ilişkisidir. Salt yansımalı ilişkilerden oluşan bir R ilişki kümesinin digraf gösterimi yukarıdaki grafikte görüntülenmiştir. Nodal noktalar arasında bir ilişkinin olmadığı, her nodal noktanın salt kendisi ile ilişkili olduğu görülmektedir.

Yansımalı ilişkilerin incelenmesi sonucunda, en az elemanca desteklenen yansımalı ilişkinin kimlik =eşitlik) ilişkis olduğu, diğer yansımalı ilişki türlerinin kimlik elemanları (diyagonal elemanlar) dışında, başka elemanlarca da desteklendiği görülmektedir.

3.22.1.3 - Yansımasız İlişki

Yansımalı olmayan (yansımasız) (irrefleksif) ilşkiler, ana diyagonal çiftlerinin doğrulamadığı ilişkilerdir. En yaygın örnekleri (>) , (<) , (⊂) , (Bölünemezlik) ilişkileridir. Bunlarda eşit olma özelliğinin bulunmadığına dikkat edilmelidir. Eşit olma özelliği bulunmadığı için, hiçbir ana diyagonal çifti, yansımalı olmayan bir ilişkiyi desteklemez.

Yansımasız bir ilişki,

∀a ((a,a)) ∉ R)

olarak belirtilir.

Bir başka açıklama,

R = {(a,b) | a ∈ A, b ∈ B , (a,b) ∉ R}

olarak yapılabilir.

Örnek olarak, (>) ilişkisini destekleyen sıralı ikililer,

{2,1} , {3,1}, {3,2}

olarak saptanır. Grafik olarak,

Temelkitap3_214.png

< ilişksini doğrulayan sıralı çiftler

belirtilebilir. Bu grafik (≥) grafiği ile karşılaştırıldığında eksik olan noktaların, ana diyagonal noktaları olduğu görülecektir.

Aile ilişkilerini gözönüne alan bir ilişki örneğini inceleyelim.

Aşağıda A = {Hasan , Yüksel , Sevgi , Danyal} ve B = {Özgür , Ali , Tansel , Güçlü, Fatma} olarak iki küme verilmiştir. Yükselin Fatma adlı bir kızı ve Özgür adlı bir oğlu olduğu bilinmektedir. Bu iki küme arasında "a, b nin babasıdır" ilişkisini doğrulayabilen ilişki kümesi R 'i oluşturunuz.

Önce, Kartezyen çarpımı kümesini oluşturalım. (eguruchela sitesinden yararlanılmıştır).

{{Hasan , Özgür } , {Hasan , Ali } , {Hasan , Tansel } , {Hasan , Güçlü} , { Hasan , Fatma},
{ Yüksel , Özgür } , { Yüksel , Ali } , { Yüksel , Tansel }, { Yüksel , Güçlü} , { Yüksel , Fatma},
{ Sevgi , Özgür } , { Sevgi , Ali }, { Sevgi , Tansel },{ Sevgi , Güçlü},{ Sevgi , Fatma},
{ Danyal , Özgür } , { Danyal , Ali } , { Danyal , Tansel } , { Danyal , Güçlü} , { Danyal , Fatma}}

Bu ikili sıralı çiftlerden hangilerinin, verilen ilişkiyi doğruladığının belirlenmesi için, hepsinin teker teker denenmesi gerekecektir. Kartezyen çarpımı kümesinin kardinalitesi an olduğundan, sadece listeye bakılınca, destekleyen sıralı ikilileri saptamanın olanağı bulunur.

{Yüksel , Özgür} , Yüksel, Özgürün babası, olduğuna göre, bu ikili, aRb ilişki koşulunu sağlar.

{Yüksel , Fatma} , Yüksel, Fatma'nın babası, olduğuna göre, bu ikili, aRb ilişki koşulunu sağlar.

Başka hiçbir A x B Kartezyen kümesi elemanı, A dan B'ye doğru olarak belirtilen bu aRb ilişkisini sağlamaz.

Elemanları indislerine eşit olarak kodlarsak,

A = {1, 2 ,3 , 4} ve B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5} olarak düşünülebilir. Bu sayılar, kümelerin eleman sıralarına denk gelmektedir.

İlişkiyi doğrulayan sıralı ikililer sadece {Yüksel , Özgür} ve {Yüksel , Fatma} sıralı ikilileridir. Bunların da kodlanmış karşılıkları (2 , 1) ve (2 , 5) sıralı ikilileridir. Bu şekilde,

R = {{2,1}, {2 , 5}}

Doğrulayan noktaları grafikte belirtelim:

A = {1, 2 , 3 , 4} ; B = {1 , 2 , 3 , 4 , 5};

R = {{2,1} , {2,5}};

ListPlot[
R,
PlotRange -> {{0, 4}, {0, 5}},
AspectRatio -> Automatic,
GridLines -> Automatic
GridLinesStyle -> {{RGBColor[0.5, 0.5, 0.43, 0.6], Thin}, {RGBColor[0.5, 0.5, 0.43, 0.6], Thin}},
ImageSize -> {500, 500},
Frame -> True,
PlotStyle -> {RGBColor[0.31, 0.5, 0.5], PointSize[0.04]},
PlotLabel -> Style[HoldForm["Baba-Çocuk İlişkisini Doğrulayan Sıralı İkililer"], Blue, Bold, 18,
FontFamily -> "Tekton Pro Ext"],
LabelStyle -> Directive[Orange, Bold, 15, FontFamily -> "Trebuchet MS"],
AxesStyle -> {Directive[Red, Bold, 15], {Red, Bold, 15}},
FrameLabel -> {HoldForm["Tanım Kümesi (A) -->"],
HoldForm["Değer Kümesi (B) -->"]}
]

Baba- Çocuk ilişkisini doğrulayan sıralı çiftler

"Babasıdır" ilişkisi yansımasız bir ilişkidir. Bunun nedeni, ilişkiyi destekleyen sıralı ikililer arasında, kimlik ikililerinin bulunmamasıdır.

Bu ilişkilerin digraf olarak gösterimi için, digrafın nasıl çizileceğini inceleyelim. İlişki kümesi R = {{2,1},{3,1},{3,2}} olarak tanımlanmış olduğuna göre, düğüm noktaları 1 , 2 be üç çemberleri olacaktır. 2 den 1‘e ilişki, 2 çemberinden 1 çemberine doğru bir ok ile belirtilecektir. 3 den 1'e doğru bir ilişki, 3 çemberinden 1 çemberine doğru bir ok ile belirtilecektir. 3 den 2'ye doğru bir ilişki, 3 çemberinden 1 çemberine doğru bir ok ile belirtilecektir. Başka bir ilişki tanımlanmamış olduğundan digraf tamamlanmış olacaktır. Bu digraf, Grafwiz sitesinde aşağıdaki çizim programı ile çizilmiş ve görülen grafik elde edilmiştir. özetle, 3 ilişki kümesi alt kümesi için digraf, 3 çember ve 3 ok dan oluşmaktadır.

digraph finite_state_machine {
"> Relation"
size="3"
node [shape = circle]; "1" "2" "3";

 "2" -> "1";
 "3"->"2";
"3"->"1";
 }

Temelkitap3_216.gif

El ile çizimi emek gerektiren digrafların çizimi, modern teknoloji sayesinde bilgisayar kullanımı ile kolayca gerçekleştirilebilecektir.

Her ilişikinin digraf çizimi ile fazla ilgilenmeyeceğiz. Bunun nedeni, ilişkilerin karmaşıklaşması ile, digraf çizimlerinin gitgide okunmasının güçleşmesi yanında, modern grafik tekniklerinin, digraflara göre daha açık ve anlaşılır bilgi vermeleridir.

3.22.1.4 - Simetrik İlişki

Simetri, belirli bir simetri ekseni etrafında, birbirleri ile ilişkili olma durumudur. Her simetrik özelliği olan elemanlar, simetri ekseni (ikili ilişkilerde simetri ekseni ana diyagonaldir) etrafında birbirlerinin karşıt eşdeğeri olan elemanlardır. Örnek olarak, Ahmet ve Dimitri kardeş iseler, (Ahmet, Dimitri) ve (Dimitri, Ahmet) sıralı çiftleri birbirleri ile simetrik çiftlerdir.

Bir A kümesinin elemanları,

A = {Ahmet , Hasan , Ali, Dimitri , Sofia , Kleo}

ise, ve Ahmet ile Dimitri kardeş, Hasan ile Kleo kuzen iseler, bu kümenin simetrik çiftleri (Ahmet, Dimitri) , (Dimitri, Ahmet) , (Hasan,Kleo) , (Kleo,Hasan) sıralı çiftleridir.

Genelliğin sağlanması için, isimler yerine, küme indisleri kullanılabilir. Örnek olarak,

A = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}

şeklinde girişi yapılan bir kümenin ilk elemanı 1 = Ahmet, 2 = Hasan, ... olarak tanımlanabilir. Bu tanıma göre, (1,4) , (4,1) , (6,2) ve (2,6) sıralı çiftleri (tuple) simetri özelliği olan elemanlardır. Bu genel tanım, her türlü özel tanım için uygulanabilir.

Bir ilişki kümesi R in inversi Temelkitap3_217.png (b,a) sıralı çiftlerini içerir. Bir ilişkinin simetrik bir ilişki olabilmesi için, R = Temelkitap3_218.png olmalıdır.

Bir genel (Generik) ( Grekçe: Doğum, Oluşum) simetrik kümesinin görüntüsü (grafiği)

Temelkitap3_219.png

 

 

Graphics:Simetri ili&#351;kisini Do&#287;rulayan S&#305;ral&#305; &#304;kililer

Yukarıdaki 1,4 ve 2,6 nodal noktaları arasındaki simetrik ilişkinin Graphviz sitesindeki digraf programı ve bu programın sonucu olan digraf aşağıda görülmektedir.

digraph finite_state_machine {
"Symmetric Relation"
size="3"
node [shape = circle]; "1" "2" "4" "6";

 "1" -> "4";
 "4"->"1";
 "2"->"6";
 "6"->"2";  
 }

Temelkitap3_223.gif

Bir simetrik ilişki,

∀a,b ((a,b) ∈ R → (b,a) ∈ R)

olarak tanımlanır. Bu tanım, "Kartezyen çarpım kümesinin elemanı olan, (a,b) sıralı ikilisinin, R simetri ilişki kümesinin bir elemanı olması, simetri ilişkisi içinde olduğu (b,a) sıralı ikilisinin de aynı R simetri ilişki kümesinin elemanı olmasını gerektirir." şeklinde okunabilir.

Eşittir (=) ve eşit değildir (≠) ilişkileri simetrik ilişkilerdir.

İlk olarak eşittir (=) ilişkisini inceleyelim. Bu ilişkinin aynı zamanda "kimlik" ilişkisi olarak tanındığını biliyoruz. Kimlik ilişkisi, yansımalı bir ilişkdir ve doğruluyan sıralı ikililier ana diyagonal üzerinde konumlanmışlardır. Şimdi bu konumun aynı zamanda simetrik bir konum olduğunu da öğrenmiş oluyoruz. Gerçekten, aradaki aralık yok olduğunda, iki simetrik nokta, tek bir nokta halinde görüntülenir. Yani, kimlik ilişkisi, hem yansımalı, hem de simetrik bir ilişkidir.

Eşitsizlik ilişkisine gelince, a nın b ye eşit olmaması, aynı zamanda b nin de a ya eşit olmamasını gerektirdiğinden, kesin simetrik bir ilişkidir. Bu ilişki aynı zamanda yansımasız bir ilişki de olduğundan, hem yansımasız, hem de simetrik bir ilişki olduğu anlaşılmaktadır.

3.22.1.5 - Antisimetrik İlişki

Antisimetrik bir ilişki simetrik olmayan bir ilişkidir (Anti : Grekçe, Karşı, Karşıt, olmayan). Yani, sıralı bir çiftin iki elemanı arasında bir ilişkinin olduğu, ama bu ilişkinin simetrik bir ilişki olmadığı belirtilmektedir. Böylece, simetrik olmayan her ilişki, bir antisimetrik ilişkidir. Örnek olarak, yansımalı (refleksif) ve biraz sonra göreceğimiz geçişli (transitif)  ilişkiler antisimetrik ilişkilerdir. Yansımasız (irrefleksif) ilişkiler, antisimetrik olabilir de olmayabilir de, çünkü yansımasız bir ilişki, simetrik ve geçişli olabilir. Geçişli bir ilişki antisimetrik bir ilişki olduğuna göre, simetrik ve geçişli bir ilişki, simetrik ve antisimetrik karakterde bir ilişki olabilir. İlk bakışta kolay anlaşılamasa da, ilişkinin tarifine göre böyle bir ilişkinin olabilmesi olanak dışı değildir.

İlşki notasyonunda, aRb yerine R(a,b) yazımı da kullanılabilir.

Antisimetrik bir ilişki (a≠b) olması durumunda, bir ilişki kümesi R de, eğer R(a,b) doğrulanırsa, R(b,a) nın doğrulanmaması olarak tanımlanır.

Daha formel bir anlatım ile,

((a≠b) ∧ R(a,b)) → (¬R(b,a))

Başka bir deyişle, eğer (a≠b) ve (a,b) ∈ R ise, (b,a) ∉ R olduğunda ilişki antisimetrik olur. Yani tüm yollar, tek yönlü yoldur.

Büyüklük ve küçüklük kavramı olan verilerde,

R(a,b) ∧ R(b,a) → (a=b)

Eş anlamlı olarak

aRb ∧ bRa → (a=b)

olarak belirtilir.

Antisimetrik ilişikiye örnek olarak, sayısal bir kümenin elemanları arasında x ≥ y ve y ≥ x ilişkilerinin ikisinin birden doğrulanması gerektiği örneği verilebilir.

∀a ∈ A , ∀b ∈ A , (( a ≥ b) ∧ (b ≤ a)) → (a = b))

Bu tek yönlü koşullu bir önermedir. gereksinmenin gerçekleşmesi için, koşulun doğrulanması gerekir. Bir (ve : ∧) işlemcisi ile birbirlerine bağlı iki önermenin doğrulanabilmesi için ancak ve ancak iki önermenin de birlikte doğrulanması gerekmektedir, bu da ancak ve ancak her iki işlenenin de mantıksal doğruluk değerlerinin "Doğru (T)" olması ile olasıdır.

Doğal sayılar kümesinde, (ister 0 dan, isterse 1 den başlasın)

R = {a, b | a ∈ N , b ∈ N, ((b ≤ a) ∨ (b ≤ a)) →( a = b)}

Doğal sayılar kümesi, küçükten büyüğe doğru sıralı bir küme olduğundan bir elemanın ilk takipçisi (successor) hiçbir zaman bir öncekinden (predecessor) dan küçük olamaz, gerek (a ≤ b), gerekse (b ≤ a) nın birlikte doğrulanabildiği tek olasılık her iki elemanın da birbirleri ile eşit olmalarıdır.  Sonuçta bu bileşik önerme de, yine eşitlik ilişkisine indirgenmektedir.

Bu şekilde, eşitlik (=) ilişkisinın hem yansımalı, hem de simetrik bir ilişki olduğu ortaya çıkmaktadır. Biraz sonra bunun aynı zamanda bir geçişli ilişki olması gerektiiği de görülecektir.

Çok önemli bir antisimetrik ilişki örneği, doğal saylar kümesinin elemanlarının birbirlerine bölünebilirliğidir. ((a | b ) ∧ (b | a) → (a = b)) önermesi daima (a = b) önermesini doğrulayacaktır. Örnek olarak (6 | 2) doğrulanabilir, fakat (2 | 6) doğrulanamaz. ((a | b ) ∧ (b | a) ancak ve ancak (a = b) olduğunda doğrulanabilir.

Aynı şekilde, (A ⊆ B) ilişkisi antisimetriktir. çünkü, (A ⊆ B) olduğunda, (B ⊆ A) doğrulanamaz. Bu da, antisimetri kriteryumunun doğrulandığı anlamına gelir. çünkü bir ilişkinin antisimetrik olabilmesi için, eğer (A ⊆ B) doğrulanabilirse, (B ⊆ A) nın doğrulanamaması gerekir. (A ⊆ B) ∧ (B ⊆ A) → (A = B) önermesi, daima (A =B) sonucunu verecektir, çünkü (ve : ∧) önermesi ile bağlı olan bileşik önerme, ancak ve ancak işlenenler birbirleri ile eşit olurlarsa doğrulanabilecektir.

Antisimetrik ilişkinin bir başka açıklaması,

∀a,b ((a,b) ∈R → (a =b ∨ (b,a) ∉ R))

olarak verilmiştir.

Örnekler : = , < , > , ≥ , ≤ ayrıca ⊆ ilişkisi de antisimetriktir. Çünkü A ⊂ B ve B ⊂ A olduğunda A = B olur.

Kimlik ilişkisi, aRb → bRa olduğu için simetriktir. Diğer bir söylem ile, simetrik bir ilişkide hangi harfin R in sağında veya solunda olduğu farketmez, biri gerçekleşirse, diğeri de gerçekleşir. Bu kimlik ilişkisi tarafından doğrulanabilir, fakat geri kalan

Antisimetri ile asimetri aynı ilişki türleri değildir. Asimetrik bir ilişki, hem antisimetrik hem de yansımasızdır. Dolaysı ile her asimetrik ilişki, aynı zamanda antisimetriktir, fakat tersi doğru değildir.

Asimetrik bir ilişkide eğer a b ile ilişkili ise b, a ile ilişkili olamaz. "Babasıdır" ilişkisisi yansımasız ve asimetrik bir ilişkidir. Çünkü eğer a, b nin babası ise, b hiçbir zaman a nın babası olamaz.

Eğer bir ilişki, ne simetrik ne de antisimetrik ise, bu ilişki non-simetriktir. Örnek olarak, "Sever" ilişkisi, non-simetriktir. "Selim Lale'yi sever" , hiçbir zaman mantıksal olarak tersini, yani Lalenin Selim'i sevdiğini belirtmez.

3.22.1.6 - Geçişli İlişki

Günlerden birgün, Facebook sayfalarını incelerken, hakkınızda doğru olayların inanılmaz kötü olarak yorumlandığı Didem adlı bir kişinin yazıları ile karşılaşıyorsunuz. Aklınız başınızdan gidiyor, çünkü bilgiler doğru ama yorumu en alçak yanış yorumlarla dolu. Didem adlı kişiyi bir türlü tanıdıklarınız arasında anımsamıyorsuz. Bulmak için yaptığınız ümitsizce incelemelerde, birden Didemin sekreteriniz Hale'nin sınıf arkadaşı olduğunu buluyor ve birden aynı evi paylaştıklarını anımsıyorsunuz. Siz Didemi tanımıyorsunuz. Ama, Didem, sekreter Hale'den her akşam haberlerinizi alıyor ve bire bin katarak Facebook ‘da yayınlıyor. Bilen, bilmeyen de bu haberleri gerçek sanıyor ve bir anda itibarınız sıfıra iniyor. İşte buna "Transitif" (Dolaylı) ilişki denilir ve özellikle siyasal çekişmelerde çok kullanılır. Yani, her duyduğunuza inanmayın ve kanıt arayın. Bu arada herkesin yanlış yorumlanacak şeylerden kaçınması da yerinde olur.

Her transitif (dolaylı) ilişkide üç öğe bulunur. Birisi (a) olarak adlandıracağımız özne, yani olayın kurbanı (mağdur) (Burada Desdemona oluyor) , ikincisi aracı (b) (haberi uçuran) (Burada İago oluyor) , üçüncüsü haber uçurulan az akıllı (c) (Burada Othello oluyor) (Yorum, Agatha Christie'nin dir).

Transitif ilişki,

∀a,b,c (((a,b) ∈ R ∧ (b,c) ∈ R) → (a,c) ∈ R)

"a,b,c elemanları olan bir kümede, a,b ve c elemanları arasında transitif bir ilişkinin doğrulanması için, eğer (a,b) ve (b,c) sıralı çiftleri ilişki kümesinin elemanı iseler, (a,c) kümesinin de bu ilişki kümesinin bir elemanı olması gerekir"olarak tanımlanır.

Eşdeğer tanım,

aRb ∧ bRc → aRc

olarak belirtilebilir.

Transitif ilişkiyi bir digraf olarak Graphwiz sitesinden yararlanarak çizelim :

digraph finite_state_machine {
"Transitive Relation"
size="3"
node [shape = circle]; "1" "2" "3";

 "1" -> "3";
 "2"->"3";
 "1"->"2";
}

Temelkitap3_226.gif

Yukarıda görülen, geçişli (transitif) ilişkinin digraf gösterimi, wikibooks tarafından da doğrulanmıştır.

Digraf ilişki yönlerini açıklayalım. İlk olarak, özne ile aracı (Didem) arasında bir ilişki olmaması gerekirdi, çünkü özne (a) Didemi tanımıyor, ama sekreteri Hale'yi tanıyor ve aktaranın Hale veya eşdeğeri Didem olması hiç farketmiyor. Yani zarar gören, aracıyı mutlaka tanıyor (yoksa o kadar bilgiyi nereden bulabilirdi? Ayrıca özne (a) ile dinleyen (c) arasında bir ilişki olması gerek, çünkü dinleyen (c) nin mutlaka, özne (a) nın bir tanıdığı olması ve aktarılandan etkilenmesi gerek, çünkü, aracı o kadar zahmete girip, özne (a) nın dedikodusunu dinleyen (c) ye aktarmazdı.

Örnek kümemizde (A = 1 , 2 , 3) , transitif ilişkinin grafiğini görüntüleyelim.

Temelkitap3_227.png

Graphics:Transitif ili&#351;ki

Transitif (geçişli) ilişkinin simetrik bir ilişki olmadığı görülüyor. çünkü grafikte bir simetri ekseni görülmüyor. Verilerde de, yukarıda grafiği görülen, transitif bir ilişki kümesi R in alt kümesi olan sıralı ikili kümeleri arasında simetrik bir çift bulunmuyor.

Bazen bir geçişli ilişki yanıda, simetrik bir ilişki de görülebilir. Grek özne (1 ile etkilenen(3) ün düşmanı olan bir kişi, salt ikisine de kötülük etmek için, dedikoducu (b) yi devreye sokabilir. Bu dedikodulardan etkilenen saf (c), özne (a)'ya karşı aşırı etkilenip fiziksel saldıya geçebilir. Kötü insanların kışkırtması ile ne yazık ki ağır sonuçlar doğmaktadır.

Bu ilişkinin kümesi R = {{1,3} , {3,1} , {1,2} , {2 ,3} dür. Bu ilişki Graphviz sitesinden digraf olarak aşağıdaki gibi programlanır ve çizilir.

"Transitive and Symmetric Relation Example"
size="3"
node [shape = circle]; "1" "2" "3";

 "1" -> "3";
 "2"->"3";
 "1"->"2"
"3" -> "1";
}

Temelkitap3_229.gif

İki komşu ülke (1) ve (3), birbirleri ile geçmişte iyi ilişkiler geliştirememişlerdir, ama son günlerde araları iyidir. Bu yüzden ekeonomileri iyleşmiştir. Ama bu iki ülkeyi sevmeyen, daha doğrusu ikisinin iyi ilişkileri sonucunda ekonomik kayıp yaşayan üçüncü bir ülke (şema'da yok, bunlar hep gizli kalır), huysuz ve olanakları küçük bir ülkeyi (2) kullanıma sokar. Bu küçük fakat medya bağlantıları güçlü ülkenin yalanları ve provokasyonları sonucu, iki ülke savaşa girer. Her iki taraf da ekonomik kayıp yaşar. Kazananlar komplocu (2) ile onu kullanan adı belirsiz bir kışkırtıcı ülkedir.

Günlerden birgün, Diyarbakır'da varlıklı bir toprak ağası ölür. Bir oğlu (1) bir de kızı vardır. Oğlu evli ve on altı yaşlarında bir oğlu (3) vardır. Kızı ise, ağa kızı olduğundan kimseyi beğenmemiş ve evlenmemiştir. Erkek kardeş tarlaların yarısı kızkardeşe gideceği için çok öfkelidir. Birgün kızkardeş hastanır ve hastahaneye kaldırılır. Ağabeyisi (1), köy kahvesinde oğlunun halasını öldürmesi gerektiğini, çünkü hastahanede erkeklerin ona baktığını ve bunun töreye aykırı söyler. Yaşı küçük olduğu için, cezası az olacağından, her zaman yapıldığı gibi görevin oğlunun olduğunu belirtir. çocuğun (3) etrafında mahalle baskısı (2) artar. Babası (1) sürekli mahalle de (2) dedikodu çıkarır. çocuk (3) akıllıdır, bunu kabul etmez, kendisinin de futbol oynarken küçük bir sakatlık geçirmiş olduğunu ve hastahanede tedavi olduğunu hatırlatır. Mahalleli (2), erkeklerin her türlü hakkı olduğunu, kadınların ise hiçbir hakkı olmadığını söyleyerek , oğulu (2) aşırı zorlar, sert konuşmalar sonucunda oğlan (3) mahalleli (2) ye karşı gelir ve Istanbula giderek öğrenimine devam eder. Dikkat edilirse, baba(1) ile oğul (3) arasında doğrudan bir konuşma yok gibi görünmektedir, ama görünmese de bu konuda esas özne baba (1) dir ve bu konuda oğlu arasında görünmeyen ama bir güçlü bir çıkar ilişkisi bulunmaktadır. Şema burada bitmektedir ama, oğlanın halası düzgün karakterli bir avukat ile evlenir ve hakkı olan topraklarını zorba erkek kardeşinin elinden alır. Kadın ve erkek farkını ortadan kaldıran, Türkiye Cumhuriyetine ve onun kurucusu ve yol göstericisi Büyük Atatürkü saygı ve sevgi ile anıyoruz.

Yüksek düzeyde bir ailenin, liseye giden ve çok başarılı bir kızı (1) vardır. Aynı mahallede yaşayan az akıllı ve eğitimsiz bir genç (3) yaşamaktadır. Bu gence alay olsun diye mahallenin esnafı (2) kızın kendisini beğendiğini söylerler ve bu yalanı her gün daha arttırarak gencin inanmasını sağlarlar. Artık genç, kendini kızın sorumlusu gibi görmeye başlar. Dedikodu artınca kızın babası, genci (1) bulur ve ona bu yanlıştan vazgeçmesini söyler. Bu konuşma gencin (1) daha fazla sahiplik duygusuna kapılmasına neden olur. Sonuçta ne yazık ki kız (1) bu aklı kıt genç (3) tarafından öldürülür. Bu olay esef verici bir şekilde ülkemizde sık görülmektedir. Olayda kız (1) ve genç (3) arasında doğrudan bir bağlantı olmadığı gibi görünse de istenmeyen fakat güçlü, tek taraflı platonik bir bağlanma (1,3) bulunmaktadır. Böyle bir olayda, konuşma hiçbir işe yaramaz. Aile derhal yer, hatta şehir değiştirmeli, olay devam ederse polise başvurmalı ve her türlü korunma önlemi alınmalıdır. Tüm aile ağır bir yaşam tehdidi altındadır.

Böyle giderse, bir ilişki şemasına uygun hikaye yaratmak için nerede ise matematiği bırakıp, komplo teorisyeni olacağız. Ama bunun zararı yok. Matematik doğal olayların (sosyoloji dahil) iç mekanizmalarını aydınlatmak için vardır. Matematiksel analiz ve modelleleme olmasa, birçok doğal, sosyolojik, diplomatik ve benzeri olayların motivasyon nedenleri aydınlatılamazdı. Bu aydınlanma sonucunda, yaşam kalitemiz yükselir. Hata yapma olasılığımız azalırken, hatasız iş yapma olasılığımız artar. Matematiğin de hedefi budur.

3.22.1.7 - Geçişken Kapanma

Bir ilişki kümesinin kapanış kümesi, bu ilişki kümesini alt küme olarak içeren en küçük transitif ilişki kümesidir. Yani, kapanış kümesi, eksiği kapatma kümesidir. Eğer bir küme bir işlem altında kapalı ise, onun bir kapanış kümesine gereksinmesi yoktur. Eğer, bir küme bir işlem altında açıksa, bu açıklığı kapatmış bir kapanış kümesi bulunmalıdır. Örnek olarak bir kümenin herhengibir ilişki kümesi R ise, bu ilişki kümesinin transitif kapanış kümesi, Temelkitap3_230.png kümesi olarak tanımlanır. Temelkitap3_231.png kümesinin özellikleri,

Temelkitap3_232.png kümesi bir transitif özellik kümesidir.

Temelkitap3_233.png kümesi, R kümesini alt küme olarak içerir (Temelkitap3_234.png)

Eğer S kümesi, R kümesini bir alt küme olarak içeren bir başka ilişki kümesi ise, Temelkitap3_235.png kümesini de alt küme olarak içerecektir. (R ⊆ S) → (Temelkitap3_236.png⊆ S)

Örnek olarak A = {1 , 2 , 3 , 4} kümesinin ilişki kümesini R = {{1,2},{2,3},{3,4}} kümesinin digraf çizimi aşağıdaki gibi ise,

Temelkitap3_237.gif

Geçişken kapanış kümesi Temelkitap3_238.png = {{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4}} ‘ün digraf çizimi,

Temelkitap3_239.gif

olarak belirtilir.

Geçişken kapanma kümesi, bir ilişki isitemini tamamlamak için, ilişki kümesine eklenmesi gereken minimum kardinal sayılı küme olarak düşünülebilir. Örnek olarak yukarıda digraf çizimi verilen, R ilişkisi, transitif bir ilişki değildir. Bunu geçişli bir ilişki haline getirmek için, {1,3} ve {1,4} ilişkileri eklenmiş ve bu ilişki Temelkitap3_240.png kümesi ile belirtilen iki geçişli (1 ve 3 ile 2 ve 4 arasında) ilişki kümesine dönüştürülmüştür. Geçişli ilişki için küme kapanmıştır. Ama, örnek olarak simetri ilişkisi gibi başka ilişkiler için açık bir küme durumundadır. Bir örnek olarak bu kümeyi yansımalı ve simetrik ilişkiler için de kapatmayı deneyin.

Matematikte, bir konu anlaşılmadığında, Internet ortamında bu konu ile ilgili daha çok kaynak araştırılmalıdır. Bilgi edinmede, yabancı dil konusunun ne kadar önemli olduğu açıkça görülmektedir.

3.22.1.8 - Eşdeğerlik İlişkisi

Eşdeğerlik (eşitlik eşdeğerliğin bir parçasıdır ve eşit olan aynı zamanda eşdeğerdir, fakat tersi doğru değildir) ilişkisi, teknik olarak eşitlik ilişkisi olarak düşünülür. Eşitlik ilişkisi, ya doğrudan eşitliği belirten, ya da sonuçta eşitliği gerektiren bir ilişkidir. Prensip olarak, yansımalı, simetrik ve geçişlidir..

Eşdeğerlik ilişkisi yansımalıdır, çünkü ∀x ∈ R , x = x (veya x - x = 0) olmaktadır. "Tüm R kümesi elemanı olan x ler, x = x (veya x -x = 0) olmaktadır"

Eşdeğerlik ilişkisi simetriktir, çünkü ∀(x,y) ∈ R , (x = y) ∧ (y = x) olmaktadır. "R kümesinin alt kümesi olan tüm (x , y ) çiftleri için, (x = y) ve (y = x) eşitlikleri doğrulanmaktadır.

Eşdeğerlik ilişkisi geçişlidir. Çünkü ∀(x,y,z) ∈ R , (x = y) ∧ (y = z) ∧ (x = z) olmaktadır. " Tümü R kümesinin elemanı olan x , y ve z elemanları için, x = y , y = x ve x = z eşitlikleri doğrulanmalıdır.

Digraf olarak eşdeğerlik ilişkisi, sadece yansımalı döngüleri içerir.

Grafik olarak eşdeğerlik ilişkisi, sadece ana diyagonal sıralı çiftlerini içerir.

Eşdeğerlik ilişkisi kümeleri sıralama için önemli bir araçtır.

Örnek olarak, tüm tamsayılar kümesi (Z) gözönüne alınırsa, ( k ∈ Z ) olan bazı k lar için doğrulanabilen, (a-b) = 2k ilişkisini içeren R kümesi, doğal sıralı tamsayılar kümesini, doğal sıralı tek ve çift tamsayılar kümelerine böler.

Bir başka Örnek olarak,

Eğer bir R ilişki kümesi, gerçel sayılar kümesinde, eğer ve sadece eğer (a-b) bir tamsayı ise aRb olarak tanımlanıyorsa, bunun bir eşdeğerlik kümesi olduğunu kanıtlayınız.

çözüm :

aRb , (a,b) ∈ R olmalıdır. (a - b) ∈ Z olduğuna göre, a ∈ Z olmalıdır. (a ∈ Z) → (a -a = 0) , dolayısı ile aRa , yani ilişki yansımalıdır.

(a ∧ b) ∈ Z olduğuna göre, (a - b) ∈ Z ve (b-a) = - (a-b) olduğuna göre, aRb ve bRa doğrulanır. Bu da ilişkinin aynı zamanda bir simetrik ilişki olduğunu belirtir.

(a ∧ b) ∈ R aRb ve bRc olduğunu düşünelim. Eğer (a-b) ve (b-c) farkları birer tamsayı iseler, toplamları olan (a-b) + (b - c) = (a - c) de birer tamsayıdır. Yani ilişki aynı zamanda geçişli bir ilişkidir.

Bu ilişki hem yansımalı, hem simetrik, hem de geçişli olduğundan bir eşdeğerlik ilişkisidir. (Eşitlik ilişkisi olmayan bir eşdeğerlik ilişkisi olduğunu not ediniz!)

Bu eşdeğerlik ilişkisi, gerçel sayılar kümesini, Tamsayılar ve tamsayı olmayan olmayan gerçel sayılar olarak, iki ayrık kümeye böler.

İlişkilerden yararlananarak küme bölünmelerini ve sıralanmalarını ileride biraz daha ayrıntılı olarak incelemeye çalışacağız.

İlişkilerin önemli bir türü fonksiyonlardır. Fonksiyonlar, serbetstçe seçilen tanım kümelerinden, fonksiyon içeriğine göre şekillenen değer kümelerini oluştururlar. Fonksiyonlar konusu çok geniş, çok önemli ve sayısal alt yapı gerektirdiğinden bu konular üzerinde yeterli bilgi oluştuktan sonra incelenecektir.

3.23 - Fonksiyonlar

Oldukça tekdüzey olan ilişkiler konusundan, matematiğin en renkli konusu olan fonksiyonlara geçiş yapıyoruz. Ali Nesin, gibi tüm büyük matematikçiler, fonksiyonlar konusunun matematiğin en önemli konularından birisi olduğunu ve öneminin kümeler ile yarıştığını belirtmektedirler.

3.23.1 - Fonksiyon Tanımı

Fonksiyon aslında bir ilişkidir, fakat özel bir ilişki türüdür. İlişkilerde iki küme elemanları arasındaki ilişkiler incelenirken, fonksiyonlarda, sadece tanım kümesi elemanları serbestçe seçilebilmekte ve değer kümesi elemanları, fonksiyonel ilişki tarafından belirlenir. Fonksiyonlarda ise, matematik bir ilişki, bir kümenin elemanlarından, ikinci kümenin elemanlarını yaratır. İlişkiler ve fonksiyonlar arasındaki tek fark budur.

Fonksiyonların tanım kümesi elemanlarının seçiminde sonsuz bir özgürlük yoktur. Fonksiyonun tanım kümesi, fonksiyonun niteliğine göre seçilir. Tanım kümesi elemanları, hesaplanacak değer kümesi elemanlarının bir anlamı olacak şekilde seçilmelidir. Matematik fonksiyonlarda da, tanım kümesin bazı yapılandırılmaları anlamsız değerler oluştururken, bazı uygun yapılandırılmış tanım değerleri çok uygun sonuçlar verir.

Bir fonksiyon

Bir tanım kümesi (Kalkış kümesi) (Veri Kümesi) (Domen) tanımından

Bir değer Kümesi (Varış Kümesi) (Range) tanımından

Bir ilişki kuralından

oluşur.

Fonksiyonların bir ilişki kuralı olmaları, fonksiyonlara olağanüstü bir genişlik ve esneklik sağlar. İlişki kuralının tek sınırlaması, tanım kümesinin elemanlarını, döüştürerek değer kümesi elemanı haline getirebilmek olması, çok sayıda fonksiyon türlerinin ortaya çıkmasına neden olur.

Bir fonksiyon, en geniş anlamı ile, tanım kümesi elemanlarını, değer kümesi elemanları haline dönüştürecek bir ilişki olarak tanımlanır. Matematik olarak en genel tanım,

f : A → B, f(bağımsız_değişken) = bağımsız değişkene bağlı bir fonksiyon bağıntısı

şeklindedir.

Genellikle, f : X → Y , f(x) = y = x´e bağlı bir fonksiyon bağıntısı olarak tanımlanır.

Fonksiyon tanımındaki A kümesi, f fonksiyonun tanım kümesidir. Tanım kümesi, f fonksiyonunun dönüştürmesi gereken değerleri içerir (fonksiyon bir dönüştürme aracı olarak da düşünülebilir). Tanım kümesi genellikle Dom(f) = X = {fonksiyon-6_1.png , fonksiyon-6_2.png , fonksiyon-6_3.png , ... , fonksiyon-6_4.png} kümesi olarak adlandırılır. Bir fonksiyon, tüm tanım kümesi elemanlarını, değer kümesi elemanına dönüştürebilmelidir. Tanım kümesi elemanlarını değer kümesi elemanına dönüştüremeyen hiçbir ilişki bir fonksiyon olamaz.

Bir fonksiyonun değer kümesi en kısıtlı kardinalite ile Rng(f) = Y = {fonksiyon-6_5.png , fonksiyon-6_6.png , fonksiyon-6_7.png , ... , fonksiyon-6_8.png} kümesi olarak adlandırılır.

bu şekilde, en kıstlı hali ile bir fonksiyon,

f : Dom(f) → Rng(f)

f : X → Y     f(x) = y = x´e bağlı bir fonksiyon bağıntısı

olarak tanımlanabilir.

Bir tanım kümesi elemanı olan x değerinin, f(x) tarafından dönüştürülerek, değer kümesi y elemanı haline gelmesine, tanım kümesi değerinin, değer kümesi altındaki görüntüsü (Mapping) denilir. Bu yüzden değer kümesi Rng(f) kümesine “Fonksiyonun Görüntü Kümesi” adı verilir. Aslında Rng(f) , f(x) fonksiyonunun tanım kümesi elemanlarının en düşük kardinalitede görüntü kümesidir.

Bir tanım kümesi elemanını olan x’in, değer kümesindeki değeri olan y değerine, niçin “x elemanının Y kümesi altındaki görüntüsü” olarak adlandırılmasının nedeni, x elemanının y elemenının kaynak değeri olmasıdır. Aslında görüntüler yerine esas değerlerin incelenmesi en doğru davranıştır. Yunus Emre’inin panteist görüşü yansıtan aşağıdaki dizeleri bu olayı açıklar.

“Ete, kemiğe büründüm,
Yunus diye göründüm”

Bir fonksiyonun grafiği nasıl çizilir? Bu çok ilginç bir matematik düzenlemedir. Fonksiyon sadece, tanım ve değer kümelerini belirler. Salt bu bilgilerle fonksiyon-6_9.png , fonksiyon-6_10.png) noktalarını, 2-D uzay olarak adlandırılan bir kağıt üzerinde gösteremeyiz. Görüntü kümesinin sadece Rng(x) ile sınırlı hali aslında fazla bir işe yaramaz ve daha çok kuramsal niteliktedir. Gerçek çizim için, önce bir koordinat sistemi olacak ve fonksiyonun ikili {tanım kümesi elemanı, değer kümesi elemanı} çiftleri bu koordinat sistemi üzerinde belirlenen yerlerinde görüntülenecekler. Bu koordinat sistemi, 1500 lerde, René (Röne) Descartes (Dekart) (Renatus Cartogianus) (Haritacı Renatus) adı verilen, ünlü filosof - matematikçi tarafından oluşturulan, Kartezyen (Cartogianus’un yaptığı) grafik sistemidir. İki boyutlu (2-D) (Dimension = Boyut) Kartezyen grafik sistemi, aslında sadece (-∞, ∞) gerçel sayılardan oluşan (x,y) değerlerinden olan bir kümedir. Doğal olarak bu küme, görüntüsü alınacak boyutlarda kullanılır. Diğer taraftan, grafik görüntüsü alınacak fonksiyonun, ikili {tanım,değer} gerçel sayı kümesi elemanları, mutlaka bu kümenin elemanlarının bazıları ile çakışacaktır. Unutmayalım, gerçek sayılardan bahsediyoruz. Bu sayılar sayılamaz sonsuzdur ve kapsam aralıklarında, fonksiyonun {tanım,değer} gerçel sayı kümesi elemanları ile çakışmaları kaçınılmazdır. Böylece fonksiyonun( {tanım,değer} gerçel sayı kümesi) ∪ (2-D Kartezyen çarpimi kümesi) oluşturulur ve buna fonksiyonun 2-D grafik (Grafein , Grekçe yazmak anlamındadır) kümesi adı verilir. Fonksiyonun değer kümesi Rng(f) ile fonksiyonun 2-D grafik kümesinin kesişme kümesi elemanları, noktalar olarak gösterilen, fonksiyonun 2-D grafik noktalarıdır. Bu grafikler Mathematica gibi bilgisayar programlarında kolayca çizilebilir. Bu sayfada Mathematica için, çizim programları ve sonuçları görülmektedir. Başka programlama dilleri için de, örnekler, bu sayfaların yayınlandığı sitede görülebilir.

Bu örnekten de görülebileceği gibi, tamsayı değerlerlerin oluşan bir değer kümesi en uygunu bir tamsayı veya gerçel sayı örgüsü ile birleştirilebilir. Yani görüntü kümesi, saçma-sapan bir bir küme ile değil, uygun görüntü sağlayacak bir örgü kümesi ile birleştirildiğinde işlevi olan bir iş yapılmış olur. Her iş amacına uygun olarak gerçekleştirilmelidir. İngilizce edebiyatın başyapıtlarından birisi olan, Richard Llewellyn’in “Vadim O Kadar Yeşildi Ki” adlı romanında, madenci bir baba, aldığı ücreti harcamak için çarşıya çıkacak olan kendisi gibi madenci olan oğluna, “Para gelişigüzel harcanmaz, insanın bir amacı olmalı” der. Bu, hepimiz için bir uyarı olup, bir amaç için yaşamamızı öğütler. Bu matematik için de geçerlidir.

Yukarıdaki tanımları özetlersek, bir fonksiyon tüm domen kümesi (Dom(f)) elemanlarını kodomen kümesi (B) altında görüntüler. Kodomen kümesi (B), amaca göre, Rng(f) kümesi ile eşit veya onun üst kümesi olabilir. Yani Rng(f) ⊆ B dir.

Fonksiyonların cebirsel olarak açıkladıkları olayları daha açık bir şekilde ortaya koyalım. Bir fonksiyon,

Bağımlı_Değişken = Bağımsız değişkene bağlı bir bağlantı

olarak çalışır. çoğunlukla tanımda, bağımsız değişken için (y) , bağımsız değişkene de (x) adı verilir. Bu isimler salt alışkanlıktan kaynaklanır. Daha açık bir anlatım için, bağımsız değişken x’ e bağlı bir örnek bağlantı örneği olarak (5 + x) şeklinde bir bağlantı olduğunu varsayalım. O zaman fonksiyon, alışkanlıklara bağlı olarak,

y = 5 + x

olarak belirtilebilir. Bu yazılımın arka planında, (Bağımlı_Değişken = Bağımsız değişkene bağlı bir bağlantı) olayı vardır ve (y = 5 + x) bunun sadece bir kısayol açıklamasıdır. çok alışılmamış da olsa, aynı anlam, ( t = 5 + p) olarak da belirtilebilir.

Bağımsız değişkene y adının verilmesi bir alışıklığın sonucu olduğu kadar, bağımlı değişkene f(x) adının verilmesi de aynı alışıkanlığın bir yansımasıdır. Burada f fonksiyon sözcüğünü anımsatır, ama buna fazla önem vermemek gerek, esas önemli olan f(x) notasyonunda, bağımsız değişkenin adının x olarak kullanıldığının belirtilmesidir. f(x) açıklaması, sadece adı x olan bağımsız değişkene bağlı bir değerin, bağımlı değişken değeri olarak düşünülmelidir. Bu bilgi ile,

y = f(x) = 5 + x

olur. Fonksiyon ilişkisi, istenirse, y = 5 + x, istenirse f(x) = 5 + x olarak yazılabilir. Eğer f(x) notasyonu seçilirse, bağımsız değişken mutlaka, x olarak adlandırılmak zorunda, ama aynı fonksiyonel ilişki t(a) = 5 + a olarak da belirtiliebilir. Tek kısıtlama t(a) gibi bağımsız değişkenin değerinin, a adında olan bir ilişki ile hesaplanacağı açıklanmışsa, fonksiyon bağıntısının bağımsız değişken olarak a adı verilmiş bir tanım değerine göre belirtilmesi gereğidir

Mathematica’ya, fonksiyonlar aşağıdaki şekilde tanıtılır. Tanıtmadan önce, eğer bellekte bu tanıtılacak olan değer için atanmış bir değer varsa güvenli bir çalışmanın gerçekleştirilmesi için, bu değerin bellekten kaldırılması çok iyi bir çalışma şeklidir.
Mathematica’da atanmış bir değerin bellkten silinmesi için iki önemli öntanımlı fonksiyon bulunmaktadır. Bunlar ClearAll[değişken1, değişken2, ...] olarak kullanılan fonksiyon, değişken veya değişkenlerin tüm değerlerini program sayfası (notebook) boyunca ortadan kaldırır. Bunun çok istenebileceğini sanmıyorum. Clear[değişken1, değişken2, ...] fonksiyonu ise, eski tanımlara dokunmaz, sadece en son yapılmış tanımı silerek, yeni atamanın güvenle yapılmasını sağlar. Sonra aşağıda görüldüğü gibi yeni fonksiyon tanımı gerçekleştirilir.

fonksiyon-6_11.png

fonksiyon-6_12.png

fonksiyon-6_13.png

veya,

fonksiyon-6_14.png

fonksiyon-6_15.png

Mathematica çok esnektir ve yaptığınız tanımın adı sadece x olan değil başka bir isim için de geçerli olduğunu aklında tutar ve f[x] olarak neyin tanındığı sorulduğunda

fonksiyon-6_16.png

Out[237]=

5 + x

olarak yanıt verir. Sürpriz bir şekilde,

fonksiyon-6_17.png

fonksiyon-6_18.png

olarak da yanıt verecektir. Bunun nedeni, Mathematica’nın, f ilişkisi hangi bağımsız değişkene göre tanıtılmış olursa olsun, bağımlı değişken eğer, x olarak istenirse, 5 + x, eğer t olarak istenirse 5 + t olarak her türlü çağrıya uygun yanıt vermesidir. Mathematica, fonksiyonu tanıtmak için kullanılan bağımsız değişkeni anonim bir yer tutucu olarak kabul etmektedir. Bu çok yararlı bir özelliktir.

Mathematica’da fonksiyon belirtmenin ikinci yöntemi, Mathematica’da “Pure Functions” olarak adlandırılan, isimsiz fonksiyon tanımlama yöntemidir. Pure functions, Java, Python, Julia gibi programalama dillerine kazandırılmış olan Λ-Fonksiyonları (Lambda Fonksiyonları) yöntemidir. Bunlar çabuk tanım, hızlı sonuç verebilen ve çok uzun ömürlü olması gerekmeyen fonksiyon tanımları için kullanılan yöntemlerdir.

fonksiyon-6_19.png

fonksiyon-6_20.png

Eğer x = 3 için değerin hesaplanması istenirse,

fonksiyon-6_21.png

fonksiyon-6_22.png

olarak hesaplatılır.

Bir fonksiyona sürekli olarak değerler hesaplatmaya programlama tekniğinde “İterasyon” adı verilir. Bir fonksiyonun tanım değerlerinden , sonuç değerlerinin hesaplatılması için, Mathematica’da çeşitli yöntemler bulunmaktadır. Bunlardan biri, Table [ilişki, {iterator, minimum değer, maksimum değer, artış (eksiliş) değeri}] olarak hesaplatılır. Eğer artış (eksiliş) değeri belirilmemişse, Mathematica, artış değerini 1 olarak kabul eder.

Eğer x , olarak önceden tanımlı bir değer yoksa, Table fonksiyonu, x için fonksiyon-6_23.png, fonksiyon-6_24.pngkapalı aralığındaki değerleri artım tanımlanmışsa, fonksiyon-6_25.png + artım olarak, artım tanımlanmamışsa, fonksiyon-6_26.png + 1 olarak hesaplar.

fonksiyon-6_27.png

fonksiyon-6_28.png

Eğer bir f[x] fonksiyonu tanımlı ise,

fonksiyon-6_29.png

fonksiyon-6_30.png

olarak iteratif değerleri hesaplar. Programlama tekniğinde buna “döngü” (loop) adı verilir.

Eğer bir fonksiyonal ilişki, yerinde tanımlanırsa, değerleri hesaplanır. örnek olarak,

fonksiyon-6_31.png

fonksiyon-6_32.png

Burada, f(r) = r +1 olarak tanımlanmış bir fonksiyonun gerçel sayılar olarak, [2.03,3.15] arası kapalı aralığında, 0.1 artımla değerleri hesaplanmıştır.

Table [expr(i,j) ,{i , fonksiyon-6_33.png , fonksiyon-6_34.png, artım} , {j , fonksiyon-6_35.png fonksiyon-6_36.png , artım}] şeklinde içiçe döngüler de hesaplanabilir.

fonksiyon-6_37.png

fonksiyon-6_38.png

fonksiyon-6_39.png

fonksiyon-6_40.png

Hesaplama yöntemi, i = 1, j =4, 4x1+4x6=4+24= 28,   i = 1, j =5, 4x1+5x6=8+30= 34 i = 1, j =6, 4x1+6x6=8+30= 40, i=2,j=4, 4x2+4x6= 8+24=32,  i = 2, j =5, 4x2+5x6=8+30= 38,...

Python karşılığı :

for i in range(1,4):
    p=0
    for j in range (4,7):
         p=p+1

         print(4*i+6*j)

         if p==3:
            print()

Sonuç :

C:\Users\bedri\PycharmProjects\untitled1\venv\Scripts\python.exe C:/Users/bedri/PycharmProjects/untitled1/doubleLoop.py
28
34
40

32
38
44

36
42
48


Process finished with exit code 0

Görüldüğü gibi Python kodları Mathematica’ dan daha fazla adım içermektedir. Mathematica, bu iteratif hesaplama olanakları ile büyük bir kolaylık sağlamaktadır.

3.23.2 - Fonksiyon Olan ve Olmayan İlişkiler

Fonksiyon olabilmek için,

Tüm A kümesinin elemanlarının tanım kümesi (domen) elemanları olması gerekir. (A = Değer Kümesi) (Domen) (Dom(f)

Tüm A kümesi elemanlarının sadece ve yanlız sadece bir tek değer kümesi elemanı ile eşleşmesi gerekir. (Biricik İmgelenme))

Bir ilişkinin fonksiyon olabilmesi için, tek kısıt, Dom(f) in bir elemanın Rng(f) de deki tek ve sadece tek bir eleman ile ilişkilendirilmesidir. Dom(f) deki birden çok eleman Rng(f) deki bir tek eleman ile ilişkilendirilebilir. Yani en az bir tanım elemanı en çok bir değer elemanına dönüştürülebilir.
Dom(f) çocukların kümesi, Rng(f) ise biyolojik babaların kümesi olsa, Dom(f) deki, birçok çocuğun biyolojik babası bir tek eleman olabilir. Bu gerçek, DNA (Diribo Nükleik Asit) testi ile kesin olarak doğrulanabilir. Bir tek biyolojik babanın birden çok çocuğu olabilir. Ama bir çocuğun birden çok biyolojik babası olamaz. Böyle bir sav bilimsel olarak doğrulanamaz. Bir ilişkide, A kümesindeki bir eleman B kümesindeki birden çok eleman ile ilişkilendiriliyorsa o ilişki bir fonksiyon değildir. Aşağıdaki şemalara dikkat ediniz.

fonksiyon-6_41.gif

fonksiyon-6_42.gif

Şema 1 de görülen ilişki bir fonksiyondur. Bunun nedenleri,

Herşeyden önce tüm Dom(f) = A elemanları, Rng(f) ile eşleşmiştir. (∀a ∈ A) → (b ∈ B) (Burada → “Gerektirir” değil, “İlişkilidir” anlamına kullanılmaktadır. Aslında bir simgenin iki ayrı anlamda kullanılması hiç doğru değildir fakat, anlamı içerikten anlaşılabilmektedir).

Her tanım kümesi (Dom(R)) elemanı tek ve farklı bir değer kümesi (Rng(f)) elemanı ile eşleşmektedir.

B kümesinin(Kodomen) tüm elemanlarının tanım kümesi elemanları olması gerekmez. (Değer Kümesi = Rng(f)) ⊆ B)

Bu örnekte ise, B = Rng(R) olarak verilmiştir. Yani değer kümesi ile B kümeleri eşit kümelerdir.

Bir başka fonksiyon ilişkisi örneği,

fonksiyon-6_43.gif

Şema 2 de görülen ilişki de bir fonksiyondur. Bunun nedenleri,

Herşeyden önce tüm Dom(f) = A elemanları, Rng(f) ile eşleşmiştir. (∀a ∈ A) → (b ∈ B)

Birden çok Dom(f) elemanı, aynı Rng(f) elemanı ile ilişkilenmiştir. Bu kabul edilebilir. çünkü bir biyolojik babanın birden çok çocuğu olabilir.

Bu örnekte, tanım kümesi, Rng(f) B kümesi ile eşit değildir. B = {a , b , c , d} iken, Rng(f) = {a , d} olmaktadır. Bu durumda, B ≠ Rng(f) ve Rng(f) ⊂ B olmaktadır.

Fonksiyon olmayan bir ilişki şeması aşağıda görülmekedir.

fonksiyon-6_44.gif

Bu ilişki bir fonksiyon değildir. çünkü,

Herşeyden önce tüm Dom(R) = A  kümesi elemanlarının tümü eşleşmemiştir. Bu bile tek başına örnek ilişkinin fonksiyonel ilişki olmadığının kanıtıdır.

İkinci ve en önemli neden, Dom(f) kümesi elemanlarından birinin, Rng(f) kümesi elemanlarından birkaç tanesine ilişkili olduğunun  görünmesidir. O zaman f(a) = a veya f(a) = b veya f(a) = c bilgilerinden hangisi doğru olabilir? Bu belirsizlik demektir ve matematik asla belirsizlik kaldırmaz. Bu nedenle, bu örnek ilişki bir fonksiyon değildir.

Bu ilişki bir babalık davası ilişkisi olsa, dava dilekçesi daha baştan kabul edilmezdi. Bir çocuk üç ayrı kisinin biyolojik babası olduğunu ileri sürerse, mahkeme dava dilekçesini kabul etmez ve gerekçesinde DNA incelemesine gerek olduğunu belirtir. O zaman biyolojik baba hangisi ise, dava ona karşı açılır ve mahkeme de dava açılmasını kabul eder.

Bir ilişkinin fonksiyon olup olmadığının belirlenmesi için, görüntüsünde, dikey kesişme denemesi uygulanır.

Dikey kesişme denemesi, fonksiyonun herhangibir tanım noktasından, ordinata paralel bir dikme çekildiğinde, fonksiyon görüntüsünün bu dikmeyi kaç kez kesitiğinin belirlenmesidir. Eğer dikme fonksiyon eğrisini sadece bir tek noktada keserse, denenen ilişkinin fonksiyon olduğu belirlenmiş olur. Dikme, fonksiyon eğerisini birden çok noktada kesiyorsa, o ilişkinin bir fonksiyon olmadığı belirlenmiş olur.

Yukarıdaki veriilmiş  olan f(x) = fonksiyon-6_45.png -x , örneğinin verilmiş olan görüntüsünde,  -2,-1, 0, 1, 2 tanım noktaları üzerinden çekilen dikmelerin sadece bir tek noktadan görüntü eğrisini kesmesi, ikilişkinin fonksiyon olduğunu belirtir.

Bir başka örnek, aşağıda görülen çember lişkisinin görüntüsüdür.

Yarı çapı r ve orijini (a,b) olan bir çemberin fonksiyonu kapalı olarak,

fonksiyon-6_46.png + fonksiyon-6_47.png = fonksiyon-6_48.png

şeklinde verilir. Biraz sonra göreceğimiz gibi bu bir kapalı denklemdir. Açılabilmesi için, y =f(x) olarak yazılmalıdır ki, bu da her zaman, özellikle bilgisayar kullanılmadan kolay değildir.

Kapalı olarak verilmiş olan çember denkleminin açılabilmesi için, her zaman olduğu gibi Mathematica’nın yardımını isteyeceğiz.

fonksiyon-6_49.png

fonksiyon-6_50.png

Sonuç biraz düzenlenirse,

fonksiyon-6_51.png

Biraz daha düzenleme ile,

fonksiyon-6_52.png

olarak açılır. örnek olarak, r = 3, a = 2, b = 3 için,

fonksiyon-6_53.png

fonksiyon-6_54.png

Graphics:&Ccedil;ember

görüntüsü elde edlir. Dikkat edilirse, x = 2 den den ordinata parallel bir dikme, çember görüntüsünü iki yerden kesmektedir. Bu nedenle çember görüntüsünü veren bağıntı, bir fonksiyon değildir. çünkü, açık fonksiyon, çember ilişkisinin iki ayrı yarım çemberden oluştuğunu ortaya çıkarmıştır. (Ama, fonksiyon-6_56.png, veya y = fonksiyon-6_57.png yarım çember bağıntısı, bir fonksiyondur).

fonksiyon-6_58.png

Graphics:Yar&#305;m &Ccedil;ember

Görüldüğü gibi, dikey kesişme uygulaması, yarım çember bağıntısının, fonksiyon olduğunu doğrulamaktadır.

Dikey kesişme denemesi dikkatle uygulanmalıdır. Sadece kısıtlı bir tanım kümesi üzerinden görüntü alınması ve bu görüntü üzerinde dikey kesişme denemesi yapılması yanılgılara neden olabilir. Geçerli dikey kesişme denemesi, en geniş aralıklı tanım kümesi üzerinden gerçekleştirilmelidir.

Bir fonksiyon oluşumu için doğrulanması gereken genel bağıntı, aşağıda verilmiştir. f bir fonksiyonel ilişki olmak üzere,

∀x∀y∀z [[(x , y) ∈ f ∧ (x , z) ∈ f] → (y =z)]

"Tümü f ilişki kümesi elemanları olan x, y ve z elemanları,  ilişkinin bir fonksiyon olması koşulunda, y elemanı ile z elemanının eşit olmasını gerektirir. (yani, bir ilişki sadece x ve y arasında tanımlanırsa o ilişki bir fonksiyon olabilir. Bir  x ∈ Dom(f) olan elemanı, Rng(f) kümesinde birden çok elemanla ilişkilendiren bir ilişki fonksiyon olamaz. Fakat, birden çok fonksiyon-6_60.png ∈ Dom(f) olan elemanlar, Rng(f) kümesinde aynı eleman ile ilişkilendirilebilirler.

Bu tanımın daha kolay anlaşılır bir versiyonu,

f = {{x,y} | (x ∈ Dom(f) ∧ y = f(x)}

olarak verilmiştir. Burada bir fonksiyon ilişkisi kümesi, x tanım kümesi elemanı ve y de f(x) fonksiyonu çıktısı olan, {x,y} kümeleri olarak tanımlanmıştır. Yani tek bir veri için sadece ve yanlız sadece bir tek sonuç hesaplanması durumunda fonksiyonun veri, sonuç kümesi tanımlı olabilir. Fonksiyonlar söz konusu olunca sıralı ikililer yerine, (veri, sonuç) (x,y) çiftleri ile çalışılır.

Bu tanımlardan, bir fonksiyon ilişkisi kümesinde, {x1,y1},[x2,y1}, fonksiyon-6_61.png,y1}] gibi,  iki veya ikiden çok, { farklı x, aynı y} tipi ikili çiftler olabilir. Bunu biraz sonra sabit fonksiyonlarda göreceğiz. Fakat asla {x1,y1}, {x1,y2} gibi, iki veya ikiden çok {aynı x, farklı y} şeklinde ikili çifler olamaz.

örnek (Ali Nesin)

Tanım kümesi = R (Gerçel sayılar kümesi)

Değer kümesi = R (Gerçel sayılar kümesi)

İlişki : y = fonksiyon-6_62.png

İlişksinin bir fonksiyon olup olmadığını belirleyiniz.

Yanıt:

Bu problem, “f : R → R için y = fonksiyon-6_63.png bağıntısının bir fonksiyon olup olmadığını belirleyiniz.” şeklinde açıklanabilir. Bunun yanıtı “Hayır” dır. Bunun nedeni, negatif gerçel sayıların kareköklerinin, gerçel sayılar kümesinde değil, kompleks sayılar kümesinde olmasıdır.

İlişki kuralı aynı kalmasına rağmen, değer kümesinin tanımı aşağıdaki gibi değiştirilirse, ilişki bir fonksiyon olur.

f : R → fonksiyon-6_64.png için y = fonksiyon-6_65.png bağıntısı bir fonksiyon olur. Bunun nedeni tanım kümesi 0≤x<∞ olduğunda “[0,∞)”, her tanım kümesi Dom(f) elemanı, biricik bir Rng(f) elemanı ile ilişkilenir.

fonksiyon-6_66.png

Graphics:y =Sqrt[x]

Grafikten de görüldüğü gibi, değer kümesi, pozitif gerçel sayılardan oluşan y = fonksiyon-6_68.png fonksiyonu, x = 2 de dikey testi geçerek fonksiyon olma niteliğini kazanmaktadır.

örnek (Ali Nesin)

f : RR için y = fonksiyon-6_69.png bağıntısının bir fonksiyon olup olmadığını belirleyiniz.

Yanıt:

Mümkün değil, çünkü fonksiyon-6_70.pngbelirsiz bir durumdur. Fakat, f : fonksiyon-6_71.pngR kümesine gidiş için bir fonksiyondur. Bu fonksiyon eşdeğer olarak, küme farkı notasyonu ile,

f: R\{0} → R f(x) =  fonksiyon-6_72.png

olarak da belirtilebilir.

fonksiyon-6_73.png

Graphics:     1 y =  -      x

Grafikten görüldüğü gibi, tanım alanı [1,4] ve değer alanı [0,1] olan f = fonksiyon-6_75.png fonksiyonu, x = 2 de dikey testi geçerek, fonksiyon niteliğini kazanmaktadır.

örnek (Ali Nesin)

f : R → R için y = |x| bağıntısının bir fonksiyon olup olmadığını belirleyiniz.

Yanıt:

Mümkün değil, çünkü mutlak değer açıldığında , hem pozitif hem de negatif değer oluşturur. Bu fonksiyon, y =  ±x fonksiyonu ile eşdeğerdir. Fonksiyonel bir ilişkide, tanım kümesinin en az bir elemanı, değer kümesinin en çok bir elemanı ile eşleşebilir. Oysa bu bağıntıda , tanım kümesinden tek bir x, değer kümesinde iki tane y ile eşleşmeye çalışıyor. örnek olarak x = 3.0 iken fonksiyon-6_76.png = 3 , fonksiyon-6_77.png = -3 oluyor. Tanım kümesinin tek bir elemanı, değer kümesinin iki elemanı ile eşleştiğinden, bu ilişki, bir fonksiyon olamaz.

3.23.3 - Serbest ve Bağlı Değişkenler.

Fonksiyonların kullanıcı tarafından tanımlanmış bir ilişki türü olduğunu biliyoruz. Fonksiyonlar, her bağımsız değişkenin değeri için bir sonuç verecek şekilde organize edilmişlerdir. Fonksiyona beslenen değerler bağımsız değişken adını alırlar, Bu değerler bağımsızdır çünkü kullanıcı bir fonksiyona istediği değeri beslemekte özgürdür. Yine de yukarıda, değişkenlerin bulunduğu tanım kümelerinin o kadar da serbestçe seçilemediğini belitmiştik. Yine de tamsayı değişkenlerinin dönüştürmek yeteneği olan bir fonksiyona elemanları tamsayılar olan her tanım kümesi, serbestçe seçilebilir. Fonksiyon kendine beslenen bağımsız değişkenini kullanarak bir sonuç hesaplar. Bu sonuç, yani dönüştürülmüş olan değer, bağımlı değişken olarak adlandırılır. Sonuç bağımlıdır, çünkü değeri, bağımsız değere bağlıdır. Sonucu oluşturan ilişki bir fonksiyon ilişkisidir. Bir fonksiyon ilişkisi de, en az bir bağımsız bir değişken değeri için en çok bir tek sonuç hesaplayabilir. Bu hesap sonucu da bağımlı değişken adını alır.

Konvansiyonel olarak, bağımsız değişken (x) , bağımlı değişken (y) olarak belirtilir.

f(x) → y

fonksiyonel ilişkisinde y bağımlı değişken, x ise bağımsız değişkendir. Bağımsız değişkene, sadece fonksiyonun tanım kümesinden değerler verilebilir. Bir fonksiyonel ilişkide bağımsız değişkene önimge (preimage) , bağımlı değişkene de imge (image) adı verilir. Bir fonsiyonel ilişkide f(x) → y olarak belirtilen bağımlı değişken (y) değerine, x değerinin f(x) altında imgesi (görüntüsü) adı verilir. Aynı işlem için eş anlamlı terimler karışıklık yaratabileceğinden terimlerin çok iyi anlaşılması gerekir. Biz çalışmalarımızda daha çok (Görüntüleme), (Görüntülenme), (Görüntü) terimlerini kullanacağız.

Bir f(x) → y ilişkisinde bağımsız değişkenler, fonksiyonun değer kümesinin (Domen) elemanlarıdır. Bağımlı değişkenler de, fonksiyonun tanım kümesi , Rng(x) elemanlarıdır.

Mathematica ile bir fonksiyonun tanım kümesi elemanlarından, değer kümesi elemanları kolayca hesaplanabilir. Bunun için Table[ ] fonksiyonu kullanılabilir.

örnek:
f(x) = fonksiyon-6_78.png - x

Bir fonksiyon ilişkisidir ve y = fonksiyon-6_79.png - x olarak uygulanır. Bu fonksiyonun x = --2 , -1 , . . . , 2 değerleri arası görüntü kümesi,

Table fonksiyon-6_80.png - x} , { x, -2, 2 , 1}]

Out[132]=

{{6}, {2}, {0}, {0}, {2}}

değerlerinden oluşur.

Değer kümesi ise,

In[133]:=

Table[{x}, {x, -2 , 2 , 1}]

Out[133]=

{{-2}, {-1}, {0}, {1}, {2}}

olarak hesaplanır. Bu fonksiyon için {değer , görüntü} sıralı çiftleri,

(-2,6) , (-1 ,2) , (0,0) , (1,0) , (2,2)

olarak belirlenir. Buradan, her farklı tanım kümesi (Dom(x) değeri için farklı bir görüntü kümesi (Rng(x) değeri elde edildiğinden, f(x) = fonksiyon-6_81.png - x olarak belirtilen ilişkinin bir fonksiyon olduğu belirlenir. Bu fonksiyonun işe yarar bir görüntüsünün oluşturulması için hangi küme ile birleştirileceği enteresandır. Grafiğe bakılırsa bu fonksiyonun Rng(x) kümesi, B ={-2.0 , -1.0 , 0 , ... , 2.0} X {1.0 , 2.0 , 3.0 ,  ... , 6.0} (kartezyen çarpım) kümesi ile birleştirilmiştir. Oluşan görüntü kümesi, kartezyen çarpım kümesi olduğu için elemanları, {x,y} çiftleridir. B kümesi bir grid (kafes) kümesidir ve düğüm noktaları, fonksiyonun Rng(f) kümesine ait {x,y} değerleridir. Grafik, sayısal görüntünün (nokta) (düğüm noktası) aralığının inanılmaz bir düşük aralığa indirilerek çizilen, analog görüntüye yakın bir görüntüdür.

fonksiyon-6_82.png

fonksiyon-6_83.gif

olarak Mathematica tarafından oluşturulur.

Oluşan görüntüde, x=-2,-1,0,1,2 noktalarınıdan çekilen dikmeler, fonkiyon eğrisini sadece bir kez kestiğinden, y = fonksiyon-6_84.png-x bağıntısının bir fonksiyon olduğu anlaşılır.

3.23.4 - Fonksiyonlar üzerinde Aritmetik İşlemler

Fonksiyonlar üzerine aritmetik işlemler aşağıda görüldüğü gibi tanımlanmıştır.

Toplama : (f + g)(x) = f(x) + g(x)

çıkarma : (f - g)(x) = f(x) - g(x)

çarpma : (f · g)(x) = f(x) · g(x)

Bölme : fonksiyon-6_85.png)(x) = fonksiyon-6_86.png

Fonksiyonların toplanması üzerine örnekler :

örnek :

f : RR , k(x) = x +1 ve l(x) = 2x+1 fonksiyonlarının toplamını bulunuz.

çözüm :

fonksiyon-6_87.png

fonksiyon-6_88.png

fonksiyon-6_89.png

fonksiyon-6_90.png

fonksiyon-6_91.png

fonksiyon-6_92.png

fonksiyon-6_93.png

fonksiyon-6_94.png

fonksiyon-6_95.png

Mathematica (k + l)(x) = 2 + 3x olarak belirlemiştir. Toplam fonksiyonun tanım alanı, her iki fonksiyonun kesişme kümesidir Burada toplam fonksiyonun tanım kümesi RR = R olduğundan, yine R olmaktadır.

örnek:

f : RR, f(x) = x + 2 ve f : fonksiyon-6_96.png fonksiyon-6_97.png , g(x) = fonksiyon-6_98.png fonksiyonlarının toplamını bulunuz.

çözüm :

fonksiyon-6_99.png

fonksiyon-6_100.png

fonksiyon-6_101.png

fonksiyon-6_102.png

fonksiyon-6_103.png

fonksiyon-6_104.png

fonksiyon-6_105.png

R fonksiyon-6_106.png = fonksiyon-6_107.png olduğundan, sonuç, f : fonksiyon-6_108.png fonksiyon-6_109.png (f + g)(x) = fonksiyon-6_110.png olarak belirtilir.

örnek :

f : R\{0} → R\{0}, f(x) = fonksiyon-6_111.png ve f : RR , g(x) = 2x fonksiyonlarının toplamını bulunuz.

çözüm :

fonksiyon-6_112.png

fonksiyon-6_113.png

fonksiyon-6_114.png

fonksiyon-6_115.png

fonksiyon-6_116.png

fonksiyon-6_117.png

fonksiyon-6_118.png

fonksiyon-6_119.png

fonksiyon-6_120.png

R\{0} açıklaması, {R - {0}} anlamına gelmektedir. fonksiyon-6_121.png  → Belirsiz olduğundan, fonksiyonun tanım alanı tüm gerçel sayılar eksi sıfır olarak tanımlanmaktadır. Bu şekilde iki fonksiyonun toplamının tanım kümesi R\{0} ∩ R\{0} = R\{0} olduğundan, sonuç, f :  R\{0} →  R\{0} , (f + g)(x) = fonksiyon-6_122.pngolacaktır.

örnek :

f : RR , f(x) = fonksiyon-6_123.png-1 , g(x) = 2x +3 fonksiyonlarının farkını bulunuz.

çözüm :

fonksiyon-6_124.png

fonksiyon-6_125.png

fonksiyon-6_126.png

fonksiyon-6_127.png

fonksiyon-6_128.png

fonksiyon-6_129.png

fonksiyon-6_130.png

Sonuç, f : RR (f(x) - g(x)) = fonksiyon-6_131.png - 2x - 4 olarak belirlenir.

örnek : f :  R\{4} →  R\{4},  f(x) = fonksiyon-6_132.png ve  f :  R\{-4 , 4} → R\{-4,4},  f(x) = fonksiyon-6_133.png fonksiyonlarının farkını bulunuz.

çözüm:

fonksiyon-6_134.png

fonksiyon-6_135.png

fonksiyon-6_136.png

fonksiyon-6_137.png

fonksiyon-6_138.png

fonksiyon-6_139.png

fonksiyon-6_140.png

fonksiyon-6_141.png

fonksiyon-6_142.png

Sonuç : R\{-4 , 4} , fonksiyon-6_143.png olacaktır.

Mathematica ile sağlanan hesaplama gücü etkileyicidir.

3.23.5 - Tanım ve Değer aralıkları

Tanım ve değer  aralıkları, sayısal değerlerin aralıklarıdır. Bu aralıklar kapalı , açık veya yarı açık türlerden olabilirler.

3.23.5.1 - Açık Aralık

Açık arakta her iki ekstremum (uç noktalar) aralığa ait değillerdir. örnek:

fonksiyon-6_144.png

fonksiyon-6_145.png

Aralığı açık aralıktır. Ekstremum değerleri olan 1 ve 10 aralık değerlerine ait değillerdir. Aralık değerleri {2,3,4,5,6,7, 8,9} olarak belirlenir. Yukarıdaki açık aralık,

(1, 10)

olarak belirtilir.

Eksi ve artı sonsuz değerleri daima açık olarak belirtilir. örnek (-∞ , ∞) bunun nedeni, sonsuzluğun nesnel b ir şey olmadığı için ölçülebilecek bir değeri olmadığıdır.

3.23.5.2 - Kapalı Aralık

Kapalı aralıkta, ekstremum noktaları aralığın içindedir. örnek,

fonksiyon-6_146.png

fonksiyon-6_147.png

100 ve 200 aralık içindedir. Kapalı aralık,

[100 , 200]

olarak gösterilir.

Daha önce gördüğümüz gibi, elipsis noktaları da bir kapalı aralık belirticisidir.

12, 16, 16, ..., 30

3.23.5.3 - Yarı Kapalı Aralık

Yarı kapalı aralıkta, eğer minimum tarafı kapalı ise, buna “Soldan Kapalı Aralık” eğer maksimum tarafı  kapalı ise buna “Sağdan kapalı aralık adı verilir. örnek,

Soldan kapalı aralık, 3 ≤ x >50 , [3 , 50) şeklinde,

Sağdan kapalı aralık 13 < x ≤ 50 , (13,50] şeklinde belirtilir. (a>13 ise, a aralık içinde, a = 50 ise, a aralık içinde,  a>50 ise, a aralık dışındadır)

fonksiyon-6_148.gif

fonksiyon-6_149.gif

3.23.6 - Sabit Fonksiyon

Bir fonksiyonun tanım kümesinin tüm elemanları, aynı görüntü ile eşleşirlerse, bu fonksiyona sabit bir fonksiyon adı verilir.

Sabit bir fonksiyon,

f(x) = C

şeklindedir. örnek olarak x = 16, sabit bir fonksiyondur. Bunun anlamı, her x için y = 16 olacak şeklindedir. Sabit bir fonksiyonun görüntüsü,

fonksiyon-6_150.png

fonksiyon-6_151.gif

Görüldüğü gibi, sabit bir fonksiyonun görüntüsü, y eksenine dikey ve ordinat değeri C olan bir doğrudur. Sabit bir fonksiyon örneği olan bu örnekte, fonksiyon kümesi, f = {(x,y) | (-∞ < x < ∞) , y = 1.5} şeklinde oluşmaktadır. Sonsuz bir küme olan fonksiyon kümesinin sonlu bir alt kümesi fonksiyon-6_152.png ={{1 , 1.5}, {2 , 1.5} olarak belirtilebilir. Doğal olarak fonksiyon-6_153.png⊂ f olacaktır.

3.23.7 - Kapalı ve Açık Fonksiyonlar

Kapalı ve açık sözcükleri, matematikte birçok farklı anlamda kullanılır. Kapalı bir fonksiyon, serbest ve bağlı değişenlerin birarada olduğu, f(x,y) şeklinde bir bildirimdir. örnek  olarak,

x + ax - by = 0, bir kapalı fonksiyondur ve f(x,y) = x + a x - by   olarak tanımlanır. Açık  olan y = f(x) fonksiyonel ilişkisinin bulunabilmesi için, her türlü bilgisayar destekli matematik (BDM) programındaki, denklem çözümü için verilen, Solve(kapalı fonksiyon) alt programı (hazır fonkiyonu) kullanılabilir. Mathematica’da bu programı, kapalı çember ilişkisini (Pythagoras Bağıntısı) nı açmak için kullanmıştık. Bu örnek için kullanımı,

fonksiyon-6_154.png

fonksiyon-6_155.png

fonksiyon-6_156.png

fonksiyon-6_157.png

fonksiyon-6_158.png

özetle, bir zamanlar insanları çok zorlayan kapalı fonksiyon bağıntılarının açılması, artık bilgisayar kullanımı ile çok kolaylaşmıştır.

Mathematica , sembolik eşitliklerde çift eşit (==) sembolü kullanılmasını gerekli kılmıştır. Oluşan kural tipi bağlantılar, denklem tipi eşitliklere, yukarıda görüldüğü gibi, kolaylıkla eşitliğe dönüştürülebilir.

y = f (x) tipi bir fonksiyon, her yeterli subroutine (alt program) içeren programdan yaralanılarak çizilebilir. Mathematica için, fonkiyon görüntüleme fonksiyonu Plot[ ] fonksiyonudur.  En basit bir çizim uygulaması aşağıda görülmektedir

fonksiyon-6_159.png

Değişken olan x yerine her türlü değişken adı kullanılabilir.

Tekbir fonksiyon için,

Plot[{f(x)}, {x, minimum değer, maksimum değer},opsiyonlar]

İstenirse önce fonksiyon tanımlanır.

F[x_] = fonksiyon-6_160.png - 5 x

Sonra çizim yapılır.

Plot[F[x] , {x, minimum değer, maksimum değer},opsiyonlar]


Opsiyonlardan daha hassas ve daha açıklamalı grafikler oluşturmak için yararlanılır. Opsiyon örnekleri, Mathematica kullanım kitabından bulunabilir. Bu çalışmada verilmiş örneklerden yaralanılarak da çeşitli kullanılmış opsiyon örnekleri uygulanabilir.

Bir sayısal uygulama için opsiyonsuz bir çizim uygulanması,

fonksiyon-6_161.png

fonksiyon-6_162.png

fonksiyon-6_163.png

fonksiyon-6_164.png

fonksiyon-6_165.png

fonksiyon-6_166.gif

Bu fonksiyonun lineer (çizgisel) bir görüntü verdiği görülüyor. Bu görüntüleme ilk bilgiler için yeterli olabilir. daha detaylı görüntü çizimleri için, verilmiş uygulamalarda, kullanılmış olan çeşitli opsiyonlardan yararlanılabilir.

Açık formülü, f(x) = fonksiyon-6_167.png olan hiperbolün görüntüsü aşağıda gibidir. Ek yazılar, Mathematica daki “çizim Araçları” (Drawings Tool) kullanılarak çizilmişir.

fonksiyon-6_168.png

fonksiyon-6_169.gif

özetle, bir zamanlar insanları çok uğraştıran fonkiyon çizimleri de bilgisayar kullanımı ile günümüzde çok kolaylaşmıştır.

3.23.8 - Kimlik Fonksiyonu

Kimlik (İdantite) veya Birim fonksiyonu M hem tanım N de değer kümeleri olmak üzere, M = N olarak,

∀x ∈ M , f(x) = x  veya f: M → N, ( M = N), f(x) = x

fonksiyon-6_170.png

fonksiyon-6_171.png

olarak belirtilen fonksiyondur. Bu fonksiyon, fonksiyon-6_172.png) olarak gösterilir. Kimlik fonksiyonu bir M x M matrisin diyagonal değerlerini oluşturur. Kimlik fonksiyonu lineer, orijin (0,0) noktası koordinatlarını içeren, Eğimi (fonksiyon-6_173.png = 1) olan ve bir dikdörtgenin ana diyagonalini oluşturabilen bir doğrudur. Görüntüsü, {1,1}, {2,2},{3,3},{4,4}, ... İki boyutlu matris olarak aşağıda görülmektedir.

x
x
x
x
x
x

Grafik çizimi, aşağıda görülmektedir.

fonksiyon-6_174.png

Graphics:Kimlik Fonksiyonu

olarak elde edilir.

3.23.9 - Periyodik Fonksiyonlar

Bir fonksiyon, P bir sıfırdan farklı sabit olmak üzere, tüm tanım kümesi değerleri x için,

f(x + P) = f(x)

olursa, bu fonksiyona “Periyodik” bir fonksiyon adı verilir. P değeri, “Temel Periyod” olarak adlandırılır.

Periyodik bir fonksiyon, P uzunluğundaki aralık değerleri ile tekrar eder. Buna fonksiyonun “Periyodu” adı verilir.

Geometrik olarak, periyodik fonksiyonlar, “geçişli simetri” görüntüsü verirler. Eğer bir fonksiyonun x-doğrultmanı istikametinde, P uzunluğunda geçişkenlik altında değişmezlik gösterirse, o fonksiyona “Periyodik Fonksiyon” adı verilir.

fonksiyon-6_176.png

fonksiyon-6_177.gif

örnek olarak, yukarıdaki grafikte görüldüğü gibi, sinüs fonksiyonu, 2π lik bir periyod ile periyodiktir. çünkü, tüm değer aralığı x değerleri için,

sin(x + 2π) = sin(x)

olmaktadır.

özellikle trigonometrik fonksiyonlar periyodik özellikler sergilerler. Bir trigonometrik çember, aşağıdaki gibidir.

fonksiyon-6_178.gif

Trigometrik daire değerleri ve sinüs eğrisi arasındaki ilişki, aşağıdaki animasyonla görülmektedir.

fonksiyon-6_179.png

Bu animasyonun öneminin anlaşılması için trigonometrik çemberi biraz daha iyi tanımalıyız. Trigonometrik çember, saat yönünün aksine ilerleyen ve 0 da başlayıp, parkuru dolaştıktan sonra yine 0 başlangıç yönüne ulaşan bir periyodik hareketin kaynağıdır.

Trigonometrik çember, π  veya ° olarak uygulanır. Matematikte π birimi geçerlidir. çember 4 e bölünür ve 0 , fonksiyon-6_181.png, fonksiyon-6_182.png, fonksiyon-6_183.png ve π=0 değerine ulaşınca periyod tamamlanır. Sinüs eğrisi, bir periyod süresince [-1 , 1]  aralığında değerler alır.

3.23.10 - Bileşke Fonksiyonlar

Matematikte, bileşke fonksiyon, A kümesinden B kümesine aktarılan bir sonucu, C kümesine aktaran bir fonksiyondur. Buna fonksiyon kompozisyonu adı da verilir.

öncelikle notasyon üzerinde bilgilerimizi berraklaştıralım. Bir fonksiyon,

fonksiyon_adı(bağımsız_değişken) = bağımsız değişkene bağlı bir bağıntı

olarak belirtilir. Genel olarak, fonksiyon adı f ile belirtilir. Bu tamamen alışkanlıktan kaynaklanır, f yerine g, z, q gibisimler rahatlıkla verilebilir. Bazen aynı anda değişik fonksiyonlar ile çalışılırken, fonksiyonlar birbirleri ile karışmasın diye onlara farklı isimler verlir. Bir fonksiyon, bağımsız değişkene bağlı olarak bir değer hesaplar. Hesapladığı değer, bağımlı (bağımsız değişkene bağlı) değişkenin bir değeridir. Genellikle, fonksiyon_adı(bağımsız_değişkenin_ismi) şeklinde, fonksiyon tanımı yapılır. örnek olarak,

f(x) , f(a) , h(z), q(t)

geçerli fonksiyon tanımlarıdır. Ama, eğer fonksiyon t(a) olarak tanımlanmışşa, fonksiyon bağıntısında, bağımsız değişken olarak a değeri bulunmalıdır. örnek olarak,

t(a) = a + 16 ; f(a) = 25a +4 ; h(z) = z +55 ; q(t) = fonksiyon-6_184.png - t ;  f(x) = 5x+3

geçerli fonksiyon bağıntılarıdır.

Her fonksiyon, bağımsız değişken değerine bağlı olarak bir bağımlı değer hesaplar. Bu bağımlı değişken değerine istenilen ad verilebilir. Biz genellikle f(x) = 5x+5 olarak tanımladığımız bir fonksiyonun bağımsız değişkenini y olarak adlandırıyor ve fonksiyonu f(x) = 5x+5 ile eşanlamlı olarak y = 5x+5 olarak belirtebiliyoruz. Ama, y yerine başka her isim kullanılabilir. Bağımsız değişkene x, bağımlı değişkene y denilmesi, bu fonksiyonun çizimi için yararlanılan iki boyutlu (2-D) kartezyen uzayın, X-Y uzayı, 2-D Kartezyen grafiklerin de X-Y grafikleri olarak adlandırılmasıdır. Yoksa f(x) = y yerine rahatlıkla f(x) = z olarak belirtilebilir. Aynı şekilde, q(w) = fonksiyon-6_185.png + 14 olarak belirtilen fonksiyon, f(x) = fonksiyon-6_186.png olarak da belirtilebilir. 2-D Kartezyen uzayda, her ikisinin de çizimi aynıdır.

Fonksiyon kompozisyonuna dönelim. f(a) : A → B açıklaması, bir a bağımlı değişkenin A tanım kümesinden, B değer kümesine taşınmasıdır. f(a) : B → C olarak belirtilen, fonksiyon da, B tanım kümesine taşınmış bir a elemanını, C değer kümesine taşıyacaktır. Sonuçta, A tanım kümesinden B değer kümesine, B tanım kümesinden C değer kümesine, f(a) ve t(a) olarak tanımlanmış iki ayrı fonksiyonla taşınabilen bir a elemanını, f ◦ t (x) olarak adlandılırılan tek bir bileşke fonksiyonla, A kümesinden C kümesine aktarılmasıdır. Burada aktarma diyoruz, ama, önce f(x) = x +5 gibi bir fonksiyonla y değerine dönüştürülerek B kümesine, oradan da z = g[y] gibi bir fonksiyonla y değerinden z değerine dönüştürülerek C kümesine aktarılması söz konusudur. Yani olay o kadar basit değildir.

Fonksiyon kompozisyonunda işlem sırası, örnek olarak f◦g(x) gibi, serbetstçe belirlenir. Fakat belirlenen işlem sırası aynen uygulanır. Aşağıda, bir fonksiyon kompozisyonunda uygulama şeması görülmektedir.

fonksiyon-6_187.gif

İki aktarma mekanizmaları olan,  f(a) : A → B ve g(a) : B → C bilinirse, g◦f(a) ve f◦g(a) bileşik fonksiyonları kolaylıkla saptanabilir.

Bileşke fonksiyonun bulunması :

In[159]:=

RightComposition[f[g[a]]]

olarak belirftiliyor. Burada, bileşik fonksiyonun sağa doğru hesaplanacağı açıklanıyor. Bu işlem tanıma bağlıdır. ilk olarak en dış olarak (en solda) belirtilmiş olan f sonra, sağa doğru iç fonksiyon olarak belirtilmiş g fonksiyonları bileşke fonksiyon oluşturulması için kullanılmaktadır. Sağa doğru işlem, “Sağa doğru kompozisyon” (RightComposition) olarak adlandılır. Olağanüstü. Fonksiyon kompozisyonu, kimlik fonksiyonun, kimlik fonksiyonu tarafından kompoze edilmesi dışında f(x) ≠ g[x] olduğundan değişebilir (komütatif) değildir ve o yüzden sıraları değişmez.

örnek :

Mathematica, bileşke fonksiyonları kolayca hesaplayabilir. Bunun için önce fonksiyonların Mathematica’ya tanıtımları gerçekleştirilir. örnekler:

fonksiyon-6_188.png

fonksiyon-6_189.png

fonksiyon-6_190.png

Atanmış olan değerlerin program belleğine gerçekten yerleşip yerleşmedğinin kontrolü yaplır :

fonksiyon-6_191.png

fonksiyon-6_192.png

fonksiyon-6_193.png

fonksiyon-6_194.png

Kontrol sonucu atamaların gereği gibi yapıldığı ve değişken değerlerinin program belleğine yerleşmiş olduğu anlaşılmaktadır.

Bağımsız değişken adı a, bilgisayar programlarında kullanılan (dummy variable) (yer tutucu) durumundadır. Fonksiyon, başka bağımsız değişken adları ile de çağrılabilir. örnek,

fonksiyon-6_195.png

fonksiyon-6_196.png

g[a_] = fonksiyon-6_197.pngolarak tanıtılmış bir fonksiyon, arguman adı x olarak değiştirilerek g[x] şeklinde çağrılırsa, a yerine x konularak, fonksiyon-6_198.png sonucunu vermektedir.

fonksiyon-6_199.png

fonksiyon-6_200.png

fonksiyon-6_201.png

fonksiyon-6_202.png

Sonuç ilk bakışta aynı gibi görülüyor, fakkt dikkat edilirse birbirlerinden farklıdır. Yani, kompozisyon sırası değişirse, kompozisyon sonuçları birbirinden farklı olabilir. Ama, aşağıda görüleceği gibi iki fonksiyon birbirinin inversi (tersi) ise sağ ve sol bileşkeler birbirile aynı olmaktadır.

Başka örnekler :

fonksiyon-6_203.png

fonksiyon-6_204.png

fonksiyon-6_205.png

fonksiyon-6_206.png

fonksiyon-6_207.png

fonksiyon-6_208.png

fonksiyon-6_209.png

Kompozisyon sırası değiştiğinde elde edilen bileişik fonksiyonlar farklı olduklarından, fonksiyon kompozisyonun kimlik fonksiyonun kendisi ile kompozisyonu ve her iki fonksiyonun birbirlerinin inversi olmadıkları sürece komütatif olmadıkları ve bu yüzden  sıralarının değişebilir olmadığı görülmektedir.

Bu sonuçların aslında bayağı bir cebirsel çalışma ile belirlenmesi gerekirdi. Bu kadar kolay bulunabilmeleri, beni biraz cebirsel işlem alışkanlığının kaybolması konusunda ikirciğe düşürüyor. Normal olarak el ile yapılması gereken işlemler aşağıda görülmektedir.

f ◦ g[x] = 1 + fonksiyon-6_210.png

f ◦ g[x] = 1 + fonksiyon-6_211.png

f ◦ g[x] = 1 + x

g ◦ f[x] = g[1 + fonksiyon-6_212.png]

g ◦ f[x] = fonksiyon-6_213.png

Fonksiyonların yazılımları yoğunlaştıkça, bileşke fonksiyonların hesaplanmalarının işlem yükü de ağırlaşır. Bu nedenle Mathematica gibi bilgisayar destekleri, büyük önem kazanır.

İkiden fazla fonksiyonun kompozisyonu, ele ile çalışmak için fazla işlem yükü içerir ama Mathematica ile kolayca gerçekleştirilir.

Yeni bir fonksiyon ,

fonksiyon-6_214.png

fonksiyon-6_215.png

Bir f ◦ g ◦ h(x) çalışması :

fonksiyon-6_216.png

fonksiyon-6_217.png

El ile,

1 + h[x]

fonksiyon-6_218.png

Mathematica ile daha fazla fonksiyonun da bileşkesi alınabilir (kompozisyonu yapılabilir).

fonksiyon-6_219.png

fonksiyon-6_220.png

fonksiyon-6_221.png

fonksiyon-6_222.png

fonksiyon-6_223.png

fonksiyon-6_224.png

Yukarıdaki örnekten de görülebildiği gibi, ikiden fazla fonksiyonun kompozisyonunun elle çalışmak için fazla işlem yoğun olmasına karşın, Mathematica ile kolayca hesaplanabilmektedir.

Fonksiyon kompozisyonu (f ◦ g) ◦ (h ◦ q)(x) = f ◦ (g ◦ h) ◦ q(x) olduğundan Birleşme özelliğine (asosiyatif özelliğe) sahiptir. Bu yüzden parantezler kaldırılmış olarak (sırası değiştirilmeden), f ◦  g ◦ h ◦ q(x) olarak yazılabilir.

3.23.11 - Ters Fonksiyon

Ters fonkiyonların bulunması, fonksiyon bileşkesi (fonksiyon kompozisyonu) yönteminin bir uygulamasıdır Bu uygulamada bir tanım kümesi elemanının bir değer kümesi elemanı haline geldikten sonra, tersine bir işlemle yeniden tanım kümesi elemanı haline getirilmesidir.

Bu durumda, ileriye doğru fonksiyonun değer kümesi Y, ters fonksiyonun (geriye dönüşün) (sağdan geriye dönüşün) tanım kümesi Y, değer kümesi X olur. Ters fonksiyonun tanım kümesi Y =  {8 , 9 , 10 , 11 , 12} için, ters fonksiyonun değer kümesi X nin elemanlarını hesaplayabilecek, y = x + 5 in ters fonksiyonunun saptanması gerekir. Geri dönüş fonksiyonun değer kümesi, ileri gidiş fonksiyonun tanım kümesi olacaktır. İşin özü budur.

Aşağıdaki örnek, ters fonksiyon olayının yürüyüşünü açıklamaktadır.

İleri ve ters yönde fonksiyonlar, Kadıköy - Moda arası ring seferi yapan bir tramvaya benzetebiliriz. Bu tramvaya Kadiköyden bir yolcu biner ve Moda’da iner. Daha sonra bir başka tramvaya biner ve yine Kadıköye döner. Aşağıdaki şema bunu açıklamaktadır.

fonksiyon-6_225.png

Şimdi bir okul grubunu düşünelim. Grubun elemanlarının tanıtılması için, tüm grup elemanlarının elbiselerine iğnelenmiş bir simge var. Bu durumda, tüm grup elemanları tanınmış oluyorlar. Bunları bir küme olarak düşünebiliriz. Bu küme birlikte Kadıköyden bir tramvaya birlikte binmek istiyorlar. Bir tramvay bu kümeyi alıyor. Tramvay için bu küme bir “Kalkış Kümesi” dir. Kalkış kümesi olarak tüm grup elemanları, kalkış kümesi elemanları oluyorlar. Tramvaya binmeyip geride kalan hiçbir kalkış kümesi üyesi eleman olmuyor. Grubun gözetmeni geride bir grup üyesi kalmışsa, alarm verip tramvayı kaldırmıyor. Tramvay yola çıkyor. Yolda, grup elemanları bir değişikliğe uğruyorlar, tüm grup elemanları giden tramvayların bir özelliği olarak, paltolarını çıkarıp kollarına alıyorlar. Modaya vardıkları zaman hep birlikte tramvaydan iniyorlar. Tramvay için bunlar, “Varış Kümesi” elemanları haline dönüşmüştür. Kalkış ve  varış kümelerinin elemanları aynı olduğundan, her iki kümenin eleman sayısı da aynı olacaktır. Varış kümesi elemanları, kalkış değerlerinden farklı olarak, paltoları kollarında, Modada geziyorlar, dönüş zamanları geliyor. Biniş istasyonları olan Kadıköye dönmek için bir dönüş tramvayına paltoları kollarında biniyorlar.  Bu sefer bu grup Moda’da, bir geri dönüş tramvayı için kalkış kümesi oluyorlar. Geride hiçbir eleman kalmıyor. Modaya varış kümesi elemanları, Modadan kalkış kümesi elemanları ile aynı olduğundan, grubun Modaya varış kümesi eleman sayısı ile Modadan kalkış kümesinin eleman sayısı aynı oluyor. Tramvay hareket ediyor ve yolda dönüş tramvayının bir özelliği olarak tüm yolcular bir değişikliğe uğruyor. Tüm yolcular paltolarını giyiyor. Dönüş tramvayı yeniden Kadıköye varıyor. Aynı grup hep beraber tramvaydan iniyor ve bu sefer Kadıköyde, yani ilk başlangıç alanında ama bu sefer varış kümesi elemanları oluyorlar. Kadıköye varıp, varış kümesi olduklarında, Kadıköyden kalkış kümesi oldukları kümenin aynı elemanları olarak,  hiçbirisi kaybolmadan, hiçbirisi bir değişikliğe uğramadan paltoları üzerlerinde geri donmüş oluyorlar. Gidiş- dönüş değişiklikleri tersinirdir. Yani giderken uğranılan değişiklik, dönerken ortadan kaldırılmaktadır. Fonksiyon oldukları için, gerek gidişte, gerek dönüşte tanım kümelerinde geride hiçbir eleman bırakılmayacağı için, aynı eleman sayısı ile gidip dönmüş oluyorlar. Herhalde hocaları rahat bir nefes almıştır. İleri ve ters yönde fonksiyonların çalışmaları bu şekildedir.

Şimdi tramvay yerine bir matematik bir fonksiyon olduğunu düşünelim. Bu fonksiyonun kalkış kümesi, fonksiyonun tanım kümesi (Domen) üyeleri oluyorlar ve DOM(f) olarak belirtiliyorlar. Bu fonksiyonun çıktı kümesi, değer kümesi (Range) olarak adlandılıyor ve Rng(f) olarak adlandırılıyor. Bir fonksiyonda, kalkış kümesinden bir eleman, varış kümesine götürülüyor. Bu gidiş sırasında yeni bir değere dönüştürülüyor. Varış kümesindeki aynı eleman, bu sefer kalkıştan varışa ötüren fonksiyonun tersi (yani ters yönde çalışanı) ile, geriye yeniden kalkış kümesine geri getiriliyor. Geri dönüş sırasında yeniden kalkış elemanı değerine dönüştürülüyor. Ben buna “Götür-Getir” işlemi diyorum. Bir fonksiyonda, değer kümesindeki tüm elemanlar, geride hiçbir eleman bırakmadan dönüştürülerek değer kümesine taşınıyorlar. Bu zaten fonksiyon olmanın bir koşulu. Değer kümesine taşınan eleman değerlerinin tümü de bu fonksiyonun ters fonkiyonu ile yeniden tanım değerine çevrilip, tanım kümesine taşınıyorlar. Bunu gerçekleştirebilmenin tek bir yolu var. O da fonksiyonun tek bir elemanı tanım değeri olarak alıp , dönüştürerek değer kümesi elemanı haline getirmesi, ters fonksiyonun da aynı dönüştürülen değeri alıp donüştürerek yeniden tanım kümesinin aynı elemanı haline dönüştürmesidir. İleride göreceğimiz gibi, bu fonksiyon tek bir tanım kümesi elemanını tek bir değer kümesi elemanına dönüştürüyor. Bu fonksiyonun tersi (inversi) ise, düz fonksiyonun değer kümesini, kendi tanım kümesi olarak kabul ederek buradaki değerleri dönüştürüp kendi değer kümesine, yani düz fonksiyonun tanım kümesine yeniden yerleştiriyor.

Bir f(x) = y fonksiyonun , tanım alanından aldığı bir değeri, dönüştürerek değer alanı elemanı y haline getiriyor. Bu dönüştürülmüş değerin, fonksiyonun değer alanından alınıp , geri dönüştürerek yeniden tanım elemanı haline getriren bir fonksiyon g(x) olabilir. Bu fonksiyon olabilir veya olmayabilir. Eğer bir f(x) fonksiyonun etkisini ortadan kaldıracak bir geri dönüş fonksiyonu varsa, bu biricik (ünik) (sadece bir tane) fonksiyondur ve fonksiyon-6_226.png(x) olarak adlandılır ve “f invers x” olarak okunur Bu notasyon, fonksiyon-6_227.png(x) olarak değerlendirilmemelidir. Bu sadece, geri dönüş (ters), (invers) fonksiyon için bir notasyondur.

Her fonksiyonun ters fonksiyonu yoktur. Bir f : X → Y , f[x] fonksiyonunun tersinin olabilmesi için, tek bir X kümesi değeri,  tek bir Y kümesi değerine karşı gelmelidir. Biraz sonra bu fonksiyonlara bire-bir ve bijektif denildiğini göreceğiz.

örnek olarak, f : RR , f[x] = fonksiyon-6_228.png fonksiyonun ters fonksiyonu yoktur. çünkü bu fonksiyon, (x = -1) ve (x = 1) değerlerini tek bir (y =1) değerine bağladığı için bire-bir değildir ve dolayısı ile, ters fonksiyonu yoktur.

Bir ters fonksiyon bulunması örneği olarak, f(x) = x +5 fonksiyonun ters fonksiyonun bulunma yöntemini inceleyelim.

fonksiyon-6_229.png

fonksiyon-6_230.png

fonksiyon-6_231.png

fonksiyon-6_232.png

fonksiyon-6_233.png

Tablo, f[x] fonksyonun tanım kümesinin (Dom(f)), tamsayılar olarak [1,10] kapalı aralığını belirlemiş ve değer kümesi değerlerini (Rng(f)) olarak hesaplamıştır. Bu önemlidir, çünkü kalkış kümesi ve varış kümesi değerlerinin kesin olarak özümsenmesi gerekmektedir.

Sonuçlara bakılırsa, tamsayılar kümesinde, [1,10] kapalı aralığındakş giriş değerleri, [6,15] arası kapalı aralığında tamsayı değerlerini vermiştir.

Şimdi amacımız varış kümesi elemanlarını, kalkış kümesi elemanları olarak kabul ederek, f[x] fonksiyonunun kalkış kümesi elemanlarına eşit olacak şekilde varış kümesi elemanlarını hesaplayan bir g[x] geri dönüş fonksiyonun oluşturulmasıdır.

İleri gidiş fonksiyonu,

y = 5 + x

olarak belirtimişitir. Burada X kalkış kümesinden alınan elemanlar, dönüştürülerek fonksiyonun Y değer kümesine taşınıyorlar. Bu işlemin ters yönde çalışacak geri dönüş fonksiyonu, tanım kümesi olarak f[x] fonksiyonun değer kümesi elemanlarını alacak ve f[x] fonksiyonu tarafından yapılmış olan dönüşümün tersi yaparak hesapladığı değeri, kendi varış kümesine taşıyacaktır. Geri dönüş fonksiyonunun değer kümesi, ileri gidiş fonksiyonu f[x]’in tanım kümesi olacaktır.

Geri dönüş fonksiyonu, ileri gidiş fonksiyonun bağımlı ve bağımsız değişkenlerinin yer değiştirmesi ile elde edilir.

x = 5 + y

Burada y , yine hesaplanması gereken bağımlı değişken, x de yine bağımsız değişkendir. Fakat bu yeni fonksiyonun tanım ve değer kümeleri f(x) fonksiyonundan farklıdır. g(x) olarak adlandıracağımıx bu yeni fonksiyon, f(x) fonksiyonun ters (invers fonksiyonu olan fonksiyon-6_234.png(x)  fonksiyonudur ve tanım kümesi f(x) fonksiyonunun değer kümesi, varış kümesi ise, f(x) fonksiyonunun tanım kümesidir. Denklem, y cinsinden düzenlenirse,

y = 5 -x

olarak bulunur. Bu ters fonksiyon bağıntısıdır. Genellikle alışkanlıklara bağlı olarak, ileri gidiş fonksiyonu, f[x], ters fonksiyon g[x] olarak adlandırılır. Eğer bir x elemanı f[x] ile dönüştürülerek varış kümesine taşınmış ise, g[x] fonksiyonu bu değeri alıp dönüşmeyi ortadan kaldırarak orijinal elemanı kendi varış kümesine, yanı f[x] fonksiyonunun kalkış kümesine geri taşıması gerekir. Yani, doğru yapılandırılmış bir ters fonksiyonda,

f[g[x]] = x olmalıdır. örneğimizde, 5 + g[x] = 5 -5 +x = x olduğundan bulunan geri dönüş fonksiyonu doğrulanmaktadır.

fonksiyon-6_235.gif

Fonksiyon ve invers (ters) fonksiyonun çalışma şekilleri yukarıda görüldüğü gibi görüntülenmiştir.

Basit fonksiyonların terslerinin hesaplanması kolaydır. Karmaşık fonksiyonlar için Mathematica’dan yardım alınabilir.

Mathematica, ters fonksiyonları üç yöntemle hesaplayabilir. Bunlardan birisi isimsiz (anonim) fonksiyonlar kullanılması yöntemidir. Anonim fonksiyonlar, Lambda (λ)  fonksiyonlarına karşı gelirler ve Mathematica’da “Pure Functions” olarak adlandırılırlar. Pure fonksiyonlar ile Mathematica’da hiç fonksiyon ve değişken adı tanıtılmadan salt formül yazılarak sonuç hesaplatılabilir. Generik fonksiyonlarda değişken # olarak yazılır ve fonksiyon & ile bitirilir.Bu yöntemin bir uygulanması aşağıda görülmektedir.

fonksiyon-6_236.png

fonksiyon-6_237.png

Buradan, herhangibir bağımsız bir değişken  # için,  ters fonksiyon hesaplanabilir. Burada sonuç, (#) simgesi (x) olarak düşünülürse, y = x-5 olarak okunur.

Mathematica Pure fonksiyonları çok esnek ve generiktir. Bağımsız değişken adı yerine genel bir bağımsız değişken simgesi (#) kullanılır. Bunun bir bağımsız değişken adı olduğu ise, & simgesi ile belirtilir. Böylece[ # + 5 &] yazılımı, (x +5) veya ( y +5) veya benzerleri anlamına gelebilir. Elde edilen sonuçta #1, bir tane değişken x, y, veya benzeri olduğu anlamına gelir. Burada & bunun bir değişken olduğunun belirtmektedir. -5+#1& ise, (x -5) anlamına gelmektedir.

Ters fonksiyonların Mathematica ile hesaplatılmasının ikinci yolu en alışılmış yöntem olarak nitelendirilebilir. Bu yöntem ile önce fonksiyon tanıtılır.

fonksiyon-6_238.png

fonksiyon-6_239.png

fonksiyon-6_240.png

Sonra, InverseFunction alt programı aşağıdaki gibi çağrılabilir.

fonksiyon-6_241.png

fonksiyon-6_242.png

fonksiyon-6_243.png

fonksiyon-6_244.png

Sonuç, daha okunabilir bir şekilde elimizde olmaktadır.

Mathematica ile ters fonksiyonların belirlenmesi için üçüncü bir yol en az alışılmış bir yoldur. Bu fonksiyonun çözümünün bulunması yöntemidir. Pek kullanışlı olmasa da (çünkü ters fonksiyonun bulunması işlevini yapan öntanımlı bir Matematica fonksiyonu, InverseFunction [ ] var), bu yöntemin avantajı, dönüş çözümünün tekliğinin belirlenmesidir. örnek:

fonksiyon-6_245.png

fonksiyon-6_246.png

fonksiyon-6_247.png

fonksiyon-6_248.png

Ters fonksiyon bağıntısı için, elde edilen sonuç, y = x -5 bağıntısıdır. Bu bağıntı, g[x] olarak belirtilebilir.

fonksiyon-6_249.png

fonksiyon-6_250.png

fonksiyon-6_251.png

fonksiyon-6_252.png

Biz çalışmalarımızda, kolay yoldan sonucu verebilen, ikinci yöntemi kullanacağız.

Bulunan ters fonksiyonun doğruluğu,

fonksiyon-6_253.pngfonksiyon-6_254.png(f(x)) = x

olursa doğrulanır.

örneğimizde,

f(x) = 5 + x , fonksiyon-6_255.png(x) = g(x) = 5 - x

olarak bulunduğundan, ters fonksiyonun bileşiminin doğruluğunun f◦g(x) = g◦f(x) = x olması ile kontrol edilir.

Mathematica ile ters fonksiyonun bileşimin doğrulanabilmesi için iki yöntem kullanılabilmektedir

İlk yöntem,

fonksiyon-6_256.png

fonksiyon-6_257.png

fonksiyon-6_258.png

fonksiyon-6_259.png

şeklinde doğrulanabilir. İkinci yöntem aşağıda görüldüğü gibi daha basittir.

fonksiyon-6_260.png

fonksiyon-6_261.png

fonksiyon-6_262.png

fonksiyon-6_263.png

şekline doğrulama yöntemleri uygulanabilir.

Sonuçlardan, f◦g(x) fonksiyon kompozisyon işleminin, sol tarafında f, sağ tarafında g olduğundan, sol kompozisyon f◦g(x) ile sağ kompozisyon g◦f(x) işlemlerinin sonucu aynı x olduğundan, fonksiyonun inversinin dğru alınmış olduğuna karar verilir.

Kimlik (özdeşlik) fonksiyonu f(x) = x ‘in inversi ne olabilir. f(x) ile dönüştürülen değer y = x olduğuna göre, g(x) = x olacaktır. Kimlik fonksiyonu f(x) = g(x) = x olan tek fonksiyondur.

fonksiyon-6_264.png

fonksiyon-6_265.png

fonksiyon-6_266.png

fonksiyon-6_267.png

fonksiyon-6_268.png

Fonksiyon ve inversi, y = x kimlik fonksiyonu etrafında simetriktir. Aşağıdaki şekil f[x} = x + 5 ve G(x) = x - 5 fonksiyonları örneği için, bunu kanıtlamaktadır.

fonksiyon-6_269.gif

Şekilde görülen, A nokası f(x) , B noktası fonksiyon-6_270.png (y) doğrusu üzerindedir.  fonksiyon-6_271.png doğrusunun orta noktası olan (k) noktası, karenin iki açı ortayının (diyagonal) kesişme noktasıdır. Bu nokta, fonksiyon-6_272.png doğrusunun uzunluğunun yarısıdır. Fonksiyon ve inversinin kimlik fonksiyonu etrafında simetrik olması, tüm düz ve invers eğri çiftleri için geçerlidir.

Yukarıdaki şekil, GeoGebra ile çizilmiştir. GeoGebra bir Avrupa çaılşmasıdır. özellikle geometri için çok kullanışlıdır. Cebirsel işlevleri de giderek gelişmektedir. Kullanımı ücretsizdir. Sitesinden indirilip kullanılabilir. Geometri çalışmamız için, GeoGebra’dan yararlanacağız.

örnek fonksiyon, inversi ve kimlik fonksiyonun birlikte çizimleri, aşağıda görülmektedir.

fonksiyon-6_273.png

Graphics:y = x + 5 , y = x ve x = y-5

Bu grafikten fonksiyonların ve inverslerinin ana diyagonal( y=x) (kimlik fonksiyonu) etrafında simetrik oldukları görülmektedir. Bu genel bir özelliktir.

Bazı Mathematica fonksiyonları, Sin, Cos, Log Exp gibi öntanımlı fonksiyonlardır. Mathematica bu fonksiyonları tanır. Bu fonksiyonların öntanımlı olmasından yararlanılarak, inversleri  Mathematica’da kayıtlı olduklarından kolaylıkla erişilebilir. Aslında Mathematica’da öntanımlı  olmayan fonkiyonlarıaşağıdaki örneklerde yapacağımız gibi kendimiz tanıtabilir ve inverslerini aynı kolaylıkla hesaplatabiliriz.

Fonksiyon ve inverslerinin Mathematica uygulaması olarak saptanması konusunda tüm kuramsal ve uygulamalı bilgileri incelemiş olduğumuzdan, tersi alınabilir (invertibl) her türlü fonksiyonun inversini belirleyebilecek düzeye gelmiş bulunuyoruz. Bu yeteneğimizi kullanarak, aşağıdaki örneklerin çözümlerini sağlayacağız.

örnek :

y = 5 x fonksiyonun inversini bulunuz.

çözüm:

fonksiyon-6_275.png

fonksiyon-6_276.png

fonksiyon-6_277.png

fonksiyon-6_278.png

fonksiyon-6_279.png

fonksiyon-6_280.png

fonksiyon-6_281.png

fonksiyon-6_282.png

fonksiyon-6_283.png

fonksiyon-6_284.png

fonksiyon-6_285.png

İnvers fonksiyonun doğru alınmış olduğu görülür. Bu örneğin ve inversinin, kümlik fonksiyonu ile birlikte grafikleri aşağıda görülmektedir.

fonksiyon-6_286.png

fonksiyon-6_287.gif

Yukarıda görülen grafikte Oluşan grafikten, f(x) ve f(x) fonksiyonlarının, aynı bir önceki örnekte olduğu gibi, ana diyagonal etrafında simetrik oldukları görülüyor.

örnek :

f(x) = fonksiyon-6_288.png fonksiyonun invers fonksiyonunu belirleyiniz.

çözüm :

fonksiyon-6_289.png

fonksiyon-6_290.png

fonksiyon-6_291.png

fonksiyon-6_292.png

fonksiyon-6_293.png

f(x) = fonksiyon-6_294.png için fonksiyon-6_295.png(x) = fonksiyon-6_296.png(x) olarak bulunmuştur. fonksiyon-6_297.png(x) = fonksiyon-6_298.png

fonksiyon-6_299.png

fonksiyon-6_300.png

fonksiyon-6_301.png

fonksiyon-6_302.png

Bu örneğin grafikleri,

fonksiyon-6_303.png

Graphics:      x                Log[x] y =  2  , y = x ve y = ------                        Log[2]

örnek :

Sin(x) fonksiyonunun inversini bulunuz.

çözüm :

Mathematica’da sinüs fonksiyonu öntanımlıdır.

fonksiyon-6_305.png

fonksiyon-6_306.png

ArcSinx [- fonksiyon-6_307.png, fonksiyon-6_308.png] arası tanımlıdır. Bu yüzden sin(x) , kısmi tersi alınabilir bir fonksiyondur ve [- 1 , 1] arası tersi tanımlıdır. Kısmi ters alınabilirlik, bir fonksiyonun tersinin, ancak belirli bir değer aralığında tanımlı olabilmesidir.

fonksiyon-6_309.png

Graphics:y = Sin[x] , y = x ve y = ArcSin[x]

Bu fonksiyon ve inversi, -0.5 <x<0.5 arası kimlik fonksiyonu ile yaklaşık olarak çakışık olmaktadır.

örnek :

fonksiyon-6_311.png

olarak verilmiştir. Bu fonksiyonun inversini bulunuz.

çözüm :

fonksiyon-6_312.png

fonksiyon-6_313.png

fonksiyon-6_314.png

fonksiyon-6_315.png

fonksiyon-6_316.png

Graphics:&deg;F , y = x ve &deg;C

fonksiyon-6_318.png

fonksiyon-6_319.gif

çözülmüş olan örneklerin, invers fonksiyonlar üzerine açıklayıcı bilgi vermektedir. Bu konuda, izleyenlenlerin kendi örneklerin oluşturarak burada incelenen örneklerde uygulanan yöntemleri uygulamaları ve kendi çözümlerini oluşturmaları  sağlık verilir.

3.23.12 - Polinom Fonksiyonları

Bir n inci derece (düzgün) (regular) polinom, aşağıdaki gibi formüle edilir.

f(x) = fonksiyon-6_320.pngfonksiyon-6_321.png + fonksiyon-6_322.pngfonksiyon-6_323.png + ... + fonksiyon-6_324.pngfonksiyon-6_325.png + fonksiyon-6_326.pngx + fonksiyon-6_327.png

Burada, a lar gerçel sayılardır ve polinomun katsayıları olarak adlandırılırlar. İlk bakışta karmaşık gibi görülebilirse de aslında örnekleri çok daha basit olabilir.

Burada n, en yüksek üs olarak belirlenir. Polinomların dereceleri, en yüksek üsse göre belirtilir. örnek olarak, en yüksek üs 3 ise, bu polinoma, “3 üncü derece polinom” adı verilir.

Bir polinomun tüm terimlerinin, polinom denklem veya fonksiyonlarında bulunması gerekmez. önemli olan, en yüksek üs dür. Aşağıda görülen bağıntı, 2 inci derece bir fonksiyondur.

fonksiyon-6_328.png

fonksiyon-6_329.png

Fonksiyonların bünyesinde √ (karekök) , fonksiyon-6_330.png gibi terimler varsa, bunlar polinom olarak kabul edilmez.

Birinci derece polinomlar,

f (x) = fonksiyon-6_331.png x + fonksiyon-6_332.png

olarak belirtilir. bu fonksiyonlar en alışılmış olan bir şekilde,

f(x) = ax + b

olarak yazılır.

Bir fonksiyon, fonksiyon-6_333.png noktasından yani  fonksiyon-6_334.png , 0) noktasından, fonksiyon-6_335.png = fonksiyon-6_336.png nokatsına yani fonksiyon-6_337.png ,0) noktasına hareket etmişse, yatay değişimi fonksiyon-6_338.png = fonksiyon-6_339.png - fonksiyon-6_340.png olarak belirlenir. örnek olarak, fonksiyon-6_341.png = 4 ve fonksiyon-6_342.png= 2 olursa, fonksiyon-6_343.png = 4 - 2 = 2 olur.

Bir fonksiyonun yatay değişimi fonksiyon-6_344.png için dikey değişiminin ne olacağı, fonksiyon bağıntısına bağlıdır.

Birinci derece bir polinom fonksiyonunda,

fonksiyon-6_345.png) = a fonksiyon-6_346.png + b

fonksiyon-6_347.png) = a fonksiyon-6_348.png + b

Taraf taraf çıkarılırsa,

fonksiyon-6_349.png) - fonksiyon-6_350.png) = (a fonksiyon-6_351.png + b) - (a fonksiyon-6_352.png + b)

fonksiyon-6_353.png) - fonksiyon-6_354.png) = a fonksiyon-6_355.png - fonksiyon-6_356.png

fonksiyon-6_357.png = fonksiyon-6_358.png= a

olarak bulunur. Bunun anlamı, birinci derece polinom fonksiyonlarında, fonksiyonun fonksiyon-6_359.png kadar yatay hareket etmesi durumunda, fonksiyon fonksiyon-6_360.png kadar düşey hareket ediyor. Burada fonksiyon-6_361.png oranına, “fonksiyonun eğimi” adı verilir.

Burada uygulanmış oln “taraf tarafa çıkaralım !” sözcüğü oldum olası beni çok rahatsız etmiştir. Bunu üniversite hocama derste” bunu nereden bilip uyguluyorsunuz?” diye sormuştum, o zaman henüz doçent olan sayın Haldun Şahinci’nin verdiği yanıt tarihsel olmuştu. “Bu konuda önceden çalışanlar, bu işin böyle çıkacağını anlamış ve kitaplarına yazmışlar. Bu bilgiler oralardan geliyor. Kimse hiç yoktan, kendi kafasına göre öneri yapmaz, her işin mutlaka bir önü, bir de sonu olur. Bu da öyle. Doğal olarak henüz yeni karşılaştığınız için fazla bir şey bilmiyorsunuz. Biraz araştırma yapın, bu konuda yapılmış çalışmaları görüp, taraf tarafa çıkarmanın nasıl bilindiğini göreceksiniz!” Bu yanıt evrensel bir gerçeği, konuların ancak iyice incelendikten sonra bilgi sağlayabileceğini açıklamaktadır. Yani “okumadan alim, yazmadan katip” olunamaz.

Birinci derece polinom fonksiyonlarında, fonksiyonun eğimi a değerine eşit olduğundan, eğim sabittir. Birinci derece fonksiyonların eğimi sabit olduğundan, fonksiyonun değişimi düz bir çizgi olarak devam eder. Bu yüzden birinci derece polinom fonksiyonlarına, “Lineer Denklemler” (çizgisel Denklemler) adı verilir.

En basit lineer denklem, y =x olarak belirtilen kimlik (özdeşlik) fonksiyonudur. Bu fonksiyonda, b ( ordinatın kesim noktası) (intercept) = 0, eğim a = 1 olmaktadır. Bu fonksiyonun çizimi daha önce yapılmıştır.

Bir başka örnek, eğimi = 2 , ordinat kesim noktası = 6 olan, y = 2 x + 6 fonksiyonu olabilir. Bu fonksiyonun mathematica ile çizimi, bizim için artık alışagelmiş bir rutin olmuştur. (Rutin = tekrarlana tekrarlana artık ezber yapılır gibi uygulanabilen, alışılagelinmiş bir işlem)

fonksiyon-6_362.png

fonksiyon-6_363.png

fonksiyon-6_364.png

fonksiyon-6_365.png

Graphics:y = 2x + 6

Lineer fonksiyonların tanım ve değer alanları gerçel sayı olarak (-∞ , ∞) arasıdır. Eğimleri sabit olduğundan hiçbir kırılma noktası olmayan düz çizgisel (lineer) grafikler oluştururlar.

Lineer denklemler mutlaka bir noktada x ve y eksenlerini keser.  Bu noktalar fonksiyonun çözüm noktalarıdır. bir y = a x + b denkleminin y eksenini kestiği yer, y değerinin 0 olduğu, bir x noktasıdır. Böylece, 0 = a x +b , a x = -b , x = - fonksiyon-6_367.pngolur. Böylece,  bir lineer denklemin, çözüm koordinatı, (- fonksiyon-6_368.png , 0) noktasıdır. Kimlik fonksiyonunda a = 1 ve b = 0 olduğu için, doğrunun y eksenini kesim noktası = (0 ,0) (orijin) noktasıdır.

Mathematica, Solve[ ] fonksiyonu ile kesim noktasının bulunmasını sağlar. Yukarıdaki problem için,

fonksiyon-6_369.png

fonksiyon-6_370.png

fonksiyon-6_371.png

fonksiyon-6_372.png

olarak bulunur.

örnek :

f(x) = 3x+5 fonksiyonun x eksenini kesim noktasını bulunuz.

çözüm:

a = 3 ve b=5 olduğu için x eksenini kesim noktası = - fonksiyon-6_373.png= - fonksiyon-6_374.png = - 0.166 noktasında bu lineer fonksiyon x eksenini keser.

fonksiyon-6_375.png

Graphics:y = 3x + 5

3.23.13 - Limit

Limit (sınır) bir fonksiyonun belirli bir c değerine yaklaşıldığında, alabileceği değerdir. Yaklaşık bir değerdir ve fonksiyonun c noktasında tanımlı olması gerekli değildir. Limit değeri, fonksiyonun c noktasındaki değeri değildir ama, fonksiyonun c noktasının yakın komşuluğunda aldığı değerdir.

Limit tanımı ilk olarak 1821 de Augustin-Louis Cauchy ardından da Karl Weierstrass tarafından tanımlanmıştır. Bu tanım (ε (epsilon) , λ (lambda) tanımı olarak tanınır. Bu tanım, son derece kritiktir ve gayet iyi anlaşılması gerekir. Limit tanımı,

fonksiyon-6_377.png= L

olarak yapılmıştır. Bunu, “Bir f(x) fonksiyonunda bağımsız değişken x, belli bir c değerine yaklaşırsa,  fonksiyon değeri, bir L limit (sınır) değerine yaklaşır” olarak okumak gerekir. Eşdeğer olarak,

x → c oldukça f(x) → L olur.

"x c ye yaklaştıkça, f(x) de L değerine yaklaşır” olarak belirtmek olanağı bulunmaktadır.

Limitin ε - δ tanımı:

Bir fonksiyonun fonksiyon-6_378.png= L olarak tanımlanan limiti, “Her ε > 0 için, öyle bir δ > 0 değeri bulunur ki, |(x - c)| < δ olması, |f(x) -L| < ξ olmasını gerektirir” şeklinde tanımlanır.

Limit tamında görülen, ε ve δ değerleri sonsuz küçük olarak belirtilen “infinitesimal” değerlerdir. Euler, sonsuz küçük bir sayıyı,”düşünebildiğinizden daha küçük bir sayı” olarak tanımlamıştır. Sonsuz küçük bir sayı insan aklının agılayabileceği bir şey değildir. İki sayının sonsuz yakın komşuluğu, örnek olarak x→c ( x, c ye sonsuz olarak yaklaşır) olarak belirtilir. Bunun anlamı, x ile c nin hiçbir zaman eşit olmadıkları, fakat insan aklı ile algılanabilecek bir yaklışıklıkla, x=c yani x yaklaşık olarak c ye eşit kabul edilebilir olduklarıdır.

Limit durumunda, bağımsız değişken x, c ye asla eşit olmaz. Tanım sadece yaklaşımı öngörmektedir. Fonksiyonun limit değerinde tanımlı olması da gerekmez. Tanım eşitliği değil, yaklaşıklığı öngörmektedir ve fonksiyonun limit değerinin yakın komşuluğunda tanımlı olması yeterlidir. Bir x değerinin c değerine yaklaşık olması demek, x değerinin (-c,+c) aralığında olması anlamına gelir.Eğer c , sıfırdan farklı, pozitif bir sayı ise, bu özellik |x| < c olarak gösterilir. Mutlak değer açıldığında, x < c  ve -x < c veya x > -c olduğu görülür. Bu sonucun sayı skalasında lokasyonu, c= 5 olarak kabul edilirse,

fonksiyon-6_379.png

fonksiyon-6_380.gif

olrarak belirtilir. Eğer x-c aralığı bir infinitesimal büyüklük olan δ değerinden küçükse,

fonksiyon-6_381.png

olarak gösterilir. Bu bağıntının açılımı,

|(x - c)| < δ bağıntısı iki gerçek değere açılır. Birinci değer,

x - c < δ

açılımıdır. Düzenleme ile,

x < δ + c

x < c + δ

olarak bulunur.

İkinci açılım,

-(x - c) < δ

açılımıdır. Düzenleme ile,

-x + c < δ

-x < δ -c

x > - δ + c

x > c -δ

Sayı skalasında açıklanırsa,

fonksiyon-6_382.gif

δ sonsuz küçük olduğundan, c - δ = c + δ = c = x olur.

Burada x ile c nin sonsuz küçük komşuluğunda olduğu, aralarında sonsuz küçük bir fark olduğu ve insan aklının algılayamadığı bu fark yüzünden, x = c olarak kabul edilği, fakat hiçbir zaman c ile x’in eşit olmadığı her zaman hatırlanmalıdır. Sonuçta aralık, insan algısına göre kapanır ve c ile x yaklaşık eşit kabul edilir.

fonksiyon-6_383.gif

Diğer taraftan, esas durum, bağımsız değişken x in limit değerine δ kadar yaklaşırken, fonksiyonun limit değerine ε kadar yaklaşmasıdır. Bu durum,

| f(x) − L | < ε

olarak belirtilir. Bu mutlak eşitsizlık, iki eşitsizlik olarak açılır. Bunlardan ilki,

f(x) − L < ε

f (x) < L + ε

olarak gerçekleşir. İkinci eşitsizlik,

- (f (x) − L ) < ε

- f(x) + L < ε

f(x) - L > - ε

f (x) > L - ε

olarak bulunur. Sayılar skalasında,

fonksiyon-6_384.gif

olarak gösterilir. Burada ε sonsuz küçük olduğundan, L - ε  = L + ε  =  L = f(x) olarak kabul edilebilir. Böylece,

fonksiyon-6_385.png= L = f(c) olur.

Sonsuz küçük değer (infinitesimal) Euclid’in tanımına göre, en küçük olduğu düşünülen bir değerden daha küçük bir değerdir. Insan aklı sonsuz küçük bir değerin küçüklüğünü algılayamaz. Ama, bir değerden sonsuz küçük kadar farklı olmak, o değere asla eşit olmamak anlamına gelir.

önemli olan x noktasında fonkisiyon limitinin f(c)’e sonsuz olarak yaklaştığı fakat hiçbir zaman f(c)’ye eşit olmadığının bilincine varılmasıdır. Yani, fonksiyon-6_386.png= f(c) fakat asla fonksiyon-6_387.png= f(c) olmadığıdır. Bu yaklaşıklık, tüm matematik çalışmalarında asla unutulmamalıdır.

örnek :

f(x) = fonksiyon-6_388.png + 3 parabolününün -2 noktasındaki limitini bulunuz.

çözüm :

fonksiyon-6_389.png

fonksiyon-6_390.png

fonksiyon-6_391.png

fonksiyon-6_392.png

Bu limiti, sağdan ve soldan yaklaşarak bulmaya çalışalım. İlk önce soldan,

fonksiyon-6_393.png

fonksiyon-6_394.png

Soldan limit x → -2 için f(x) = L =11 olarak bulunuyor. Sağdan limit aranması,

fonksiyon-6_395.png

fonksiyon-6_396.png

Sağdan (Büyükten azalarak) limit de aynen 11 olarak bulunuyor. Bu şekilde,

fonksiyon-6_397.png= 11

olarak bulunur.

Mathematica x = -2 noktasında f(x) fonksiyonun limitini,

fonksiyon-6_398.png

fonksiyon-6_399.png

fonksiyon-6_400.png

olarak belirtmektedir. Bu, belirli bir x değeri için fonksiyonun limitinin, f(x) değerine yaklaşık olarak eşit kabul edilebileğini belirtir. Gerçekten sonsuz küçük (infinitesimal değerleri aklımız almaz ve gerçek yaşamda, infinitesimal farklılık eşitmiş gibi algılanır. B sadece bir algı (perception) dur. ve asla somut olarak eşitlik anlamına gelmez. örnek olarak örneğimizideki parabolün x = -2 için gerçek değeri.

fonksiyon-6_401.png

fonksiyon-6_402.png

Olarak bulunur. Bu olgu, parabolün sürekli bir fonksiyon olduğu ve süreksiz noktalarının bulunmamasından kaynaklanır. Problemli eğrilerde ise, fonksiyonun bazı noktalarda değeri tanımsız olduğundan limit değerlerine gereksinme olur ve bu çok önemli bir olanaktır. Problemin çözümünün doğrulanması için, fonksiyonun grafiğinin çizilmesi ve sonucun grafik üzerinde doğrulanması gerekir.

fonksiyon-6_403.png

Graphics:          2 f(x) = 2 x  + 3

Sonuç, grafikten doğrulanıyor.

örnek :

f(x) =  fonksiyon-6_405.png   fonksiyonun x → 1 için limitini bulunuz.

çözüm :

Eğer x = 1 olarak alınırsa limit, fonksiyon-6_406.png= 1 olarak bulunur. Mathematica ile,

fonksiyon-6_407.png

fonksiyon-6_408.png

fonksiyon-6_409.png

fonksiyon-6_410.png

fonksiyon-6_411.png

Graphics:        x + 1 f(x)=  -------         2        x  + 1

Grafikten doğrulandı.

Sonuç, grafikten doğrulanıyor.

örnek :

f(x) =  fonksiyon-6_413.png   fonksiyonun x → ∞ için limitini bulunuz.

çözüm :

Eğer x = ∞ olarak alınırsa limit, fonksiyon-6_414.png olarak bulunur. Bu belirsiz bir durumdur. Bunu aşmak için eldeki tüm olanaklar kullanılır.

öncelikle, basitleştirme denenirse,

fonksiyon-6_415.gif

elde edilir ve fonksiyon-6_416.png(x + 1) = ∞ olarak bulunur. Bu bir birinci dereceden polinom olduğundan bir doğru denklemi dir ve bir doğrunun sonsuzluk sınırı da sonsuzdur. Bu şekilde çözüm doğrulanır.

3.23.13.1 - Sağ ve Sol  Limitler

Bazı durumlarda, limit değerleri belirsizlik durumlarına dönüşür. Bunun aşılması için limit değerine sağdan veya soldan yaklaşıp belirsizlik durumunu aşmak gerekir.

Soldan veya aşağıdan limit, giderek büyüyen değerlerle limit değerine yaklaşma anlamına gelir. Soldan limit,

fonksiyon-6_417.pngf(x)

olarak tanımlanır. Sağdan veya yukarıdan limit ise, büyük sayılarla başlayıp giderek küçülerek limit değerine yaklaşma anlamına gelir.

I isteğe göre seçilmiş bir aralık (Interval) olduğuna göre, sağdan limitin temel tanımı,

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I (0 < x - c < δ → |f(x) - L| < ε)

olarak belirtilir. Sağdan limit ise,

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ I (0 < c - x < δ → |f(x) - L| < ε)

olarak tanımlanır.

Bir noktada limitin varlığı, her iki yönden limit değerlerinin eşitliğini gerektirir.

Bir noktada üstten ve alttan limitler birbirlerine eşit değillerse, fonksiyonun o noktada limiti yoktur.

örnek :

f(x) =  fonksiyon-6_418.png   fonksiyonun x → ∞ için limitini bulunuz.

çözüm :

Eğer x = ∞  olarak alınırsa limit, fonksiyon-6_419.png olarak bulunur. Bu durum belirsiz bir durumdur ve eldeki tüm olanaklarla bu belirsizilik halinden kurtulmak gerekir. Mathematica ile,

fonksiyon-6_420.png

fonksiyon-6_421.png

fonksiyon-6_422.png

Out[73]=

0

Soldan limit

fonksiyon-6_423.png

fonksiyon-6_424.png

Giderek 0’a yaklaşıyor. Daha yakın bir değer,

fonksiyon-6_425.png

fonksiyon-6_426.png

0 değerine yaklaşıyor. Sağdan yaklaşım,

fonksiyon-6_427.png

fonksiyon-6_428.png

Giderek 0' a yaklaşıyor. Daha yakın bir değer,

fonksiyon-6_429.png

fonksiyon-6_430.png

Mathematica ile,

fonksiyon-6_431.png

fonksiyon-6_432.png

fonksiyon-6_433.png

fonksiyon-6_434.png

fonksiyon-6_435.png

fonksiyon-6_436.png

Sonuç :

fonksiyon-6_437.pngfonksiyonu, x → ∞ için, sağdan ve soldan yaklaşım ile 0 değerine yaklaşıyor. Bu durumda, bu fonksiyonun x = ∞ dışında limiti vardır ve dolayısı ile süreklidir. Kısa süre sonra x = 0 doğrusunun bu fonksiyonun yatay asimptotu olduğu görülecektir. Grafik kontrol aşağıda görülmektedir.

fonksiyon-6_438.png

Graphics:        x + 1 f(x)=  -------         2        x  + 1

Mathematica, limit hesaplarında çok yardımcı oluyor ve el ile uğraşmayı ortadan kaldırıyor. Grafik doğrulama, sonuçların görerek kontrol olanağını sağlıyor.

örnek ( Wikipedia)

fonksiyon-6_440.png

çözüm :

Mathematica ile,

fonksiyon-6_441.png

fonksiyon-6_442.png

fonksiyon-6_443.png

fonksiyon-6_444.png

fonksiyon-6_445.png

fonksiyon-6_446.png

fonksiyon-6_447.png

fonksiyon-6_448.png

fonksiyon-6_449.png

fonksiyon-6_450.png

fonksiyon-6_451.png

Graphics:         1   f(x)=  --------             1/x        1 + 2

Grafik çiziminden de görüldüğü gibi, fonksiyon 0 noktasında süreksiz ve sıfır noktasında birbirine eşit bir sağ ve sol limiti olmadığından, bu noktada limiti yok sayılır.

örnek

fonksiyon-6_453.png

çözüm :

Mathematica ile,

fonksiyon-6_454.png

fonksiyon-6_455.png

fonksiyon-6_456.png

fonksiyon-6_457.png

fonksiyon-6_458.png

fonksiyon-6_459.png

fonksiyon-6_460.png

fonksiyon-6_461.png

fonksiyon-6_462.png

fonksiyon-6_463.png

fonksiyon-6_464.png

Graphics:       1   f(x)=  ---         x

Grafik çiziminden de görüldüğü gibi, fonksiyon 0 noktasında süreksiz ve sıfır noktasında birbirine eşit bir sağ ve sol limiti olmadığından, bu noktada limiti yok sayılır. Biraz sonra bu fonksiyonun x = 0 noktasında bir dikey asimptotu olduğunu göreceğiz.

Mathematica olmazsa ne yapacağız? diye hiç düşünmeyin. Mathematica olmazsa, uygulamalarımız yapabilecek birçok ücretsiz CAM (Computer Aided Mathematics) programı var. Ayrıca, Mathematica’nın on-line uygulama platformları var. Ayrıca, bir CAM programı ile yapılan çözümün her zaman el ile yapılması olanağı var (ama bazen saatler sürebilir).

örnek

fonksiyon-6_466.png

çözüm :

Mathematica' da Log[x] = fonksiyon-6_467.png(x) (Doğal veya Neperyen Logaritma) olarak algılanır. İstenirse Log[e,x] olarak da yazılabilir.

fonksiyon-6_468.png = sonuç      fonksiyon-6_469.png(sonuç) = üs        (temel bağıntı)

Mathematica fonksiyon-6_470.png (2) hesabı için, Log[10,2] yazılımını kullanır.

fonksiyon-6_471.png

fonksiyon-6_472.png

fonksiyon-6_473.png

fonksiyon-6_474.png

fonksiyon-6_475.png

fonksiyon-6_476.png

Temel Bağıntıdan,

fonksiyon-6_477.png = 8  ,   fonksiyon-6_478.png(8) = 3  (Mathematica için Log[2,8] = 3)

fonksiyon-6_479.png

fonksiyon-6_480.png

fonksiyon-6_481.png

fonksiyon-6_482.png

fonksiyon-6_483.png(Log[e,x])

Mathematica ile,

fonksiyon-6_484.png

fonksiyon-6_485.png

fonksiyon-6_486.png

fonksiyon-6_487.png

fonksiyon-6_488.png

fonksiyon-6_489.png

fonksiyon-6_490.png

fonksiyon-6_491.png

fonksiyon-6_492.png

fonksiyon-6_493.png

fonksiyon-6_494.png

Graphics:f(x)= ln(x)

Grafik çiziminden de görüldüğü gibi, fonksiyon 0 noktasında limiti -∞ olmaktadır. Bağımsız değişken x değeri 0 değerine yaklaştıkça, Logaritmik fonksiyonun limiti -∞ olmaktadır. Bu noktanın yakın komşuluğunda sağ ve sol limitler birbirlerine eşit oldukları için, iki yönlü limit vardır ve fonksiyon süreklidir.

fonksiyon-6_496.png

fonksiyon-6_497.png

olduğundan, x= 0 noktasında fonksiyon süreksizdir ve x = 0 dikmesi, fonksiyon-6_498.png(x) fonksiyonun dikey asimptotudur.

örnek

fonksiyon-6_499.png

çözüm :

Mathematica ile,

fonksiyon-6_500.png

fonksiyon-6_501.png

fonksiyon-6_502.png

fonksiyon-6_503.png

fonksiyon-6_504.png

fonksiyon-6_505.png

fonksiyon-6_506.png

fonksiyon-6_507.png

fonksiyon-6_508.png

fonksiyon-6_509.png

Bu sonucun nasıl bulunduğunu saptayalım.

fonksiyon-6_510.png] fonksiyon-6_511.png] = (Log[1] -Log[0]) = [0 - (-∞)] = +∞

Grafik kontrol :

fonksiyon-6_512.png

Graphics:                       1 f(x)=  log         (-------)           &#63309;  (x - 1)

fonksiyon-6_514.png

Fonksiyonun, x= 1 de dikey asimptotunun olduğu görülüyor.

Dikkat çekecek bir konu, fonksiyon-6_515.png ‘ın belirsiz bir durum olmasına karşın, fonksiyon-6_516.png fonksiyon-6_517.png ‘in ∞ değerine yaklaşmasıdır. Bunun nedeni x ≠ 0 olmasıdır. örnek olarak x = fonksiyon-6_518.png olabilir.

fonksiyon-6_519.png

fonksiyon-6_520.png

Görüldüğü gibi ∞ ‘a yaklaşıyor.

fonksiyon-6_521.png

fonksiyon-6_522.png

fonksiyon-6_523.png

fonksiyon-6_524.png

fonksiyon-6_525.png

fonksiyon-6_526.png

Asimptot değerinde süreksizlik olduğundan, iki yönlü limit değeri “belirsiz” olarak belirtilmektedir

3.23.14 - Türev

Doğrusal fonksiyonların eğimlerinin bulunmalarının çok kolay oldukları görüldü. Fakat, İkinci dereceden bir polinom fonksiyonu gibi, doğrusal olmayan fonksiyonlar için, eğimlerin bulunması sorunu daha problemlidir. Eğrilerde eğim sabit değildir, lineer denklemler gibi tüm doğrunun değil, ancak iki nokta arası sonsuz küçük bir mesafede, tek bir noktaya yaklaşan, yaklaşık tek nokta için, yaklaşık eğim saptanabilir.

Geometride bir eğriyi kesen doğrulara sekant adı verilir. örnek olarak, ikinci derece bir parabolü kesen bir sekant denklemi, iki bilinmeyenli bir denkleminin çözümü ile elde edilir. Kuramsal olarak çalışalım

İkinci derece bir eğri

y = fonksiyon-6_527.png + n  (1)

Birinci dereceden bir eğri (doğru)

y = ax + b   (2)

Kesim noktaları iki bilinmeyenli (x,y) iki denklemin (1,2) ortak çözümünden elde edilir.

İlk denklemden y nin değeri alınır. ikinci denkleme yerleştirilir.

fonksiyon-6_528.png + n = ax + b
fonksiyon-6_529.png - ax + (n-b) = 0
x =  -fonksiyon-6_530.png ± fonksiyon-6_531.png

Mathematica, aynı çözümü, bizim için sağlayabilir.

fonksiyon-6_532.png

fonksiyon-6_533.png

fonksiyon-6_534.png

fonksiyon-6_535.png

örnek :  f(x) = 2 fonksiyon-6_536.png parabolü  ile , g(x) = 2 x 15 doğrusunun kesim noktalarını bulunuz.

çözüm :

fonksiyon-6_537.png

fonksiyon-6_538.png

fonksiyon-6_539.png

fonksiyon-6_540.png

Birinci derece eğri (aslında doğru, ama doğru da bir eğri türü olarak kabul edilir).

fonksiyon-6_541.png

fonksiyon-6_542.png

fonksiyon-6_543.png

olarak tanımlanmış olsun. Kesim noktaları, kuramsal olarak yukarıda belirlenmişti. Şimdi bu kuramsal bağıntıları, gerçek bağıntılar olarak, örneğimizdeki veriler ile tanımlayalım:

fonksiyon-6_544.png

fonksiyon-6_545.png

fonksiyon-6_546.png

fonksiyon-6_547.png

fonksiyon-6_548.png

fonksiyon-6_549.png

fonksiyon-6_550.png

fonksiyon-6_551.png

fonksiyon-6_552.png

(-2 , 11) ve (3 , 21) olarak bulunur. Grafik olarak gösterimleri,

fonksiyon-6_553.png

fonksiyon-6_554.gif

Biraz daha hassas olarak çizilirse,

fonksiyon-6_555.png

Graphics:

olarak görüntülenir.

fonksiyon-6_557.png

fonksiyon-6_558.png

fonksiyon-6_559.png

fonksiyon-6_560.png

fonksiyon-6_561.png

fonksiyon-6_562.png

fonksiyon-6_563.png

fonksiyon-6_564.png

Doğrunun eğimi =  fonksiyon-6_565.png olarak tanımlanır. Bu örnekte, y = 2x + 15 doğrusu, y = fonksiyon-6_566.png + 3 parabolünü, (-2 , 11) ve (3 , 21) noktalarında keser. Bu bir sekant (eğriyi kesen) doğrusudur. Eğer fonksiyon-6_567.png ile fonksiyon-6_568.png birbirleri ile daha yakın olurlarsa, yani fonksiyon-6_569.png kısalırsa, sekantın eğimi ne kadar değişir?  örnek olarak fonksiyon-6_570.png yerinde dursun, fakat fonksiyon-6_571.png daha yakına gelsin yani fonksiyon-6_572.png = fonksiyon-6_573.png + h kadar uzaklığa gelsin, h = 3 olsun, fonksiyon-6_574.png = -2 + 3 = 1 olur. sekant doğrusunun eğimi, fonksiyon-6_575.png olur. Bu durumda, eğim = fonksiyon-6_576.png = fonksiyon-6_577.png = fonksiyon-6_578.png = fonksiyon-6_579.png= -2 olur. Burada, h değiştikçe, sekantın eğimi (a) da değişiyor. Bu değişimin yürüyüşünü son derece iyi olarak özümsemeliyiz.

Eğer (fonksiyon-6_580.png - fonksiyon-6_581.png) = h olursa, eğim = fonksiyon-6_582.png olduğuna göre, eğim = fonksiyon-6_583.png olur. Bunu iyice inceleyelim ve yukarıdaki hesaplama yönteminden doğruluğunu saptayalım.

fonksiyon-6_584.png

fonksiyon-6_585.png

Bu gidiş ile hiç el ile hesaba gerek kalmayacak, aklımızı yöntemlere verebileceğiz.

Şimdi, h değerinin aklımızın almayabileceği kadar küçük olduğunu düşünelim. Bu durum, “h → 0” , ”h değeri sıfıra yaklaşırsa”, “h değeri sonsuz küçük olursa”, olarak nitelendirilir. Sonsuz küçük “infinitesimal” tanımını tekrarlayalım. Sonsuz küçük, Euclid’in tanımına göre, “Düşünebildiğinizden daha küçük olan değer” olarak nitelendilir. Bu küçülüğü aklımız almaz, ama vardır ve “h sıfıra sonusuz olarak yaklaşır” demek, hiçbir zaman h = 0 demek değildir.

Eğer h sonsuz küçük olursa, fonksiyon-6_586.png = fonksiyon-6_587.png = x olur ve fonksiyon-6_588.pngnoktasında yaklaşık eğim,

fonksiyon-6_589.png

olarak bulunur. Bu yeni x noktası, fonksiyon-6_590.png den infinitesimal olarak değişiktir ve insan aklı fonksiyon-6_591.png + infinitesimal h toplamnı algılayamaz. Bu aralık, insan aklı için algılamayacağı kadar azdır. Burada h değeri “Sonsuz küçük” olarak nitelenir ve bu nedenle insan aklı, bunu fonksiyon-6_592.png+h = x (yaklaşık eşit) olarak kabul eder. Bu (x) noktasında artık sekant kalmaz ve doğru artık sekant ( kesen) değil, tanjant ( değen) konumuna geçer. Bu noktada fonksiyon-6_593.png ve fonksiyon-6_594.png sonsuz küçük olduklarından (dx) ve dy) aolarak adlandıılırlar, Bu tanjant doğrunun eğimine, f(x) in x noktasında türevi veya kısaca f(x) ‘in türevi adı verilir. Bir f(x) fonksiyonun türevi f’(x) veya fonksiyon-6_595.pngf(x) veya fonksiyon-6_596.pngveya fonksiyon-6_597.pngf(x) olarak belirtilir. Türevin eğimi,  Mathematica’nın bir fonksiyonun türevini bulmak için çeşitli yöntemleri vardır. Türevin  fonksiyonun belirli bir x hoktasından infinitesimal bir değişimi ile bulunmasının açık olarak uygulandığı bir yöntem aşağıda görülmektedir.

fonksiyon-6_598.png

fonksiyon-6_599.png

fonksiyon-6_600.png

fonksiyon-6_601.png

fonksiyon-6_602.png

Bulunan türev, f’(x) = 4 x veya fonksiyon-6_603.png = 4 x olarak belirtilir. Sonuçtan da görülebileceği gibi, f’(fonksiyon-6_604.png + 3) = 2 x 2 fonksiyon-6_605.png = 4 x olmaktadır ve sabit terim düşmektedir.

Matematica türev için,

fonksiyon-6_606.png

fonksiyon-6_607.png

fonksiyon-6_608.png

This is equivalent to fonksiyon-6_609.png:

fonksiyon-6_610.png

fonksiyon-6_611.png

Derivative at a particular value:

fonksiyon-6_612.png

fonksiyon-6_613.png

This is equivalent to fonksiyon-6_614.png:

fonksiyon-6_615.png

fonksiyon-6_616.png

The second derivative:

fonksiyon-6_617.png

fonksiyon-6_618.png

yöntemlerini kullanır. Bizim örneğimizde fonksiyon-6_619.png = x noktasında tanjant doğrusunun yaklaşık eğimi,

fonksiyon-6_620.png

fonksiyon-6_621.png

fonksiyon-6_622.png

fonksiyon-6_623.png

Türev, f’ = 4 x olarak okunuyor. fonksiyon m fonksiyon-6_624.png + q x + b ise, türevi = m (n) fonksiyon-6_625.png + q olur (sabit terin b düşmektedir). Bir parabol için fonksiyon yazılımı, f = m fonksiyon-6_626.png + b olduğuna göre, sabit terim b düşecek ve f’ = 2 m x olacaktır. örneğimizde, fonksiyon-6_627.png + 3 olduğuna göre, f’ = 2·2·x = 4 x olacaktır. Mathematica da aynı sonucu vermektedir.

Şu anda önemli konu ikinci ve daha yüksek derece fonksiyonların eğimlerinin sadece belirli bir x noktası için tanımlı olduğu ve bu tanımlı eğimin de gerçek tanjantın eğimine infinitesimal yaklaşık ve birinci derece bir polinom olmasıdır. Türevin birinci derece bir polinom olması, bunun bağımsız değişken x değerine bağlı değerler aalan bir doğru olduğunu belirtmektedir. Dolayısı ile, türevin işaretinin de bağımsız değişken x’in değerine bağlı olarak değişebileceği görülmektedir. Bütün bunlar bir fonksiyonun grafik çizimi için çok değerli bilgilerdir.

Aslında, limit ve türev hesaplamaları kolay fakat, düşülebilecek kuyularla dolu, kritik hesaplardır ve bir yerde takılınca, yeniden düzenleme yapmak gerekir. Mathematica bizi bu kuyulara düşmekten koruyarak sonuca ulaşmamızda yardımcı oluyor. yine de sırası gelince bu konuları derinliğine inceleyeceğiz.

Fonksiyon basit oldukça limit ve türev kolay olarak hesaplanabiliyor. Karmaşık fonksiyonlar için, olayın iyi bilinmesi ve çeşitli düzenlemeler yapılması gerekiyor. Bunun için konu incelemelerini beklemeliyiz.

Bir fonksiyonda, belirli bir aralıkta türevin değeri değişirse, o zaman bağımsız değişkenin belirlenen aralığında, fonkiyonun bir hörgüç yaptığı anlaşılır. bu hörgücün en uç noktası turevin 0 olduğu yerdir. çüncü uç noktadan sonsuz küçük (infinitesimal) bir değişim ile türevin işareti pozitif veya negatif olur. Bu noktalara, infleksiyon noktası adı veriir.

örneğimizdeki f(x) = fonksiyon-6_628.png + 3 fonksiyonu,

fonksiyon-6_629.png

fonksiyon-6_630.png

fonksiyon-6_631.png

fonksiyon-6_632.png

fonksiyon-6_633.png

fonksiyon-6_634.png

fonksiyon-6_635.png

fonksiyon-6_636.png

fonksiyon-6_637.png

fonksiyon-6_638.png

Türevi 0 yapan tek değerin x =  0 ve y = fonksiyon-6_639.png + 3 = 3 olduğu fonksiyon-6_640.png , fonksiyon-6_641.png) = (0 , 3) noktası olduğu görülüyor.  Böylece bir parabol olan, ikinci derece y = 2fonksiyon-6_642.png + 3 eğrisinin , (0,3) nıktasında ibir dönüm (infleksiyon) noktasının olduğu anlaşılmaktadır. Bu dönüm noktasının her iki tarafında, kendi seçtiğimiz bir uzunluk alınırsa, -2 <x<2 arasında eğimin işareti incelenir.

Türev denklemi,

fonksiyon-6_643.png

fonksiyon-6_644.png

fonksiyon-6_645.png

fonksiyon-6_646.png

fonksiyon-6_647.png

Aralığın başı olan x=-2 de, türevin işareti eksi, alığın sonunda artı ise, bu fonksiyon bu aralıkta önce azalan, sonra dönüm noktası, sonra artan bir fonksiyon ise, dönüm noktası bir minimium dur. Bu bilgiyle, parabolün aşağıya doğru bir parabol olduğu ortaya çıkar.

Bu bilgiye başka türlü de erişebiliriz.

fonksiyon-6_648.png

fonksiyon-6_649.png

fonksiyon-6_650.png

fonksiyon-6_651.png

önce eksi (azalan) sonra artı (artan), demek ki bir minimum oluşmuş.

Bu eğrinin çizimi yukarıda yapılmıştır ve hesaplanan tüm noktalar eğrinin grafik çiziminde de doğrulanmaktadır.

Bir üçüncü derece polinom fonksiyonu incelenmesi:

fonksiyon-6_652.png

fonksiyon-6_653.png

fonksiyon-6_654.png

fonksiyon-6_655.png

Fonksiyonun x eksinini kestiği noktalar,

fonksiyon-6_656.png

fonksiyon-6_657.png

Burada tek gerçel kökün,

fonksiyon-6_658.png

fonksiyon-6_659.png

x = 1.6323 noktasında olduğu anlaşılır.

İnfleksiyon noktalarının b ulunması için, türevinin 0 olduğu noktaların bulunması gerek.

fonksiyon-6_660.png

fonksiyon-6_661.png

fonksiyon-6_662.png

fonksiyon-6_663.png

fonksiyon-6_664.gif

fonksiyon-6_665.png

fonksiyon-6_666.png

fonksiyon-6_667.png

fonksiyon-6_668.png

fonksiyon-6_669.png

fonksiyon-6_670.png

İnfleksiyon noktaları minimum = (0.20 , 4.62) ve maksimum = (0.94 , 6. 03) noktaları olarak bulunur. Bu noktaların fonksiyonun maksimum veya minimumları olup olmadıklarının anlaşılması için, fonksiyonun ikinci türevi alınır ve infleksiyon noktalarında ikinci türevin işareti incelenir. İkinci türevin değeri negatifse, bir maksimum aksi halde bir minimum olduğu anlaşılır.

fonksiyon-6_671.png

fonksiyon-6_672.png

fonksiyon-6_673.png

fonksiyon-6_674.png

fonksiyon-6_675.png

fonksiyon-6_676.png

fonksiyon-6_677.png

fonksiyon-6_678.png

Minimum !

fonksiyon-6_679.png

fonksiyon-6_680.png

Maksimum !

Mathematica bu işlemi basitleştilir. Mathematica bir FindMinimum[f[x] , {x, fonksiyon-6_681.png}] fonksiyonu tanımlar. Bu fonksiyonun iki argümanı vardır. Birisi bağımsız değişken (burada x), ikincisi ise, ilk infleksiyon noktasından biraz daha küçük değerli bir fonksiyon-6_682.png değeridir. örneğimizde, ilk infleksiyon noktası x = 0.2 de oltuğu için fonksiyon-6_683.png= 0.1 olarak alınabilir. İkinci infleksiyon noktası x = 0.94 de oluştuğu için, fonksiyon-6_684.png= 0.8 olarak alınabiir.

fonksiyon-6_685.png

fonksiyon-6_686.png

fonksiyon-6_687.png

fonksiyon-6_688.png

Böylece, ilk infleksiyon noktasının bir minimum, ,k,ncisinin bir maksimum olduğu anlaşılır. Aslında ikinci türevin işaretinin incelenmesi daha kolay ve sorunsuzdur. Bunun için Sign[f’’[0.2] olarak çağılarak sonucun -1 veya 1 olduğuna baklır. Eğer sonuç -1 çıkarsa maksimum, 1 çıkarsa minimum olduğuna karar verilir.

fonksiyon-6_689.png

fonksiyon-6_690.png

Minimum!

fonksiyon-6_691.png

fonksiyon-6_692.png

Maksimum !

Bu fonksiyonun grafiği çizilerek, hesaplanan tüm değerlerin doğrulanıp doğrulanmadığına bakılır.

fonksiyon-6_693.png

Graphics:        3       2 y = -7 x  + 12 x  - 4 x +5

Grafik çizimi, hesaplanmış infleksiyon noktalarını ve fonksiyonun x eksenin kestiği noktayı doğrulamaktadır. Bu çok sevindirici bir olgudur.

Bu konuda daha fazla uygulama yapılması sağlık verilir. Tek yapılacak şey, yeni fonksiyonların bu çalışmadaki örnekler gibi çözümüdür.

Mathematica' nın hesaplama yetenekleri gitgide göz kamaştırıcı oluyor. öğrenciliğimde bu hesapların ancak bir saatte yapılabildiğini anımsıyorum. Mathematica ile beş dakikada hatasız olarak tamamlanabiliyor. Mathematica kıymetinin bilinmesi gereken bir program.

3.23.15 - Artan ve Eksilen Fonksiyonlar

Bir fonksiyonun uygulanması, bağımsız değişken değerlerinin giderek büyümesi anlamına gelir. Buna fonksiyonun çalışması adı verilir. Fonksiyonun çalışması sürecinde, fonksiyonun aldığı değerler ise fonksiyonun yükselişi adı verilir. Biraz önce bu özellik,

fonksiyon-6_695.png= fonksiyon-6_696.png                 = fonksiyon-6_697.png       (Farkların Oranı)

olarak tanımlanmıştı. Farkların sonsuz küçük bir değere yaklaşımı, bu farkın fonksiyonun türevi olarak gelişmesi ile sonuçlanmıştır.

Bu durumda, sabit bir fonksiyon türevinin 0 olduğu noktada tanımlanan bir fonksiyon olaraktanımlanır. Bu fonksiyonlar eğer lineer fonksiyonlar ise, değişimleri x eksenine paralek bir çizgi olarak gelişir.

Eğer, fonksiyonlar doğrusal (lineer) değillerse, bunlar birer eğridir ve türevleri sadece bir noktaya yaklaşmış, sonsuz küçük bir aralıkta tanımlıdır. Doğrusal olmayan fonksiyonlarda, bu fonksiyonun türevinin belirli bir noktada 0 olması, o noktada, fonksiyonun bir ekstremum noktası olduğunu belirtir.

Bir fonksiyonda türevin pozitif olduğu bir aralık, bu fonksiyonun artan bir fonksiyon olma aralığıdır.

Bir fonksiyonda türevin negatif olduğu bir aralık, bu fonksiyonun azalan bir fonksiyon olma aralığıdır.

örnek olarak biraz yukarıda incelenen f(x) = fonksiyon-6_698.png fonksiyonun türevi f’(x),

fonksiyon-6_699.png

fonksiyon-6_700.png

olarak hesaplanır. bu fonksiyonun x = (0.20 , 4.62) ve x = (0.94 , 6. 03) noktalarında türevleri sıfır olduğundan, bu noktaların birer infleksiyon noktaları olduğu hesaplanmıştı. Grafiğine bakılırsa, bu fonksiyonun iki infleksiyon noktası aralığında, yani bağımsız değişkenin (0.20, 0.94) aralığında artan, diğer aralıklarda eksilen bir fonksiyon olduğu anlaşılmaktadır.

Mathematica ile bu fonksiyonun belirli bir aralıkta artan veya eksilen bir fonksiyon olduğu herhangibir fonksiyonun işaretini döndüren Sign[ ] fonksiyonundan yararlanılarak bulunabilir.

fonksiyon-6_701.png

fonksiyon-6_702.gif

Bu fonksiyonun daha hassas çizimi ile daha detaylı bilgiler alınabilir. Sign [ f[x], {iterator, minimum,maksimum}] fonksiyonu, poztif değerler için 1, sıfır için 0, ve negatif değerler için -1 değerlerini döndürür. Bu değerler grafikte de görülmektedir.

Aşağıda biraz daha detaylı bir grafik yöntemi uygulanarak daha duyarlı bilgiler alınabilmiştir.

fonksiyon-6_703.png

fonksiyon-6_704.gif

Bu grafikle, fonksiyonun çıkış ve iniş bölgeleri daha açık olarak belirlenebilmektedir.

3.23.16 - Monotonik Fonksiyonlar

Monotonik fonksiyonlar, daha kuramsal bir konudur. Monoton türkçede geçerli bir kavramdır ve bir olayın, değişmez aralıklarla tekrarlanması anlamına gelmektedir. Paul Verlaine’nin Fransızcanın zirvelerinden biri olan dizeleri,

Les violons longues du soirée de l’automne
Blessent mon cœur d’une langeur monotone

İkinci dünya savaşında, Normandie çıkarmasının kod sözcükleri idi. Bu sözcüklerle, o zaman sayıları önemsiz iken, savaşın kazanılmasından sonra, giderek sayıları milyonlara çıkarılan Fransız direnişçilerine, çıkarmanın başlayacağı mesajı, bu kod sözcükleri ile gönderilmişti. Komutanlar, zırhlı birlikleri harekate geçirmek istediler, fakat, Hitler uyandırılamıyordu. Bir komutan, “Ja, es wird glücklisch für ihnen, weil Hitler schlaeft und nicht geweckt werden.” demiştir. Her şeyin bir adama bağlı olması, Almanların hareketsiz kalmalarına ve çıkarmanın başarıya ulaşmasına neden olmuştu.

Matematikte, monotonik bir fonksiyon sıralı iki küme arasında bir ilişkidir ve bu ilişki, kümelerin belirli sıralarını devam ettirir veya tersine çevirir.

Uygulamalı matematikte, monotonik bir fonksiyon, gerçel sayılar ile tanımlanır ve artan veya eksilen bir fonksiyon olabilir. Aslında, monotonik bir fonksiyonun artması gerekmez, sadece eksilmesin yeter.

Bir fonksiyon monotonik olarak artan (artan veya eksilmeyen) bir fonksiyon ise,

∀x,∀y  x ≤ y → f(x) ≤ f(y)

şeklinde tanımlanır. Monotonik olarak artan bir fonksiyonun grafiği aşağıda görülmektedir (Wikipedia).

fonksiyon-6_705.gif

Bir fonksiyon monotonik olarak eksilen (eksilen veya artmayan) bir fonksiyon ise,

∀x,∀y  x ≥ y → f(x) ≥ f(y)

ıralaması olarak tanımlanır. Monotonik olarak eksilen bir fonksiyonun grafiği aşağıda görülmektedir (Wikipedia).

fonksiyon-6_706.gif

Bazı fonksiyonlar aşağıda grafiği görülen fonksiyonlar gibi monotonik değildir (Wikipedia). Monotonik olmayan fonksiyonların değerlerinde belirli bir sıralama yoktur.

fonksiyon-6_707.gif

Eğer tanımlarda = olasığı kaldırılırsa, daha kesin bir artma ve azalma tanımı ile karşılaşılır. O zaman fonksiyonlara, kesinlikle artan ve ya kesinlikle azalan fonksiyonlar adı verilir. Sabit fonksiyon olabilmeleri olasılığı ortadan kalkar.

Eğer bir fonksiyon, (a,b) aralığında, tüm dereceden türevleri non-negatif veya non-pozitif değil ise, bu aralıkta mutlak monotonik olarak tanımlanır. Non-negatif ve non-pozitif tanımları Latincedir, non-pozitif tanımı, “negatif veya sıfır, fakat hiçbir zaman pozitif değil”non-negatif tanımı, “pozitif veya sıfır, fakat hiçbir zaman negatif değil” anlamına gelmektedir. Son grafiğe bakıldığında, monotonik olmayan bir fonksiyonun türevi bazen negatif, bazen sıfır, bazen de pozitif olmaktadır. Fakat, hiçbir zaman sadece non-negatif veya sadece non-pozitif değildir.

3.23.17 - Birebir-içine, örten ve Birebir-Karşılıklı Fonksiyonlar

3.23.17.1 - Bire-bir İçine (İnjektif) Fonksiyon

Bu terim ilk olarak 1935 li yıllarda, Fransa' da Bourbaki grubunun klasikleşmiş kitaplarının yazımı sırasında ilk olarak tanımlanan bir sözcüktür. İnjeksiyon olayının matematik anlamı, araya yerleştirmek, gömmektir. Bu sözcük , İngilizceye (into) (one-to-one), Türkçeye (içine) (bire-bir) olarak aktarılmış ve sonuç son derece başarısız ve kafa karıştırıcı olmuştur. Bunun için daima orijinal sözcükler belirtilerek yazılacaktır. Türçeleri, “Bire-bir ve İçine” (İnjektif) , “örten” (Sürjektif) ve “Bire-bir karşılıklı” (Bijektif) olarak kullanılmalıdır.

Bire-bir ve içine bir fonksiyonunun değer kümesi, başka bir kümenin içine yerleştirilmiştir (injekte edilmiştir) .

Görüntü kümesi (B) = Rng(f) + Kompleman Rng(f)

Görüldüğü gibi fonksiyonun değer kümesi, hiçbir değişime uğramadan bir başka küme ile birleştirilmiş ve her ikisi birlikte, fonksiyonun görüntü kümesi adını alan yeni bir küme oluşturmuştur.

Bire-bir ve içine (İnjektif) bir fonksiyonun tanım kümesinin her değeri, görüntü kümesinin ayrık bir değerine karşı gelir. Değer kümesi, yabancı bir küme ile birleştirilip, bir görüntü kümesi oluşturdukları için, görüntü kümesinin, Rng(f) alt kümesi dışındaki elemanlarının, değer kümesi A da bir karşılığı olmayacaktır. Yani, görüntü kümesinin bazı elemanları boşta kalacaktır.

fonksiyon-6_708.gif

Bire-bir ve İçine (İnjektif) Bir Fonksiyon (Kaynak Wikipedia)

Resimden de görüldüğü gibi, birebir ve içine (injektif) bir fonksiyonun, görüntü kümesinin bazı elemanları, değer kümesinin en çok bir elemanına karşı gelmekte ve bazı görüntü kümesi (B) elemanları ise boşta kalabilmektedir.

Fonksiyonun değer kümesi (Rng(f)), görüntü kümesinin bir alt kümesidir. Rng(f) ⊆ B

Birebir ve içine (injektif) bir fonksiyonun, değer ve tanım kümeleri hiç değişmemiş olduklarından, her injektif bir fonksiyonun ters fonksiyonu tanımlıdır.

Eğer fonksiyon-6_709.png fonksiyon-6_710.png ise, injektif bir fonksiyonda f(fonksiyon-6_711.png) ≠ f(fonksiyon-6_712.png) olur.

Bire-bir ve içine (injektif) fonksiyon örnekleri,

(Bir fonksiyonun bire-bir ve içine (injektif) olabilmessi için, görüntü kümesinin alt kümesi olan değer kümesinin her elemanının, tanım kümesinin ayrık bir elemanına denk gelmesi gerekir.)

örnek:

f : N → N , f(x) = 2x+1

fonksiyonun injektif olup olmadığını belirleyiniz.

çözüm:

fonksiyon-6_713.png

fonksiyon-6_714.png

fonksiyon-6_715.png

Bu fonksiyonun ters fonksiyonu,

fonksiyon-6_716.png

fonksiyon-6_717.png

fonksiyon-6_718.png

f(x) ve g(x) tüm doğal sayılar kümesi boyunca süreklidirler.

fonksiyon-6_719.png

fonksiyon-6_720.png

fonksiyon-6_721.png

fonksiyon-6_722.png

Tanım kümesinden seçilen gelişigüzel bir eleman x = -2, tanımdan değere f(-2) = -3, değerden tanıma, g(-3) = -2 olarak bulunur. Bu iki gidiiş-dönüş noktaları,  doğal sayılar kümesi boyunca, aşağıdaki grafikten görüldüğü gibi simetriktir.

fonksiyon-6_723.png

Graphics:                           x - 1 y = 2x + 1 , y = x ve y =  -----                              2

fonksiyon-6_725.png

Inverse fonksiyonu tanımlanabildiğinden dolayı f(x) : 2x+1 fonksiyonu, tüm doğal sayılar kümesi boyunca injektifir.

örnek:

f : R → R , f(x) = fonksiyon-6_726.png

fonksiyonun injektif olup olmadığını belirleyiniz.

çözüm:

İnvers fonksiyon:

fonksiyon-6_727.png

fonksiyon-6_728.png

fonksiyon-6_729.png

fonksiyon-6_730.png

fonksiyon-6_731.png

fonksiyon-6_732.png

fonksiyon-6_733.png

fonksiyon-6_734.png

fonksiyon-6_735.png

fonksiyon-6_736.png

Negatif sayılarda fonksiyon-6_737.png tanımlı olmadığından,  y = fonksiyon-6_738.png fonksiyonun tüm reel sayılar kümesinde, invers fonksiyonu tanımlı eğil ve dolayısı ile  tüm reel sayılar kümesinde, y = fonksiyon-6_739.png fonksiyonu injektif değildir.

fonksiyon-6_740.png

Graphics:      3    1/3 y =  x  , x

Fakat, tanım alanı pozitif değerlerle sınırlanırsa [0, ∞), aşağıdaki grafikte görüldüğü gibi, invers fonksiyonu tanımlı olduğundan y = xfonksiyon-6_742.png injektiflik kazanır.

fonksiyon-6_743.png

Graphics:      3    1/3 y =  x  , x

Sonuç :

y = fonksiyon-6_745.png fonksiyonu, [0 , ∞) yarı açık gerçel sayı aralığında injektiftir.

örnek:

f : R → R , f(x) = fonksiyon-6_746.png

fonksiyonun injektif olup olmadığını belirleyiniz.

çözüm:

İnvers fonksiyon:

fonksiyon-6_747.png

fonksiyon-6_748.png

fonksiyon-6_749.png

fonksiyon-6_750.png

fonksiyon-6_751.png

Graphics:      x y =  e  , log  (x)              e

Sonuç :

F : R → R, fonksiyon-6_753.png fonksiyonu injektiftir. çünkü, tüm gerçel sayılar kümesi boyunca, invers fonksiyonu tanımlıdır.

örnek:

f : [0,∞) → R , tanım ve değer aralıklarında doğal logaritma fonksiyonu f(x) = fonksiyon-6_754.png(x) nin injektif olup olmadığını belirleyiniz.

çözüm:

İnvers fonksiyon:

fonksiyon-6_755.png

fonksiyon-6_756.png

fonksiyon-6_757.png

fonksiyon-6_758.png

fonksiyon-6_759.png

fonksiyon-6_760.png

Graphics:                    x y =  log  (x), y = e           e

Sonuç :

Doğal logaritma fonksiyonu, [0 , ∞) → R aralığında injektiftir. çünkü invers fonksiyon y = fonksiyon-6_762.png , grafikten de görülebildiği gibi, bu aralıkta tanımlıdır.

3.23.17.2 - Örten (Sürjektif) Fonksiyon

Sürjektif bir imgelenme (mapping), tüm B görüntü kümesi elemanlarının sadece değer kümesi (Rng(f)) elemanlarından oluşması ile gerçekleşir. Yani sürjektif bir oluşumda, B = Rng(f) olmalıdır. Sürjektif bir oluşum, Türkçeye “örten” , İngilizce “Onto” olarak aktarılmıştır. Her ikisi de olayı açıkça belirtebilmekten yoksundur.

Sürjektif bir oluşum (mapping) de,

B kümesi sadece ve yanlız sadece Rng(f) elemanlarından oluşur.

Her değer kümesi (Rng(f)) elemanı, en az bir tanım kümesi (Dom(f)) elemanı ile eşleşebilir.  

Aşağıda, örten (Surjektif) fonksiyonlar için iki ayrı senaryo görülmektedir. Bunlardan ilki, “çoktan bire” senaryosunu belirtmektedir. Fonksiyon olmak için bu senaryo bir engel oluşturmaz, fakat bu oluşumda, invers fonksiyon yoktur. çünkü, invers bir fonksiyon oluşması için, gerek Dom(f), gerekse Rng(f) de ayrık değerlerin birbirleri ile eşleşmeleri gerekmektedir.

Aşağıdaki grafikte görülen, ikinci örten (sürjektif) fonksiyon senaryosunda, gerek Dom(f), gerekse Rng(f) de ayrık değerler birbirleri ile eşleşmektedirler. Bu fonksiyonun inversi tanımlıdır ve bu yüzden, hem injektif hem de sürjectiflik niteliklerini doğrularlar. Bunlara bire-bir ve örten olduklarından dolayı, “Bire-bir karşılıklı” (Bijektif) adı verilmektedir.

fonksiyon-6_763.gif

fonksiyon-6_764.gif

Notasyon olarak, sürjektif bir fonksiyon,

Eğer f: A → B ise,
∀y ∈ B , ∃x ∈ A öyle ki, y = f(x)

olarak belirtilir. ∃x teriminin “en az bir” anlamına geldiği ve birden çok elemanı belirtebileceği anımsanmalıdır. Bu formülasyonun okunması, “Tüm B kümesi elemanları aralarında en az birisi, A kümesi elemanlarından birisi ile y = f(x) olarak eşleşir.” şeklindedir.

Sürjektif bir oluşum da B kümesi başlangıçta yok veya boş küme Ø olarak vardır. Fonksiyon tanım kümesi, boş küme Ø ile birleştirilerek yaratılır. Yeni yaratılan B kümesinin elemanları, y ∈ B ∧ y = f(x) tanımını doğrular. Sürjektif bir oluşumda daima B = Rng(f) dir. Bunun için adına “örten Fonksiyon” denilmiştir.

örnek :

f: R → R, f(x) = 2x+1 fonksiyonun örten (sürjektif) olup olmadığını belirleyiniz.

çözüm:

Bu fonksiyonun injektivitesi daha önce saptanmıştır.  Yani, her ayrık tanım kümesi elemanı bir ayrık değer kümesi elemanına denk gelmektedir. Bu y = f(x) fonksiyonun inversi g(y) = x foknksiyonu da tanımlanmıştır. Bu durumda y = 2x+1 fonksiyonu, injektif, sürjektif dolayısı ile bijektiftir.

örnek :

f: R → R, f(x) = fonksiyon-6_765.png - 3x fonksiyonun örten (sürjektif) olup olmadığını belirleyiniz.

çözüm:

öncelikle ne ile karşı karşıya olduğumuzu anlamak için bu fonksiyonun grafiğini çizelim.

fonksiyon-6_766.png

fonksiyon-6_767.png

fonksiyon-6_768.png

fonksiyon-6_769.png

Graphics:     3 y = x  -3x

Bu fonksiyon bir polinom fonksiyonu ve tüm gerçel sayılar kümesi boyunca üç tane gerçel kökü olduğu görülüyor.
Bu kökler,

fonksiyon-6_771.png

fonksiyon-6_772.png

fonksiyon-6_773.png

fonksiyon-6_774.png

fonksiyon-6_775.png

fonksiyon-6_776.png

fonksiyon-6_777.png

fonksiyon-6_778.png = - 1.73205 , fonksiyon-6_779.png = 0 ve fonksiyon-6_780.png = 1.73205

olarak bulunur.

Sonuç:

Bu fonksiyonun görüntü kümesi tüm gerçel sayılar kümesini kapsıyor ve görüntü kümesi, tam olarak değer kümesi ile örtüşüyor. Dolayısı ile bu fonksiyon kesin sürjektiftir. Fakat kesinlikle tüm gerçel dayılar kümsi boyunca injektif değildir, çünkü belirli bir değer aralığında, üç x ‘e, bir y karşı gelmektedir. Bu aralık dışında, yani (-∞ , - fonksiyon-6_781.png], [fonksiyon-6_782.png, ∞) aralıklarında hem injektif hem de sürjektiftir, yani bijektiftir.

Wikipedia, bu fonksiyonun bijektivite güven aralıklarının daha güvenli olarak saptana bilmesi için ilginç bir yöntem önermektedir. Bu yöntem,

y = fonksiyon-6_783.png

fonksiyon-6_784.png - y = 0

düzenlemesi şeklindedir. Bundan sonra y için çeşitli değerler verilerek fonksiyonun kökü araştırılır.

fonksiyon-6_785.png

fonksiyon-6_786.png

fonksiyon-6_787.png

fonksiyon-6_788.gif

fonksiyon-6_789.png

fonksiyon-6_790.png

fonksiyon-6_791.png

fonksiyon-6_792.png

fonksiyon-6_793.png

fonksiyon-6_794.png

Görüldüğü gibi, y = 0 olduğunda, fonksiyon, (-∞ , - fonksiyon-6_795.png], [fonksiyon-6_796.png, ∞) aralıklarında hem injektif hem de sürjektiftir, yani bijektiftir. Wikipedia bu aralığı biraz daha güvenli bir aralığa çekmek için,

fonksiyon-6_797.png

fonksiyon-6_798.png

fonksiyon-6_799.png

fonksiyon-6_800.png

fonksiyon-6_801.png

fonksiyon-6_802.png

fonksiyon-6_803.png

fonksiyon-6_804.png

fonksiyon-6_805.png

fonksiyon-6_806.png

fonksiyon-6_807.png

fonksiyon-6_808.png

fonksiyon-6_809.png

fonksiyon-6_810.png

fonksiyon-6_811.png

fonksiyon-6_812.png

fonksiyon-6_813.png

fonksiyon-6_814.png

fonksiyon-6_815.png

fonksiyon-6_816.png

fonksiyon-6_817.png

fonksiyon-6_818.png

Bu sonuçlar, Wikipedia’nın önerdiği bijektiflik sınırları, (-∞ , - 2], [2, ∞) aralıklarının daha garantili olduğunu belirtmektedir. Fakat, aslında bu aşırı güven aralıklarıdır. Bu fonksiyon, yukarıdaki araştırmaların ışığında, (-∞ , - fonksiyon-6_819.png], [fonksiyon-6_820.png, ∞) aralıklarında güvenli olarak hem injektif hem de sürjektiftir, yani bijektiftir. çünkü bu aralıklarda, gerçel invers fonksiyon tanımlıdır.

3.23.17.3 - Bire-bir Karşılıklı (Bijektif) Fonksiyon

Bir fonksiyonel oluşum, hem injektif hem de sürjektif ise, bire-bir karşılıklı (bijektif) olarak adlandırılır. Bijektif oluşum aşağıdaki şema da görülebilir.

fonksiyon-6_821.gif

Bijektif bir fonksiyon hem injektif, hem de sürjektif (bire-bir ve içine ve örten) bir oluşum sağlar. Bijeksiyon,

“Eğer ve sadece eğer, ∀y ∈ Y için biricik bir x ∈ X varlığı kesinlikle belirleniyorsa, y = f(x) şeklinde bir f : X → Y fonksiyonu bijektiftir.” olarak tanımlanır. Türkçeye “bire-bir ve örten” olarak geçmiştir. Her bire-bir karşılıklı (bijektif) bir fonksiyon hem bire-bir ve içine  (injektive), hem de örten (sürjektif) dir.

Her bijektif fonksiyonun, mutlaka inversi tanımlıdır.

İnjeksiyon, sürjeksiyon ve bijeksiyon oluşumları hem fonksiyonun yapısı hem de görüntü kümesinin oluşum yöntemi ile ilgisi vardır. İnjektiflik, görüntü kümesümesinin yapısı ile deği, fonksiyonun yapısı ile ilgilidir. Oysa boş bir kümeye imgelenen her fonksiyon, örten (sürjektif) bir fonksiyondur. Bire-bir ve karşılıklı (bijektif) bir fonksiyonun, hem bire-bir ve içine (injektif) hem de örten (sürjektif) olması gerekir. Sürjektif olabilmesi için, görüntü kümesinin, fonksiyonun tanım kümesine eşit olması, injektif olabilmesi için de, her tanım kümesi elemanının ayrık bir değer kümesi elemanına karşı gelmesi gerekir.

Ancak bire - bir içine ve örten niteliğini doğrulayabilen bir fonksiyon "Bijektif" olarak nitelendirilebilir. Bire - bir içine, fakat örten olmayan bir fonksiyon, sadece bire-bir ve içine (injektif) bir olaydır. Eğer örten (sürjektif) bir olayda, fonksiyon yapısı bire - bir ve içine bir ilişkiyi ayrıca doğrulayabiliyorsa,  olay bire-bir karşılıklı (bijektif) (one - to - one corespondance) bir olaya dönüşür.

örnek :

f : R →R , y = 2 x + 1 fonksiyonun bijektif olup olmadığını saptayınız.

çözüm,

Bu fonksiyonun daha önceki incelemelerinde, hem injektif hem de sürjektif olduğu, tüm gerçel kümesi boyunca, inversi fonksiyonun tanımlı olduğu anlaşılmıştı. Dolayısı ile bu fonksiyon bijektif bir fonksiyondur.

örnek :

f : fonksiyon-6_822.png fonksiyon-6_823.png , y = fonksiyon-6_824.png fonksiyonun bijektif olup olmadığını saptayınız.

çözüm,

Domen ve kodomenin' in tanımına dikkat edilmeli. Bu kümelerde, fonksiyonun imgelenmesinin kontrol edilmesi ile işe başlanır.

fonksiyon-6_825.png

fonksiyon-6_826.png

fonksiyon-6_827.png

fonksiyon-6_828.png

Graphics:     2 y = x

Grafikten görüldüğü gibi, bu tanım ve değer aralığında, y = fonksiyon-6_830.png fonksiyonu kesinlikle injektif ve sürjektif, dolayısı ile kesinlikle bijektiftir.
İnjektivite’nin kanıtı, fonksiyonun incelenen aralıkta inversinin olmasıdır. Bu fonksiyonun inversi,

fonksiyon-6_831.png

fonksiyon-6_832.png

fonksiyon-6_833.png

fonksiyon-6_834.png

fonksiyon-6_835.png

fonksiyon-6_836.png

fonksiyon-6_837.png

fonksiyon-6_838.png

Graphics:      2 y =  x , y =  Sqrt[Abs[x]]

Mavi eğri, y = fonksiyon-6_840.png fonksiyonun tüm değer kümesi (kodomen) olan fonksiyon-6_841.png kümesi boyunca sürekli olduğunu, yani, her değer kümesi (kodomen) noktasında, fonksiyonun değer kümesinde bir ayrık (distinct) karşılığı olduğunu dolayısı ile sürjektif olduğunu açıklamaktadır. Turuncu çizgi, aynı kodomen boyunca, invers fonksiyonun değişimidir. Buna göre, invers fonksiyon tüm  kodomen bouyunca süreklidir. Bu da fonksiyonun fonksiyon-6_842.png kümesi boyunca her değer kümesi elemanınına, ayrık bir tanım kümesi elemanının karşı geldiğini belirtir. Dolayısı fonksiyon, fonksiyon-6_843.png kümesi boyunca  injektif bir fonksiyondur. Bu fonksiyon, aynı zamanda, fonksiyon-6_844.png kümesi boyunca sürjektif de olduğundan, fonksiyon-6_845.png kümesi boyunca bijektiftir.

Bu sonuç, değer kümesi (domen), ve tanım kümesi (kodomen) tanımlarına göre oluşmuştur. Tanım ve değer kümesi tanımları değişirse, olay da değişir. Bu yüzden, bu tip problemleri çözerken, mutlaka tanım ve değer kümesi tanımlarının tam olarak anlaşılmış olmasına dikkat edilmelidir.

3.23.18 - Kümelerin Sıralanması

Sıralama kuramı matematiğin ikili ilişkiler yolu ile sıralama kavramı üzerine temel açıklamaları içerir. Bu açıklamalar, “Bundan büyüktür” , “bundan önce gelir” gibi ifadelere sıralama kuramı ile sağlam kuramsal temel tanımlar sağlar.

Bu konu, giderek derinleşen ve başlangıç düzeyini aşan bir konudur. Burada sadece başlangıç düzeyi temel tanımlar incelenecek ve konu üzerinde bir fikir edilmesi sağlanmaya çalışılacaktır. Temel matematik çalışmaları tamamlandığında, bu konular daha bilgili olarak yeniden incelenecektir. İleri matematiğin ilk konusu bu olacaktır.

Bazı sıralamalar bir birleri ile kıyaslanabilir. Bunlar “küçüktür”, “eşittir” gibi karşılaştırmalardır. Bu tip sırlamalar “total sıralama” olarak nitelendirilir.

Bazıları ise, alt kümesidir” gibi karşılaştırılamaz sıralamalardır. Eğer bir küme, birçok ayrık (disjoint) alt kümelere bölünebilirse ve alt kümeler kendi içlerinde sıralanabilirse, bu gibi karşılaştırılamaz sıralamalara, “Kismi Sıralama” adı verilir.

Sıralamalar, özel ikili ilişkilerdir. P nin bir küme ve ≤ nin P üzerinde bir ilişki olduğunu düşünelim. Eğer P içinde tüm a ,b ve c ler,

a ≤ a (refleksif)
Eğer a ≤ b ve b ≤ a demek ki a = b (antisimetrik)
Eğer a ≤ b ve b ≤ c  demek ki a ≤ c (transitif).

ise, ≤ ilişkisi bir kısmi sıralama (Partially Ordered Set) (Poset) olarak tanımlanır. Ayrıca, doğal sayılar, tamsayılar, rasyonel sayılar ve gerçel sayılar, aynı zamanda total sıralama gösterirler. Bu durumda,

a≤ b veya b ≤ a (bağlılık özelliği). Bağlılık (Connex) özellik, eğer bir X kümesinde bir R ilişkisi, X kümesi ikili elemanlarıını bir şekilde birbirine bağlarsa buna bağlılık özelliği adı verilir. Bağlılık özelliği, (∀x , ∀y) → (xRy ∨ yRx) olarak tanımlanır.

Bu tip sıralamaya, “Lineer Sıralama” veya “Zincir” adı verilir.

Bölünebilirlik "|" ilişkisi, kısmi sıralama sağlar. Bölünebilirlik özelliği, 2|6 şeklinde belirtilir ve, 6 nın 2 ye kalan bırakmadan, bölünebilirliğini belirtir. Bu yazılım,

olarak okunabilir.

a ile 1/a nın eşit olabildiği tek a sayısı ±1 olduğu zaman 1'e eşittir. Bu yüzden,

∀n ,n ∈N1, n|1 , eğer n = ±1 ise,

olarak belirtilir.

. Bir başka kısmi sıralama sağlayan ilişki de, “=” yani kimlik ilişkisidir.

3.23.18.1 - Kısmi Sıralamalarda Özel Değerler

Bir Poset içindeki bir m elemanı, eğer m ≤ a ise en küçük elemandır. En küçük eleman çoğunlukla 0 dır. Yine bazı durumlarda, 0 en küçük eleman olmayabilir. örnek olarak, “|“ bölünebilirlik ilişkisinde, 0 her elemana bölünebilirken, 1 her elemanı bölebilir. Bu yüzden, bölünebilirlik ilişkisi ile kıami sıralı bir Poset de, 0 en büyük eleman sayılır. En düşük eleman için, bazen “en alt”,  en yüksek eleman için, bazen “en üst” eleman adı verilir.

En düşük ve en yüksek elemanlar eğer varlarsa kesin biricik (nique) değerlerdir. Fakat gerçel sayılar kümesinde olduğu gibi en düşük ve en yüksek elemanlar bulunmayabilir.

Eğer Poset içinde tüm a elemanları için, (a ≤ m) → a = m ise, m bu Poset için minimal eleman olarak tanımlanır. Minimal ve maksimal eleman tanımları son derece karmaşıktır ve ancak Zorn lemması ile, bazı koşullar altında, minimal ve maksimal elemanların varlığı açıklanabilir. Yine de, Zorn lemmasını kanıtlarda kullanmayan çok matematikçi bulunmaktadır.

Kismi sıralı kümeler (Poset) lerde, alt kümeler, Poset’in sıralamasını miras olarak kazanır. Bazı Posetlerin alt kümeleri, “üst Sınır” (Upper Bound) oluşturur. Bir Poset p nin S alt kümesi ise, S kümesinin üst sınırı, P kümesinin öyle bir elemanı b dir ki, S in en yüksek elemanından daha büyüktür. Formel olarak, en üst sınır.

∀ s ∈ S , s ≤ b

olmalıdır. En alt sınır da sıralamayı ters çevirerek tanımlanır. üst sınır özeldir, bu tüm alt kümeleri içeren en küçük küme olarak tanımlanır ve “en küçük alt sınır” (lesast upper bound) olarak tanımlanır. Buna ynı zamanda “Supremum” adı da verilir. En büyük alt sınır ise,  inf(S) olarak belirtilir ve “Infimum” olarak adlandırılır. örnek olarak tamsayılar kümesinin bir alt kümesi olan, positif tamsayılar kümesinin infimum değer 1 dir.

Bir diğer ilginç örnek, doğal sayılarda, “|” (bölünebilirlik) ilişkisidir. İki sayının en küçük üst sınırı, bu ikidini bölebilen en küçük sayı, yani, “En Küçük Ortak çarpan” değeridir. En yüksek alt sınır ise, “En Büyük Ortak bölen” (EBOB) (Greatest Common Divisor) (GCD) değeridir.

3.23.18.2 - Kardinal ve Ordinal Değerler

Kardinal değerler, saymak için kullanılan sayılardır. örnek olarak, 5 , 6 , 8 kardinal sayılardır.

Ordinal sayılar, sıra değeri belirtilirler. örnek olarak, “Birinci” ,”Sekizinci”, “On bininci” gibi, sıra özelliği belirten sayılar, “Ordinal Sayılar” olarak nitelendirilir.

Not : Görüldüğü gibi küme sıralamaları büyük ölçüde kuramsal ve derin konulardır. Bu nedenle konunun daha derin incelemesi bu başlangıç düzeyi çalışmalarından daha ileri düzey çalışmalarda devam edilecektir.

Bundan sonraki konumuz, matematik mantık, kanıtlar, geometri, trigonometri, fonksiyonlar, limit, türev, integral, diziler, diferansiyel denklemler gibi konularla devam edecektir. Daha sonra aynı konuları bir üst düzey bilgilerle yeniden ele alacağız. Görülüyor ki, yolumuz daha çok konuyu kapsayacak, çok daha fazla çalışma gerekecek fakat bilgisayar programlarının uygulanması ile, bu konuların anlaşılması ve uygulanması olağanüstü kolay olacaktır. Bu konuları incelerken yararlandığımız bilgisayar programlarının yardımları, unutulmayacak kadar önemli olmaktadır. Bilgisayar kullanımı ile hiç kağıt-kalem kullanmadan, kişisel hata yapmaktan uzak bir şekilde, salt konuya odaklanabilme olanağı kazanmaktayız. Bu çok önemlidir.

Bundan sonraki konumuz, matematik mantık, kanıtlar, geometri, trigonometri, fonksiyonlar, limit, türev, integral, diziler, diferansiyel denklemler gibi konularla devam edecektir. Çok soyut konuları, bir sonraki daha üst düzey çalışmamızda yeniden ele alacağız. Bu çalışmalarda, bu temel düzey çalışmada elde edeceğimiz bilgi ve deneyim çok yararlı olacaktır. Görülüyor ki, yolumuz daha çok konuyu kapsayacak, çok daha fazla çalışma gerekecek fakat bilgisayar programlarının uygulanması ile, bu konuların anlaşılması ve uygulanması olağanüstü kolay olacaktır.

Created with the Wolfram Language

Geçerli html5