geri ileri

Genel Matematik

Bölüm 4

Sembolik Mantık Kısım - 1

Önermeler Mantığı

Yirminci Yüzyılın En Büyük Buluşu,

Tüm Matematiğin Temelinin,

Sembolik Mantık Olmasıdır.

(Lord Bertrand Russel)

4.1 - Sembolik Mantığın Tanıtımı

Mantıksal düşüncenin temeli, kanıtlardan sonuçları çıkarmaktır. Gündelik yaşamımızda, bilgilenme genellikle sezgiseldir. çoğunlukla, bir şeyi, bir şeyden öğreniriz. Bilgilenme, bildiğimiz şeylerden (öncüller), bilmediğimiz şeylere (Sonuçlar) gidiş yöntemidir. Yaşama sürekliliğimiz, bilgilenmenin çok doğru olarak yürütülmesine bağlıdır. Mantık, neyin neden oluştuğunun incelenmesi ve doğru bilgilerden, doğru sonuçlar çıkarma sanatıdır.

Sembolik mantık, gündelik dil ile açıklanmış önerileri mantıksal semboller kullanılarak açıklanmış önermelere dönüştürülerek sonucu incelenen mantık türüdür. Gündelik dil çok yeteneklidir ve çok karmaşık ve anlamı her zaman çok açık olmayabilen önermelerin yaratılmasına olanak sağlar. Sembolik Mantık dillerinin olanları daha kısıtlıdır ve az sayıda sembollerle gündelik dil ile yaratılmış karmaşık anlamlı olabilen önermeleri sembollerle açıklamaya çalışır.

Mantık dillerinin düzeyleri, açıklamaları yakalayabilme kapasitelerine göre belirtilir. En az yakalama kapasitesi "0-Düzey Mantık" olarak nitelendirilen, bu konu çerçevesinde inceleyeceğimiz "Önermeler Mantığı" dır. Bunun bir üstü "1-Düzey Mantık" (Birinci Düzey Mantık) adı verilen ve "Monadik Yüklemler Mantığı" (Tek özne tek yüklem içeren yüklemler mantığı) dır. Bundan daha yüksek düzeyde Frege'in 2 - Düzey Mantığı gelmektedir. Daha başka mantık türleri de bulunmaktadır.

Mantık sistemleri "Kararlı" veya "Kararsız" olarak nitelendirilirler. Kararlı bir sistemde bir teorem ve tersi birlikte kanıtlanamaz.

Mantık sistemlerinin bir diğer önemli karakteristiği "Tamlık" (Yeterlilik) (Completeness) dir. En basit açıklaması ile, tam bir sistemde, tüm teoremler aynı sistem içinden kanıtlanabilir.

Önermeler mantığının tamlığı (yeterliliği) 1918 de Paul Bernays ve 1921 de Emil Post tarafından kanıtlanmıştır. Monadik yüklemler mantığının tutarlı olduğu, 1931 de Kurt Gödel tarafından kanıtlanmıştır.

1931 lerda Kurt Gödel tarafından açıklanan "Kararsızlık ve Yetersizlik Yasası", 2 inci ve daha yüksek düzeyde mantık sistemlerinin "Kararsız" ve "Yetersiz" olduklarını belirtmiştir. Kararsız sistemlerle matematik yapılamayacağına göre, Kurt Gödel tarafından, "Kararlı" ve "Yeterli" olarak tanımlanan 0 ve 1 inci mantık sistemleri, yani "Önermeler Mantığı" ve "Monadik Yüklemler Mantığı" çağdaş matematiğin temeli olabilmişlerdir. Günümüe kadar toplanmış bilgilerden burada bir eksiklik saptanmamış, matematik bu kısıtlı görünen ama tutarlılık ve yeterlilik gibi olmazsa olmaz niteliklere sahip olan bu ilk iki mantık düzeyince sorunsuz desteklenebilmiştir. Çok özel durumlarda Frege mantığına başvurulduğu da söylenmektedir. Doğal olarak bu başlangıç düzey çalışmalarımız, o kadar derin problemleri kapsamayacaktır.

Per Lidstrom 1969 yayınladığı ve Lindstrom teoremleri adı verilen araştırmasında, birinci sınıf mantıkları en güçlü mantık olarak belirlemiş ve bu da birinci sınıf mantıkların matematiğin temeli olarak uygulanmasını doğrulamıştır.

Doğal olarak bu başlangıç düzey çalışmalarımız, o kadar derin problemleri kapsamayacaktır. Bu konuda güncel ve kapsamlı bilgiler, Wikipedia Sayfasında incelenebilir.

Mantık düzeylerinin sonu yoktur, çünkü anlamı en az kayıpla yakalanabilecek sonsuz ayrıntılı konuşma dilinde belirtilmiş önermelerin de sınırı yoktur. Ne var ki matematiği ancak ilk iki düzey mantık sistemi destekleyebildiğinden Sembolik Mantık olarak ancak bu ilk iki başlangıç düzeyi ile sınırlı kalınmıştır (En azından genel eğilim budur). Bu durumda, Sembolik Mantık,

olarak ilk iki düzey mantıktan oluşmaktadır. Daha yüksek düzeyli "ikili mantık sistemleri" matematik uygulamalarında kullanımda değildir.

4.2 - Tarihsel Gelişim

Atina “Lyceum” unda Aristoteles ve kendisininden sonraki idareci Theophrastos ,M.Ö. (- , 287), “ve” , “veya” gibi eklerin etkilerini bildikleri, fakat bu konuda fazla bir çalışma yapmamış oldukları bilinmektedir.

Önermeler mantığını esas oluşturan isim, Stoik filosof Chrisippus M.Ö. (280 - 205) dur. Chrisippus ve onu izleyen stoik filosoflar, bugunkü uygulanmasına çok benzer bir önermeler mantığı oluşturmuşlardır. Özellikle aşağıda verilen tanımlar çok dikkat çekicidir.

Bunlardan ilki, günümüzde, “Modus Ponens”, ikincisi ise “Modus Tollens” olarak tanınmaktadır.

Bu çalışmalar, stoik filosoflar tarafından devam ettirilmiş ve Diogenes Laertius, Sextus Empiricus ve Cicero’nun çalışmalarında bahsedilmiştir.

Bu çalışmalar daha sonra Galen M.S. (129-210) Boethius (M.S.480 - 525) tarafından geliştirilmiştir. Daha sonra, Fransız edebiyat, Kilise ve biliminin destansı ismi Peter Abélard (Abbé L’Abélard) (Abbé din adamı demektir), Heloise D’Argenteuil ile destansı bir aşk yaşamış, bedelini ağır ödemiş ve bugün için bile anıları canlı olan, hakkında kitaplar yazılan bir din ve bilim adamı Chrisippus mantığını baştan sona elden geçirmiş, yeniden formüle etmiş ve bugünküne çok yakın bir hale getirmiştir. Bu çalışmaları kilise tarafından hoş karşılanmamış, kilisenin en yüksek kademesinde iken, aforoz edilmesine ramak kalmış, Vatikana sürgün edilmekten zorla kurtarılmıştır.

Bir diğer katkı sağlayan William of Ockham dır. Bu filosof, önermelerin kısa ve açık olarak belirtilmesini sağlık vermiş, bu yüzden “Ockham’ın Usturası” adı verilmiştir.

Önermeler mantığının büyük değişimi ve gelişmesi 18 inci yüzyıl başlarında başlamıştır. özellikle, büyük bir mantıkçı ve benim de bir yıl boyunca, doktara sonrası çalışması yaptığım, Londra Üniversitesi, University College’in kurucusu, Augustus de Morgan (1806 - 1871) modern önermeler mantığının başlatıcısıdır. Daha sonra, bir başka büyük mantıkçı olan George Boole (1815- 1875) mantık çalışmalarına yepyeni bir düzen getirmiş ve (Boole Cebri) ni oluşturmuştur. Boole cebri, günümüzün modern bilgisayarlarının yazılım ve donanımlarında temel rol oynamaktadır.

Doğruluk tablolarını ilk kullananlar, Charles Sanders Peirce (Amerikalı Kimyacı, tüm zamanalrın en iyi filosfu olduğu konusunda düşünceler bulunmaktadır.) W.S. Jevons (1835-1882), Lewis Carroll ( 1832 - 1924) (Alis Harilar Diyarında kitabının yazarı), John Venn (1834 - 1923) (Venn diyagramlarının geliştiricisi), Allan Marquard (1853 - 1924), Eugen Müller, Emil Post tarafından kullanılmıştır. Eugen Wittgestein tarafından yazılmış olan, 1923 de ilk baskısı yapılmış , “ Tractatus Logico-Philosophicus” adlı eserde büyük ölçüde doğruluk tablolarından yararlanılmıştır.

Ondokuzuncu yüzyılın en büyük mantık bilimcisi, belki de Amerikalı kimyacı Charles Sanders Peirce olmuştur. Peirce çalışmalarında, doğruluk tablolarını geniş ölçüde kullanmıştır. çalışmaları, günümüzde yeniden ele alınmakta ve yepyeni değerlendirmeler elde edilmektedir.

On dokuzuncu yüzyıl sonunda, Gottlob Frege ünlü “Begriffschrift” adlı üç ciltilik eserinde, matematiği kümeler ve mantık kuramları üzerine oturtup son haline getirmeyi amaçlamıştır. Frege’nin kullandığı ileri mantık genel olarak anlaşılması güç olmasının yanı sıra, eserin yazılması sırasında ortaya çıkan Cantor, Burali-Forte (Peano’nun asistanı) ve Russell paradoksları ile bunu izleyen çeşitli paradokslar, kitabın en son olma arzusuna gölge düşürmüştür. Ayrıca, 1930 larda, Kurt Gödel, Frege’nin uyguladığı ileri mantığı kararsız ve yetersiz olarak nitelendirmiştir.

Yirminci yüzyılın en büyük matematik olayı, yazımı 1900 lerde başlamış,1910, 1912 ve 1913 de tamamlanmış, Cambridge profesörleri, Lord Bertrand Russell ve Alfred North Whitehill tarafından yazılmış, “Principia Mathematica” adlı destansı kitaptır. Bu kitap, Leibniz ile başlayan "Logigist (Mantıkçı)" düşüncesi ile yazılmıştır. Bu düşünce, “Tüm matematiği mantık temelinde öncüller ve sadece mantıksal yöntemlerle açıklanabilen terimler ile açıklamak” olmuştur.

Logigismin ateşli savunucuları, “Begriffsschrift” kitabının yazarı Gottlob Frege ve büyük matematikçi David Hilbert dir. Hilbert “Logigist Program” adı verilen tüm matematiği mantık temelinde açıklayan ünlü bilgisayar programını başlatmış ve ilerletmiştir. Tüm bu çalışmalar, Bertrand Russel tarafından açıklanan yıkıcı “Russell Paradoksu” ile zora girmiştir. Bu konuda en büyük darbeyi 1930 larda Kurt Gödel vurmuş ve tüm mantık sistemlerini “Yetersiz” ve sıfır düzey önermeler mantığı ile birinci düzey “Yüklemler Mantığı” dışında her mantığı kararsız olarak nitelendirerek açıklamalarını kanıtlamıştır. Bu yıkıcı buluş, ne yazık ki Hilbert’i etkilemiş ve çok önemli mantıkçı programını durdurmuştur. Somut matematik için çok önemli olan bu program, günümüzde Mathematica, Matlab, Mathcad, Sage ve Axiom gibi önemli bilgisayar programlarında devam ettirilmektedir.

Yirminci yüzyıl, mantık kuramları açısından çok hareketli geçmiştir. Klasik mantık yanında çok sayıda çok değerli mantık, modal mantık, sezgisel (intuisyonik) mantık ve bir Azerbaycanlı Türk olan Lütfizade tarafından, University of California (Berkeley) deki çalışmaları ile oluşturmuş olduğu “Bulanık Mantık” (Fuzzy Logic) büyük ilerlemelerdir.

Günümüzde, mantık artık filosofi ve matematik konusunda geniş bilgileri olan araştırıcılar tarafından çalışılan büyük bir bilim dalı haline dönüşmüştür. Son derece canlı ve kapsamlı bir araştırma alanıdır.

4.3 - Önermeler Mantığı

Sembolik mantığı oluşturan ilk iki düzey mantık birbirlerini tamamlamaktadır ve aslında 1- düzey mantık olan "Monadik Yüklemler Mantığı", 0- düzey mantık olan "Önermeler Mantığı"'nı içermektedir. Yine de her iki mantığın hedefleri ve kapsam alanları farklıdır. Bu tüzden her iki mantığın ayrı ayrı incelenmesi daha doğru olacaktır. Onun için bu konu içerisinde "Önermeler Mantığı"'nı, bundan sonraki konuda ise, "Monadik Yüklemler Mantığı"'nı inceleyeceğiz. Bu incelemede Mathematica 11.3 kullanarak, öğrenim ve uygulamalarımızı olağanüstü (inanılmaz) hızlarla gerçekleştireceğiz. Üstelik bu işleri hiç kalem kağıt kullanmadan ve matematik dehası olmak gerekmeden başaracağız.

Daha önceki bilgilerimizden, Aristotelesci mantığın bir önermenin tümü ile ilgilendiğini, fakat Chrisippuscu mantığın, önermenin terimleri arasındaki ilişkiler ile ilgilendiğini biliyoruz. Bu yaklaşımın matematiğin mantıksal tamelini oluşturmak için daha uygun olduğu modern çağlarda ortaya çıkmştır.

Günümüzde uygulanan hali ile, "Sembolik Mantık" sözel olarak açıklanan önermelerin mantıksal sembollere dönüştürülmesi ve bu şekilde, gündelik dilin karmaşa ve çok anlama çekilebilen özelliğinden kurtulma amacına yönelik olmuştur.

1930 larda Kurt Gödel'in çalışmaları, sadece 0-düzey önermeler mantığı (sadece nitelikle ilgilenen) ve 1- düzey yüklemler mantığının ( sadece bir özne ve bir yüklem içeren nicelik bilgileri içeren mantık) kararlı ve yeterliliğe yakın veya (yeterli) mantık türleri olabileceklerini belirtmiştir. Bu yüzden güncel matematik sadece bu iki başlangıç düzey mantık türüne dayalı olarak uygulanır. Çünkü kararsız bir sistemle kesinlik gerektiren matematik uygulanamaz.

Sembolik mantık grubunun ilk alt elemanı olan Önermeler Mantığı, 0-düzey mantık olup hiç nicelik sembolleri içermez. İkinci elemanı olan 1-düzey Monadik Yüklemler Mantığı ise, tek özne-tek yüklem içeren önermelerinde sadece ∀ (tümü) ve ∃ (en az biri) şeklinde, iki tane nicelik sembolü içeren mantık türüdür.

Bu çalışma çerçevesinde, hem önermeler mantığını, hem de 1-düzey yüklemler mantığını inceleyeceğiz. ilk olarak bu konu başlığı altında önermeler mantığını, bundan sonraki konumuzda ise 1-düzey yüklemler mantığını inceleyeceğiz.

4.4 - Sözlük

Mantık sistemlerinde her dilin sözlüğünde bulunan her türlü alfabetik karakterler ve sözcükler kullanılabilir. Ne var ki, bu derece geniş ve özgür kullanımda, eğer bulanıklıktan kaçma isteniyorsa, her kullanımda, kullanılan karakterleri uzun uzun tanımlamak gerekir. Bunun için pratikte, bazı ortak kullanımlar gerçekleştirilmiştir. Önerme değişkenleri (gerçek sözcüklerin yer tutucuları), (p , q , r , s , t , v , w) karakterlerini kullanırlar. (Bazen bunların yerine, ψ , gibi Grek alfabesi harfleri de kullanılır). Önerme değişkenleri kümesi, aynen tamsayılar kümesi gibi sayılabilir sonsuz uzunlukta bir kümedir.

Genel olan evrensel sözlük, her mantık sistemi için kulanılabilmektedir. Esas önemli olan, her mantık sistemi için özel olan sözlüklerdir. Her mantık sisteminin sözlüğü kendine özeldir. Sembolik Mantık, Önermeler Mantığı ve 1-inci düzey Yüklemler Mantığından oluşur. Ama, ya 0-düzey Önermeler Mantığı şeklinde, ya da 1-inci düzey Yüklemler Mantığı şeklinde uygulanır. Bu iki mantık sisteminin kendilerine özgü sözlükleri birbirlerinden farklıdır. Burada konumuz Önermeler Mantığı olduğundan, Önermeler Mantığının sözlüğünü inceleyeceğiz.

Önermeler Mantığının sözlüğü, 5 tane sembolden oluşur. Bu 5 tane sembol, mantıksal bağlaç (logical connectives) niteliğindedir. Bunlardan, “Değilleme” (negasyon) (¬) bağlacı tekli (tek işlenenli) (unary), bir işlemcidir ve bir önermenin önüne (önek) olarak yerleştirilerek bir bileşik (compound) önerme oluşturur. Diğerleri olan “ve” (∧), “veya (∨), “Eğer... ise” (→) , “Eşdeğerlik” (Eşitlik) (↔) işlemcileri (bağlaçları), iki işlenenli (binary) işlemciler (bağlaçlar) dır. İki işlenenli işlemciler, sollarındaki önermeyi sağlarınındaki önermeye bağlayarak bir bileşik önerme oluştururlar.

Eğer, "5 tane sembolden nasıl meram anlatılabilir?" diye bir şüpheniz varsa, haklısınız. Bu sembollerin kullanımı ile, doğal dilde açıklanan bir önermenin, hele biraz renkli ve anlamı her yere çekilebilecek şekilde bulanık olduğunda, sembolik olarak açıklanmasında ister istemez bir anlam kaybı olacaktır. Fakat, oluşturulan sembolik olarak açıklanmış şekli, matematiğin tam istediği gibi, anlamı açık ve başka anlamlara çekilemeyecek kadar kesin olacaktır. Bu bağlaçlarla oluşturulan bileşik önermeler, yerine göre, olağanüstü karmaşık ve ayrıntılı olabilir. Sembolik mantıkta deneyim kazanmak, sanıldığı kadar kolay olmayabilir.

Mantık düzeyi yükseldikçe, sembolleştirmede anlam kaybı azalır, sembolik gösterimlerde derinlik artar, ama Kurt Gödel'in belirtmiş olduğu gibi, mantık düzeyi arttıkça kararlılık kaybolduğundan, sadece ilk iki düzey mantık, matematiğin temeli olabilmiştir ve bu da aslında genelde yeterli olmaktadır.

4.5 - Sentaks

Sentaks, bir tümcenin o dilin dilbilgisi kurallarına uygun olarak oluşturulması, (sözdizimi) olarak tanımlanır. Her mantık sisteminin dilbilgisi kuralları o sisteme özgüdür. Önermeler mantığının sözdizim kuralları, Chrisippus geleneğini sürdüren antik Grek bilginleri tarafından düzenlenmiş ve modern çağlara aktarılmıştır. Modern çağlarda da bu kurallara aynen uyulmuş, özellikle "Principia Mathematica" dan sonra, bu kurallar evrensel nitelik kazanmışlardır. Önermeler Mantığının kurallarında fazla bir şey yoktur. Sadece sözlüğün tümünü oluşturan, bağlaç niteliğindeki, işlemcilerin kullanım yöntemleri belirtilmiştir.

Sembolik Mantıkta, sözdizimi kurallarına tam olarak uyulması ile düzenlenmiş bileşik önermelere (iyi oluşmuş formüller) (well formed formulae) (wff) adı verilir.Bir mantıksal sistemde doğru sonuç alabilmek için, kullaılmakta olan bileşik önermelerin (wff) olması kesin gereklidir. Aksi halde, düzeni bozuk önermelerle yanlış sonuçlar oluşur.

4.6 - Semantik

Semantik (Anlambilim) sözcüklerin anlamlarını belirlenmesidir. Sembolik Mantığın sözlüğünde sadece 5 tane eleman bulunmakta ve her elemanın anlamı, antik Grekten beri belirtilmiş olmakta, bugün de bu anlamlar aynen devam ettirilmektedir. Semantiğin ne kadar önemli olduğunu Önermeler Mantığında, işlemcilerin anlamlarını incelerken göreceğiz.

4.7 - Bağlaçlar

Önermeler mantığının, 5 tane mantıksal bağlacı vardır. Bunlardan, " Değilleme" (negasyon) (not) (¬) bağı tekli (tek işlenenli) (önek) (unary), diğerleri olan "Ve" (And) (∧), "Veya" (Or), "Eğer... ise" (→) , "Eşdeğerlik" (↔) (Eşitlik) işlemcileri (bağlaçları), iki işlenenli (binary) dirler.

Aşağıda önermeler mantığının bağlaçlarını belirten bir hatırlatma tablosu görülmektedir.

Semboller

4.8 - Öncelik Sıraları

Bileşik bir önerme yazılırken, konuyu az bilenler ve hiç bilgisayar çalışmamış olanlar, yanlış anlaşılmasın ikirciği ile, yazılımlarını bol ve gereksiz parantezlerle doldururlar. Bu gereksiz parantezler, hem yazılımı gereksiz yere kalabalık hale düşürür, hem de yazılımı okuyan, bunu yazanın yeteri kadar bilgili olmadığını ilk bakışta anlar.

Bu duruma düşmemek, en azından hem kendimizi gereksiz yere afişe etmemiş olmak, hem de yazdığımız yazılımın içinde boğulmamak için, bileşik önermelerin yazılım yöntemlerini, gündelik konuşma dilimiz kadar iyi bilmeliyiz.

Diğer taraftan, öncelik kurallarının olanak verdiği en kısa algoritma girişlerinde, kendimizi garantiye almak için gerekli gördüğümüz parantezleri kullanmaktan da kendimizi alıkoymamalıyız. En iyi yazılım, en anlaşılır ve bilgisayar merkez hesaplama ünitesinin (Central Processing Unit) (CPU) en garanti anlayacağı yazılımdır.

Öncelik kuralları, Wikipedia da açıkça belirtilmiştir. Mantıksal bağlaçların öncelik sıraları,

TemelMatematik4_24.gif

olarak belirtilmiştir.

Bu öncelik sıraları, bilgisayarlar tarafından içsel olarak programlanmış ve uygulanır hale getirilmiştir. Örnek olarak,

p ∧ (¬ q) → r

bileşik önermesinde parantez kullanmanın, kesin olarak hiçbir gereği yoktur. Değillemenin (¬) birleşmeden (∧) daha yüksek bir öncelik sırası olduğunu, ardından tek yönlü koşullu önermenin ise, en düşük öncelik sırası olduğunu, tüm bilgisayar programcıları bilir. Bu yüden ilk olaradeğilleme, ardından birleşme, ardında gerektirme işlemcileri uygulanacak ve bu önerme için hiç parantez kullanımın hiçbir gereği olmayacaktır. Böylece,

p ∧ ¬ q → r

olarak yazmak yeterli olacaktır. Öncelik sıralarının uygulanması, yazılımı bu kadar basitleştirmektedir. Burada ilk öncelik, ¬ işlemcisindedir ve ilk olarak p nin değillemesi alınacaktır. Bundan sonraki öncelik sırası ∧ işlemcisindedir. Bunun çalılması sonucu, p ∧ ¬ q hesaplanış olacaktır. Bundan sonra, en düşük öncelikli gerektirme (yeterlilik) (tek yönlü koşullu işlemci) → işlemcisi uygulanacak ve p ∧ ¬q → r bileşik önermesinin, hiçbir parantez gerektirmeyen yazılımın mantıksal doğruluk değeri hesaplanmış olacaktır. Ama bu en kök (root) gösterimdir. Öncelik sıralarına aşırı alışmamış insanlarda, bu yazılımın anlaşılması kolay olmayabilir. Bu nedenle, bu önermede ana işlemci etrafındaki ilk bileşik önermenin paranteze alınması, yani bu formülün ( p ∧ ¬ q) → r şeklinde düzenlenmesi, kolay anlaşılması için, en doğru yol olabilecektir.

Burada bir uzlaşmayı yeniden hatırlamakta yarar var. Bilindiği gibi, Ockham o vakte kadar çok tumturaklı yazılan önerme tümcelerinin olabildiğince basitleştirilmesi önermiş, bu yüzden bu yönteme "Ockham'ın Usturası" adı verilmişti. Einstein, kısaltmalar için, "Kısaltmalar olabilğince yapılmalı, daha fazla değil !" demiştir. Bu sınır insanların bir anlam verebilecekleri bir sınırdır. Makineler, doğru olarak sonuna kadar kısaltılmış formülleri değerlendirebilirler. Ama, insanların anlayışları makineler kadar yalın değildir. İnsanların kolay anlayabileceği formüllerin, makinelerin anlayabileceği formüllerden biraz daha fazla parantez içermesi doğaldır.

Mathematica ile en basit yazılımla deneyelim. Aşağıdaki BooleanTable[{önermeler},{değişkenler}] fonksiyonu, aslında bu çalışmada uyguladığımız gelişmiş çıktı veren programın ana (core) fonksiyonudur. Gelişmiş yazılım programında en iç fonksiyon olarak bu fonksiyon çalışır ve sonuçları daha dış fonksiyonlarca görselleştirilerek yayınlanmaya uygun hale getirilir. Bu fonksiyon salt bir yerde yayınlanmayacak hızlı bilgi alma amacı ile kullanılabilir. Çıktı sütunlarının sırası, araya virgül konularak girilen önermelerin sırasıdır.

p and not q = > r (Parantezli ve parantezsiz) program

p and not q = > r (Parantezli ve parantezsiz)

Sonuç olarak elde edilen tabloda, sutunlar, araya virgül konularak girilmiş olan giriş kodlarının sırasındadır. Böylece ilk üç satır, p , q , r mantıksal değişkenlerinin mantıksal doğruluk değerleridir. Her satırın, p, q ve r değişkenlerinin farklı bir kombinasyonu olduğunu ve tüm tabloda, bu üç değişkenin olası tüm kombinasyonlarının kullanıldığına dikkat edilmelidir.

Böylece tablodaki ilk üç sütunun p, q ve r değişkenlerinin mantıksal doğruluk değerileri olduğu görülmektedir. Son üç sütun ilgilendiğimiz soruların yanıtlarını içeren sütunlardır

Sondan üçüncü sütun, p ∧ ¬ q ⇒ r önermesinin mantıksal doğruluk tablosudur. Sondan ikinci sütun,( p ∧ ¬ q) ⇒ r önermesinin mantıksal doğruluk tablosudur. Bu iki doğruluk tablosu, mantıksal değişkenler olan p, q ve r değişkenlerinin, mantıksal doğruluk değerlerinin her olası kombinasyonunda aynı mantıksal doğruluk değerini aldıklarından, bu iki önermenin mantıksal olarak eşdeğer olduğuna karar verilir.

Üçüncü sütun daha ilginçtir. Bu son sutunda, her iki önermenin eşitliği varsayılmakta ve Mathematica'nın bu eşitliği doğrulaması istenmektedir. Formüle giren her mantıksal değişkenlerin tüm olası kombinasyonlarında, Mathematica bu varsayımı sınamakta ve doğru bulduğunda (T) (True), desteklenemez bulduğunda ise, "Yanlış (F)" olarak belirtmektedir. Bu şekilde, iki önermenin mantıksal olarak eşdeğerliği, hiç insan katkısına gerek olmadan Mathematica tarafından belirlenmektedir. Bunun her türlü insan hatasından kurtulmuş doğru bir sonuç olarak büyük bir değeri bulunmaktadır. Bilgisayar desteği ile bir proje yürütmenin en büyük avantajı, insan hatasından soyutlanmış sonuçlarla projenin yürütülmesidir. Burada da böyle bir sonuç alabilmekte olmamızın büyük bir ilerleme olduğu kesindir.

Son sütunda, Mathematica mantıksal değişkenlerin olası her kombinasyonu için her iki önermenin eşdeğerliğini sınamış mantıksal değişkenlerin olası her kombinasyonunda varsayımı destekleyerek "Doğru (T)" sonucunu verişmiştir. Buna hepdoğru (Tavtologi) adı verilir ve eşdeğerliği tavtologi veren her önermenin birbirine eşdeğer olduğu belirlenir. Eşdeğerlik sınamsının sonucu tavtologi veren her önermenin mantıksal olarak eşdeğerliği bir evrensel gerçek olduğu kabul edilir ve bu eşitlik bir "Teorem" olarak nitelendirilir.

Yazılımlarının eşdeğerleği kanıtlanmış olduğundan, bu iki yazılımın aynı önermeyi belirttiği anlaşılır. Dolayısı bu önermenin yazılımında, parantez kullanımı gereksizdir. Aynı önerme, formüllerin birinde p ∧ ¬ q ⇒ r olarak yazılırken , ikincisinde (p ∧ ¬ q) ⇒ r olarak yazılmış ve her iki yazılımın da eşdeğerliği belirlenmiştir. Yine de anlaşılmayı arttırmak için, (p ∧ ¬ q) ⇒ r olarak yazılması daha uygundur.

Uygulanacak yöntem:

Önce kendimizi garantiye almak için, bileşik önermeyi tüm parantezlerle yazıp doğruluk tablosunu çıkarmalıyız. Sonra, öncelik sıralarına göre parantezlerden kurtulup en basit hale getirmeliyiz. Ama, en temel olan her zaman en anlaşılır değildir. Bu yüzden, anlaşılmayı kolaylaştıracak bazı parantezleri (gereksiz de olsa) kullanmaktan çekinmemeliyiz. Giderek bu çalışma, bilincimizde yerleşir ve herhalde artık, değilleme işlemcisini izleyen önerme değişkenini paranteze almayız. Ama, gerekli olan parantezleri de kulanmaktan çekinmeyiz.

Mantıksal değişkenlerin öncelik sıraları iyice bilincimize yerleştiğinde, çeşitli literatürde verilen mantıksal formülasyonu, en doğru bir şekilde anlamaya başlamış olacağız.

Yukarıda yazılımları ve sonuçları verilen kısa giriş kodları, Mathematica'dan bilgi almak için kullanılabilecek en kısa yazılımdır. Doğal olarak çıktısı da en kısadır ve bir sunuş için kesinlikle yeterli değildir. Ama ilk bilgilerin alınması için çok uygundur.

Bu fonksiyon, ilk bilgilerin alınması için yeterlidir. Ama, bir ödev sunumu veya bir dergi yayını gibi her düzeyde insana hitap edebilmesi amacı ile hazırlanan yazılarda, bu tablonun daha anlaşılır hale getirilmiş olarak yayınlanması gerekir. Bu tür bir çıktıyı sağlayabilecek kodlar, yukarıdaki ilk tablomuzda uygulanmış, bu probleme uygulanması da aşağıda verilmiştir.

Equivalence of the same propositions program

Equivalence of the same propositions

Görüldüğü gibi, bu programla, gayet düzenli ve anlaşılır bir çıktı elde edilmektedir.

Çözümü 1985 den önce el ile çözümü, bu kadar zahmetli olacak bır algoritmanın, günümüzde bu kadar kısa sürede çözülebilmesi, ne kadar büyük bir gelişme sağlandığının ve bu gelişmeye uyum sağlayamayanların ne kadar çağdışı kalacaklarının bir göstergesidir. Bizler bu çalışma ile kendimizi günümüzün gelişmiş insanları arasına katmaktayız ve bunun için de büyük mutluluk duyuyoruz. Gelişmeye uyum sağlamak, büyük Atatürk'ün bize gösterdiği uygarlık yönüne doğru, onu izleyerek gittiğimizin bir kanıtıdır.

4.9 - Basit ve Bileşik Önermeler, Önerme Formülleri

Basit veya atomik bir önerme, içinde hiçbir mantıksal işlemci bulunmayan bir önermedir. örnek olarak,

Gökyüzü mavidir.
İnsan düşünen bir hayvandır.
2 + 2 = 4

gibi önermeler, hiçbir mantıksal işlemci (bağlaç) içermedikleri için, basit veya atomik önerme olarak nitelendirilir. Atomik önermeler, sembolik mantığın en basit yapıtaşlarıdır. Bu yüzden, Demokritos’un tanımı ile “daha küçük parçaya kesilemeyen” (a tomesis) anlamına, atomik önerme olarak adlandırılmışlardır.

Birden çok mantıksal bağlaç içeren önermelere, "Bileşik önerme" veya "Mantıksal Formül" adı verilir. Bir mantıksal formül, mantıksal işlemcilerin tanımına göre, doğru olarak oluşturulmuşsa, "İyi Yapılandırılmış Formül" (Well Founded Formula) (WFF) olarak adlandırılır. Mantıksal çalışmalarda, doğru sonuçlar, ancak iyi yapılandırılmış formüller ile oluşturulabildiğinden, bu çalışmada uygulayacağımız her mantıksal formül, iyi yapılandırılmış formül olacaktır.

Mantıksal formüller, iyi yapılandıkları durumda, aynı atomik önermeler gibi, sadece "Doğru (T)" veya “Yanlış (F)” olmak üzere, sadece bir tek mantıksal değerleri olabilecektir.

Doğru iyi yapılandırılmış formül oluşturma kuralları, aşağıda açıklanmıştır.

Her atom bir formüldür.

Eğer A bir mantıksal formül ise, ⌉A (değildir A) (A nın değillemesi) (A nın tersi) de bir formüldür ve mantıksal değeri, A nın tersidir. Not: ⌉A formülü, bir tane mantıksal işlemci içerdiği için, atomik değil, bileşik bir önerme olarak nitelendirilir. Bu özeliiğe "Kapalılık Prensibi" adı verilir. Önermeler mantığında, her teoremin değillemesi de kanıtlanabildiğinden önermeler mantığı kapalı bir sistemdir.

Eğer A ve B birer mantıksal formül iseler, A∧B , A∨B , A→B ve A↔B de birer formüldür.

Sembolik mantığın tüm formülleri, burada belirtilen kurallara uygun olarak oluşturulurlar.

Burada, soyut ve somut yapılandırılmalılar üzerine daha yakından bakmalıyız.

Bir p ∧ q şeklinde belirtilmiş mantıksal formül bir yapılanmanın soyut olarak belirtilmesidir. Bu bir tür bir yapılması düşünülen bir binanın planlarının ozalit kopyası gibidir.

Gerçek bina henüz yapılmamıştır. Fakat nasıl yapılacağı, ozalit kopyalarından anlaşılmaktadır. Bir kez yapma yöntemi, belirlenince, bu yöntem uygulandığında istenirse bir, istenirse, bir mahalle, istenirse bir şehir (bütün binaları aynı olan bir şehir bir karabasan olabilir), istenirse sonsuz sayıda, somut (gerçek) önerme örneği yaratılabilir.

Sembolik mantıkta, p ∧ q şeklinde bir somut form, “iki basit önermenin birleşimi” olarak düşülmelidir. Görülüyor iki, bu bir soyut tanımdır ve gerçeklikle ilgisi yoktur. Ama, bu tanım, gerçek dünya önermelerinin nasıl olması gerektiğini, kesin olarak belirtir.

Somut birlşim örneği, "Ali ile Veli" şeklindedir ve A ∧ B şeklinde gösterilir. Aynı soyut yapının (form) bir başka somut örneği, "Selva ile Şeyma" olabilir. Bu somut önerme de, "S ∧ Ş" olarak gösterilebilir,

Görüldüğü gibi, soyut bir yapısal formdan, sonsuz sayıda somut örnekler oluşturulabilir.

Çalışmalarımızda, soyut yapılandırmalar (form) ile ilgilenmemiz yeterli olacaktır. çünkü, soyut bir yapının, somut örneklerini oluşturmak son derece karmaşık bir işlem olmaktadır. Bu yüzden sadece somut örnekler yapılırken, somut çalışmalara gereksinme olacaktır. Sembolik mantık tümü ile soyut yapılanmaların incelenmesi olmaktadır.

Unutmayalım, matematik tümü ile soyut yapılanmaların incelenmesidir. Ancak bu yapıların somut örnekleri, gerçek dünyaya aittir. Aynen mantık gibi.

Çok sayıda mantıksal bağlaç içeren bir bileşik önermede majör bağlacın (majör operatör) bulunması her zaman kolay olmayabilir. Bunun bulunması için uygulanabilecek bir yöntem herşeyin parantez içine alınmasıdır. Parantez içinde olmayan en son bağlaç, majör bağlaçtır. Örnek,

((p → q) ∨ (p ∧ q)) → (p → q)

bileşik önermesinde, majör operatör sondan ikinci → dür.

4.10 - Önermelerin Değerlendirilmesi

Mantık, Aristoteles tarafından düzenlenmesinden beri, yüzyıllar boyunca, çeşitli bilim adamları tarafından geliştirilmiştir. özellikle, Leibniz (18 inci yüzyıl), 19 uncu yüzyılda, Boole, Charles Sanders Pierce’in filosofik katkıları, Cantor’un kümeler kuramı, Dedekind’in kümeler kuramına dayalı sayılar kuramı, Peano’nun sembolleri ve sayılar kuramını yaygınlaştırması, mantık ve kümeler kuramının matematiğin temeli olduğu düşüncesinin tartışmasız olarak kabul edilmesini sağlamıştır. Bu konuda temel eser yirminci yüzyıl başında, Cambridge üniversitesi profesörleri, Lord Bertrand Russell ve Alfred North Whitehill tarafından yazılmış, anıtsal “Principia Mathematica” adlı üç ciltlik eser, matematik mantığın prensiplerini açık, kesin ve değişmez olarak ortaya koymuştur. Bizler de herkes tarafından kabul edilmiş olan bu değerlendirme kurallarını anlamaya ve uygulamaya çalışacağız.

"Principia Mathematica" ile mantıksal doğruluk değerleri evrensel bir kural haline gelmiştir. Bu kurallar el ile değerlendirmelerde kullanılırken, aynı zamanda, mantıksal kodları değerlendirebilme yeteneğine sahip olan Mathematica, Sage, Vb... bilgisayar programları da bu kurallara uygun değerlendirmeler yapmaktadırlar. Bu nedenle, el ile veya bilgisayar kullanımı ile yapılan mantıksal değerlerin belirlenmesinde, el ile ve bilgisayar ile yapılan değerlendirmelerde hiçbir fark olmamaktadır.

4.11 - Doğruluk Tabloları

Basit bir önermenin iki değerli mantıkta, alabileceği mantıksal doğruluk değerleri sadece "Doğru (T)" veya "Yanlış (F)" olarak 2 tanedir.

bileşik önermelerde ise sorun karmaşıklaşmaktadır. Her bileşik önerme, bir basit önermeyi temsil edilen, sayılabilir sonsuz bir küme olan p, q , r, s , t, w gibi mantıksal değişkenler ile yapılandırılır. Her mantıksal değişken bir tane mantıksal bağlaç (mantıksal işlemci) ile başka bir mantıksal değişkene bağlıdır. Sembolik mantık sentaks ve semantiği, her bağlaç için işlenenlerin mantıksal doğruluk değerine bağlı olarak mantıksal doğruluk değerini kesinlikle belirlemiştir. İki işlenenli işlemciler için,

birinci değişken (işlemci) ikinci değişken

formülünde, Belirli bir iki işlenenli işlemci için, birinci ve ikinci değişkenin mantıksal doğruluk değerine bağlı olarak, bileşik önermenin mantıksal doğruluk değeri, sembolik mantığın sentaks ve semantık değerlendirme kuralları ile değerlendirilir.

Değerlendirme için en çok kullanılan yöntem, doğruluk tablolarıdır. Her doğruluk tablosunda n tane satır, m tane sütun vardır.

Doğruluk tablosundaki satır sayısı, formüle giren mantıksal değişkelerin (ikili mantık sistemleri için) ikili kombinasyonlarının maksimum sayısıdır.

İkili kombinasyonun anlamı, formüle giren değişkenlerin her birinin bir mantıksal doğruluk değeri olmalı, fakat bir satırda yapılmış olan bir kombinasyon (şifre) başka bir satırda da tekrarlanmamalıdır. Kombinatoryel hesaplama formülü ile, iki mantıksal değişkenin iştirak ettiği, iki değerlerlikli bir mantık sisteminde, maksimum kombinasyon sayısı = doğruluk tablosu satır sayısı = 2değişken sayısı dır. Örnek olarak tek bir değişken için , 21 = 2 satırlık bir doğruluk tablosu oluluşturulabilir. Bu da, sembolik mantığın biricik (unique) tek işlenenli işlemcisi olan (değilleme) (¬) işlemcisinin doğruluk tablosudur.

Aşağıda önermeler mantığında (Propositional Logic) kullanılan, 5 işlemci (bağlaç) ile oluşturulan, en küçük boyutta bileşik önermelerin, standart doğruluk tablolarının nasıl oluşturulduğu görülmektedir.

Doğruluk tabolarının sütunları, belirli bir doğruluk değeri olan her türlü mantıksal formülden oluşabilir. Hemen altta, p değişkeninin, Mathematica ile oluşturulmuş doğruluk tablosu görülmektedir.

p değişkeninin doğruluk tablosu

Truth Table of p

Mathematica 11.3 ile, doğruluk tablolarının hesaplanması,

BooleanTable[sütunTanımı1, sütunTanımı2,...},{mantıksalDeğişken1, mantıksalDeğişken2,...}]

fonksiyonu ile gerçekleştirilmektedir. Bunun bir kullanım örneği, yukarıda görülmektedir. BoolenTable[] fonksiyonun çıktısı, yukarıda görüldüğü gibi çok açıklayıcı değildir. Sütunlar, programda verilen argüman sırası ile verilmiştir. Sütun açıklamalarını da verebilen biraz daha gelişkin yazılımlar bulunmaktadır. Bunları da ileride kullanacağız. Bu basit yazılım aslında gerekli tüm bilgiyi sağlamakta ve en karmaşık bileşik önermelerin bile doğruluk değerlerini çözebilmektedir. Tek eksikliği görselliktir, bunu da biraz sonra sağlayacağız.

Önermelerin doğruluk değerlerini ücretsiz olarak on-line belirleyen bir çok site bulunmaktadır. Fakat bu konuda en önerilecek site WolframAlpha web sitesidir. Bu siteden tüm sembolik mantık işlemcileri için basit veya bileşik her türlü önermeler için doğruluk değerleri hesaplanabilir.

WolframAlpha nın kendine özgü bir program dili vardır. Bu dil gündelik cebirsel kullanım diline çok yakındır. Aşağıda bu dilin uygulanmasının bir örneği, örnek olarak belirtilmektedir. Kullanıcılar, bu dili kullanarak kolayca deneyim sahibi olabilirler. Tek değişkenin doğruluk tablosu trivial dir. Yani tanımla anlaşılabilir, hesaplanacak yanı yoktur. Bu yüzden, WolframAlpha bunu hesaplamamaktadır. Biraz sonra bu sitenin hesapladığı ve gerçekten olağanüstü olan, doğruluk tablolarını göreceğiz.

Mathematica 11.3 ve WolframAlpha'dan' yararlanarak, tüm mantıksal doğruluk değerlerinin standart doğruluk tablolarını hesaplayalım. Standart doğruluk tablosunun anlamı, mantıksal işlemcinin tanımına uygun yazılımıdır. Örnek olarak, ¬ tek işlenenli, önek olarak olarak kullanılan bir mantıksal işlemcidir. Sembolik mantığın, biricik (unique) tek işlenenli işlemcisidir. Tanımı, ¬p olduğundan standart doğruluk tablosu da ¬p bileşik önermesinin doğruluk tablosudur. Bir başka örnek, iki işlenenli bir mantıksal işlemci olan ∧ işlemcisidir. Tanımı p ∧ q olduğundan, standart doğruluk tablosu da p ∧ q bileşik önermesinin doğruluk tablosudur.

İlk olarak değilleme işlemcisinin doğruluk tablosunun, WolframAlpha sitesinden hesaplanmasını görelim. Doğruluk tablosunun satır sayısı, bileşik önermeye katkı sağlayan sadece bir tek mantıksal değişken olduğu için, 2mantıksal değişken sayısı = 2 olacaktır.

WolframAlpha :

truth table not p

Sonuç :

TemelMatematik4_1.gif

WolframAlpha ile yayınlanmaya hazır (présentable) bir sonuç elde ediliyor. Bu çok güzel. Aynı sonucu Mathematica 11.3 ile de alabiliriz. Mathematica 11.3, ile WolframAlpha dan alınan sonuca yakın bir görsellik sağlanabilmesi için, temel BooleanTable[] fonksiyonuna biraz daha görsellik sağlayacak program adımlarının eklenmesi gerekir. Çalışmalarımızda, hep Matematica 11.3 sürümü kullanılacak olduğundan, sürüm kodu artık belirtilmeyecektir. Görselliği sağlayacak ek kodlar içeren, Mathematica programı aşağıda görülmektedir.

Temel Mathematica kodları :

TableForm[BooleanTable[{Hesaplanacak sütunlar},{kullanılan değişkenler}] TableHeadings[{None , {Sütun Başlıkları}}]

Görselliği attıracak gelişmiş Mathematica programı :

Detailed Program

Sonuç :

Biz çalışmalarımızda, çoğunlukla Mathematica kullanacağız, ama isteyen, uygulamalarında, WolframAlpha'yı da sorunsuzca kullanabilir. Doğal olarak, hangi yazılım kullanılacaksa, o yazılımın dilinde ustalık kazanmaya çalışılmalıdır.

Mathematica'nın BooleanTable[] öntanımlı fonksiyonun argümanları, Mathematica'nın giriş kodlarıdır. Mathematica iç yazılımında değil için !, ve için ∧ or için || , yeterlik için ⇒, eşdeğerlik için == kullanır. İstenirse bu kodlar giriş için de kullanılabilir ama ⇒ için escape => escape veya en iyisi Implies[p,q], ve eşdeğerlik için, Equivalent[p,q] olarak giriş yapmak en iyisidir.

Yukarıdaki tabloda, çıktı sütun başlıklarının,Mathematica'nın iç (internal) kodları ile gösterildiği belirtilmişti. Bu iç kodlar alışılmışın dışandadır ve okunması güçtür, bu yüzden bu çıktılardaki kodların, metin temelli olmaları için, " " (double quote) arasına alınarak alışkanlık kazanılmış kod şekilleri haline görüntülenmeleri sağlanmıştır.

Mathematica giriş çıkış kodları aşağıdaki tabloda görülmektedir.

Matematica Giriş - Çıkış Kodları

Mathematica çıktı kodları

Programda, TableHeadings [] öntanımlı Mathematica fonksiyonu, bir çıktı fonksiyonudur. Görsellik sağlayacak bu fonksiyonun istenilen argümanı double quote içine alınarak metin olarak çıktı alınması sağlanabilir. Bu çalışmada da bu metin halinde çıktı alma yöntemi beimsenmiş ve bu şekilde, çıktılardaki tablo başlıklarının daha okunabilir hale getirilmesi sağlanmıştır.

İkinci incelenecek (ve) (∧) işlemcisi için, standart doğruluk tablosu görsellik sağlayan aşağıda görülen, bir önceki örnekte de kullanılmış olan gelişkin programla Mathematica ile hesaplanmıştır :

And Standard Table Program

3 üncü doğruluk tablosu, "veya" (Latince ("vel") (Bu yüzden simgesi de V harfine benzer).

p or q text

porq

Üçüncü standart mantıksal doğruluk tablosu olan "vel" (veya) işlemcisinin mantıksal doğruluk tablosu da Mathematica ile kolayca hesaplanmıştır.

Dördüncü standart mantıksal doğruluk tablosu "Yeterlilik" İngilizce ve Fransızca söylemi "Implification" olan "Tek Yönlü Koşullu İşlemci" doğruluk tablosu programı :

Gerektirme Standard Tablosu Yazılımı

Gerektirme standart tblosu

Son doğruluk tablosu, "Eşdeğerlik" "Eşitlik" İngilizce ve Fransızca "Equivalence" işleci (işlemcisi) doğruluk tablosu. Mathematica ne yazık ki <=> şeklindeki simge girişini değerlendiremiyor ve "Equivalent[p,q]" şeklinde girişi değerlendirebiliyor, Tablo başlığı için de, metin kalıbı bir çıktı için de, "p↔q" tanımını yapıyoruz.

Eşdeğerlik Standart Doğruluk Tablosu Yazılımı

Eşdeğerlik Standart Doğruluk Tablosu

Bu şekilde tüm standart doğruluk tabloları oluşturulmuş olmaktadır.

Doğruluk tablosu düzenlenmesinde düzen esastır, aksi halde kaos ortamı oluşur. Düşünelim, yerine göre beş mantıksal değişken ile çalışma zorunluğu olursa, bunların doğruluk değerleri 25 =32 satırdan oluşacak bir tabloda gösterilmesi gerekecektir. Bu tabloda, her satırda önce mantıksal değişkenlerin doğruluk değerleri gösterilecektir. Eğer bu doğruluk değerleri şaşmaz bir sıra ile düzenlenmezse, doğruluk tablosunun, düzgün bir şekilde düzenlenmesin olanağı bulunmaz, kazara doğru olarak düzenlenebilse de tablonun düzeni o denli karışık olur ki, alınan sonucu başkaları ile karşılaştırma olanağı bulunmaz.

Ama, bunun uluslarası uygulanan şaşmaz bir düzeni var ve aklı başında hiçkimse bu düzenden şaşmayı aklından bile geçirmez. Bu yöntemi iki değişkenden başlayarak aşağıda belirtiyoruz. Mathematica'da bu düzeni aynen uygulamaktadır.

pq patterni

p q r programı

pqr pattern

Değişken sayısı arttıkça satır sayısı da artmakta ve bu satırları doldurmak için yukarıda uygulanan yöntem gibi düzenli bir yöntem uygulanmazsa kaos kapıdadır. El ile düzen uygulanması ile bile zorlukla oluşturulan bu tabloların gerçekleştirilmesi zahmetli ve zaman alıcı bir süreç olmaktadır. Oysa ki, Mathematica gibi bir bilgisayar programının kullanılması, işleri olağanüstü kolaylaştırır ve hızlandırır. Bunun kanıtları da yapmakta olduğumuz bu çalışmanın her aşamasında görülmektedir.

4.12 - Değil İşlemcisi (¬)

Değil işlemcisi ile ilgili hemen tüm bilgiler, yani doğruluk tablosunu ve öncelik sırasını açıklamış durumdayız.

Değil işlemcisi, bir önermenin, mantıksal değerini tersine dönüştürür (Değilleme) (Negasyon). Değil işlemcisi bir önek olarak kullanılan ve sadece bir tek işlenene (Operand) gereksinme duyan bir mantıksal işlemcidir.

Eğer p bir mantıksal değişken (yer tutucu) ise, yerini tuttuğu önerme ne olursa olsun, mantıksal değeri ya "Doğru (T)" veya “Yanlış (F)” olabilir.

Eğer p nin mantıksal değeri, "Doğru (T)" ise, ¬p nin mantıksal değeri “Yanlış (F)” dir.

Eğer p nin mantıksal değeri, “Yanlış (F)” ise, ¬p nin mantıksal değeri "Doğru (T)" dir.

Değil işlemcisi, öncelik sırası en yüksek olan işlemcidir. Bir mantıksal algoritma’da ilk önce, değil işlemcisi uygulanır.

Değil işlemcisinin standart mantıksal doğruluk tablosu daha önce oluşturulmuştu. Sonucu yeniden hatırlayalım :

Değil İşlemcisinin Standart Doğruluk Tablosu

not p

Değil işlemcisi ile bağlanmış bir basit önerme, tek bir önerme değişkeni (p) içermesine karşın, bir bileşik önerme, (mantıksal formül), (mantıksal yazılım), (mantıksal algoritma),..(vb) dir. çünkü yazılımında bir mantıksal bağlaç (işleç) (işlemci) içermektedir.

Değil işlemcisinin doğruluk tablosu kaç satırdan oluşacaktır? Değil işlemcsi, önek olarak kullanılabilen tek işlenenli (operand) bir işlemcidir (operator). Sembolik Mantık sadece ve kesin olarak, "Doğru (T)" veya "Yanlış (F)" olarak iki mantıksal değer içerebilen iki değerli bir mantıktır. Bunun anlamı sembolik mantıkta, mantıksal değişkenlerin sadece iki değer alabilme olasıklıkları bulunmaktadır. Doğruluk tablosu tüm olasılıkları kapsamak zorunda olduğundan, toplam olasılık sayısı, yani doğruluk tablosunun satır sayısı, mantıksal değişkenin alabileceği toplam mantıksal değer sayısı Algoritmaya giren tüm mantıksal değişken sayısı olarak belirlenir. Bu da, 2mantıksal değişken sayısı formülü ile hesaplanır. Değil işlemcisi (¬, tek işlenenli (tek değişkenli) bir işlemci olduğundan, doğruluk tablosu 21 = 2 satırdan oluşacaktır. Yukarıdaki değilleme işlemcisinin doğruluk tablosunun satır sayısı, bu nedenden dolayı 2 olmuştur.

Değil bağlantısı için bir örnek:

“O cesur bir insandır. “ önermesinin değillemesi “O korkak bir insandır.” önermesi değildir. Kimse korkak sıfatını kullanmadı. Söylenen sadece “cesur” sözcüğüdür. Bu önermenin değillemesi de “Değildir o insan cesur.” olacaktır. Ne söylenmişse o kabul edilecektir. Matematik, edebiyat yapılacak bir yer değildir. Fransızca, “courageux” sözcüğünün karşıtı “peureux, poltron” gibi sıfatlardır. Her birinin anlamı ve etkisi farklıdır. “Il est courageux” (o cesurdur) önermesinin tersi de sadece “Il n’est pas courageux” (o cesur değildir) önermesidir. Başka bir sözcük düşünmenin yeri yoktur. Kullanılan sözcüğe başka sözcükler yakıştırılmamalıdır.

4.12.1 - Değildir Önermesinin Değillenmesi (Çift Değilleme)

Bir değilleme, (¬ p), p düz önermesini tersine çevirir (Azerbeycan şivesinde "Düz" sözcüğü doğru, değişmememiş anlamına gelir).

Eğer düz önerme p ise, tersi ¬p dir.

Örnek, p = Ahmet aptaldır. ¬p = Değildir Ahmet aptal (Ahmet, aptallar kategorisinden çıkarılıyor.)

Bir daha değillenirse,

¬¬ Ahmet aptal (Aptallar kategorisinden çıkmış olan Ahmet, yeniden aptallar katogorine geri döndürülüyor). Prensip olarak, ¬¬p, p demektir.

Yani, bir p önermesinin çift değillemesi, ilk değilleme ile negatife, ikinci değilleme yine orijinal hali olan düz haline çevirmektedir.

Örnek :

Double Negation

Double Negation

Sonuç bir tavtologidir ve bu sonuçla, gerçekten de p nin çift değillemesinin, p ye eşdeğer olduğu kanıtlanmaktadır.

4.13 - Ve İşlemcisi (Birleşim) (Conjunction)

Ve işlemcisi ikili (binary), yani iki işlenenli bir işlemcidir. Ve bağlacının simgesi olan (∧) ingilizce “A” (And) sözcüğünden alınmadır. “ve” işlemcisinin standart doğruluk tablosu daha önce Mathematica program dilinden yararlanılarak oluşturulmuştur. Burada sonucu yeniden hatırlatılmaktadır.

Birleşme (Ve) İşlemcisi Standart Mantıksal Doğruluk Tablosu

Standart Birlşme mantıksal doğruluk Tablosu

Standart doğruluk tablosundan, “ve” (∧) bileşik önermesinin, sadece ve (ancak) sadece, her iki işlenenin de doğruluk değerinin, "Doğru (T)" olması halinde "Doğru (T)" olacağını, diğer bütün durumlarda, “Yanlış(F)” olacağını belirtir. Bu durumda, “ve” (∧) bileşik önermesinin standart doğruluk tablosunun hatırlanması son derece kolay olmaktadır.

"Bu çukuru, Ahmet ve Mehmet birlikte kazdılar” denildiğinde, Bu çulukrun kesinlikle her ikisi tarafından birlikte kazıldığı anlaşılır. Eğer hem Ahmet veya Mehmet kazıya katılmamışlarsa (mantıksal değerleri F ise) , bu çukur kazılmamış yani bilesik “ve” (∧) önermesinin doğruluk değeri “Yanlış (F)” olmuştur. Eğer çukur kazılmışsa, bileşik “ve” (∧) önermesinin doğruluk değeri "Doğru (T)" olmuştur. Bu durum da ancak ve ancak her iki işlenenin doğruluk değeri "Doğru (T)" olduğunda (yani Ahmet ve Mehmedin çukuru birlikte kazdıkları durumda) gerçekleşebilir.

4.14 - Veya İşlemcisi (Ayrışma) (Disjunction)

Gerçek yaşamda iki türlü veya işlemcisi kullanılmaktadır. Bunlar,

⊗ Simgesi ile belirtilen (Dışlayıcı Veya). Bu tür veya olayında, önermelerden sadece birisi "Doğru (T)" olabilmektedir. Birisi "Doğru (T)" ise, diğeri “Yanlış(F)” olmalıdır. Bu yüzden “Bu çukuru Ahmet veya Mehmet kazsınlar” denildiğinde, bu çukuru ya Ahmet, ya da Mehmet kazacaklardır. İkisi birlikte kazamaz. Dışlayıcı veya kullanıldığında ayrışanlardan birisi, diğerini dışlar. DIŞLAYICI VEYA MATEMATİKTE KULLANILMAZ !

∨ (vel = Latince veya) Simgesi ile belirtilen ( İçleyici Veya). Bu tür veya olayında, önermelerden her ikisi de "Doğru (T)" olabilmektedir. Bu yüzden “Bu çukuru Ahmet veya Mehmet kazsınlar” denildiğinde, bu çukuru hem Ahmet, hem de Mehmet birlikte kazabileceklerdir. Bu tür veya olayına konuşma dilinde ve resmi yazışmalarda, (ve/veya) olarak belirtilir. MATEMATİKTE SADECE İÇLEYİCİ (VEYA) (∨) “vel” İŞLEMCİSİ KULLANILIR! İçleyici veya nın doğruluk değerinin yanlış olabilmesi, sadece iki önermenin ikisinin birden doğruluk değerlerinin “Yanlış (F)” olması ile olasıdır. Diğer tüm durumlarda doğruluk değeri, "Doğru (T)" olmaktadır.

Veya (matematiksel veya) işlemcisinin standart doğruluk tablosu Mathematica ile oluşturulmuştu. Burada sonucu yeniden gözönüne alalım :

Ayrışma (Veya) İşlemcisi Standart Mantıksal Doğruluk Tablosu

Veya işlemcisinin standart mantıksal doğruluk tablosu

Görüldüğü gibi, vel (∨) bağlacı ile birbirine bağlanmış iki basit önerme, ancak ve ancak her iki önermenin de mantıksal değerlerinin “Yanlış (F)” olması ile “Yanlış (F)” olabiliyor. Diğer tüm durumlar için, vel bağlantısı ile bağlanmış, iki basit önermeden oluşan bileşik önermenin mantıksal değeri "Doğru (T)" olmaktadır.

Konuşma dilinde "veya" daima dışlayıcı veya anlamına kullanılır. Konuşma dilinde belirtilen önermelerin, sembolik dile çevrilmesinde, veya sembolik dilde belirtilen tümcelerin konuşma diline, çevrilmesinde, "veya" sembolünün çevrilmesi, önemli ölçüde zorluk yaratır. Bu tip güçlüklerin ancak deneyim ve bilgi ile üstesinden gelinilebilir.

Başlangıç için ufak bileşik önermeler oluşturup, doğruluk değerlerini ve anlamlarını çıkarmaya çalışalım. Bileşik önerme,

"Ahmet ve Mehmet veya Hasan bu çukuru kazsınlar” şeklindedir. Aranan da hangisi kaytarırsa, işin geri kalanlar tafından bitirebileceği ve kaçanların kaçtıkları, başkaları tarafından sezinlenmeyeceğidir. Acaba hangisi belli etmeden kaçabilecek bunu mantıksal olarak bulmaya çalışacağız.

Bu önerme sembolik olarak,

(p ∧ q) ∨ r

şeklinde yazılır. Bileşik önerme formülünde, (p , q , r) olmak üzere 3 tane mantıksal değişken bulunmaktadır. Her biri ancak iki (T , F) mantıksal değerlerini alabileceklerinden, bu bileşik önermenin doğruluk tablosu, 23 = 8 satır olacaktır.

Program ve çıktısı :

p and q or r Program

p and q or r mantıksal doğruluk tablosu

Tabloyu incelediğimizde, 2 satırda Hasan, 3 üncü satırda Mehmet, 5 inci satırda Ahmet, 7 inci satırda hem Ahmet hem de Mehmet kaçarlarsa çukuru geri kalanların kazabileceği ve kaçanların kaçtıkları belli olmayacağı görülmektedir.

Bu konuda, önermelerin iyi analiz edilip, sonucu oluşturan nedenlerin gayet doğru olarak saptanması olağanüstü önemlidir. Bilinçli bir araştırıcı, bu konuda gayet uyanık ve yetkin olmalıdır. Problem çözerken dalgınlığa yer yoktur.

Bilinçli olmak, çok daha önemli ayrıntılara dikkat etmektir. Herşeyden önce, bu problemi çözebilmek için, bilgimiz yeterli mi? İlgili konu, önceden çok iyi özümsenmiş olmalıdır. Aksi halde bu problemi, yeterli bilgi elde ettikten sonra çözmeye çalışmak gerekir. Bilgimiz yeterli ise, problem verisi çok iyi incelenmelidir. Acaba veriler yetersiz midir? Size yetersiz geliyorsa, genellikle bilginiz yeterli değildir veya problemi iyi anlamamışsınızdır. Biraz daha yakından incelenince herşey daha yerli yerine oturur ve çözüme başlayabiirsiniz. Çözüm sonucu birkaç kez kontrol edilmelidir. Bilgisayar kullanımı ile, hem güvenilir, hem de hızlı sonuçlar alınır. Ama ne yazık ki günümüzdeki geri teknolojili sınavlarda bilgisayar kullanılamamaktadır (ama cep telefonları günümüzde bilgisayarlardan farklı değildir). Yani kısa süre sonra, aşırı tutucu insanlar, teknoloji karşısında kesinlikle havlu atacaklardır.

Yukarıdaki probleme bakılınca, ilk yapılacak şey ana işlemcinin bulunmasıdır. Ana işlemci, bir parantezin içinde olmayan sağa doğru son işlemcidir. Burada ana işlemci, son veya (∨) işlemcisidir. (p ∧ q) ∨ r} aslında, bu ana işlemcinin etrafında iki önerme haline indirgenebilir. Eğer s = p ∧ q olarak tanımlanırsa, önerme s ∨ r şeklinde iki değişkenli hale indirgenmiş olur. Sonuçta s ∨ r şekline getirilmiş olan önermenin "Yanlış (F)" olabilmesı için, s ve r 'in ikisinin birden "Yanlış (F)" olması gerekmektedir. Diğer tüm hallerde, bileşik önermenin mantıksal doğruluk değeri "Doğru (T) dir ve iş bitirilmiş olmaktadır. Sonucun "Yanlış (F)" olduğu durumlarda, hem p ve q "Yanlış (F)" (dolayısı ile s "Yanlış (F)") hem de r "Yanlış (F)" olmalıdır. Yani işin bitirebilmesi için, her çalışanın kaçmış olması olasığı yoktur. Eğer s "Yanlış (F)" yani p ve q nün birisi "Yanlış (F)" ise, (Ahmet ve Mehmedin birinin kaçmış olduğu durumda) , eğer r (Hasan) "Doğru (T)" ise sonuç "Doğru (T)" yani iş bitirilebilmiş olacaktır. Eğer Ahmet ve Mehmet kaçmışsa ama Hasan varsa, işi Hasan tek başına bitirebilir. Özetle Ahmet ve Hasan varsa Mehmet kaçabilir, Mehmet ve Hasan varsa, Ahmet kaçabilir. Ahmet ve Mehmet varsa Hasan kaçabilir, Hasan varsa, hem Ahmet, hem de Mehmet kaçabilir ve iş yine bitirilmiş olur.

Bu sonuca varmak yukarıdaki gibi beyin yakmaya gerek hiç yoktur. Mathematica'nın ürettiği doğruluk tablosuna bakmak yeterli olacaktır.

Bu tabloda, işin bitirilmiş yani sonucun "True" olduğu durumlara bakalım. Yukarıdan aşağıya, ilk True durumunda, işi çalışanların tümünün yapmış olduğu görülüyor. İkinci True durumunda, Hasan kaçmış, işi Ahmet ve Mehmet bitirmişlerdir. Üçüncü True durumunda, Ahmet kaçmış işi Mehmet ile Hasan bitirmişlerdir. Dördüncü True durumunda, Mehmet kaçmış, işi Ahmet ile Hasan bitirmişlerdir. Beşinci True durumu ise ilginçtir, hem Ahmet, hem de Mehmet kaçmış, işi Hasan Tek başına bitirebilmiştir. Bunlar dışındaki, geri kalan üç durumda ise, iş bitmiyor ve kaçanlar belli oluyor. Başka olasılık da bulunmuyor.

Bu örnekte, bilgisayar tarafından doğruluk tablosu oluşturmanın ne kadar faydalı olduğu görülüyor. Doğruluğu kesin olarak bir bilgisayar programının ürettiği bir doğruluk tablosundan olasılıkları izlemek, hem sonucun hızla elde edilmesine, hem de yanılgı olmadan olasılıkların saptanmasına olanak sağlamaktadır. Sonucun alınması için sadece oluşmuş olan tabloyu dikkatle izlemek yeterli olmaktadır.

4.15 - Tek Yönlü Koşullu Önerme (Yeterlilik) (Implification)

Bu işlemci, (→) olarak belirtilir. Yeterlilik konusu, matematik mantığın en zor anlaşılan ve en kafa karışıklığı yaratan konusudur. Bu konuyu en anlaşılır hale getirerek anlamaya çalışacağız.

Yeterlilik işlemcisi,

p → q

olarak uygulanır. Burada p önermesine “Varsayım” veya “Hipotez” veya "Yeter Koşul" veya "Öncül" denilir. Bu birinci önermedir ve bir iddia yı (doğru olabilecek bir varsayımı) içerir. Bu varsayımın doğrulanması, q sonucunun da doğrulanması için yeterli olabileceğinden, p ile gösterilen ilk önermeye "Yeter Koşul"da denilir.

İkinci önerme olan q önermesine "Gereken", "Gerek Koşul","Ardıl", "Sonuç" (Conclusion) adı verilir. İkinci önerme olan q önermesi, birinci önerme olan p önermesi için gerek koşul dur. Yeter koşulun doğrulanması, gerek koşulun da doğrulanmasını gerektirebileceğinden, tek yönlü koşullu önermeye, "Gereklilik Önermesi" veya "Yeterlilik Önermesi" adı da verilir. Ama, en doğrusu "Tek Yönlü Koşullu Önerme" olarak adlandırmaktır.

Böylece, tek yönlü koşullu önerme,

Yeter önerme → Gerek önerme

şeklindedir. Tek yönlü koşul önermesinin okunuşu,

Eğer p ("Doğru (T)")ise demek ki q de " Doğru (T)")dur. (kısa olarak, p ise q dür olarak da belirtilmektedir).

p için q gerekli koşuldur.

q için p yeterli koşuldur.

p oldukça q

şeklindedir. Tek yönlü koşullu önermenin, standart doğruluk tablosu daha önce çıkarıldığı gibi,

Gerektirme standart tblosu

olarak belirtilmiştir. Bu tablonun belirlenmesi, antik Grek kültürüne dayanır. Burada üç tane mantıksal doğruluk değeri vardır. Birinci önerme (öncül) (yeter neden) (p) nin mantıksal doğruluk değeri, ikinci önerme (sonuç) (gerek neden) nin mantıksal doğruluk değeri, sonuncusu ise, bileşik önerme (p→q) nün oluşan mantıksal doğruluk değeridir.

Sembolik mantıkta, tek yönlü koşul önermesinin yeter neden ve gerek neden önermeleri arasında, gündelik yaşamda kullanıldığı gibi bir nedensel ilişki olması koşulu yoktur. Bunu örneklerde daha yakın olarak gözemleyeceğiz.

Tek yönlü koşul önermenin, mantıksal doğruluk tablosunun ilk satırı:

Öncül "Doğru (T)" , sonuç"Doğru (T)" gereksinme "Doğru (T)"

Örnek :

Eğer Julius Caesar ölü ise, Atatürk barajı enerji vermektedir.

Öncül : Julius Caesar ölüdür. Sonuç : Atatürk barajı enerji vermektedir.

Öncülün mantıksal doğruluk değeri "Doğru (T)", sonucun mantıksal doğruluk değeri "Doğru (T)" olduğundan, bileşik önerme sonucunun mantıksal doğruluk değeri "Doğru (T)" olmaktadır.

Sembolik mantığın karar süreci bu kadardır. Sembolik mantık için önermelerin söyleminin önemi yoktur. Sembolik mantıkta, bileşik önermelerin mantıksal doğruluk değerlerinin bulunabilmesi için tek yapılan inceleme, bileşik önermeyi oluşturan basit önermelerin mantıksal doğruluk değerlerinin bilinmesi ve bu mantıksal doğruluk değerlerinin, bağlandıkları bağlaçlara göre, standart mantıksal doğruluk tablolarındaki kirteryumlara dayanılarak değerlendirilmesidir.

Sembolik mantıkta, önermelerin içeriğine, anlamlarına bakılmaz. Ama bu şekilde de, yukarıdaki örnekte olduğu gibi, en acayip, en akla uzak düzenlemeler de, iyi yapılandırılmış, yani sözdizimi (sentaks) kurallarına uygun olarak oluşturulmuş birer formül oldukları sürece, sembolik mantık ile mantıksal doğruluk değerleri belirlenebilir. Ama, bu şekilde en saçma sapan varsayımlar bile sanki gerçekte olabilirmiş gibi doğrulanabilir.

Bu nedenle klasik mantıktaki gereksinmeye "Materyel Gereksinme"", doğrulanan gereksinmeye de "Vakumda Doğru" denlir. Amerikan lehçesinde, vakumda doğru olmak, gerçek dünya kapsamında işe yaramaz bir doğrulama anlamında kullanılmaktadır.

Mantığın matematiğe uygulandığı matematik mantıkta ise, olaylar çok daha düzenli gelişir ve kuralların uygulanması tamamen akla yakın sonuçlar ortaya çıkarır. Örnek olarak :

Eğer bir dikgörtgenin alanı l2 ise, bu bir karedir.

Söylemi :

Bir dikdörtgenin alanının l2 olması, o dikdörtgenin bir kare olması için, yeterlidir.

Matematik uygulamalarında, yeter koşulun doğruluğu oluşura, yine gerek koşulun da doğruluğunun oluşacağı varsayılmaktadır. Ama bu, akla yakın bir varsayım olmaktadır.

Tek yönlü koşul önermesinin yapısı, sav yapısıdır. Bunu biraz sonra, savların geçerlilik incelenmesi konusunda göreceğiz. Bu yüzden, Tek yönlü koşullu önerme, önerme olarak düşünüldüğünde "Doğru (T)" veya "Yanlış (F)", sav yapısı olarak ddüşünüldüğünde, "Geçerli" (Valid) veya "Geçersiz" (Invalid) olarak değerlendirilir.

Tek yönlü koşul önermesinin, mantıksal doğruluk tablosunun ikinci satırı:

Öncül "Doğru (T)" , sonuç"Yanlış (F)", yani yeterli olunacak bir şey olmadığı anlamına gelir ve yeterlilik doğrulanmaz.

Bir tek yönlü koşul önermesinde, eğer, gerekli koşul (sonuç) doğrulanmazsa, önerme toptan “Yanlış(F)” olur ve devreden çıkar. Doğrudur, hiçbirşey yanlıştan oluşmaz (ex nihilo nihil fit). Bu durum, tek yönlü koşul önermesinin, standart doğruluk tablosunun ikinci satırındaki durumdur ve tek yönlü koşul önermesinin, doğruluk değerinin “Yanlış(F)” olduğu tek durumdur. Başka bir deyişle, öncülün doğruluğunun sonucu desteklemediği tek durumdur.

Tek yönlü koşul önermesinin, mantıksal doğruluk tablosunun üçüncü satırı:

Öncül "Yanlış (F)" , sonuç "Yanlış (F)" gereksinme "Doğru (T)"

Hiçbirşeyi gerektirmeyen bir önerme kesinlikle "Yanlış (F)" dir.

Mısır tanesi kullanılırsa, pilav yapılır.

Pilavın olduğu "Doğru (T)" ise, pişrmek için mısır tanesi kullanıldığı "Yanlış (F)" dır.

Aslında, burada, öncül hiçbir şeyi doğrulamamaktadır ve önerme sonucun mantıksal doğruluk değerini saptayacak bir karine (delil , karar verici öğe) yoktur. Ama önermeler mantığının sürekliliğinin sağlanması için, önermeye bir mantıksal doğruluk değeri verilmesi gerekir.

Tek yönlü koşul önermesinin mantıksal doğruluk tablosunu dialektikçi filosof, Megaralı Phylon (Fİlon) (Φίλων) (M.Ö. 300) yapmıştır ve bu tanım günümüze kadar değişmeden kalmıştır. Tek yönlü koşullu önermenin doğruluk tablosu Filon'un hocası Diodorus Kronos (Διόδωρος Κρόνος) (M.Ö. - 284) (Kronos zaman demektir) ve daha sonra Chrisippus tarafından da incelenmiş ve günümüze Filon'un önerdiği original halinde kullanılmaktadır.

Bu konuda, eski yol göstericiler,tek yönlü koşul önermesinde, öncül "Yanlış (F)", fakat sonuç "Doğru (T)" ise, gerksinmenin "Doğru (T)" olması gerektiğini belirtmişler ve bu aynen kabul edilerek, standart doğuluk tabosunun üçüncü satırını oluşturmuştur. Bunun nedeni, tek yönlü koşul önermesi için en önemli koşulun gereklilik koşulu olmasıdır. Gereklilik koşulunu sağlayan bir önerme de sağlanmış olur. Bunu sağlayacak bir yeter koşul da bu değilse, mutlaka bir başkasıdır ve ne olduğunun önemi yoktur (Ali Nesin).

Gerçekten, örnekte, gerek neden neden doğrulanmakta, fakat yeter neden gerek nedeni desteklememektedir. Ömemli olan gerek nedenin doğrulanmış olmasıdır. Bir olay eğer gerçekleşmişse, onun oluşumunu sağlayan yeterli bir neden mutlaka bulunmalıdır. "Ex Falso (Sequitur) Quodlibet"durumudur ve Buna "Patlama Prensibi"( Principle of Explosion) adı verilir. Ayrıca bu varsayım, "Pseudo Scotus Prensibi" olarak da adlandırılmaktadır (Pseudo : Sahte - Grekçe). " .Bu her yanlış öncülden hoşunuza gidebilecek herşey (doğru bile) kanıtlanabilir" olarak yorumlanabilir. Bu açıdan, incelenen örnekte, yeterli neden olarak mısır tanesi uygun değildir. Ama, bu önermede, yeter neden olarak "Pirinç Tanesi" önerilirse, herşey yerli yerine oturacak, yeter nedenin doğruluğu, gerek nedenin doğuluğunu sağlayacaktır.

Dikkat edilmesi gereken tek yönlü koşullu önermenin, gerçekten tek yönlü olduğu ve bir olaya (sonuç) 'un doğruluğuna bir öncülün yeterli olacağı varsayımının sınandığıdır.bu sınama sonucunun olumlu çıkması tek yönlü koşullu önermenin varsayımının başarılı olmasıdır. Deneme daima okun yönüne doğrudur. Okun ucundaki önerme hareketsizdir. Dolayısı ile eğer tek yönlü koşullu önerme doğru ise, bu doğruluğa hem öncül hem de ardılın katkısı vardır. Ama sınama, daima okun yönüne, yani daima öncülden ardıla doğru yürütülmektedir. Eğer ardılın mantıksal doğruluk değeri "Yanlış (F)" ise zaten yeterli olunacak bir şey olmayacağı için tek yönlü koşullu önermenin, mantıksal doğruluk değeri "Yanlış (F)" olacaktır.

Üçüncü satırı değerlendirirken, bilginin Leibniz tarafından ileri sürülen, yeterli neden prensibi hatırlanmalıdır. Bu prensibe göre, her nedenin (billinen veya bilinmeyen) bir nedeni vardır. Olay gerçek oldukça, bu olayı tetikleyen bir nedenin mutlaka olması gerekir. Bu neden belki güncel olarak elimizdedir veya, ileride ortaya çıkarılacaktır. Dünya yıkılana kadar da ortaya çıkarılamayabilir, ama, bu her fiziksel olayın bir fiziksel nedeni olacağı gerçeğini değiştirmez. Yani bu bilgi çağında hala "Cin işi" veya "Şeytan işi" diyerek insanları kandırmaya çalışan şeytanların sözlerinin hiçbir doğru tarafı yoktur.

Okun yönü tersine dönerse, o zaman bu önermenin karşıtı ortaya çıkar ve biraz sonra göreceğimiz gibi, bir önermenin karşıtı (kontrası) mantıksal olarak önermenin eşdeğeri değildir.

Tek yönlü koşullu önermenin ikinci ve üçüncü satırları değerlendirilirken bu gerçekler gözönüne alınmalıdır.

Tek yönlü koşul önermesinin, mantıksal doğruluk tablosunun dördüncü ve son satırı:

Öncül "Yanlış (F)" , sonuç "Yanlış (F)" gereksinme "Doğru (T)"

Dördüncü satırdaki durum, aslında, birinci satırdaki durumun tam tersidir.

Eğer, bir tek yönlü koşul önermesinde, yeter koşul'un değili, gerek koşululun değilini destekliyorsa, yeter koşulun değilinin değili, gerek koşulunun değilinin değilini destekleyecektir.

Böylece tek yönlü koşul önermesinin dördüncü satırı da açıklanmış olmaktadır.

Not : Antik Grek alfabesindeki filon yazılımındaki sesli harflere (i) ve (o) ya bakınız. Bu alfabe Akad alfabesine dayanan Arap alfabesine göre, kat kat üstündür. Kolay yazılır ve kolay okunur. Antik Grek'te okuryazarlığın yüksek olmasının bir nedeni de bu olumlu alfabedir. Arap alfabesi ise tam aksine kriptik Akad alfabesinden kaynaklanmıştır ve sesli harflerden yoksun olması nedeni ile kullanıldığı coğrafyalarda okuryazarlığın çok azalmasına neden olmuştur. Bu alfabe, özellikle modern çağlarda, bu coğrafyaların cahil kalmasına neden olmuştur. Modern çağlarda, batı yarımküresi ulusları, Grek alfabesinden sonra Latin alfabesine geçmişler, altı ayda vızır vızır okumuşlar ve bilimde ilerlemişlerdir. Doğu ülkeleri ise, Arap alfabesinde ayak sürümüş, ömür boyunca tahsil bile edilse, bu alfabede doğru yazmak ve doğru okumak olanaksız olduğundan, halk kara cümle ile savaşmaktan başını kaldırıp, doğru dürüst bilim ile çalışamamıştır. Büyük Atatürk'ün Türklere yaptığı en büyük iyiliklerden birisi bu Araplar için bile olumsuz olan alfabeyi kaldırmak ve antik Grek alfabesini temel almış olan Latin alfabesinin Türkçe sürümünü oluşturup kullanıma almak olmuştur.

Kapalı önermelerde, önermenin mantıksal doğruluk değeri, dışarıdan hiçbir bilgiye gereksime olmadan, önermenin söyleminden belirlenebilir. Ama, " Açık Önerme" lerde öyle değil, açık önermelerde, önerme bünyesinde bir veya birkaç, x, y, z gibi değişkenller bulunur ve önermenin mantıksal doğruluk değeri bu değişkenlerin değerlerine göre şekillenir

Örnek :

Eğer bir 1 ile 20 arasında, pozitif bir tamsayı, 16 ya tam bölünüyorsa, 2 ile de tam bölünebilir.

Bu bir açık önermedir. Burada verilen aralıkta (1 ≤ x ≤20) veya x = [1 , 20] bir pozitif sayı belirlenmedikçe tek yönlü koşullu önermenin doğruluğu saptanamaz.

Bölünebilirlik, bir kalan bırakmadan tamsayı sonucu veren bir bölme işleminin gerçekleştirilebilmesidir.

n |16 nın anlamı, 16 sayısının n sayısının bir böleni olduğu ve 16 sayısının n sayısının bir çarpanı olmasıdır. Mathematica bize bir sayının çarpanlarını bulmak için olağanüstü yardımcı olur.

Bu önerme,

x|16 => x|2 (x ∈Tamsayılar, x = [1,20])

olarak belirtilir.

Bu önermenin çözümü, Python gibi, öntanımlı özel bolünebilirlik (divisibility) fonksiyonu olmayan program dilleri için, belirli bir değer aralığındaki tüm tamsayıları belirleyip, 16 ve 2 ye bölünebilenlerin saptanması ile çözülebilir.

Mathematica da tek döngü için,

TemelMatematik4_39.png

Burada expr ( i ), ifade ( i ) anlamındadır ve içeren bir matematik bağıntı olmalıdır.

İçiçe iki döngü için,

TemelMatematik4_40.png

program adımları kullanılabilir. Burada expr ( i , j ), ifade ( i , j ) anlamındadır ve i ile j değişkenlerini içeren bir matematik bağıntı olmalıdır. Artım değeri, öntanım olarak 1 dir ve eğer artım 1 ise, programda gösterilmesi gerekli değildir. Mathematica da Divisibility[ m,n] fonksiyonu ve n|m bölünebilirliğini dönürüyor. Mathematica'da öntanımlı çok fonksiyon kullandık ama ilk kez kendimize özgü bir program yapıyoruz. Program yazılımı aşağıda görülmektedir.

Mathematica program for double divisibility

Mathemtica program output for double divisibility

Program çıkışından, x değişkeni 1≤x≤20 değerleri arasında ise, hem 16 hem de 2 ye bölünebilen tek tamsayı x değerinin 16 olabileceği görülmektedir.

Mathematica'da program yapımına çok az başvurulur. Bunun nedeni, Mathematica'nın çok işlevsel öntanımlı fonksiyonlara sahip olmasıdır. Ayrıca program yapımında hata olasığı yüksektir, küçük bir programlama hatası, alınan sonucun istenilen sonuçtan farklı olmasına neden olabilir ve bu hata anında anlaşılmayabilir. Onun için çoğu kullanıcılar Mathematica da program yapmaktan uzak dururlar ve doğru kullanıldığında, yüzde yüz hatasız sonuç veren öntanımlı fonksiyonları yeğlerler. Bizim tutumumuz da zorunlu haller dışında, öntanımlı fonsiyonların kullanımı yönünde olacaktır.

Bütün bu örnekler, sembolik mantığın çok derin, çok dikkat gerektiren, matematik olduğu kadar filosofik alt yapısı olan bir konu olduğunu belirtmektedir. Bu konu ile çalışırken çok dikkatli olmalı, söylenmemiş olanı, söylenmiş gibi kabul edilmemesi gerektiği, her konuda karara varmadan önce, mutlaka daha önce gerçekleştirilmiş ilgili uygulama ve kuramsal bağıntıların incelenmesi gerektiği bilinmeli ve buna her zaman uyulmalıdır.

Bir başka ilginç düşünce de, yeter ve gerek koşullar aynı kalarak, okun yönünün değiştirilmesidir. Kimin aklına geldiği ve neye yarayabileceği anlaşılmaz olan bu,

q ← p

önermesinin, standart tek yönlü koşul önermesi olan,

p → q

nün eşdeğeri olduğu elemanterdir.

4.15.1 - Tek yönlü Koşullu Önermelerin Karşıtı

Tek yönlü koşullu işlemcilerin karşıt önermeleri (kontra), bu önermelerde, gerek ve yeter koşullarının yer değiştirmesi ile oluşturulur.

Tek yönlü koşullu önermeler, p→q olarak belirtildiğine göre,

Tek yönlü koşullu önermelerin karşıtı (kontra), q→p olarak belirtilir. Tek yönlü koşullu önermelerin karşıtı kendine eşdeğer değildir. Tek yönlü koşullu önermelerin karşıtı (kontra), tek yönlü koşullu önermelerin tersi (inversi) ne eşdeğerdir.

Bunun sağlanması için, p→q ve q→p mantıksal doğruluk tablolarının karşılaştırılmaları yeterli olacaktır.

kontra program

tek yönlü koşullu önerme ve kontrası

Buradan, Tek yönlü koşullu önerme ve konrsının birbirlerine mantıksal doğruluk değerleri olarak eşdeğer olmadıkları, çünkü mantıksal doğruluk tablolarının farklı olduğu görülüyor.

4.15.2 - Tek yönlü Koşullu Önermelerin Tersi

Tek yönlü koşullu önermelerin tersi ¬ p → ¬ q olarak tanımlanır.

Bir tek yönlü koşul önermesi nin tersi, ne Tek yönlü koşullu önerme p → q ye, ne de ¬(p → q) ye eşdeğer değildir. Kanıtı aşağıdadır.

ters

ters negasyona eşit değildir

Görüldüğü gibi, son üç sütun biribirlerine eşit olmadığından bu öneriler birbirlerine eşdeğer değildir.

Bir tek yönlü koşul önermesinin tersi, karşıtına eşdeğerdir. Bu bir teoremdir ve kanıtı aşağıda görülmektedir. Bu kanıtı, hiç insan etkisi olmadan Mathematica'ya yaptırmak için, Eşdeğerlik varsayımı yaptırmak yeterlidir. Eğer iki önerme birbirleri ile mantıksal olarak eşdeğer iseler, işleme iştirak eden tüm mantıksal değişkenlerin olası tüm kombinasyonları için de eşdeğer olmalıdırlar. Bu da, buu varsayım sonucunun tavtologi olması gerktiğini belirtir. Böylece, eğer iki önermenin birbirlerine mantıksal olarak eşdeğerolduğu varsayılır ve bu varsayım sonucu bir tavtologi çıkaras, bu iki önermenin birbirlerine mantıksal olarak eşdeğer oldukları kanıtlanmış olur.

Kontra Terse Eşdeğerdir Program

Kontra Terse Eşdeğerdir

Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum) (Kanıtlanması Gereken Budur).

4.15.3 - Tek yönlü Koşullu önermelerin Karşıt Tersi (Kontrapozitif)

Tek yönlü koşullu önermelerin karşıt tersi (kontrapozifi), yeter ve gerek koşulların yerleri değiştirilerek ve teker teker değillemeleri alınarak oluşturulur.

Tek yönlü koşullu önerme: p→q olduğuna göre,

tek yönlü koşullu önermenin karşı
tersi, ¬q→¬p olarak yapılandırılır.

Bir tek yönlü koşullu önerme, karşıt tersine eşdeğerdir. Bu bir teoremdir ve kanıtı aşağıdadır.

Kontrapozitif Gereksinmeye eşdeğerdir Programı

Kontrapozitif Gereksinmeye eşdeğerdir

Sonuç bir tavtologi olduğundan eşdeğerlik kanıtlanmaktadır. (Q.E.D.) (Quod Erat Demonstrandum) (Kanıtlanması Gereken Budur).

4.16 - Çift yönlü Koşullu önerme (Eşdeğerlik) (Denklik) (Equality)

Eğer bir p→q tek yönlü koşullu önermesinde p değişkeni, q değişeni için yeter koşul olursa, bir başka bileşik önerme de de q değişkeni, p değişkeni için yeter koşul olursa, o zaman hem p→q hem de q→p bileşik önermeleri, birlikte geçerli olmalıdır. Mantıksal olarak, bu bir birleşim olayıdır ve (p→q)∧(q→p) olarak belirtilebilir. Eğer hem q ve hem p nin mantıksal doğruluk değerlerinin "Doğru (T)" veya her kisinin de "Yanlış (F)" olması halinde, p ve q birbirleri ile eşdeğerdir denilir ve p ↔ q olarak belirtilir.

Eşdeğerliğin anlamının anlaşılması için somut bir örnek üzerinde çalışalım :

“Yağmur yağarsa, şemsiyemi açarım”.

Bu tek yönlü koşullu bir önermedir ve yapısı, p→q dür. Burada p yeter koşul, q ise yeter koşul dur. Başka hipotezler de olabilir. Örnek olarak “Dolu yağarsa, şemsiyemi açarım”. Yine yeter koşul olarak kar, aşırı güneş de olabilir. Bizim somut örneğimiz “Yağmur yağarsa, şemsiyemi açarım” idi. Bu önermenin gerek ve yeter koşullarının yer değiştirmesine, bu önermenin kontrası (karşıtı) adı verilir.

Tek yönlü koşullu bir önerme nin yapısı, p→q , karşıtı (kontrası) q→p dir. Bu şekilde, somut örneğimizin de kontrası, “Eğer şemsiyem açıksa yağmur yağmıştır” olacaktır.

Bu somut önermenin ve karşıtının birleşimi :

“Eğer yağmur yağarsa şemsiyem açıktır ve eğer şemsiyem açıksa yağmur yağmıştır”. bunun anlamı ancak yağmur yağarsa şemsiyemin açık olabileceğidir. Başka olasılıklar elimine edilmiştir. Bu söylem, “ancak ve ancak yağmur yağarsa, şemsiyemi açarım” veya “yağmurun yağması ile, şemsiyemin açılması eşdeğerdir” veya “ancak ve ancak yağmurun yağması ile şemsiyemi açarım”, haline dönüşmüştür. Dolu, kar, aşırı güneş olasılıkları ortadan kalkmıştır.

Böylece, p↔q önermesi, “p eşdeğerdir q” veya “ancak ve ancak p ise q“ olarak okunmalıdır ve (p→q) ∧ ( q→p ) önermesine eşdeğerdir.

Bu birlikteliğe, sembolik mantıkta "Eşdeğerlik" adı verillir ve p↔q olarak belirtilir. Eşdeğerliğin standart mantıksal doğruluk tablosu daha önce oluşturulmuştu. Bu tablo aşağıda yeniden görülmektedir.

Eşdeğerlik Standart Mantıksal Doğruluk Tablosu

Eşdeğerlik Standart Mantıksal Doğruluk Tablosu

olarak elde edilir. En son sütun eşdeğerlik standart doğruluk tablosudur. Mathematica ne yazık ki, eşdeğerlik simgesi olarak (<=>) sembolünü tanımamaktadır. Bunun yerine Mathematica'ya giriş verisi olarak, Equivalent[p,q] veya (==) kullanılmalıdır.

WolframAlpha da detaylı sonuç alınabilen bir sitedir. WolframAlpha programı :

truth table (p => q) ∧ (q => p)

TemelMatematik4_49.gif

Aynı şekilde, eşdeğerlik standart mantıksal doğruluk tablosu da,

Standard equivqlence truth table

olarak belirtilmektedir. Diğer benzer mantıksal doğruluk değeri hesaplayan sitelerin kullanımı ile de aynı doğruluk tablosu elde edilir.

Bu iki önermenin eşdeğer oldukları, eşdeğerlik varsayımı ile belirlenebilir.

Equality  Assertion Program

Equality Assertion Output

Sonuç :

Sonuç tavtologi dir. Bu sonuç, gerek Equivalent[p,q], gerekse (p→q)∧(q→p) nün doğruluk tablolarının aynı olduğunu belirtmektedir. p↔q ile, (p→q)∧(q→p) nün tanım olarak eşdeğer oldukları,Sondan üçüncü sütun ile, sondan ikinci sütunların birbirleri ile aynı olduğundan çıkarılır. Çünkü, eşdeğer olan iki önermenin doğruluk tabloları aynı olur. Veya, başka bir söylem ile, doğruluk tabloları, birbirleri ile aynı olan iki önerme, buradaki gibi, birbirleri ile eşdeğer önermelerdir.

Tablonıun son sütunu, işleme giren her mantıksal değişkenlerin tüm olası kombinasyonlarında, öncüllerin birleşiminin sonucun doğruluğunu, doğruladıkları görülür ve bu şekilde, son sütunun tüm satırları "Doğru (T)" olarak gerçekleşir. Buna bir hepdoğru (tavtologi) adı verilir. Eğer bir varsayım, tavlologi oluşturursa, o varsayım geçerli bir teorem olarak nitelendirilir.

Sonuçta, p↔q ile, (p→q)∧(q→p) nün birbirlerine eşdeğer önermeler oldukları kanıtlanmış olmaktadır.

Örnek: Absorbsiyon (Soğurma) Yasaları

Absorbsiyon yasaları iki tanedir ve kuramsal matematikte önemli bağıntılardır. Bunlara bazen "Absorpsiyon Kimlikleri" (Absorbtion Identities) adı verilmektedir. Absorbsiyon kimlikleri,

p ∧ (p ∨ q) ↔ p

ve

p ∨ (p ∧ q) ↔ p

olarak açıklanır. Bu eşdeğerlikleri kanıtlayınız.

Çözüm :

Mathematica programları ve sonuçları

Absorbtion Law 1 Program

Absorbtion Law 1 Result

Absorbtion Law 2 Program

Absorbtion Law 2 Result

Her iki absorbsiyon yasasının bir tavtologi olduğu, dolayısı ile, absorbsiyon yasalarının önermeler mantığının bir teoremi olduğu kanıtlanmıştır. (Q.E.D.) (Quod Erat Demonstrandum) (Kanıtlanması Gereken Budur).

4.17 - Hepdoğru (Tavtologi)

Buraya kadar, o kadar çok tavtologi den bahsettik ve uyguladık ki, artık bizim çok tanıdığımız bir kavram oldu. Tavtologi (hepdoğru) formüle giren mantıksal değişkenlerin tüm kombinasyonlarında daima "Doğru (T)" sonucunun alınmasıdır. Bunun tam tersi de çelişki (hepyanlış) durumudur. Eğer bazı kombinasyonlar (en az birisi) "Doğru (T)" değeri veriyorsa, bu sürdürülebilir (contingent) bir durum olarak adlandırılır. Sürdürülebilir durum, (karşılanabilir) (tatmin edilebilir) (satisfiable) olarak da tanımlanmaktadır.

Tavtologi ve Çelişkinin olayları çok önemlidir. Tavtologi incelenmesi birçok amaçla yapılır. Bunlar, iki formülünün eşdeğerliğinin sınanması, bir savın geçerliliğinin kontrolü , iki formülün karşılıklı çelişkili olup olmadığının kontolü gibi uygulamalardır. Eşdeğerlik varsayımının sonucu tavtologi olursa, bu iki önerme kesin olarak birbirine denktir. Bunun dışındaki sonuçlar, hepyanlışlık (çelişki) ve kısmi yanlışlık (sürdürülebilirlik) iki önermenin biribrine eşdeğer olmadığını belirtir. Eğer iki formülün birleşimi bir hepyanlış (çelişki) veriyorsa, bu iki formül birbirlerinin karşıtı (değili) dir. Eğer bir savın öncüllerinin birleşimi, sonucun doğrulanması için yeterli ise, birleşim ve sonuç aralarında tutarlı ve sav yapısı geçerlidir. Bu varsayımın ile, sav sonucunun eşdeğerliği bir tavtologi verirse, o savın yapısı geçerlidir. Görüldüğü gibi, tavologi, önermeler mantığında önemli bir yer tutmaktadır.

Her tavtologi bir teoremdir.

Örnek :

İncelemeler sonucunda, ¬p∨q önermesi, p→q tek yönlü koşullu işlemcisine eşdeğer olarak belirlenmiştir. Yani, ¬p∨q önermesinin, p→q tek yönlü koşullu önermesi ile eşdeğer olduğu varsayılmaktadır. Bu varsayımı doğrulayınız.

Yanıt :

Eşdeğerliği doğrulamanın en kesin yöntemi, eşdeğerliği varsayılan iki önermenin eşdeğerliğinin bir tavtologi yaratıp yaratmadığının belirtlenmesidir. Tavtologi oluşursa, her iki önerme birbirleri ile kesin eşdeğerdir. Tavtologinin olup olmadığı, yukarıda uygulanmış olan standart tavtologi programının bu varsayımın doğrulanması için de uygulanması ile anlaşılır.

ImplificationEquivalenceProgram

Bu programın sonucu,

ImplificationEquivalence

Belki daha kolay izlenebilir kodlarla,

(p \[Implies] q) == (\[Not] p \[Or] q) text

(p \[Implies] q) == (\[Not] p \[Or] q)

Bu sonuç, her iki önermenin eşdeğerliğinin bir tavtologi yarattığını yani, her iki önermenin formülasyonlarının farklı, fakat anlamlarının eşdeğer olduğunu belirtmektedir. Q.E.D. (Quod Erat Demonstrandum) (Kanıtlanması Gereken Budur).

Bu çözümle yine, Mathematica ile veya WolframAlpha gibi uygun programlarla önermeler mantığı çalışmalarının yürütülmesinde büyük bir kolaylık sağlandığını görebiliyoruz. Gerçekten bilgisayar kullanımının, gerek öğrenim, gerekse uygulamada büyük bir ilerleme sağladığı açıkça görülmektedir. Matematiği, bilgisayar ile uygulamayı seçerek, en doğrusunu yapmaktayız.

Kararlı bir sistemde, doğruluğu kanıtlanmış bir önermenin yanlışlığı kanıtlanamaz. Bunun anlamını sembolik mantık üzerinden irdeleyelim. Sembolik mantıkta bir formülün doğruluk kararı, sadece sembolik mantık bağlaçlarının tanımlı ve değişmez değerlendirme kurallarına göre yapılır. Bu kurallara göre, “eğer bir bileşik formül, sembolik mantıkta, “Doğru (T)” olarak değerlendirilmişse, bu formülün değillemesi, yine aynı kurallara göre sembolik mantıkta, “Yanlış (T)” olarak değerlendirilmişse, sembolik mantık, kararlı bir mantık sistemidir. Bir başka deyişle, bir mantık sisteminde, bir bileşik önerme ve onun değillemesi “Doğru (T)” olarak değerlendirilmiyorsa o sistem kararlıdır.

Kurt Gödel’e göre sıfırıncı derece mantık (Önermeler Mantığı) ve birinci derece mantık (Monadik Yüklemler Mantığı) kararlı mantıksal sistemlerdir. Bu da matematik için harika bir haberdir.

Bir iki bileşik önerme, p → q ve ¬(p → q) olarak verilmiştir. Bu iki önermenin doğruluk değerlerini belirleyiniz ve sembolik mantığın kararlı bir sistem olup olmadığını belirleyiniz.

Çözüm :

Daha ilk bakışta, bu iki öncülün birbirlerinin değillemesi oldukları, ve kararlı bir mantıksal sistemde, her ikisinin de “Doğru (T)” olmayacağı belirlenir. Önermeler mantığındaki uygulama sonucu aşağıdadır.

aralarında çelişkili iki önermenin doğruluk tablosu programı

aralarında çelişkili iki önermenin doğruluk tablosu programı

Bu birleşimin mantıksal doğruluk tablosu, mantıksal değişkenlerin her mantıksal doğruluk değeri için "Yanlış (F)" değerini vermektedir. Dolayısı ile bu bir hepyanlıştır. Kararlı (consistent) bir sistem, bileşenleri aralarında çelişkili her birleşim için, mantıksal değişkenlerin her kombinasyonunda, bu birleşimin mantıksal doğruluk değeri için "Yanlış (F)" değerini vermelidir. Bu uygulama da böyle olmuştur. Dolayısı ile p → q ve ¬(p → q) aralarında çelişkili oldukları için, mantıksal doğruluk tablosu bir çelişki olarak oluşmuştur. Aralarında çelişkili iki önermenin birleşiminlerinin mantıksal doğruluk değerini bir çelişki olarak belirleyen önermeler mantığı, buna benzer her uygulama için de aynı hepyanlış (çelişki) sonucunu vereceği için, önermeler mantığı kararlı bir mantıksal sistemdir. Önermeler mantığı 0- düzey mantık olduğu için, 0-düzey mantık sistemi kararlı mantıksal bir sistemdir.

Örnek :

¬q ⇒ ¬p , ((p ∧ ¬q) ∨ (¬p ∧ ¬q)) , ¬p ⇒ q

formüllerinin aralarında çelişkili (karaşılıklı kararsız) olup olmadıklarını belirleyiniz.

Çözüm :

Eğer iki ve daha çok sayıda önerme araşarında çelişkili iseler, bunların bileşiminin kararlı bir sistemde bir hepyanlış vereceği kuşkusuzdur. Bu konuda Mathematica kolayca programlanabilir.

Bazı bileşik önermelerin mantıksal doğruluk değerlerinin belirlendiği bir program

Bazı bileşik önermelerin mantıksal doğruluk değerlerinin belirlendiği bir program çıktısı

Bu tabolodaki mantıksal doğruluk değerlerinden, bu üç bileşik önermenin aralarında çelişkili olduğu görülmektedir. Çünkü mantıksal değişkenlerin her kombinasyonlarında, bu üç önermenin de mantıksal doğruluk değerleri birbirlerinden farklı çıkmaktadır. Bu durumda kararlı bir mantıksal sistemde, bu üç önermenin birleşimin bir hepyanlış (çelişki) oluşturacağı kuşkusuzdur. Bunu Mathematica ile deneyelim :

Birleşim Program

Birleşim

Önermeler mantığı aralarında çelişkili olan önermelerin birleşiminin mantıksal doğruluk değerine, mantıksal değişkenlerin tüm kombinasyonları için, hepyanlış sonucunu vermiştir. Dolayısı ile bu üç önerme aralarında çelişkili (karşılıklı kararsız) (aralarında kararsız) dır.

Karşılıklı kararsız önermeler, bir savın öncüllerini oluşturamazlar. Öncülleri aralarında kararsız bir olan bir savın yapısı kesinlikle geçersizdir.

4.18 - Hepyanlış (Çelişki)

Bir bileşik önerme, önerme değişkenlerinin tüm olası mantıksal değerlerinin kombinasyonlarına karşı, her defasında “Yanlış(F)” değerlerlerini alıyorsa, bu bir çelişkidir. Çelişki oluşturan bir önerme yapısı geçersizdir. Çünkü bir çelişkiden herşey kanıtlanabilir. "Ex Falso (Sequitur) Quodlibet". Buna "Patlama Prensibi" (Principle of Explosion) adı verilir. Ayrıca bu varsayım, "Pseudo Scotus Prensibi" olarak da adlandırılmaktadır (Pseudo : Sahte - Grekçe). Konu önceden, "Her yanlış öncülden herşey kanıtlanabilir" olarak düşünülürken, daha sonra, sadece "Bir çelişkiden istediğiniz şeyi kanıtlayabilirsiniz" şekline dönüşmüş ve Latince, "Ex Contradictione (sequitur) Quodlibet" söyleminden kısaltılmış olarak, "EFQ" olarak belirtilmiştir. İngilizcesi"From Contradiction, anything (Follows)" Türkçesi "Bir Çelişkiden herşey Kanıtlanabilir" olan bu prensip, IPFS ilgili sayfasında ayrınıtlı olarak tartışılmıştır.

Örnek :

Bir basit (atomik) önermenin kendisinin tersi ile birleşimin bir çelişki olduğunu belirleyiniz.

Yanıt :

Hiçbir şey, aynı zamanda hem doğru, hem de yanlış olamaz. Dolayısı ile bu bir mantıksızlıktır. (Mantık olarak, doğrulanamaz) (hepyanlış) (çelişki) dir. Aynı zamanda, düşüncenin kurallarına da aykırıdır. Bunu doğruluk tablosu yöntemi ile doğrulayalım.

Mathematica programı,

p And Not p Program

p Amd Not p Table

Bu tablonun son satırının tüm girişleri, (tüm satırları) hep “Yanlış(F)” değerlerini aldığından bu bir çelişkidir.

Mantıksal formu “çelişki” olan bir yapılanma GEÇERSİZ bir yapılanmadır.

Geçersiz olmasının nedeni, doğruluk tablosunun incelenmesi ile anlaşılır. Doğruluk tablosunun hiçbir satırında geçerli, (True) bir değer alınmadığından bu önermenin yapısının her durumda geçersiz bir yapılanma olduğunu kanıtlar.

Teorem :

“Eğer bir önerme hepyanlış (çelişki) ise, bunun değili (negatifi) bir hepdoğru (tautologi) dir.”

Negative of p and Not p Program

Negative of p and Not p

Teorem doğrulandı. (Q.E.D.) (Quod Erat Demonstrandum) (Kanıtlanması Gereken Budur).

4.19 - Sürdürülebilirlik (Contingency)

Bir önerme, ne hepdoğru (tautologi) veya hepyanlış (çelişki) değil ise, sürdürülebilir bir önermedir. Standart iki işlenenli mantıksal doğruluk tablolarının tümü, sürdürülebilir tipte önermeleri belirten mantıksal doğruluk tablolarıdır. Doğruluk tablosunda, sonuç sütununda ez az bir tane "Doğru (T)" bulunan önermeler sağlanabilir (satisfiable) önermeler olarak adlandırılır.

Örnek:

(p → q) → r önermesinin, sürdürülebilir bir önerme olduğunu belirleyiniz.

çözüm:

Contingency 1

Sonuç :

Contingency 1

Bu bileşik önermenin sonucu, mantıksal değişkenler p , q ve r 'in mantıksal doğruluk durumlarına göre, bazen "Doğru (T)", bazen de "Yanlış (F)" mantıksal doğruluk değeri verdiğinden, yapılanması sürdürülebilir bir yapıyı belirtmektedir. Sürdürülebilir bir önermenin mantıksal doğruluk tablosu hem "Doğru (T)", hem de "Yanlış (F)" öğeleri içerir.

4.20 - Bir Savın Geçerliliği ve Tutarlılığı

Tümdengelimsel bir sav, prensip olarak bir yeterlilik - gereklilik varsayımıdır. Yani bir Tek yönlü koşullu önerme p → q dür. Bu yapı, eğer minimal, yani, bir tek öncül den oluşan bir yapılanma ise, bu hem bir tek yönlü koşullu önerme, hem de sadece bir tek öncülden oluşan bir sav pısı olarak düşünülebilir. Eğer bu Tek yönlü koşullu önermede öncülün doğruluğu, sonucun doğruluğu için yeterli olursa, bu yapılanma geçerlidir. Eğer bu yapılanma, bir bileşik önerme olarak kabul edilirse, sonucu "Doğru (T)" veya "Yanlış (F)", eğer bir sav olarak kabul edilirse, sonuç "Geçerli" (Valid) veya "Geçersiz" (Invalid) olarak değerlendirilir.

Demek ki, eğer bir savın yapısı, tek yönlü koşullu önerme yapısı ise, Bu savın yapısının geçerlilik, tek yönlü koşullu önermenin doğruluk koşullarına özdeştir.

Bu şekilde, bir savın geçerliliği, tek yönlü koşullu önermenin "Doğru (T)" veya "Yanlış (F)" olduğu urumlar ile özdeştir. Bu da bir savın yapısının geçerliliğinin, tek yönlü koşullu önermenin, standart doğruluk tablosundan bulunabileceği anlamına gelir.

Savların geçerliği (Argument Validity) temel kurallarını hatırlayalım :

"Bir sav (örnek)), eğer formu (yapısı) geçerli ise, geçerlidir."

Daha soyut bir tanım,"Bir savın öncülleri, eğer sonucu destekliyebiliyorsa, bu sav geçerlidir" şeklindedir.

Bu durumda, bir tek yönlü koşullu önerme ne zaman "Doğru (T)" olursa, bir sav da o zaman geçerli (valid), ne zaman "Yanlış (F)" olursa, o zaman geçersiz (invalid) olur.

Tek yönlü koşullu önermenin doğruluk tablosu incelenerek ne zaman "Doğru (T)", ne zaman "Yanlış (F)" olacağı incelenir. Tek yönlü koşullu önermenin doğruluk tablosu aşağıda görülmektedir.

Tek yönlü koşullu önerme

Burada, p = öncül, q = sonuç ve p → q de tek yönlü koşullu önerme yapısının mantıksal doğruluk değeridir.

Bu tablonun ilk satırı, öncül "Doğru (T)" iken, sonuç da "Doğru (T)" iken, tek yönlü koşullu önermenin mantıksal doğruluk değeri "Doğru (T)" olmaktadır. Bu sonuç, öncülün mantıksal doğruluk değeri "Doğru (T)" ise, sonucun da mantıksal doğruluk değeri "Doğru (T)" olmaktadır. Bu durum, bir savın öncülü ve sonucu "Doğru (T)" oldukça, sav yapısının geçerli olacağını belirtir.

Öncülü ve sonucu doğru olan bir sav, geçerli olmaktan başka, aynı zamanda "Tutarlı" (Sound) olarak nitelendirilir.

İkinci satırda, öncüün mantıksal doğruluk değeri "Doğru (T)" iken sonucun mantıksal doğruluk değeri "Yanlış (F)" olarak gerçekleşmektedir. Bu durumda tek yönlü koşullu önermenin mantıksal doğruluk değeri "Yanlış (F)" olmaktadır. Bu durumda, eğer öncülün mantıksal doğruluk değeri "Doğru (T)" olduğunda, sonucun mantıksal doğruluk değeri eğer "Yanlış (F)" ise, sav kesinlikle geçersiz olacaktır. Dolayısı ile,

Yapısı geçerli bir savda, öncülün mantıksal doğruluk değeri "Doğru (T)" iken, sonucun mantıksal doğruluk değeri asla "Yanlış (F)" olamaz.

Eğer bir savın öncülün mantıksal doğruluk değeri "Doğru (T)", sonucunun mantıksal doğruluk değeri "Yanlış (F)" olursa, o savın yapısı asla geçerli olamaz.

Üçüncü satırda, öncülün mantıksal doğruluk değeri "Yanlış (F)" iken sonucun mantıksal doğruluk değerinin "Doğru (T)" olması tek yönlü koşullu önermenin mantıksal doğruluk değerinin "Doğru (T)" olduğunu belirtmektedir.

Bu durum Megaralı Philon (Filon)'un önermesi ve sembolik mantığın oluşturucusu Soli'li Chrisippus (Krizippus) (hep Batı Anadoludan) olur vermesi ile belirlenmiştir. Bir yanlıştan hoşunuza giden herşeyi kanıtlayabilirsiniz (Latincesi "Ex Falso (sequitur) quodlibet"olarak belirtilmiştir). (Ex: Çıkış, Falso . Yanlış, sequitur : bilgilenir, quod : şey (herşey) , libet : Sevgi, hoşlanmak, (Ing, Love, Alm. Liebe, Rus.Lyubit,Arap. Lyuvey hatta Alm. Ludwig , Fr. Louis (Lui) ) (Sanskrit kökeninden geliyor). Daha tanınan kısaltılmış şekli (Ex Falso Quodlibet). (İlişkiler olabildiğince incelenmeli), (Neyin, nereden, nasıl oluştuğu gözününde alnmalı).

Bu durumda, öncülün mantıksal doğruluk değeri "Yanlış (F)" olduğunda, sonucun mantıksal doğruluk değeri "Doğru (T)" olursa, savın yapısı geçerli olmaktadır.

Dordüncü satırda, eğer öncülün mantıksal doğruluk değeri "Yanlış (F)", sonucun da mantıksal doğruluk değeri "Yanlış (F)" olduğunda, savın yapısı geçerli olduğu görülür. Dördüncü satırın tersinin, birinci satır olduğu gözönüne alınırsa, dödüncü satır geçekleştiğinde, savın hem geçerli hem de tutarlı olacağı anlaşılır.

Saxların genellikle, birden fazla öncül fakat daima tek bir sonuç içerebilecekleri gözönüne alınırsa, sav yapısı,basit bir önermeye indirgenebilen tek yönlü bir önerme olarak formüle edilebilir. Sembolik mantık formülasyonu ile bir sav yapısı,

(A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧ ... An) → S

olarak belirtilir. Bu bir tek yönlü koşul önermesinin yapısıdır. ve "bilgilenme" (inference) olarak adlandırılır.

Yapı ile örnek arasındaki ilişki, ilkinin yöntem, ikincinin bu yapının uygulandığı bir somut olay olmasıdır. Yapı sanal bir düzenleme, örnek bu sanal düzenlemeye yapısında bir gerçek dünya olayıdır. Bir yapıya uygun sonsuz sayıda örnek oluşturulabilir.

Bilgiyar programcılığında, özellikle Java gibi "Nesne Yönelimli Programlama" (Object Oriented Programming) (OOP) yapısındaki program dillerinde, sınıf (class) ve örnek (instance) yapısı uygulanır. Buna uyum sağlamak için bir çok fonksiyonal programlama dillerine OOP desteği eklenmiştir. Bu modele göre, sav yapısı sınıf yapısı olarak, sav örnekleri de bu yapıya uygun gerçek dünya uygulamaları (instances) olarak düşünülülebilir.

Çok öncüllür sav yapısının tüm öncelleri bir birlerim de toplanabilmektedir. birleşimin mantıksal doğruluk tablosunda, birleşimin mantıksal doğruluk değerinin "Doğru (T)" olabildiği tek durumun, tüm bileşenlerin mantıksal doğruluk değerlerinin "Doğru (T)" olduğu durum olduğu bilinmektedir.

Tek yönlü koşullu önermenin standart doğruluk tablosu gözönüne alındığında,

Tutarlı bir sav yapısı, geçerli bir sav yapısından bir derece daha üstündür.

Özet olarak : Bir savın yapısı, sadece tüm öncüllerin mantıksal doğruluk değerleri "Doğru (T)" iken, sonucun mantıksal doğruluk değeri "Yanlış (F)" olduğunda (TF) geçersiz, diğer tüm durumlarda, (FT, FF,TT) geçerlidir.

Bir savın geçerliği, öncüller ve sonucun mantıksal yapıları ne derece karmaşık olursa olsun, Mathematica (veya WolframAlpha) ile oluşturulan doğruluk tablosu yöntemleri ile kolayca saptanabilir.

Örnek :

Aşağıdaki savın geçerliğini belirleyiniz.

p → q

q → p

p ∨ q

----------

∴ p ∧ q

Çözüm :

Bir sav formunun geçerli olup olmadığının doğruluk tabloları yöntemi ile saptanması için genel işlem yürüyüşü :

Bu probleme, yukarıda verilmiş olan yöntemi uygulayalım.

Öncül ve sonuç önerme formülleri verilmiş olduğu için, işimiz kolaylaşmış oluyor.

Doğrudan doğruluk tablosuna geçebiliriz. Bu problemde p ve q olarak iki mantıksal değişken bulunuyor. Doğruluk tablosu iki mantıksal değişken, üç önerme + sonuç = 6 sutun ve 22 = 4 satırdan oluşacaktır.

Sav yapılarının Mathematica ile doğrulanması programları, içiçe fonksiyonların kullanıldığı dolayısı ile çok sayıda parantezin doğru olarak kullanılması gereken programlardır. Bu nedenle, programı adım adım gerçekleştirerek zaman kaybının önlenmesi gerekir.

İlk olarak, BooleanTable [ ] fonksiyonu ilk bilgilerin doğru bir şekilde alınması sağlanır.

BooleanTable[{Öncül1 , Öncül2 , ... , Öncüln , Sonuç},{p , q , ... , n}]

BooleanTable[{p , q , Implies[p , q] , Implies[q , p] , p ∨ q , p ∧ q} , {p , q}]

veya daha kolay izlenebilir şekli ile,

BooleanTable[{p , q , p = > q , q => p , p ∨ q , p ∧ q} , {p , q}]

Bu programlama yöntemi, Mathematica'da mantık programlanması için, en basit (fakat en kullanışsız ve yayınlanmaya hiç uygun olmayan) bir yöntemdir. Bu program Mathematica'da çalıştırılarak sonuç aşağıdaki gibi alınır.

sav Boolean Table

Bu mantıksal doğruluk tablosunda, soldan ilk iki sütun mantıksal değişkenler p ve q sütunlarıdır. Bundan sonraki üç sütun öncüller, son sütun ise sonuç sütunudur.

Tablonun geneline baktığımızda, hiçbir satırda, öncüllerin tümünün mantıksal doğruluk değerleri "Doğru (T)" iken, sonucun mantıksal doğruluk değerinin "Yanlış (F)" olmadığı görülmektedir. Yani bu savın yapısı (TT) geçerlidir.

Tabloda ilk satırda, tüm öncüllerin mantıksal doğruluk değerlerinin "Doğru (T)"sonucun da mantıksal doğruluk değerlerinin "Doğru (T)" olduğu için, bu savın yapısının geçerli olması yanında, aynı zamanda tutarlı (sound) olduğu da söylenebilir.

Bu sav yapısı hem geçerli, hem de tutarlı olduğundan, oluşturulan sav örnekleri akla yakın mı olacaklardır? Bunun bir garantisi yoktur ve mantık akla yakınlık ile ilgilenmez. Savın yapısı geçerlidir. Bu yapının örneklerini akla yakın önermelerden oluşturursak, oluşacak sav örneği de akla yakın olur.

Uzay yolu dizisinde, Vulkanlı ve mantık uzmanı olan,Mr. Spock'un "Mantıklı" dediği şeylerin bazıları hiç akla yakın olmayabilirdi, fakat verilen örneğin yapısının geçerli olması, yani, öncüllerin sonucu desteklemesi sav örneğinin, Mr. Spock tarafından, "Mantıklı" olarak nitelendirilmesi için yeterli olmakta idi.

Geçerli bir BooleanTable[ ] fonksiyonun geri döndürdüğü değerleri, her zaman kullandığımız daha anlaşılır bir çıktıya dönüştürme programına uyarlamak çok kolaydır. Aşağıda bu programın oluşturulması görülmektedir.

Framed[

TableForm[

BooleanTable[{} , {}],

TableHeadings -> {None,{}},

TableSpacing-> {2,2},

TableAlignments-> Center

],

RoundingRadius -> 8,

FrameStyle -> Directive[Darker[Red] , Dashed]

] // Text

Bu temel yapıyı Mathematica'ya aynen kopyalayabiliriz. Daha sonra oluşturulmuş BooleanTable [ ] fonksiyonu aynen yerine yerleştirilir.

Framed[

TableForm[

BooleanTable[{p , q , p ⇒ q , q ⇒ p , p ∨ q , p ∧ q} , {p , q}],

TableHeadings -> {None,{}},

TableSpacing-> {2,2},

TableAlignments-> Center

],

RoundingRadius -> 8,

FrameStyle -> Directive[Darker[Red] , Dashed]

] // Text

Program sonucu,

sav yapısı 3

Bundan sonra tek yapacak şey sütün başlıklarını belirtmek olacaktır.

Framed[

TableForm[

BooleanTable[{p , q , p => q , q => p , p ∨ q , p ∧ q} , {p , q}],

TableHeadings -> {None, {p , q, "p → q", "q → p" , "p ∨ q" , "p ∧ q"}},

TableSpacing-> {2,2},

TableAlignments-> Center

],

RoundingRadius -> 8,

FrameStyle -> Directive[Darker[Red] , Dashing[Large]]

] // Text

Bu kodlar Mathematica'ya uyarlanır. Elde edien program,

Final Program

Sonuç :

Final Output

Olğanüstü. Bu şekilde, aslında oldukça karışık olan bu programı sorunsuzca çalıştırıp sonucunu alabiliyoruz. Kodlama da gayet anlaşılabilir ve açık. Bundan sonraki tüm program çalışmaları bu şekilde yapılacaktır.

Mathematica'da, daha hatasız ve kolay (fakat çalışma süresi daha uzun (normalde, milisaniyeler düzeyinde çalışma süreleri farkları, insanlar tarafından farkedilmez. Bu daha çok bu gibi ayrıntıların önemli olduğu kritik işlevli programlarda önem kazanır) bir programlama tekniği, öncülleri ve sonucu değişkenlere atamaktır. Böylece daha anlaşılır bir program yapısı ortaya çıkar.

sav3-with-variables-text

sonuç :

sav3-with-variables

Savların çok öncüllü olmaları durumunda, yapısı geçerli bir savda, hiçbir satırda, (yani formüle giren tüm mantıksal değişkenlerin, olası tüm kombinasyonlarında) tüm öncüllerin mantıksal doğruluk değerleri "Doğru (T)" iken, sonucun mantıksal doğruluk değeri asla "Yanlış (F)" olmamalıdır. Yukarıdaki doğruluk tablosunun hiçbir satırında böyle bir durum olmadığından, (bu sav yapısının bir ters örneğe olanak vermediğinden) bu sav yapısınin geçerli olduğu belirlenir.

Geçerli bir sav yapısı demek, bu savın yapısının tek yönlü koşullu önermenin yapısına eşdeğer olduğu anlamına gelir. Bu durumda, her yapısı geçerli sav için, sav yapısının, tek yönlü koşullu önerme yapısını sağladığı varsayımı, mantıksal değişkenlerin her kombinasyonu için doğrulanacak, yani bu varsayımın sonucunun bir tavtologi olması sonucunu doğuracaktır.

Bu durumda, bu varsayımın sonucunun bir tavtologi çıkması, bu savın yapısının geçerli olduğunu belirtecektir. Bunun nedeni, AND (∧) ve Gereklilik (→) işlemcilerinin standart mantıksal doğruluk tablolarının birlikte incelenmesi ile daha iyi anlaşılır.

Her üç doğruluk tablosu birlikte

Gerçekten, tüm öncüllerin mantıksal doğruluk değerleri "Doğru (T)" olursa, öncüllerin toplamının sonucu "Doğru (T)" olur. Eğer sonucun mantıksal doğruluk değerini de "Doğru (T)" ise, o zaman, kaçınılmaz olarak öncüllerin toplamının mantıksal doğruluk değerinin, sonucun mantıksal doğruluk değerini desteklediği ortaya çıkar. Bu destek formüle giren tüm mantıksal değişkenlerin tüm kombinasyonlarında da da tekrarlanırsa, önerme sonucu bir tavtologi olur ve sav yapısının geçerli olduğu belirlenir.

Bu durumda, bir sav yapısının geçerli olması halinde,

(Öncül1 ∧Öncül2 ∧Öncül3 ∧ ...Öncüln ) → Sonuç

önermesinin sonucu, daima bir tavtologi vermek zorundadır. Yani, bu sav yapısının tek yönlü koşullu önermenin doğruluk tablosunun birebir aynı olması gerekir. Aksi halde, bu sav yapısı geçersiz olur.

Elimizdeki problem için, bu yöntem,

((p → q) ∧ (q → p) ∧ (p ∨ q)) → (p ∧ q)

şeklinde olacaktır. Mathematica, bu ikinci yöntemin de uygulanması için kolaylıkla programlanabilir. Bu şekilde insanlar, 21 inci yüzyılda, 19 uncu yüzyılda olduğu gibi tablo satırlarında ters örnek aramasından sonsuza kadar kurtulmuş olur.

Öncüller ve sonuç, kodların daha kolay izlenebilmesi ve program yazımı ile kontrolünün daha kolaylaşması açısından, aşağıdaki programda değişkenlere atanmıştır.

Program ve sonucu aşağıda görülmektedir.

öncül1 = p ⇒ q

öncül2 = q ⇒ p

öncül3 = p ∨ q

sonuç = p ∧ q

sav geçerliği

sav geçerliği

Tablodan görüldüğü gibi, varsayım sonucu bir tavtologidir. Bu durumda, bu sav yapısı geçerlidir.

Sav yapısının geçerli olduğu, salt bu program sonuçlarına göre belirlenmiş olmaktadır. Bu sonuca hiç insan katkısı olmamıştır. Mathematica bu sonucu tamamen kendi kendine hesaplayıp görüntülemiştir.

Bu kadar emek yoğun ve el ile gerçekleştirilmeye çalışıldığında, hata yapılması olasılığı çok yüksek olan bu işlemin, bilgisayar kullanılması ile bu kadar hızlı ve hatasız bir şekilde yazılı sonuca ulaştırılabilmesi, yimibirinci yüzyılın insanlığa ödüllerinden biri sayılabilir.

Aynı program bu savın geçerli olup olmadığı yanında, satırların incelenmesi ile, tutarlı olup olmadığını da belirleme olanağı verir. Bu tablonun ilk satırı, bu önerme yapısının geçerli olması yanında, tutarlı olduğunu da belirtmektedir.

Bu program yapısı, önermeler mantığında, birçok problemin çözümünde, istenilen bilgileri sağlayabileceği için çoğu mantıksal doğruluk değeri saptama problemlerinde uygulanabilecekir.

Örnek :

Aşağıdaki sav örneğinin yapısının geçerliliğini saptayınız.

Eğer DolandırıcıBank'a para yatırırsak zengin oluruz.

DolandırıcıBank'a para yatırmadık.

Demek ki zengin olmadık.

Bu sav örneğinin yapısı,

p → q

¬ p

----------------

¬ q

Çözüm :

False Modus Ponens

False MP

Sonuç :

Üçüncü satır falsolu, sav yapısı geçersiz. Dolayısı ile örnek sav değil.

Bu sonuç literatürde aynen paylaşılmaktadır.

Örnek :

Aşağıdaki savın geçerliğini belirleyiniz.

q → ¬(p ∨ r)

( p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

----------

∴ (p →r) → (p→q)

Çözüm:

table 7 text

table7

Bu programın daha kolay izlenebilen sürümü,

table 7 text

Table 7

Sonuç :

Üçüncü satırdaki falso nedeni ile bu sav yapısı geçersizdir.

Örnek :

Bir davete ne Ali ve Veli katılmayacaklardır. Betül ise, Ali katılırsa ve Veli katılmazsa katılacaktı, her ikisi de katılmayacak olduğuna göre, dolayısı ile sonuçta Betül de katılmayacaktır.

Bu bildirimi, sav olarak organize ediniz ve geçerliğini belirleyiniz.

Çözüm :

Burada A ≡ Ali, B ≡ Veli, C ≡ Betül olarak kabul edersek, sav aşağıda görüldüğü şekilde düzenlenir.

¬(A ∨ B)

C → (A ∧¬B)

----------

∴ ¬ C

Mathematica programı :

party- text

Party 3

Bu programın daha kolay izlenilebilecek bir sürümü aşağıda görülmektedir.

party 3 text new version

party3 new program output

Enson sütun tavtologi sonucunu verdiğinden, öncüllerin sonucu her olasılıkla desteklediği sonucu çıkar. Dolayısı ile bu sav formu geçerlidir.

Buradaki en zor kısım, sözel olarak belirtilmiş sav metninin, önermeler mantığının formülasyonuna dönüştürülmesidir. Aristoteles'den Chrisippus'a geçiş olarak nitelendirilebilecek bu dönüşümü ancak, çok deneyimli uzman kişiler gerçekleştirebilir.

Örnek :

Aşağıdaki savın geçerli olup olmadığını saptayınız.

p → r

q → r

----------------

r

Çözüm :

Bu üç öncüllü bir sav ve çözüm programı, tüm üç öncüllü savların geçerliliiğinin saptanması için kullanılabilecek bir aşağıda yazılımı görülen bir program kullanılarak gerçekleştirilecek.

sav6 program

sav6

Değerlendirme tablosunun en son satırı bir tautologi olduğundan bu savın formu geçerlidir. Bu sonuç, literatür den onaylanmıştır. Bu şekilde, yeni bir bilgilenme savı gerçekleştirilmiş olmaktadır.

Bu program artık bir tür standart program haline gelmiştir. Aşağıdaki kodlar doğrudan Mathematica'ya kopyalanıp, öncülleri ve sonucu her program için değiştirilerek kullanılabilir.

Clear[öncül1, öncül2, öncül3 , sonuç] öncül1 = p \[Implies] r; öncül2 = q \[Implies] r; öncül3 = p \[Or] q; sonuç = r; Framed[TableForm[ BooleanTable[{p , q , r, öncül1, öncül2 , öncül3 , (öncül1 \[And] öncül2 \[And] öncül3), sonuç , (öncül1 \[And] öncül2 \[And] öncül3) \[Implies] sonuç}, {p, q, r}], TableHeadings -> {None, {p , q , r, "öncül1", "öncül2", "öncül3" , "(öncül1 \[And] öncül2 \[And] öncül3)", "sonuç", "(öncül1 \[And] öncül2 \[And] öncül3) \[Implies] sonuç"}}, TableSpacing -> {2, 2}, TableAlignments -> Center], RoundingRadius -> 8, FrameStyle -> Directive[Darker[Red], Dashed] ] // Text

Daha fazla örnek incelemeye gerek yok. Bu konuda tam olarak aydınlanmış durumdayız. Daha fazla örnekler, https://www.math.fsu.edu/~wooland/argumentor/solExample1.html sitesinde bulunabilir. Aynı konu, http://discrete.openmathbooks.org/dmoi2/sec_propositional.html de incelenmiştir. Ayrıca, biraz sonra inceleyeceğimiz her genel bilgilenme sav yapıları her yerde açıklanmıştır. Bu bilgilenme yapılarının tümü de geçerlidir. Bu geçerlilik, yukarıdaki programlar uygulanarak Mathematica ile kontrol edilebilir.

4.21 - Normal Formlar.

Genel olarak bir mantıksal formül, birçok mantıksal bağlaçtan yararlanılarak yapılandırılabilir. Beş tane mantıksal bağlaç (¬ , ∧ , ∨ , → , ↔) yerine eşdeğerlerinin kullanımı ile daha az sayıda mantıksal bağlaç kullanılarak mantıksal formüllerin eşdeğerlerinin oluşturulabileceği gerçektir. Örnek olarak p → q yerine ¬p ∨ q yazılarak tek yönlü koşullu önerme sembolü devre dışı bırakılabilir. Doğal olarak bu değişim, formülün anlaşılmasını büyük ölçüde azaltır. İnsanlar eşdeğerine dönüştürülüp mantıksal bağlantıları azaltılmış formüller yerine, en anlaşılmış şekli ile açıklanmış formülleri yeğ tutarlar. Bu yüzden standart önermeler mantığı dilinde, daha az olabilecek iken yine de beş mantıksal bağlaç bulunur.

İnsanlar kullanmasa da, mantıksal formüllerde mantıksal bağlaçların azaltılması, özellikle bilgisayar destekl çalışmalarda uygun olmaktadır. Bir mantıksal formüldeki bağlaçların bazılarının eşedeğerlerinin kullanılarak sayılarının en aza indirilmesi "Normal Form" olarak adlandırılır.

Üç türlü normal form tanımlanmıştır.

Bu normal formları ayrı ayrı tanıyacağız. temel kaynak Wikipedia dır.

4.21.1 - Değilleme Normal Formu (Negation Normal Form) (NNF)

Değilleme normal formu (NNF) de sadece birleşme (ve) (∧), ayrışma (∨) (veya) ve sadece değişkenlere uygulanmış değilleme (negasyon) (¬) işlemcisinin yeniden yazılmış formülde bulunmasına olanak verilir.

Örnek : ( Wikipedia)

a ∧ (b ∨ ¬c) ile (a ∧ b) ∨ (a ∧ ¬c)

Eşdeğer NNF önermelerdir. NNF formları kanonik (kanuni) (yasal) formlar değilidir. Bunun nedeni, yukarıdaki örnekte olduğu gibi, birden çok eşdeğer önerme, farklı NNF formlarında yeniden yazılabilir.

Klasik mantık (çalıştığımız mantıklar) da, her bileşik önerme, De Morgan kuralları uygulanarak ve çifte değillemeler elimine edilerek, aşağıdaki yeniden yazılım kuralları uygulanarak NNF haline dönüştürülebilir. (NNF transformasyonu) (Wikipedia) (Handbook of Automated Reasoning)

NNF

Burada => tek yönlü koşullu önerme işlemcisi, → ise yeniden yazılım (rewrite) işlemcisidir.

NNF formuna indirgenmiş bir formül, dağılım kuralları uygulanarak daha güçlü CNF veya DNF formlarına dönüştürülebilir (Formül Transformasyonu).

Örnekler :

A => B NNF formunda değildir, fakat eşdeğerlikten yararlanılarak ¬ A ∨ B önermesine indirgenebilir ve bu NNF formundadır.

¬(A ∨ B) NNF formunda değildir (değilleme işlemcisi, bir mantıksal değişkene, yani ne A ne de B ye uygulanmamıştır). Bu önerme, NNF formundaki ¬A ∧ ¬B önermesine eşdeğerdir.

¬(A ∧ B) NNF formunda değildir (değilleme işlemcisi, bir mantıksal değişkene, yani ne A ne de B ye uygulanmamıştır). Bu önerme, NNF formundaki ¬A ∨ ¬B önermesine eşdeğerdir.

¬(A or ¬C) NNF formunda değildir (değilleme işlemcisi, bir mantıksal değişkene, yani ne A ne de B ye uygulanmamıştır). Bu önerme, NNF formundaki ¬A ∧ C önermesine eşdeğerdir.

4.21.2 - Konjonktif Normal Form (CNF)

Birleşim normal formu, bir veya birkaç ayrık literal kapalı sistemin birleşmesidir. CNF bir kanonik formdur. Literaller atomik önermelerdir. Italyanca lettera, harf ve mektup anlamındadır. Harf bir alfabenin en küçük kesilemez bir elemanıdır ve bu yüzden atamik önermeler literal (lettera sınıfından) olarak adlandırılmışlardır. CNF de ¬ işlemcisi sadece literallerin veya yüklem sembollerinin öneki olarak uygulanabilir.

Aşağıdaki formüller CNF formundadır

son iki önerme hem CNF hem de DNF formunda sayılabilirler.

Her bileşik önerme CNF formuna dönüştürülebilir. Dönüşüm önce NNF formuna dönüştürmek, oradan da CNF formuna dönüştürerrek gerçekleştirilir. Bunun için, mantıksal eşdeğerlikler, çift değilleme eliminasyonu, De Morgan yasaları ve dağılım (distribüsyon) yasası uygulanarak gerçekleştirilir. El ile son derece zaman alıcı ve ancak uzman kişilerin başarabilecekleri bu dönüşüm adımları, ancak bilgisayar kullanımı ile çabuk ve hatasız gerçekleştirilebilir.

Mathematica, bir bileşik önermeyi CNF veya DNF formlarına dönüştürebilir. Örnek :

TemelMatematik4_87.png

TemelMatematik4_88.png

! (not) , && (and) , | | (or) anlamına gelmektedir. Sonucun anlaşılabilir kodlarla açıklanması:

(p ∨ q ∨ s) ∧ ( p ∨ r) ∧ (¬ q ∨ r)

El ile çözüme çalışmayınız !

El ile çözülebilecek bir örnek :

¬(B ∨ C)

önermesini CNF 'e dönüştürünüz.

Çözüm :

Eşdeğerine açmak yeterlidir.

¬(B ∨ C) ↔ ¬B ∧ ¬C

Örnek :

(A ∧ B) ∨ C

önermesini CNF'e dönüştürünüz.

Çözüm :

CNF örnek 3

Sonucun anlaşılabilir kodlarla açıklanması:

(A ∨ C) ∧ (B ∨ C)

El ile denemeye çalışmayınız !

Örnek :

(A ∧ (B ∨ (D ∧ E))

önermesini CNF'e dönüştürünüz.

Çözüm :

CNF3

Sonucun anlaşılabilir kodlarla açıklanması:

A ∧ (B ∨ D) ∧ (B ∨ E)

El ile denemeyi düşünmeyiniz!

4.213 - Disjonktif Normal Form (DNF)

Disjonksiyon, ayrışma anlamına gelir. Disjonktif normal form da sadece (∧, ∨ ve ¬) işlemcileri bulunabilecektir. Burada, ¬ işlemcisi sadece bir önerme değişkeninin önüne veya bir yüklem sembolünün önüne konulabilir. DNF bir kanonik formdur. Bunun anlamı, yasal olarak sadece bir tane sonuç DNF olabilmesidir.

Örnek :

¬(A ∨ B)

önermesini DNF'e dönüştürünüz.

Çözüm :

Eşdeğerine açmak yeterli

¬(A ∨ B) ↔ ¬A ∧ ¬B

Örnek :

A ∨ (B ∧ (C ∨ D))

önermesini DNF'e dönüştürünüz.

Çözüm :

DNF1

Kolay algılanabilecek şekli ile,

A ∨ (B ∧ C) ∨ (B ∧ D)

El ile çözüm için savaşmayınız!

4.22 - Gündelik Dili Mantıksala Çevirmek

Sembolik değerleri belirtmek için kullanılan p , q , r , s ,t gibi küçük harfler birer mantıksal değişkendir. Bu değişkenler bazen “Doğru (T)” bazen de “Yanlış (F)” değerleri alırlar. Bunlar bileşik önermelerin doğruluk değerlerini, sav yapılarını değerlendirmek üzere kullanılan doğruluk işlevli değişkenlerdir.

Gündelik dil ile oluşturulan tümceler, birer sabittir bir kez belirlendikten sonra değeri değişmez. Bunlar, mantıksal yapıların gerçek dünya örnekleri olarak kabul ediir. Bu Tümceler, A, B gibi büyük harflerle gösterilir ve anlamları,” A ≡ Ahmet sinemaya gider” şeklinde, sözlük gibi açıklamalar ile verilir.

4.22.1 - Basit Tümceler

Basit tümceler arada hiç mantıksal bağlaç olmayan tümcelerdir. Bunlara "Atomik Önerme" veya "Literal" adı da verilmektedir. Basit tümceler tek büyük harflerle belirtilir.

Çoğunlukla gündelik dil ile yapılan tümceler, bileşik önerme tipindedir ve basit tümceler mantıksal bağlaçlarla birleştirilmiştir. Bunlardaki basit alt tümceler bulunur, büyük harfle belirtilir ve mantıksal bağlaçlar sakınılarak mantıksal yapının (formun) bir gerçek dünya örneği olan sabit bir formül çıkartılır.

Örnek :

“Ahmedin bir TV si ve Mehmedin bir Fm radyosu var , Cengiz’in ise, hiçbirşeyi yok” tümceleri ilginç bir şekilde “Ahmet = Doğru (T)” ve Mehmet = Doğru (T) , Cengiz = Değil Doğru= ¬Doğru (T) olark düşünülür ve (A ∧ M) ∧ ¬ C olarak belirtilir. Bunun çok hassas bir kodlama olduğu gerçektir. Tüm yüklemler gözardı edilmiş ve sadece sabitler “Doğru (T)” veya “¬ Doğru (T)” olarak değerlendirilmişlerdir. Genel olarak anlam kaybı yaşanmıştır.

Önemli bir nokta, olumsuz durumlar için tek bir büyük harf değil ¬A şeklinde, değilleme sembolünü izleyen bir büyük harf kullanılması gereğidir. Bunun nedeni olumsuz durumu, örnek olarak ¬A olarak belirtilği için bileşik bir önerme olması, tek büyük harflerin ise sadece basit tümceler için kullanılması gereğidir.

4.22.2 - Doğruluk Fonksiyonu Olmayan Tümceler

Doğruluk fonksiyonu olmayan tümceler, “belki”, “büyük bir olasılıkla”, “olabilir” , “çünkü” gibi doğruluk belirtmeyen yani, “Doğru (T)” veya “Yanlış (F)” olarak nitelendirilemeyen tümcelerdir. Bunlar tercihan anlamlarını belirtebilecek bir büyük harf ile sembolik hale dönüştürülebilirler.

Örnek olarak, “Ahmet büyük bir olasılıkla sinemaya gidecek.” tümcesi, doğrulanabilir bir tümce değildir ve A gibi tek bir sembolle gösterilmelidir.

4.22.3 - Doğruluk Fonksiyonu Olan Tümceler

Bu tür tümcelerdeki, mantıksal bağlaçlar sakınılarak kodlama yapılır.

4 .22.3.1 - Birleşme

Birleşme konusunda, en zorlayıcı sözcük, “fakat” sözcüğüdür. Yine de, “fakat” sözcüğünün doğrulanması için her iki terimin de birden doğrulanması gerektiği için, birleşme olarak değerlendirilir.

örnek,

Ali Sevgi ile vakit geçirmeyi seviyor, fakat Sevgi ona çok zor tahammül ediyor.

denildiğinde, A ≡ Ali, Sevgi ile vakit geçirmeyi seviyor. B ≡ Sevgi, Ali'ye çok kolay tahammül ediyor.

A ∧ B

olarak, formüle edilir. Burada A = “Doğru (T)” , B = “Yanlış (F)” birleşmenin sonucu da “Yanlış (F)” dir.

A ≡ Yağmur yağıyor, B ≡ Sis var.

A ∧ B

olarak, formüle edilir.

4.22.3.2 - Ayrışma

Bu konuda bir örnek, “Ahmet veya Hasan lastiği tamir edecek.” tümcesi

A ∨ H

olarak sembolize edilir.

Bir diğer örnek,

Ahmet futbol veya tenis oynayabilir.

F = Futbol, T = Tenis olursa,

(F ∨ T)

olarak mantık diline çevrilebilir.

4.22.3.3 - Tek Yönlü Koşullu İşlemci

Tek yönlü koşullu önerme eğer, veya ancak, sözcükleri olunca uygulanaır.

Örnek,

“Aşırı güneş olduğunda şemsiye açılır.” (olduğunda, "eğer olursa", anlamındadır).

tümcesi bir tek yönlü koşullu işlemcidir.

Formülasyonu,

A ≡ Aşırı güneş olması, B ≡ Şemsiye açılması.

A → B

olarak gerçekleştirilir.

Örnek : (http://mymathangels.com/tag/simple-statements/)

Eğer tarih, 30 ağutos değil ise, Zafer Bayramı değildir.

Bu tümcede T = 30 ağustos ve B = Zafer Bayramı ise,

¬T → ¬B

olarak sembolik kodlara çevrilir.

4 .22.3.4 - Çift Yönlü Koşullu İşlemci (Eşdeğerlik)

Çift yönlü koşullu işlemci, "eğer ve sadece eğer" veya "ancak ve sadece ancak" (çoğu zamani"Anack ve ancak" olarak kısaltılır). Aynı anlamda "Eşdeğerdir" olarak da belirtilebilir.

Örnek:

Bir yerden bir yere taşımak açısından, Mercedes ile Fiat eşdeğerdir.

A ≡ Mercedes bir yerden başka bir yere taşır. B ≡ Fiat bir yerden başka bir yere taşır.

M ↔ F

olarak belirtilir. Aynı zamanda, eşdeğer olarak

(M → F) ∧ ( F→ M)

olarak da formüle edilebilir. Bu eşdeğerlik daha önce kanıtlanmıştı.

4 .22.3.5 - Kompleks Mantıksal İfadeler

Bu kategorideki güncel dil ibarelerini, sembolik dile çevirmek, çoğunlukla kolay değildir ve tümcenin iyi analiz edilmesini gerektirir. Bu konuda en doğru yöntem, ana (majör) işlemciyi saptayıp, tümceyi, basit mantıksal formüllerle açıklanabilecek şekilde ayrıştırmak ve herşeyi yeniden majör işlemci etrafında formüllendirmektir.

Örnek : https://www.chegg.com/homework-help/questions-and-answers/write-following-compound-statement-symbolic-form-construct-truth-table-dinner-ready-soon-d-q23600759

Eğer masa hazırlanmışsa,

Eğer börek pişmişse,

------------------

∴ Yemek hazırdır.

Bu savı tek bir tümce olarak açıklayalım

Eğer masa hazırsa ve börek pişmişse, demek ki yemek hazırdır.

M = Masa hazırsa, B = Börek pişmişse, Y = Yemek hazırdır.

Tümcede "eğer" sözcüğü varsa, o zaman bu bir tek yönlü koşullu önermedir.

Masanın hazır olması ve böreğin pişmiş olması, yemeğin hazır olması için yeterlidir.

(M ∧ B) → Y

olarak formüle edilir.

Gündelik konuşma dili çok renkli çok kriptik, gizli anlamlı olduğu ve matematik mantığın yalınlığı, sembollerinin kendine göre ve çok kısıtlı olması, karmaşık sözel ifadelerin sembolik mantık dillinde doğru formüle edilmesinin hiç kolay olmadığı ve ne yazık ki, bu konuda hiç bilgisayar yardımı alınamadığı da akılda tutulmalıdır. Bu konuda sözel metin ne kadar açık anlamlı olursa o kadar kolaylıkla basit önermelere ayrılıp sembolik mantık formüllerine doğru olarak çevrilmesinin şansı artar. Kriptik metinlerin sembolik mantık formüllerine dönüştürülmesi her zaman kolay olmaz ve sonuçta oluşturulan formüller, tartışmaya açık formüller olur. Bu konuda, tek yardımı olacak şey, çok çalışma ve çözülmüş problemlerin incelenmesidir. Bu konuda kimse yeterli yetkinliğe sahip olmadan, söylemleri karmaşık anlamlı olan savları, mantıksal olarak sembolize etmeye kalkışmamalıdır.

4.23 - Eşdeğerlik Özellikleri

Sembolik mantığın beş tane bağlacı tanımlıdır. Bu beş bağlaç ile belirtilen sembolik ifadelerin, daha az sayıda bağlantı elemanı ile belirtilebileceği CNF ve DNF basitleştirilmelerinde görülmüştü. Bu kısımda, bazı mantıksal formüllerin eşdeğer olarak başka formüllerle açıklanabileceği görülecektir. Bir anlamda, bir sembolik formül eşdeğeri olan başka bir formülle belirtilebilir. Bu olaya “Yer Değiştirme Kuralları” (Replacement Rules) adı verilir.

Bir formül başka bir formülle eşdeğer olursa, o vakit bu iki formülün eşdeğerliğinin sınanması, bir hepdoğru (tavtologi) sonucunu verir. Bir eşdeğerlik sınaması, mantıksal değişkenlerin olası her kombinasyonunda, eşdeğerlik sonucunun “Doğru (T)” olmasıdır. Mantıksal değişkenlerin (p , q , r , s , t) mantıksal değerlerinin her kombinasyonu, doğruluk tablosunun bir satırına karşı gelir. Sembolik mantık, iki değerli (T , F) (1 , 0) Aristo mantığı olduğundan p ve q gibi iki değişkenli bir formülün doğruluğunun sınanması, 2>2 = 4 sıralı bir tablo, p , q ve r gibi üç değişkenli bir sistemin doğruluk sınanması ise 23 = 8 ,satır, 4 değişken için 24 = 16 sıralı bir doğruluk tablosu gerekir. Normalde el ile oluşturulması çok zaman alan bu doğruluk tabloları Mathematica ile hiç uğraşmadan çok hızlı olarak oluşturulabilir. Böylece, bir eşdeğerliğin tavtologi, dolayısı ile bir teorem olup olmadığı Mathematica ile ışık hızında belirlenebilir.

Yer değiştirme yöntemleri 10 kuralda belirtilir. Bunlar,

4 tane temel kural, çifte değilleme (double negation), değişme (komütasyon), birleşme (asosiasyon) , tekrarlama (duplikasyon)

3 tane ara kural, De Morgan kuralları, çift yönlü koşullu önerme yer değişimi (biconditional exchange), kontrapozisyon

3 tane final kural, tek yönlü koşullu önerme yer değişimi, eksportasyon, dağılma (distribüsyon)

olacaktır. Tüm bu kuralları inceleyerek birer tavtologi, yani birer teorem olduklarını belirleyeceğiz.

4.23.1 - Temel Kurallar

4.23.1.1 - Çift Değilleme

Çift değilleme, tek bir değişken üzerinde ¬¬p ↔ p olarak, tek bir mantıksal sabit üzerinde, ¬¬A↔A olarak açıklanır. Bu bir tavtologi dir.

Bu eşdeğerlik sınamasının bir tavtologi olduğu daha önce kanıtlanmıştı.

4.23.1.2 - Komütasyon (Değişme) özelliği

Değişme özelliği, girdilerinin sıralanın değişebilmesidir. Aritmetikte değişebilirlik,

x + y = y + x

olarak belirtilir.

Sembolik Mantıkta, değişebilirlik sadece birleşme (∧) ve (∨) işlemcileri için uygulanabilir. Tek ve iki yönlü koşullu işlemcilerin değişme özelliği yoktur. Ayrıca, sadece bir tek işlemci türü içeren mantıksal formüllerin değişebilme özellikleri olabilir.

Birleşme işlemcisi (∧) için değişme özelliği, eğer mantıksal sabitlerle incelenirse,

A ≡ Ahmet bir elektrikçidir. B ≡ Hasan bir elektrikçidir.

A ∧ B ≡ Ahmet ve Hasan birer elektrikçidir.

Verilerin yer değişmesi ile,

B ∧ A ≡ Hasan ve Ahmet birer elektrikçidir.

Görünüşte, yer değiştirme mantıksal doğruluk değerini etkilemiyor. Fakat, matematikte sezgiler (sanı) yeterli değildir. Evrensel doğruluk (teorem olma) için kanıt gereklidir. Bu değişimin mantıksal doğruluğu, bir hepdoğru (tavtologi) olması ile ile kanıtlanabilir. Kanıt için doğruluk tablosu yöntemi kullanıldığında, orijinal ve değişmiş formüllerin mantıksal olarak eşdeğer olduklarının kanıtlanması, eşdeğerliğin bir hepdoğru (tavtologi) olması ile belirlenebilir. Bu yöntem aşağıda uygulanmıştır.

Birleşme (commutation text

birleşme (commutaton)

Görülüyor ki, birleşenlerin sıraları (order of conjuncts) değişirse, birleşik önermenin doğruluk değeri değişmiyor. Dolayısı ile, ve işlemcisi (∧) ile belitirtilen, mantıksal birleşme olayının değişebirliği bir tavtologidir. Bu da, mantıksal birleşme olayının değişebilirliğinin bir teorem olduğunu belirtir.

Teorem :

Mantıksal birleşme (∧) işlemi, değişebilir özelliktedir.

Bir başka söylem ile,

Mantıksal (ve) (∧) bağlacı ile mantıksal olarak birleştirilmiş önermelerin, değişebilme özellikleri vardır.

Aynı inceleme, mantıksal (∨) işlemcisi ile mantıksal olarak ayrıştırılmış önermeler üzerinde yapıldığında

ayrışık önermelerin birleşimi program

ayrışık önermelerin birleşimi

olarak bulunur. Bu sonuç, mantıksal ayrışma olayında da, önermelerin sıraları değiştiğinde, elde edilen bileşik önermenin orijinal bileşik önerme ile eşdeğer olduğunu, sıra değişiminin (komütasyon), bileşik önermenin mantıksal değerini değiştirmeyeceği, dolayısı bu değişimin bir tavtologi, işlemin de bir teorem olduğunu belirtir.

Teorem :

Mantıksal ayrışmanın değişebilme özelliği vardır.

4.23.1.3 - Assosiasyon (Birleşme) özelliği

Birleşme özelliğinin aritmetik eşdeğerleri,

((p ∨ q) ∨ r ∷ p ∨ ( q ∨ r)

((p ∧ q ) ∧ r ∷ p ∧ (q ∧ r)

açıklamalrıdır. Burada ∷ sembolü, “Yer Değiştirilebilir, Yerine Konulabilir, Eşdeğerdir” olarak okunabilir ve bir anlamda (↔) işlemcisi ile eşdeğerdir.

Birleşme özelliği aynen yer değiştirme gibi, sadece (∧) ve (∨) işlemlerinde ve sadece tek bir tür bağlaç içeren mantıksal formüllerde uygulanabilir. Tek ve iki yönlü koşullu işlemcilerin birleşme özelliği yoktur.

Birleşik önermelerden oluşan bir bileşik önermenin, birleşmesi olayının doğruluk tablosu,

Birleşmenin birleşme özelliği program

Birleşmenin birleşme özelliği

sonucun bir tavtologi olduğu, dolayısı ile, birleşmenin orijinal bileşik önermenin mantıksal değerini değiştirmeyeceği, yani bir teorem olduğu anlaşılır.

Teorem :

Birleşmenin, asosiyasyon (birleşme) özelliği vardır.

Mantıksal olarak ayrışık önermelerden oluşan bir bileşik önermenin, birleşim işlemi uygulanması ile mantıksal değerinin sakınılıp sakınılmayacağı, aşağıdaki doğruluk tablosu yöntemi ile sınanabilir.

Birleşmenin birleşimi Program

Birleşmenin birleşimi

sonucun bir tavtologi olduğu, dolayısı ile, bir teorem olduğu anlaşılır.

Teorem :

Ayrışmanın asosiyasyon (birleşme) özelliği vardır.

4.23.1.4 - Duplikasyon (Tekrarlama) Özelliği

Tekrarlama, işlemi, mantıksal değişkenler üzerinden,

p ∷ (p ∧ p)

p ∷ (p ∨ p)

olarak açıklanır.

Bu kurala aynı zamanda, tavtologi kuralı adı da verilir.

Duplicate.text

Duplicate

4.23.2 - Ara Kurallar

4.23.2.1 - De Morgan Kuralları

De Morgan kuralları iki tanedir.

¬(p ∨ q) ↔ ¬p ∧ ¬q

¬(p ∧ q) ↔ ¬ p ∨ ¬q

Burada dikkat edilmesi gereken tüm bileşik önermelerin değillenmesi gerektiği ve birleşmenin değillemesinin ayrışma, ayrışmanın değillemesinin ise birleşme olduğudur.

de Morgan kurallarının doğrulanması, doğruluk tablosu yöntemi ile gerçekleştirilebilir.

de Morgan1 Program

de Morgan1 Output

de Morgan2 Program

de Morgan2 Output

Tüm de Morgan bağıntılarının birer tavtologi oldukları görülüyor. Bu durumda, deMorgan bağıntıları birer teoremdir ve “de Morgan Yasaları” olarak nitelendirilirler.

Aşağıdaki eşdeğerlikler, literatürde az bulunurlar, bunlar da de Morgan yasalarının sonuçları olarak açıklanmaktadırlar :

¬(p → q) ↔ p ∧¬q

¬(p ↔ q) ↔ (p ∧ ¬q) ∨ (q ∧ ¬p)

Doğruluk sınanmaları,

deMorgan's Corollary I Program

deMorgan's Corollary I Output

deMorgan's Corollary Ii Program

deMorgan's Corollary II Output

her iki olayın birer tautoloji olarak, geçerli ve teorem olduklarını belirtmektedir.

Aşağıdaki bağıntı, bu çalışmamız kapsamında, orijinal olarak geliştirilmiştir.

de Morgan Corollary 3 Program

de Morgan's Corollary 3 Output

4.23.2.2 - Eşdeğerlerin Değişimi

Eşdeğerlerin değişimi (Biconditional Exchange) ,

Eşdeğerlerin değişimi,

TemelMatematik4_105.png

olarak belirtilir. Bu eşdeğerlik değişiminin doğruluk tablosu yöntemi ile doğrulanması, daha önce geliştirilmişti. Bu önermenin sonucu bir tavtologi olduğundan değişim geçerlidir ve teorem niteliğindedir.

4.23.2.3 - Kontrapozisyon

Kontrapozisyon,

(p →q) ∷ (¬q → ¬p)

olarak belirtilir. Bu eşdeğerlik daha önceden belirlenmiştir. Bu bir genel teoremdir.

4.23.3 - Final Kurallar

4.23.3.1 - Gereksinme Değişimi

Bu eşdeğerlik, sembolik mantığın temel bağlantılarından biridir. Gereksinme değişimi veya tek yönlü koşullu önerme eşdeğeri,

(p → q) ∷ ¬p ∨ q

olarak açıklanır. Doğruluğu, doğruluk tablosu yöntemi ile daha önce sınanmıştır. Bu bağıntı sembolik mantığın tmel teoremlerinden biridir.

4.23.3.2 - Dışa Taşıma (Eksportasyon)

Bu yer değiştirme,

((p ∧ q) → r) ∷ ( p → (q → r))

olarak açıklanır. Doğruluğu sınandığında,

Exportation Rule Program

Exportation Rule Ouput

değişimin geçerli ve olayın bir teorem olduğu anlaşılır.

4.23.3.3 - Dağılım (Distribüsyon)

Dağılım kuralları, önermeler mantığında son derece önemli ve çok sık uygulanan değişim kurallarıdır.. Aşağıda belirtilen değişim kurallarının tümü doğrulanmış tavtologilerdir.

Yukarıdaki yer değiştirme kurallarının tümü Mathematica'da kontol edilmiş ve tavtologi oluşturmuşlardır. Bu kurallar, özellikle matematik kanıtlamalarda kullanım alanı bulmaktadırlar. Bütün bu bağıntıların, yukarıdaki örnek programlarının kullanımı ile Mathematİca'da ve WolframAlpha da kontrol edilmesi iyi bir uygulama çalışması olacaktır.

4.23.4 - Çözülmüş Örnekler :

Bilgisayar olmadan, önerme örneklerinin çözümü hiç zor değildir fakat zaman alır. Bilgisayar kullanılması, çözümün göz açıp kapanınca kadar hızlı bir şekilde alınmasını sağlar.

Örnek :

Aşağıdaki önermenin, bir tavtologi, çelişki veya sürdürülebilir bir yapı olduğunu belirleyiniz.
p → (q → p)

Çözüm :

Çözülmüş Problemler 1 Program

Çözülmüş Problemler 1

Sonuç :

Yukarıdaki sonuçtan görüldüğü gibi bu bir tavtologi dir.

Örnek :

Aşağıdaki önermenin, bir tavtologi, çelişki veya sürdürülebilir bir yapı olduğunu belirleyiniz.
(p ∧ (q ∨ ¬r)) ↔ (((p ∧ s) ∧ (q ∨ ¬ r)) ∨ ((p ∧¬s) ∧ ( q ∨ ¬r)))

Çözüm :

Çözülmüş Problemler 2 Program

Çözülmüş Problemler 2

Sonuç :

Bu bir tavtologi dir.

Örnek :

Aşağıdaki önermenin, bir tavtologi, çelişki veya sürdürülebilir bir yapı olduğunu belirleyiniz.
((p ∨ q) ∧ r) ↔ (p ∨ (q ∧ ¬r))

Çözüm :

Çözülmüş Problemler 3 Program

Çözülmüş Problemler 3

Sonuç tablosundan da görüldüğü gibi bu bir sürdürülebilir yapılanmadır.

Örnek :

Aşağıdaki önermenin, bir tavtologi, çelişki veya sürdürülebilir bir yapı olduğunu belirleyiniz.
(p ↔ q) ↔ (p ↔ ¬q)

Çözüm :

Bunun bir çelişki olacağı daha ilk bakışta görülür. Yine de, güvenli bir sonuç için, bilgisaayar kontrolünü yapmak mantıklıdır.

Çözülmüş Problemler 4 Program

Çözülmüş Problemler 4

Sonuç :

Bu bir çelişki (contradiction) dur.

Örnek :

Aşağıdaki önermenin, bir tavtologi, çelişki veya sürdürülebilir bir yapı olduğunu belirleyiniz.

((p → q)∧ (q → p)) → (p ∨ q)

Çözüm :

Problem 5 - Text

Problem r output

Sonuç :

Bu sürdürülebilir bir önermedir.

Örnek :

Aşağıdaki önermelerin eşdeğer olup olmadıklarını belirleyiniz.

¬ (p ∧ q) ile (¬p ∧ ¬q)

Çözüm :

Problem 6 Program

Problem 6 Output

Sonuç :

Bu iki önerme, birbirleri ile eşdeğer değildir.

Örnek :

Aşağıdaki önermelerin eşdeğer olup olmadıklarını belirleyiniz.

p ↔ ¬ q ve (p → q) ∧ (p →¬q)

Çözüm :

Problem 7 Text

Problem 7 Output

Sonuç :

Bu iki önerme, birbirleri ile eşdeğer değildir.

Örnek :

Aşağıdaki formül 1 in doğruluğunun formül 2 nin in doğruluğunu mantıksal olarak gerektirdiği veya formül 2 nin in doğruluğunun, mantıksal olarak formül 1 in doğruluğunu gerektirdiği veya her ikisinin de doğruluğunun birbirlerinin doğruluğunu gerektirdiği veya hiçbirisinin doğru olmadığını belirleyiniz.

Formül 1 : ¬ (¬p ∨ ¬q)

Formül 2 : p ∨ q

Çözüm :

Her üç olasılığı da ayrı ayrı inceleyelim :

Birinci olasılık : Eğer formül 1, formül 2 için gerekli ise, formül 2 de formül 1 için yeterli olmalıdır. Bu durumda, (p ∨ q) → ¬ (¬p ∨ ¬q) önermesi doğrulanmalıdır.

Problem 8 - Possibiliy - 1 - Program

Problem-8-Possibily-1-Output

Birinci olasılığın gerçekleşmediği görülüyor.

İkinci olasılık birincinin kontrasıdır.

Problem 8 - Possibiliy - 2- Program

Problem-8-Possibily-2-Output

Sonuç :

İkinci olasılığın gerçekleştiği görülüyor. Burada, ikinci formülün doğruluğu birinci formülün doğruluğu için, yeterli, ikinci formülün doğruluğu ise, birinci formülün doğruluğu için gereklidir.

Örnek :

Aşağıdaki formül1 in doğruluğunun formül 2 nin doğruluğunu mantıksal olarak gerektirdiği veya formül 2 nin in doğruluğunun, mantıksal olarak formül 1 in doğruluğunu gerektirdiği veya her ikisinin de doğruluğunun birbirlerinin doğruluğunu gerektirdiği veya hiçbirisinin doğru olmadığını belirleyiniz.

Formül 1 : ¬p ⇒ ¬(p ∨ q)

Formül 2: (p ∨ q) ⇒ q

Çözüm :

Birinci olasılık :

Problem 9 Possibility 1 Program

Problem 9 Possibility 1 Output

İkinci Olasılık :

Problem 9 Possibility 2 Text

Problem 9 Possibility 2 Output

Üçüncü Olasılık :

Problem 9 Possibility 3 Text

Problem 9 Possibility 3 Output

Sonuç :

Hiçbirisi.

4.24 - Sekiz Temel Bilgilenme Kuralı

Bilgilenme kuralları, hipotezleri kanıtlanmaları için olmazsa olmaz denecek kadar gereklidir. Bu kuralların çok iyi olarak anlaşılması gereklidir.

4.24.1 - Modus Ponens

Bir tek yönlü koşullu önerme doğrulanmış olduğunda, bu tek yonlü koşulun öncülü doğrulandığında, sonucu da doğrulanmış olur. Esas adı Modus Ponendo Ponens olan Modus Ponens (M.P.) olarak kısaltılır. Modus Ponens,

p → q

p

-----------

/∴ q

olarak belirtilir.

4.24.2 - Modus Tollens

Esas adı Modus Tollendo Tollens, kısa olarak Modus Tollens (M.T.) olarak belirtilir. Modus Tollens, geçerli bir tek yönlü koşullu önerme verildiğinde, bu önermenin sonucunun değillemesinden, öncülün değillemesinin doğruluğu bilgisi elde edilir. Modus tollens,

p → q

¬q

-----------

/∴ ¬ p

olarak belirtilir.

Modus Tollens' in bir gerçek dünya örneği aşağıdaki gibidir.

A ≡ Dağın çöplüğe dönmesi için , B ≡ çöplerin toplanmaması gereklidir.

A → B

¬ B  (çöpler toplanmıştır.)

-----------

/∴ ¬ A ( Demek ki dağ çöplüğe dönmemiştir.)

4.24.3 - Hipotetik Sillogism (H.S.)

İki geçerli tek yönlü koşullu önermenin birincisinin sonucu, ikincisinin öncülü olursa, birincinin öncülü ile ikincinin sonucunun oluşturacağı bir tek yönlü koşullu önerme geçerlidir.

Hipotetik sillogism sav yapısının geçerliğini, örnek bir programla saptayalım.

p → q

q → r

--------------

/∴ p → r

Hypothetical Syllogism-Text

Hypothetical Syllogism-Output

Bu sillogism’in formu geçerlidir, çünkü hiçbir satırda öncüllerin tümü doğru iken sonuç yanlış değildir. Yani, sonuç öncülleri izlemekte ve bir ters örnek oluşmamaktadır. Ayrıca, Mathematica en son sütunda, bu tek yönlü koşullu önermenin bir tavtologi, dolayısı ile bir teorem olduğunu belirtmektedir.

Bu durumda, bir gerçek dünya örneği,

Eğer hava güneşli ise demek ki hava sıcaktır.

Eğer hava sıcak ise, demek ki hava kurudur.

----------------------------------

∴ Hava güneşli ise demek ki hava kurudur.

Sembolik form

p = Hava güneşli , q = Hava sıcak, r = Hava kuru.

p → q

q → r

----------------------------------

∴ p → r

Gerek Hipotetik Sillogism’in yapısından, gerekse gerçek dünya örneğinden, tek yönlü koşullu işlemcinin geçişli (transitif) özelliği olduğu ( p → q , q → r /∴ p → r ) görülmektedir.

4.24.4 - Basitleştirme (Simplification)

Bir birleşme bileşik önermesi doğru olduğunda, bileşenlerden her birisinin doğruluğu diğerinin doğruluğunun belirlenmesi anlamına gelir. çünkü, bir birleşme (konjunction) doğruysa, tek birleşen (Conjuct),un doğruluğu, diğerininde doğruluğunu gerektirir.

p ∧ q

--------------------

/ ∴ p

Basitleştirme sadece, majör bağlaç birleşme (∧) ise uygulanabilir.

4.24.5 - Birleştirme (Conjunction)

En basit savlardan birisi birleştirme (Conjunction) dur.

p

-----

/∴ p ∧ q

Eğer p doğruluğunun (P ∧ q) nün doğruluğu için yeterli ise, bunların birleşiminin doğruluğu zorunlu olarak q nün de doğruluğunu gerektirdiğinden, q nün de doğruluğu da belirlenmiş demektir.

4.24.6 - Ayrıştırıcı Sillogism (D.S)

Ayrıştırıcı sillogism (Disjunctive Syllogism) (D.S.) aşağıda görüldüğü çifte form şeklinde açıklanır.

p ∨ q

¬ p

-------------------

/∴ q  

Eğer bir ayrışma doğrulanabiliyorsa, ayrışanların birinin değillemesi, değirenin doğruluğunu belirtir. (çünkü ayrışmanın doğrulanmaması için, iki ayrışanın da “Yanlış (F)” olması gerekir. Arışanlardan birisi “Yanlış (F)” olması durumunda, ayrışmanın doğruluğu saptanmış olduğundan, diğer ayrışanın mantıksal olarak mutlaka “Doğru (T)” olması gerekir.

4.24.7 - Toplama (ADD.)

Adı ile pek uyumlu olmayan bu işlem prensip olarak aynı ayrıştırıcı sillogism (Disjunctive Syllogism) (D.S.) gibidir. Sadece adımların sırası değişmiştir.

p

-------------------

/∴ p ∨ q

Toplama işleminin doğrulanması da aynen ayrıştırıcı sillogism (Disjunctive Syllogism) (D.S.) gibidir.

4.24.8 - Açmaz (Dilemma)

Açmaz savının işleyişi aşağıdaki gibidir.

Açamaz türü savlar iki sınıftır. İlki "Yapıcı Açmaz" (Constructive Dilemma) diğeri ise "Yıkıcı Açmaz" (Destructive Dilemma) olarak adlandırılır.

İlk olarak yapıcı açmaz yapısını inceleyelim :

p → q

r → s

p ∨ r

------------

/∴ q ∨ s

Yapıcı açmaz, birçok bakımdan Modus Ponens savına benzer ve anlaşılması en zor olan bilgilenme savıdır. Açmazda iki tane hoşa gitmeyebilecek önerme sunulur. Bunlara "Açmazın Boynuzları" adı verilir. Eğer tüm önermelerin matıksal doğruluk değerleri "Doğru (T)" ise, sonuçta ikisinin sonucundan birisi mutlaka doğrulanacaktır.

Bu yapılanma eşdeğer olarak, daha kolay anlaşılması için önermeler komütatif olarak verilebilir.

(p → q) ∧ (r → s)

p ∨ r

--------------------

/ ∴ q ∨ s

Her iki form birbirlerine eşdeğerdir.

Açmaz yapısının sağlanması :

Yapıcı Açmaz Program

Yapıcı Açmaz

Görülüyor ki, yapıcı açmazın yapısı geçerlidir.

Sözlü (öngörüleri kötü olmayan) bir örnek :

Eğer Ahmet denize giderse sörf yapacaktır.

Eğer Ahmet evde kalırsa çay partisine katılacaktır.

Ahmet ya denize gidecek veya evde kalacaktır.

-----------------------------

(Demek ki...) Ahmet ya sörf yapacak ya da çay partisine katılacaktır.

Yapıcı açmaz'ın tek seçenekli şekli de bulunmaktadır.

A → C

B →C

A ∨B

------------

/∴ C

Bu savın geçerliliği

Yapıcı Açmaz Form 2 Program

 Yapıcı açmaz sınıf 2 Doğruluk Tablosu

Sav formunun geçerli olduğu kanıtlandı.

Sözel Örnek:

Eğer Edirnede durulursa, dondurma yenilecek.

Eğer Çorluda durulursa, dondurma yenilecek.

Ya Edirnede ya da Çorluda durulacak.

-----------------------

Demek ki (mutlaka) dondurma yenilecek.

x

Bir başka açmaz sav tipi, "Yıkıcı Açmaz" (Destructive Dilemma) dır. Yıkıcı açmaz, Modus Tollens'in ayrışık (disjunctive) şeklidir.

Yıkıcı açmaz tipi bir savın yapısı,

P → q

r → s

¬q → ¬s

-----------

¬p ∨ ¬r

Bu savın geçerliliği :

Destructive Dilemma Program

Destructive Dilemma Ouput

Savın yapısı geçerli. Eğer dikkat edilirse, bu savın yapısında, çifte Modus Tollens etkisi görülecektir.

Bu son programlar bir savın geçerliliğinin belirlenmesi için uygulanması gereken Mathematica programının tam bir uygulamasıdır. Aşağıda çok uygulanan bilgilenme (inferans) kuralları verilmiştir. Bu kuralları oluşturulan sav yapılarının tümün geçerli olduğu belirlenmiştir. Bu listedeki bilgilenme savlarının yapılarının geçerliliği yukarıdaki örnek uygulamalar kullanılarak Mathematica ile kolaylıkla kanıtlanabilir.

4.25 - Ek Bağlaçlar

Önermeler mantığında 5 tane mantıksal bağlaç tanımlanış olmasına karşın, Rosen de daha fazla bağlaç belirtilmiştir. Bunlar,

Rosen Connectives

Bu listede normalde önermeler mantığında doğrudan kullanılmayan xor, Nand ve Nor bağlaçları da tanımlanmıştır. Bu bağlaçalr hernekadar önermeler mantığında doğrudan kullanılmamakta iseler de, eşdeğerleri olan bileşik önermeler, önermeler mantığının formüllerinde kullanılabilirler. Bunları biraz sonra örneklerle incelemiş olacağız.

4.26 - Geçerli Savlar

İki değerli önermeler mantığında, eğer sadece A , E , I , O önermeleri kullanılacaksa, tersliklerin karesi ile, 256 tane sav yapısı oluşturulabilir. Bu 256 yapıdan, sadece 24 tanesi geçerli yapıdadır. Bu 24 geçerli yapıdan sadece 15 tanesi koşulsuz olarak geçerli, diğer 9'u koşullu olarak geçerlidir. Wikipedia

valid argument forms

Önermeler mantığında geçerli sav yapıları bu kısımda açıklanmış olan 5 temel yapı ve onların mantıksal eşdeğerleri olarak belirtilmiştir. Bu sav yapıları, Modus Ponens (MP) , Modus Tollens (MT), Varsayımsal Sillogism (Hipotetik Sillogism) (HS) , Ayrıştırıcı Sillogism (Disjunctive Sillogism) (DS) ve Yapıcı Açmaz (Constructive Dilemma) (CD) olarak belirtilir.

Bu durumda geçerli sav yapılanmaların listesi, mantıksal eşdeğerliklerin listesi ile bağıntıldır.

4.27 - Mantıksal Eşdeğerliklerin Listesi

Mantıksal eşdeğerliklerin listesi, Rosen' de aşağıda görüldüğü gibi verilmiştir.

Rosen Logical Identities

4.28 - Mantıksal Yeterliliklerin Listesi

Çok uygulanan mantıksal yeterliliklerin listesi aşağıda görülmektedir.

Yeterlilik Listesi

Mathematica ile değerlendirmeler aşağıda verilmiştir.

Yeterlilikler 1

Yeterlikiler 2

4.29 - Bilgilenme Kuralları Listesi

Bilgilenme Kuralları, Rosen'de aşağıda görüldüğü gibi verilmiştir.

Information Rules

En son wikipedia güncellemesi ile bilgilenme kuralları aşağıda belirtilmiştir.

TemelMatematik4_130.gif

Bu kurallar wikipaedia'da, savlar konusunda bilgilenmiş olanların, çok kolay değerlendirilebilecekleri şekilde verilmiştir. Özellikle tavtologi sütunu, bir sav 'ın değerlendirilmesi için tavtologi özelliğini kullanan yukarıdaki programların, örneklerinin oluşturulması açısından, çok kullanışlı olmaktadır.

4.30 - Nand ve Nor kapıları

Rosen de Çözülmüş Problemlerin Mathematica ile Yeniden Çözümleri :

Örnekler :

1 - p ∨ ¬ p nin bir tavtologi olduğunu belirtiniz. (Üçüncü halin gözardı edilmesi)

Çözüm 1 :

Bu problemi daha önce Mathematica kullanımı ile çözmüştük. Bu nokta eriştiğimiz bilgi düzeyi ile bu konuda hiçbir bilgisayar programına gereksinmemiz kalmamıştır. Kendi bilgimizle kendi tablomuzu oluşturabiliriz.

Bu problemde sadece bir tek mantıksal değişken bulunmakta, o da sadece p olmaktadır. Bu durumda, sonuç doğruluk tablosunda 2^1 = 2 satır bulunacaktır. İks sütun p, ikinci sütun ¬p, üçüncü ve son sütun p ∧ ¬p olsun. Bunların mantıksal doğruluk değerlerini tablo satırlarına yazalım. Bunun için hiçbir yere bakmamız gerekmez, çünkü bunları ezberlemiş olmalıyız.

Doğruluk Tablosu

p ¬p p ∨ ¬p
T F T
F T T

Sonuçta , önermeler mantığında, p ∨ ¬p önermesinin bir tautologi, dolayısı ile bir teorem olduğu belirlenmiş olmaktadır. Q.E.D.

---------------------------------------------------------------------

2 - p ∧ ¬ p nin bir çelişki olduğunu belirtiniz. (Kararlılık Prensibi) ( Oz Çelişme)

Çözüm 2 :

Bu problemin çözüm yöntemi, ilk problem ile aynıdır.

Doğruluk Tablosu

p ¬p p  ∧ ¬p
T F F
F T F

Sonuçta , önermeler mantığında, p ∧ ¬p önermesinin bir çelişki (contradiction) olduğu belirlenmiş olmaktadır. Q.E.D.

---------------------------------------------------------------------

3 - p ↔ q (Eşdeğerlik) önermesinin (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) önermesi ile mantıksal olarak
eşdeğer olduğunu doğruluk tablosundan yararlanarak kanıtlayınız.

Çözüm 3:

Aslında bu inceleme, hiçbir bilgisayar programına gerek duyulmadan, sonuçlandırılabilecek bir problemdir. Ama hızlı ve güvenli bir çözüm oluşturmak için, problemi Mathematica’nın çözmesine olanak sağlanabilir. Mathematica 12.0 programı ve sonucu aşağıda görülmektedir.

Rosen Problems_1.gif

Rosen Problems_2.png

Sonuçta , önermeler mantığında, (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) önermesinin  p ↔ q (Eşdeğerlik) önermesi ile eşdeğer olduğu ve bu eşdeğerliğin bir tavtololgi, dolayısı ile bir teorem olduğu belirlenmiş olmaktadır. Q.E.D.

---------------------------------------------------------------------

Rosen Problems_3.gif

Sonuç 4 :

Bu problem, doğruluk tablosu yöntemleri kullanılmadan (p ∧ q) ∨ (¬p ∧ ¬q) önermesinin  p ↔ q (Eşdeğerlik) önermesi ile eşdeğer olduğunun kanıtlanmasıdır. Aşağıda belitilen mahzurları belirtilebilir.

Heşeyden evvel bu çok bilgiye dayanan bir yöntemdir. Bir insanın bunları salt kendi bilgisi ile ezberinden oluşturması olanağı yoktur. Olsa bile gerekli birşey değildir. 21 inci yüzyıldayız, ona göre davranmamız gerek.

Aynı sonucu, mantıksal doğruluk tablolarını insansız hesaplama yöntemi ile Mathematica başta olmak üzere birçok bilgisayar program uygulamalarından alabiliyoruz. Kendi programımızı bildiğimiz bir programlama dilinden yazmamız işten bile değildir. Bu kadar karışık işlere hiçbir gerek yoktur.

Bu problem, 21inci yüzyılda elde edilmiş ilerlemeleri gözardı edip eski yöntemlerde ayak sürümek isteyenlere bir ders niteliğindedir. Onermeler mantığının, liselerde hararetle öğretilmeye çalışılan çatal açma ve benzerleri türünden birçok yöntemi günümüzde demode olmuştur. En azından aynı işi insan katkısına gerek olmayan bilgisayar yöntemleri ile gerçekleştirme olanağı sağlanmıştır. Bu gelişmelerin, yürütülmekte olan lise müfredatlarına ve çağdışı sınav sistemlerine etkisi kaçınılmazdır.

5 - p↓q önermesinin, mantıksal eşdeğerinin ¬(p ∨ q) olduğunu, DNF ‘inin ¬p∧¬q ve CNF’inin (¬p∨¬q) ∧ (¬p ∨ q) ∧ (p ∨¬q)
olduğunu kanıtlayınız.

Çözüm 5 :

↓ Sembolü Peirce Oku olarak adlandırılır ve Nor kapısını sembolize eder. Nor daha çok elektronikte kullanılır ve sembolik mantık karşılığı Mathematica’da aşağıda görüldüğü gibi belirlenir.

In[41]:=

BooleanConvert[Nor[p, q]]

Rosen Problems_4.png

Buradan, Nor kapısının mantıksal alt yapısının ¬p ∧ ¬q olduğu belirlenmiş olmaktadır. Rosen, ¬p ∧ ¬q ile ¬(p ∨ q) nin eşdeğer olduklarını uzun bir çıkarsama ile yapabilmiştir. Mathematica ile, bu kanıtlama anında gerçekleştirilir :

Rosen Problems_5.png

Rosen Problems_6.png

Eşdeğerlik kanıtlandı. CNF ve DNF formları :

Rosen Problems_7.png

Rosen Problems_8.png

Rosen Problems_9.png

Rosen Problems_10.png

Oysa Rosen (¬p∨¬q)∧(¬p∨q)∧(p∨¬q) önermesini, CNF olarak açıklamıştır. Mathematica sonucu Rosen’in sonucunun basitleştirilmişidir. Bu iki önerme birbirlerinin eşdeğeridirler. Aşağıdaki programlar bunu aydınlatacaklardır.

Rosen Problems_11.png

True
True
True
True

Rosen Problems_12.png

True
True
True
True

Rosen Problems_13.png

True
True
True
True

Sonuç 5 :

Sonuç olarak, Nor[p,q] = ¬p ∧ ¬q , DNF formu =  ¬p ∧ ¬q, CNF formu =  ¬p ∧ ¬q, CNF = DNF = ¬p ∧ ¬q olarak bulunur. Q.E.D.

---------------------------------------------------------------------

6 - Nand [p,q], önermesinin mantıksal karşılığı ¬(p∧q)   dir. DNF ‘i (p ∧ ¬ q) ∨ (¬ p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬ q), ve CNF inin ¬p∨¬q olduğunu belirleyiniz.

Çözüm 6 :

İlk olarak Nand[p,q] nün önerme karşılığını belirleyelim :

Rosen Problems_14.png

Rosen Problems_15.png

¬p  ∨  ¬q

Bu sonucun Rosen de verilen sonucun eşdeğeri olup  olmadığını belirleyelim :

Rosen Problems_16.png

True
True
True
True

Bu durumda, ¬p∨¬q ile ¬(p∧q) nün eşdeğerliği kanıtlanmış olmaktadır. CNF ve DNF değerleri :

Rosen Problems_17.png

Rosen Problems_18.png

Rosen Problems_19.png

Rosen Problems_20.png

Mathematica’nın CNF sonucu ile Rosen’in sonucu birbirini tutmaktadır CNF = ¬p ∨ ¬q olarak belirlenmiştir. Rosen DNF = (p ∧ ¬ q) ∨ (¬ p ∧ q) ∨ (¬ p ∧ ¬ q) olarak belirtirken Mathematica  ¬p ∨ ¬q  olarak belirtmektedir. Bu iki bileşik önermenin eşdeğerliği saptanırsa, hiçbir sorun kalmayacaktır. Eşdeğerlik kontrolü :

Rosen Problems_21.png

True
True
True
True

Sonuç 6 :

Rosen Problems_22.png

7 - DNF ve CNF hesaplama algoritmaları açıklanmıştır. Mathematica aynı hazır fonksiyonları sağlamakta olduğundan Mathematica yeterli olmaktadır.

8 -  p ∧ (q ∨¬r) ile p ∨ (q ∧¬r) nün eşdeğerliğini saptayınız.

Çözüm 8 :

Mathematica ile bu eşdeğerliğin belirlenmesi çok kolaydır :

Rosen Problems_23.png

Rosen Problems_24.png

Bu iki önermenin mantıksal doğruluk tablolarının farklı olduğu sonuç tablosundan görülüyor. Doğal olarak, en son satırdaki eşdeğerlik sınamasının sonucu da bu iki önermenin eşdeğerlik varsayımının bir tavtologi olmadığı belirleniyor. Alınan sonuçlar, bu iki önermenin birbirlerinin eşdeğeri olmadığını belirtmektedir. Q.E.D.

Konu Sonu Notları

Bu çalışmada her türlü sembolik mantık problemlerinin çözülebilmesi için yeterli uygulama örnekleri ve problem çözümleri verilmiştir. Bu bilgilerle, tüm sembolik mantık problemlerinin çözülmesi olanağı bulunmaktadır.

Eski bir Çin atasözü, "İnsanlara yardım etmek için, balık vermek değil, balık tutmasını öğretmek gerekir" demektedir.

Bu çalışmada da amaç çalıanlara bilgi verilmesi, konuların anlaşılmasını sağlamakır. Gereksiz yere aşırı ezberleme ve amaçsız aşırı problem çözmek değil, elde edilen bilgilerin gerektirdiği uygulamaların elde en modern olanaklar kullanılarak çözümlenmesidir. Bu sayfaların içeriğinde, her zaman bu amaç en ön önceliği almıştır.

Bilgisayar kullanıldığı için aşırı sayıda örnek olması gerekli değildir. Gerekli olan, veri olarak bir iyi oluşmuş formül veya formüller (Well Founded Formula) (WFF) ve bu veriyi Mathematica’ya veri olarak tanıtıp, sonucu değerlendirecek bilgidir.

Son derece derin ve hesapları her matematik konusu gibi kritik bir konu olan Önermeler Mantığı çalışmaları için bilgisayar kullanılması nedeni ile hiç kağıt-kalem kullanılmadığına, hiç kullanıcı katkısına gerek olmadığına, tek gereksinmenin bilgi olduğuna dikkat ediniz.

Burada sembolik mantık konusuna başlamış ve temel bilgileri oluşturmuş durumdayız. Bu konu daha çok devam edecek, çünkü matematiğin temeli mantıktır. Mantık bilmeden gerekli kanıtlamaları anlayamayız. Kanıtlamaları anlayamazsak, matematik ezbere yapılan bir işe dönüşür. Bunu önlemek için çok çalışmalı, çok örnek yapılmalı ve her konu çok iyi anlaşılmalıdır.

Lütfen Internet den gerekli bilgilere erişiniz. Hem konu hem de çözülecek örnekleri bulunuz. Konuları okuyunuz ve anlamaya çalışınız. Bulduğunuz uygulamaları, bu sayfada uygulanan yöntemlerle, bilgisayar kullanarak çözünüz. Konuyu giderek daha iyi anlayacak ve uygulama çözmekte çok daha bilgili olacaksınız. Bu size iç rahatlığı sağlayacaktır. Dünyada bilgili olmak kadar insana güven ve huzur veren başka şey yoktur.

Sillogism konusunu incelerken zor anlaşılan bir çok olayın, Önermeler Mantığınının incelenmesi sonucunda çok saha anlaşılır hale geldiğine dikkat ediniz. Bilgi herşeydir.

1990 lı yıllardan önce, bilgi toplamak son derece güç olmaktaydı. Az gelişmiş ülkelerde, kitaplıklar son derece azdı, onlar da son derece yetersizdi, üstelik sadece büyük şehirlerde toplanmıştı. Bu yüzden az gelişmiş ülkelerde, bilimsel çalışma yapılması olanaksız denilecek kadar zordu. Internet yaygınlaştıkça bu sorun mutlu bir sona erişti. Büyük kitaplıklara Internet erişimi olanakları sağlandı. Bunun sonucunda, bilgiler yaygınlaştı ve kolay erişilebilir oldu. Bu çalışmanın yapılabilmesi bile bu yaygın bilgi erişimi sayesinde gerçekleşebildi. Klasik yöntemlerin yerini modern yöntemler almaya başladı. Birlikte yürttüğümüz bu çalışma da onlardan biridir.

Bilgisayar kullanarak matematik yapan öncü kişilersiniz lütfen bundan gurur duyunuz.

Bu kısımda kaynaklar, Internette yayınlanmış olan sayısız web sayfaları ve ders kitaplarıdır.

Google aramaları ile (Opera web çözümleyicisi, VPN özelliği ve JavaScript açık) bu yayınların tümüne erişim olanağı bulunmaktadır.

Understanding Symbolic Logic , Virginia Klenk

Propositional Logic, Internet Encyclopedia of Philosopy ( https:// www.iep.utm.edu )

How To Prove It , Daniel Vellemann

https://www.cs.odu.edu/~cs381/cs381content/web_course.html

HANDBOOK OF DISCRETE AND COMBINATORIAL MATHEMATICS KENNETH H. ROSEN AT&T Laboratories Editor-in-Chief , JOHN G. MICHAELS SUNY Brockport Project Editor, JONATHAN L. GROSS Columbia University Associate Editor, JERROLD W. GROSSMAN Oakland University Associate Editor , DOUGLAS R SHIER Clemson University Associate Editor (CRC Press)

Revoly.com

Konu ile ilgili Wikipedia sayfaları ve daha bir çok Web yayını ile ders kitabından yararlanılmıştır

Sınavlar Ne Olacak ?

Günümüzde uygulanan hali ile sınavlar tam hali ile çağdışıdır. Ezbere yönelik ve konunun kavranmış olmasının ölçülmesi ile çok az ilgili bir sınav sistemi uygulanmaktadır ve görünür o dur ki, bu sınav sistemi en son tutucu öğretmen ikna olana kadar devam edecektir. Tutuculuğun nedeni bilgi eksikliğidir. Bu yüzden tutucu kişilerin yeni yöntemlere inandırılmaları son derece güçtür. İnandıkları zaman da büyük çapta zaman kaybı yaşanmaktadır. Sınav sistemi de böyle değişecektir. Günümüzde gelişen bilgi teknolojileri, bu sınav sistemini de eninde sonunda kesinlikle değiştirecektir.

Daha günümüzde, sınavda, y = 1/x eğisinin çizimi sorulamamaktdır, çünkü, sorulduğuda, sınava giren aday cep tefonunu açar ve uygun bir uygulamadan sonucu hemen bulur.

Gelecekte sınavlar iki aşamalı olacaktır. Sınıfta büyük bir olasıkla, sadece test şeklinde kavram soruları sorulacaktır.

Uygulama sınavları, bilgi işlem laboratuvarlarında yapılacak ve sınava girenlerin uygulama çözme yetenekleri incelenecektir.

Burada birlikte yapılmakta olan çalışma, tamamı ile gelecek günlere yöneliktir.

Günümüzde, bu çalışmayı izleyenler, buradan elde ettikleri bilgileri, uygulanmakta olan sınav sistemine hazırlanmak için kullanmalıdırlar. Bu bilgilerin her sınav sisteminde yararlı olacağı kuşkusuzdur.

Created with the Wolfram Language

Geçerli html5