geri ileri

Genel Matematik

Bölüm 5

Sembolik Mantık Kısım - 2

Yüklemler Mantığı

5.1 - Niçin Yüklemler Mantığı?

Sembolik mantık, bilgisayar uygulamaları ile çalıştırılabilen çok iyi bir mantık türü olmasına rağmen, önermeleri oluşturan terimler arası ilişkişlerde fazla bilgi sağlayamayan ilkel bir mantık türüdür. Sembolik mantık, sayı kavramını belirtmekte yetersiz kalmaktadır. Örnek olarak,

“Sürüdeki kazların en az bir tanesi gri tüylüdür.”

önermesini sembolik mantık araçları ile formüle etmek olanağıyoktur. Bunun için miktar belirtebilen yeni araçlara gereksinim olmaktadır.

Bu yeni araçları sağlayabilen, yeni ve çok daha açıklayıcı, dolayısı ile daha derin, yani daha gelişkin, sembolik mantığın bir üst derinlikteki mantık türü olan “Yüklemler Mantığı” veya “predikat lojik” ,”Birinci Düzey Mantık” olarak adlandırılan mantık türüdür.

Sembolik mantık, “sıfır düzey mantık” olarak değerlendirildiğine göre, yüklemler mantığı“birinci düzey mantık” olarak nitelendirilmiştir. Birinci düzey mantık formülleri, daha çok bilgi içerdiklerinden doğal olayları açıklamakta çok daha yararlı olmaktadırlar.

5.2 - Niçin daha yüksek Mantık Türleri Değil ?

Birinci düzey üstü mantıkların daha açıklayıcı ve daha yararlı olabilecekleri kuşkusuzdur. Bu mantıkları kullanmak çok daha çekici olabilecektir. Buna rağmen, doğada, insanları gerek bilgi edinmede, gerek harekette sınırlayan limit yasaları bulunmaktadır.Örnek olarak termodinamikte sisteme dış enerji girişi sağlanmadan sistemden sürekli dış iş üretmenin olanaksızlığını belirten, “Perpetuum Mobile’nin olanaksızlığı”prensibi gibi, Kütlenin, ışık hızında enerjiye dönüşeceğini beliten Einstein yasası (E = new-predicateLogic-1_1.png) gibi doğadaki akıllı türleri sınırlayan yasalar bulunmaktadır. Mantıkta bu yasaların karşılığı, Kurt Gödel’in çalışmalarıdır. Kurt Gödel, Birinci düzey üstü mantık türlerinin “kararsız” olduklarınnı kanıtlamışır. (Kararsız bir sistemde, bir teoremin hem  kendisi, hem de karşıtı kanıtlanabilmektedir.) Bu yüzden, birinci düzey üstü mantıklarla matematik formüle edilememektedir. Kurt Gödel’e göre sıfır ve birinci düzey mantıklar , “kararlı fakat yetersiz” dirler. (yetersiz bir sistem içinde, sisteminöz kaynakları ile formüle edilebilen tüm teoremler kanıtlanamamaktadır). Bunun sonucunda, Alan Turing kuramı, bazı teoremlerin sözel olarak belirtilebildiği fakat hiçbir bilgisayar programı ile kanıtlanamadığını belirtmektedir. Buna rağmen, günümüzde “Matematik Mantık” sıfır ve birinci düzey mantıklarından oluşmaktadır. Yetersizilik fazla bir sorun yaratmamıştır. insanlar, kanıtlayabildikleri ile yetinmişlerdir ve bu kadarı bile, doğal yaşamı açıklamakta geniş bir kanıtlanmış içerik sağlamaktadır.

5.3 - Yüklemler Mantığı

Birinci düzey mantık olan Yüklemler Mantığı, sıfırıncı düzey “Sembolik Mantığın” tamamlayıcısıdır. Doğal  olarak, sembolik mantığın tüm kuralları ve formülleri, yüklemler mantığıiçin de geçerlidir. Yine de, yüklemler mantığı, sembolik mantığa göre çok daha derin, dolayısı ile formülasynu çok daha detaylı olmaktadır. Bu nedenle, yüklemler mantığında ilerlemek için yoğun formüllerle savaşmak gerekmektedir. Yükleler mantığının temel formülleri yerine göre son derece karmaşık ve anlaşılması güç olabilmektedir. Yeni başlayanların bu karmaşık formüllerle uğraştırlmaya çalışılması bazılarının bundan vazgeçmelerinin nedeni olabilir. Bu durumda hepimiz kaybederiz. Bu açıklama bana değil, Middlesex Polytechnic’te çok saygın bir termodinamik hocasının açıklamalarıdır. Hocamız kısa sürede Middlesex Polytechnic’ten taşmış ve bize, University  of London , University College, Faculty of Engineering’ e aktarılmıştır.

Yüklemler mantığında, sembolik mantığa ek olarak gelen iki ek sembol, ∀ (tümü) ve ∃ (en az biri) sembolleri evrensel olarak kabul edilmişlerdir. Buna rağmen, ders notları ve yayınlarda kullanılan notasyonlar, kolay anlaşılma amacı güdüldüğünden birbirlerinden biraz farklı olabilmektedirler. Temel notasyon Wikipedia larda kullanıldığıgibidir. Süreklilik sağlandığında ve iyi açıklandığında, her türlü basitleştirme de kabul edilebilir. Buna rağmen, yüklemler mantığının alanı çok geniştir, dolayısı ile kullanılan notasyonun, konunun ileri aşamalarında da yeterli olması gerekmektedir. Bu da, kullanılan notasyonun, temel notasyona giderek yakınlaşmasını gerektirmektedir.

Bu nedenle, yüklemler mantığını bir kaynaktan okurken, başka bir kaynaktan alınan formüllerde, notasyon uygunluğu her zaman kontrol edilmelidir.

5.4 - Predikatlar

Predikatlar terimlerinözelliklerini belirten açıklamalardır. Predikatlar sıfatların işlevini yüklenir. Slav gramerinde yüklem anlamına gelir ama yüklem değil, yüklemle aynı adda olan sıfattır. Ingilizcede predikatlar bir tümcenin konu üzerinde açıklama sağlayan kısmıdır. Predikatlar sıfır veya birçok değişkenden (argüman) oluşan mantıksal bir fonksiyondur. Bir predikatın argümanları, atomik (hiçbir mantıksal bağlaç içermeyen terimler) dir. Bir predikat fonksiyonu, argümanlarının mantıksal doğruluk değerlerine bağlı olarak, doğru veya yanlış sonuçlar verebilir.  Bir predikat en az bir yüklemden oluşur  ve  genellikle bir yüklem ve açıklamadan oluşur.Örnek :

Özelliği var bir bireyin  P(x)

Burada X bir bireyi belirten bir değişken, P bu bireyin eylemini tanımlayan genel bir predikattır. Bu bir Java sınıfına benzeyen soyut bir tanımdır. Yeryüzünde geçerliliği yoktur. Yeryüzünde geçerli olması için uygun bir ortam tanımlanmalı ve somut olarakörneklenmelidir. P(x) ‘inörneklenmesi,

Serra atladı. (P = atlama , x = Serra) Nerede atladı ?

Kemal, toplantıda konuştu. (P= konuştu -yüklem-) (Kemal =x = birey), Toplantı = Somutlaştırmanın geçerli olduğu evren (Universe of Discourse) . Hangi toplantı ?

Aslı sınıfının en iyi yüzücüsüdür. (aslı = x, yüzmek= P, sınıf = geçerlilik evreni. Aslının sınıfının (Hangi sınıf?) en iyi yüzücüsü olduğu belirtiliyor. Ama bu en iyi olmak sadece tanım evreninde (kendi sınıfında geçerlidir). Evren değişince predikatın geçerliliği kaybolur.

Demek ki predikatlar, bir yüklem (Verb) ve açıklamalarından oluşur.

Yukarıdakiörnekler, Yüklemler mantığının ne denli açıklamacı (Expressive) ve ne denli geniş kapsamlı olabileceğini belirtiyor. Yüklemi, yani P sembolünü ve bu yüklemin geçerli olduğu bireyi (değişken) soyut olarak P(X) şeklinde belirtmek kolay,fakat bu formülü, somutlaştırmak (Instantaniation) çok dikkat edilmesi gereken bir işlem olmaktadır. Değişken bir nesne ile somutlaştırılacak, Predikat geçerli bir yüklem ile belirtilecek ve ve bu formülün doğrulanabileceği,iyi tanımlanmış bir geçerlilik kümesi belirtilecek. Bir Java sınıfından (Class) bir çokörnek (Instance yaratılabildiği gibi, bir soyut tanımdan da , yukarıdakiörneklerde görüldüğügibi sonsuz sayıda somutörnek yaratılabilir. Yukarıdakiörneklerin herbiri, soyut P(x) sınıf tanımının, somutörnekleridir (Instances). Predikatlar çok argümanlı da olabilirler. Çok argümanlı predikatlar, P new-predicateLogic-1_2.pngnew-predicateLogic-1_3.png bir”Tuple”olarak tanımlanırlar. Tuple tipi bir topluluk kesilemez (immutable) bir topluluk olarak tanımlanır. Bir tuple toluluğunda, eleneler bir kez tanımlandıktan sonra, topluluktan çıkarılamaz ve topluluğa yeni elemanlar eklenemez.  Çok argümanlı bir Predikatörneği,

P(x,y)

olarak belirtilebilir. Bu çok soyut bir açıklamadır.Önce P nin ne anlama gelmek için kullanıldığını açıklanır :

P = Yaşamak (Oturmak)

x ve y bu fonksiyonun argümanlarıdır ve değişken olarak düşünülebilirler. Burada x bir birey olarak tanımlanmıştır. y ise bir sabittir ve Istanbul, Ankara, Adana , Paris, Bükreş gibi bir yer adı olarak düşünülmüştür. Bu bilgiler ile bu soyut fonksiyondan somutörnekler üretilmesi (Instantaining) son derece basit olacaktır. Bir somutörnek (Instance):

P (Müge, Paris) : Müge Pariste yaşıyor.

Predikatlar eğer içerenönermelerde çok kullanılır:

Eğer( X>100) ise:
    y= 12
Değilse:
    y = 90    

Bu bir Python programıdır:

If ( X>100) :
    y= 12
Else:
    y = 90

Bir Python yorumlayıcısında denenebilir.

Predikatlar, somutörnekler oluşturularakönermelere dönüştürülebilirler.

Örnek olarak, P = Çift sayı anlamına gelsin, somut birörneği,

P(6) = 6 bir çift sayıdır

şeklinde birönermeye dönüşmüş halidir.

5.5 - Niceleyiciler

Belirtilmiş olduğu, yüklemler mantığında, tüm sembolik mantık sembolleri geçerli ve aynı anlamda (Semantik tanımda) dırlar. Yüklemler mantığında, sembolik mantığa ek olarak sadece iki niceleyici sembol, ∀ (Tümü) (Tümel niceleyici) ve ∃ (en az bir) (Varlık niceleyicisi) bulunur. Bu nedenle, yüklemler mantığının, sembolik mantığın genişletilmiş bir hali olduğu belirtilir. Bu genişletilmiş mantık, tüm matematik ve doğa bilimlerinin somutlaştırılabilmesi için yeterli formülasyonları sağlayabilecek kadar geniş ve açıklayıcıdır.En azından, elimizdekinin en gelişmiş ve uygulanabilir olanı budur. Yüklemler mantığıbu geniş kapsamından yararlanılarak, Prolog, SQL gibi programlma dillerinin, veözellikle tibbi teşhislerde kullanılan eksper sistemler (Yapay Zeka) programlarının da ana kaynağıdır.

Tüm tanım alanı için, bir x nesnesinin yüklemi, aslında, new-predicateLogic-1_4.png new-predicateLogic-1_5.png iken, yazım kolaylığıaçısından ∀x P(x) olarak yazılabilmektedir. Bazı kaynaklar bunu (∀x) P(x) olarak belirtirler. Bu nedenle, kaynaklar arası formül taşınmasında, notasyonun uygunluğuna aşırı dikkat etmek gerekir. Ayrıca tutarlı olunmalı, kullanılan notasyon her zaman aynı olmalıdır.

Bazı kaynaklarda,

P(x) ∈ D P(x) olarak belirtilebilmektedir.

∀x P(x)

Her x için, P(x) doğrudur.

Tüm x ler için P(x)

Tüm x ler için P(x) ‘in mantıksal doğuruluk değeri doğrudur şeklinde yorumlanabilir.

varlık niceleyicisi ∃, en az bir tane olarak değerlendirilir. Aslında varlık niceleyicileri, “en az iki tane”, “en az üç tane” gibi, birden fazla olabilir, ama yüklemler mantığında, sadece “en az bir tane” olrak değerlendirilen ∃ sembolü kullanılmaktadır. Eğer kesinlikle bir tane vardır olarak anlam verilmesi istenirse, ∃! düznlemesi kullanılabilir.

5.6 - Tanım Alanı (Universe of Discourse)

Bir yüklem fonksiyonunun tanım alanı, Argümanlarının değerlendirilebileceği bir değerler kümesidir. Tanım alanı (Universe of discourse) genel olarak U ile belirtilir. Bir P(x) predikatnın tanım alanı, U topluluğunun t elemanlarıdır. Yani, P(t) nin doğrulanabildiği her t ∈ U elemanıdır.Örnek :
U = {1 ,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

P(x) = x dbir çift sayıdır. Tamsayılar kümesinin, buönermeyi doğrulayan elemanları, n = eleman sırası (ordinal ) (sıralı) sayı olarak belirtilirse, n+1 dir. Bu durumda doğruluk kümesi = { 2, 4, 6, 8, 10,...} olacaktır. Yine de, U tanım kümesinde uygulanırsa,önerme n sayısının değerine göre doğru veya yanlış olacaktır.

Her fonksiyonun bir tanım alanı boyunca değerlerlendirilmesi sonucu bir değer kümesi oluşur. Predikat fonksiyonu, herhengibir fonksiyon değildir. Uygun değer alanı elemanlarına uygulandığında, doğru veya yanlış olarak mantıksal değerler üretebilir. Bu fonksiyonun mantıksal değerler üretemediği alanlarda koşması anlamsız olacaktır. Yani, uygun bir tanım kümesi, sadece doğru veya yanlışlardan oluşan bir değer kümesi oluşturmalıdır.

5.7 - Ters Örnek

∀xP(x) prdikat fonksiyonunun bir U tanım alanının t ∈ U elemnına uygulandığında mantıksal olarak yanlış sonucunu verirse, Bu bir tersörnek sayılır.Örnek:

P(x,y) : x +y = 8

BU fonksiyonu, pozitif tamsayılar kümesi  U = new-predicateLogic-1_6.png için uygulayalım :

x = 1, y = 1 , x + y = 2 , sonuç yanlış, bu durumda bir tersörnek oluşmuş sayılır.

Böyle çokörnek oluşturululabilir.

Varlık niceleyicisi ∃ ile de aynı tipte tersörnekler oluşabilir.

P :  (Tanker)
x: Boğazdan geçen gemi

∃xP(x) : Boğazdan geçen gemilerden en az biri tankerdir.

Boğazlardan geçen gemiler incelendiğinde bu fonksiyonun doğrulandığıgörülür.

∃x |x| bir asal sayıdır . Tanım alanı tamsayılar kümesi olsun U = Z

Tamsayılar kümesi negatif sayıları da kapsar. Negatif bir tamsayının mutlak değeri, o sayının pozitif tamsayılar kısmındaki simetriğidir. Böylece asal sayıların ozitif sayı olmalarıön koşulu atlatılmış olur. Sorun, pozitif tamsayılar kısmındaki sayılarının tümünün asal sayı olmadığıdır. Eğer, pozitif tamsayılardan asal olmayanlarına uygulama yapılırsa,Önerme sonucu mantıksal olarak yanlış çıkar ve bir tersörnek oluşmuş  olur. Demeki, buönerme, tansayılar kümesine uygulanamaz. Asal sayılar kümesine uygulandığında doğrulanır.

5.8 - Bağlı ve Serbest Değişkenler

Bir predikata bağlı P(x,y,z) gibi değişkenler, bu predikata bağlı değişkenlerdir. Bunlara somut değerler verilmesi ile bu predikat, birönermeye dönüşebilir. Bağlı olmayan değişkenler serbest (özgürce değer verilebilen) değişkenlerdir. Örnek :

∀x∃y φ (x, y, z)

Burada x tümel niceleyici ∀, y ise varlık niceleyicisi ∃ tarafından bağlanmıştır. z ise, dışarıdan gelmiş, bağlı olmayan serbest bir değişkendir.
Değişkenlere somut değerler verilerek gerçekleştirilen somutörneklerde, serbest değişkene ne değer verilirse verilsin,önermenin mantıksal doğruluk değeri değişmez.

Bir yüklem birleşimiörneği :

∀x P(x) ∧ Q(x)

Bu bir yüklem dir ve somutlaştırma olanağıbu şekli ile yoktur. Bunun nedeni formüldeki ikş ayrı yüklem olan P ve Q nün bağlı değişkenlerinin ikisinin de birbirleri ile ilgileri yok iken, haksız olarak aynı sembol x ile tanımlanmış olmasıdır. Bu karmaşa, formülün somtlaştırılmasını engellemektedir. Formülde bağımsız değişken yoktur, yanlış olarak aynı sembol ile tanımalanmaya  çalışılmış iki farklı bağımlı değişeken bulunmaktadır. Formülünn doğrusu,

∀x P(x) ∧ Q(z) daha doğrusu Q içinde bir niceyici belirtilerek,

∀x P(x) ∧ ∃z Q(z)

olarak belirtilmelidir.

5.9 - İçiçe Niceleyiciler

Herkesi tanıyan birisi vardır. Nerede? Bunun bir tanım alanı tanımı olması gerekir. Predikat olarak K(x,y) “x tüm y leri tanır” denildiğinde Tüm y ler için, en az bir tane onu tanıyan x elemanının bulunması,

∃x∀y K(x,y)

şeklinde belirtilir. içiçe niceleyicilerin yerleri değiştirilmez. ∃x∀y K(x,y) ile ∀y∃x K(x,y) formülleri aynı değildir.

ilki,”Öyle bir x vardır ki, Tüm y leri tanır” ikincisi “her y için, onu tanıyan bir x vardır” anlamındadır.

Örnek,

“Her daika bir amerikan vatandaşı, melanomadanölmektedir” ifadesi,

∀y ∃x M (x,y) “her dakika bir amerikan vatandaşımelanomadanölmektedir” olarak okunur. (Tüm vatandaşlar, geligüzel bir birey)

∃x ∀y M(x,y) ise, “belirli bir vatandaş, vatandaş olarak, her dakika melanomadanölmektedir” olarak okunur. Bu durumda, aynı vatandaşın bir dakika sonraölebilmesi için yeniden dirilmesi gerekir.

Böylece içiçe niceleyicilerin yer değiştirilemeyeğini acı bir şekilde öğrenmiş oluyoruz.

Bir başkaörnek :

U = Evli insanlar kümesi

∀x ∃y Evli(x,y)  yani, tüm x ler için,öyle bir y vardır ki, x bu y ile evlidir. (Monogami) (Modern toplum yasası).

∃y ∃x  Evli(x,y)  yani, tüm yler içinöyle bir tek x vardır ki, tüm yler onunla evlidir. (Çok eşlilik -poligami-olayı) (Mormon yaşamı).

içiçe niceleyiciler birbirleri ile yer değiştirdiğinde, anlamlar birbirlerinin tersi olmaktadır.

5.10 - Sembollerin Öncelik Sıraları

∀, ∃

¬

∧, ∨

→, ↔

5.11 - Niceleyicilerin Olumsuzlukları

Kantitatifönermelerin negatiflerinin (değillemelerinin) yanlış olması, pozitiflerinin doğru olmasını gerektirmez.Örnek : i ≡ insan, r ≡ Rudi, s ≡ Suzi

¬ ir ∧ ¬ is

"Rudi ve Suzi insan değillerdir." Eğer bu doğruysa, o zaman Rudi ve Suzi nedirler?Yanıt : Bunu bilemeyiz, bildiğimiz sadece insan olmadıklarıdır.Tümel kantitatif değillemeler, tikel kantitatif değillemelereözdeştir."Tüm Kahvaltılıklar bitmiş." = "Bir tane bile kahvaltılık kalmamış."

K ≡ Kahvaltılık

¬ ∀ x, (x ∈ K) = ¬ ∃ x, (x ∈ K)

Bir tümel kantitatifönermenin negatifi, fonksiyonu negatif olan bir varlıkönermesine eşdeğerdir.S ≡ sıcak

¬ x Sx veya ¬ ∀ x Sx "Herşey sıcak değil."

Eşdeğeri, ∃ x ¬ Sx "En az bir tane sıcak olmayan şey var." veya "Bazı şeyler sıcak değil"

Kimse soğuk olduğunu söylemiyor, tek söylenen şey sıcak olmadığıdır.(Belki de ılıktır).

Görüldüğügibi yüklemlerin olumsuz şekilleri oldukça karmaşıktır. Dikkatle incelenmeleri ve amacın açıkça belirtilmesi gerekir.

Aşağıda sistematik olarak birfinci düzey mantıkönermelerinin değillemesini incelemeye çalışacağız.

Birinci düzey yüklemler mantığında, tümel birönerme,

∀x P(x)

olarak tanımlanır.

Böyle bir formülün negatifi (değili)

¬∀x P(x)

olarak alınabilir. Fakat, sembolik mantık birçok eşdeğer tanımlar içerir. Bu tanımların kullanılması ile daha açık formüller oluşturulabilir.

Bir birinci düzey,önermeler mantığında, birönermenin eşdeğerinin oluşturulması için,

∀x ile ¬∃x yer değiştirir (veya aksi)

Yüklemin değili alınır.

Bu yöntemin uygulanması ile, düzönermenin eşdeğeri,

∀x P(x) ↔ ¬∃x ¬P(x)

olarak belirlenir (Türkyılmaz).

Bu eşdeğerlik, Matematica tarafından,

new-predicateLogic-1_7.png

new-predicateLogic-1_8.png

olarak onaylanır. Henüz negatif oluşturulmadı. Negatifler aşağıdaki yöntemle oluşturulabilir :

Birinci düzey,önermeler mantığında, birönermenin tersi (değili) (negatifi) nin oluşturulması :

∀x yerine ¬∀x

∃x yerine ¬∃x

yazılır.Önermenin geri kalanı olduğu gibi kalır.

Bu yönteme göre ∀x P(x)önermesinin tersi (değili) (negatifi),

¬∀x P(x)

olarak belirlenir.

Değilin eşdeğeri ise, yukarıda belirtilen değiştirme yöntemi uygulanarak,

¬∀x P(x) ↔ ¬¬∃x ¬P(x) ↔ ∃x ¬P(x)

olarak belirlenir (Rosen) (Türkyılmaz).

Mathematica tarafından,

new-predicateLogic-1_9.png

new-predicateLogic-1_10.png

olarak onaylanır. Böylece,

Önerme Eşdeğeri Kaynak Onay Değili Değilinin Eşdeğeri Kaynak Onay
∀x P(x) ¬∃x ¬P(x) (Türkyılmaz) Mathematica ¬∀x P(x) ∃x ¬P(x) (Rosen)(Türkyılmaz) Mathematica
∃x ¬P(x) ¬∀x P(x) (Rosen)(Türkyılmaz) Mathematica ∀x P(x) ¬∃x ¬P(x) (Türkyılmaz) Mathematica

olarak belirlenmiş olur.

Bu tablonun ilk satırının ∀x P(x) şeklinde pozitifönerme ile başlayıp, ¬∀x P(x) şeklinde değilini ve ∃x ¬P(x) şeklinde değilinin eşdeğerini belirttiğini, ikinci satırda değilin eşdeğerinden başlayarak, ¬∀x P(x) şeklinde değilin eşdeğerini ve ∀x P(x) şeklinde değilin değilini (pozitif şeklini) ve ¬∃x ¬P(x) şeklinde pozitifin eşdeğerini belirttiğine dikkat edilmelidir.

Günlerden birinde, bir Istanbullu aile, Gaziantepte bir fıstık bahçesi oluşturmak için yerini görmeden bir arsa satın alırlar. Arsa uygun çıkmaz ve sonuçta mahkemeye düşerler. Mahkeme bir bilirkişi seçer ve bu bilirkişi aşağıdaki sonucu matematik dili ile mahkemeye sunar. Sonuç,

∃x ¬P(x)

olarak bildirilmiştir. Matematik dilini bilen birisi bu yazıyı okur ve sonucun,

“Bu arazide bir tane bile fıstık ağacı dikilebilecek yer yoktur”

olarak belirtildiğini açıklar.

Demek ki, “Tümü olumlu” (All exists) olarak açıklanan pozif hal, “Bir tane bile olumlu değil” (Not even one existing) olarak negatif hale açıklanmaktadır.

Çözülmüş uygulama (Rosen) (Türkyılmaz) :

¬∃x P(x)

“Bir tane x bile P(x) değildir”

önermesinin eşdeğeri,

∀x ¬P(x)

“Hiçbir x P(x) değildir”

olarak (Rosen) ve (Türkyılmaz) tarafından verilmiştir. Bu sonucu doğrulayınız ve verilenönermenin değilini bulunuz.

Çözüm :

ilk olarak eşdeğerlikle başlayalım. Yukarıda verilmiş olan yöntemin uygulanması,

¬∃x yerine ∀x yazılır ve yüklemin değili alınır. Sonuç,

∀x ¬P(x) ↔ ¬∃x P(x)

olarak (Rosen) ve  (Türkyılmaz) ile aynı olarak belirlenir.

Sonucun Mathematica ile doğrulanması :

new-predicateLogic-1_11.png

new-predicateLogic-1_12.png

Mathematica ile eşdeğerin bulunması (ikinci yöntem):

new-predicateLogic-1_13.png

new-predicateLogic-1_14.png

new-predicateLogic-1_15.png

new-predicateLogic-1_16.png

Sonuç, ∀x ¬P(x) ↔ ¬ ∃ x P (x) olarak belirlenir. Bu yöntemin avantajı, eşdeğeri insan katkısına gerek olmadan verebilmesidir.

(Rosen) ve  (Türkyılmaz) ‘ın eşdeğerlik sonucu, Mathematica ile doğrulanmaktadır.

Buönermenin değili, yukarıda değil oluşturulması için verilen yöntemle,

¬∃x yerine ¬¬∀x = ∀x yazılır ve formülün geri kalanı olduğu gibi bırakılır. Sonuç,

¬ ∃ x P (x) in değili ∀x P(x)

“P(x) yüklemini doğrulayabilen bir tane bile x yoktur”.

olarak bulunur.

içiçe Niceleyiciler için Doğruluk Değerleri

Sembolik ifade Doğru Olması Yanlış Olması
∀x∀y P(x,y) Her x,y çifti için, P(x,y) doğrudur. En az bir x,y çifti bulunmalı ki, P(x,y) yanlış olsun.
∀x∃y P(x,y) Her x için, P(x,y)yi doğru yapan en az bir tane y  bulunur. Her x için, P(x,y)yi yanlış yapan en az bir tane y  bulunur.
∃x∀y P(x,y) Her y değeri için, P(x,y)yi doğru yapan en az bir tane x  bulunur. Öyle bir x değeri vardır ki, her y değeri için P(x,y) yanlış olur.
x∃y P(x,y) P(x,y) yi doğru yapabilen en az bir tane x,y çifti bulunur. P(x,y) nin yanlış  olabilmesini sağlayacak en az bir tane x,y çifti bulunabilir.

5.11 - Niceleyicilerin Kapsamı

Her niceleyicinin tanımladığı predikatın geçerlilik sınırına kadar kapsam alanı bulunur. Örnek:

∃x P(x) ∧ Q(x)

∃ niceleyicisinin kapsamı sadece P(x) in geçerlililik sınırırına kadardır. Kapsam alanı olabildiğince en küçük olandır.

5.12 - Geçerlililik (Validity) ve Yeterlilik (Satisfaction)

Eğer U tanım evreni ve P(new-predicateLogic-1_17.png de bir predikat ise, eğer  P(new-predicateLogic-1_18.pngU evreninin her t ∈ U elemenı için, mantıksal doğru değerini veriyorsa, bu yüklem, verilen tanım alanında geçerli (valid) olarak nitelendirilir. Eğer bu tanım elemenlarının bazılarında doğru değerini verebiliyor, bazılarında yanlış çıkıyorsa o zaman buna kısmen geçerli anlamına yeterli (satisfiable) denilir. Eğer bu predikat U tanım alanının hiçbir elemanında doğrulanmıyorsa, buna bu evrende yeterli değil, (unsatisfiable) doğrulanmıyor denilir.

5.13 - Niceleyicilerin ∧ ve ∨ Üzerinde Dağılmaları

Aşağıda verilen

∀ x (P (x) ∧ Q (x)) ↔ ∀ xP (x) ∧ ∀ xQ (x)

Formüllerini dikkatle incelelim. Burada P ve Q olarak iki ayrı predikat var, fakat aynı bağlı deişken yanımında hareket ediyorlar. Normalde bunların ayrı sembollerle beliritilmesi gerek, fakat Bu iki predikatın uyumlu olduğunun varsayılması her ikisinin de aynı tanım alanında dedğerlendirilmesine olanak verebilir olarak da açıklanabilir.Aynı şekilde, hangi tanım alanında olursa olsunlar, bu iki prdeikat somutlaştıklarında aynı mantıksal doğruluk değer verfeceklerdir, sonucu daöngörülebilir. Buna ∀ nın ∧ üzerinde dağılımı adı verilir. sonlu bir tanım alanı,örnek olarak {1,2,3} üzerinde,

{1,2,3}, ∀xP(x) ≡ P(1) ∧ P(2) ∧ P(3)

olduğu kabul edilebilir.

Ayrıca ∧ komütatif ve asosiyatif olduğundan,

∀x ∈ {1, 2, 3}(P(x) ∧ Q(x)) ↔ (P(1) ∧ Q(1)) ∧ (P(2) ∧ Q(2)) ∧ (P(3) ∧ Q(3))

ve

∀x ∈ {1, 2, 3}P(x) ∧ ∀x ∈ {1, 2, 3}Q(x)

olduğu kabul edilebilir.

5.14 - ∃ nın ∧ Üzerinde Dağılımı

Varlık niceleyicisi ∃ , ∧ üzerine dağılım yapmaz.örnek :

∃ x (P (x) ∧ Q (x)) ≠  ∃ xP (x) ∧ ∃ xQ (x)

Kanıt :Öyle bir tanım alnı bulmalıyız ki sol taraff doğrulanırken, sağ taraf da yanlış olsun.  

U = N (doğal sayılar kümesi), P = asal sayıdır, Q = asal sayı değildir, olsun.

Bu durumda sol taraf doğru iken, sağ taraf yanlış olur.

Bu kanıt, varlık niceleyicisinin, birleşim üzerinde dağılmadığının kanıtıdır.

Bu rağmen bu tanımlar için,

∃x(P(x) ∧ Q(x)) → ∃xP(x) ∧ ∃xQ(x)

Soyut formülü geçerlidir.

∨ için olay ters işemektedir. Dolayısı ile, ∃ ∨ üzerinde dağılabilirken, ∀ dağılmamaktadır.

5.15 - Niceleyiciler ile Mantıksal ilişkiler

5.15.1 - De Morgan kuralları

Niceleyilerle açıklanan de Morgan kuralları,

¬∀xP(x) ↔ ∃x¬P(x)

¬∃xP(x) ↔ ∀x¬P(x)

olarak belirtilir.

5.15.2 - ∀ nın ∧ Üzerindeki Dağılımı

∀xP(x) ∧ ∀xQ(x) ↔ ∀x(P(x) ∧ Q(x))

5.15.3 - ∃ nın ∨ Üzerindeki Dağılımı

∃x(P(x) ∨ Q(x)) ↔ ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x)

5.16 -  Niceleyicilerle Bilgilenme Kuralları

5.16.1 - EvrenselÖrnekleme (Universal Instantaniation)

∀x P(x)

--------

∴ P(c) ( c , P ninin tanım aralığının bir elemanıdır. c ∈ U)

Örnek :

∀x P(x)    (Tüm insanlarölümlüdür)

new-predicateLogic-1_19.png

Görüldüğü gibi, Yüklemler mantığı formülasyonları, sav açıklamalarını kısalaştırmaktadır.

5.16.2 - Evrensel Modus Ponens (Gerek koşulun Doğrulanması(-Q Doğru-Affirming the conséquent-)

U = Tüm yaşayan canlılar, P(x): x bir köpektir, Q(x): x havlar.

∀x P(x) → Q(x)

P(c) (P doğru)

-------

∴ Q(c) (Q Doğru) (Sonuçta Gerek koşulun Doğrulanması)

Tüm Politikacılar dolandırıcıdır.

Lieberman bir politikacıdır.

--------------------------------------

∴ Lieberman bir dolandırıcıdır.

5.16.3 - Evrensel Modus Tollens ( Sonuçta Yeter Koşulun Doğrulanmaması -P Yanlış-Denying the antécédent-)

Modus Tollens, Modus Ponens'in kontrapozitifidir.

∀x(P(x) → Q(x))

¬Q(c) (Gerek koşul doğrulanmıyor)

------------

∴ ·¬P(c)

Tüm köpekler havlar

Badi havlamıyor (Not Q)

-----------------

Demek ki Badi Köpek değil. (Not P ) (Sonuçta Yeter Koşulun Doğrulanmaması)

5.16.4 - Evrensel Hipotetik Sillogism

Hipotetik Sillogism, Çifte Modus Ponens olarak da tanınır.

∀x(P(x) → Q(x))

∀x(Q(x) → R(x))

------------------

∴ ∀x(P(x) → R(x))

Eğer bir x sayısı çift sayı ise, 2x de bir çift sayıdır.

Eğer 2x bir çift sayı ise new-predicateLogic-1_20.png de bir çift sayıdır.

---------------------------------------------------------

∴ Eğer x bir çift sayı ise, new-predicateLogic-1_21.png de bir çift sayıdır.

5.16.5 - Evrensel Genelleme

P(c)  herhangibir c ∈ U için doğrulanabiliyorsa,

-------------------------------------------------------------

Demek ki, x ∈ U oldukça ∀xP(x) doğrulanır.

Bu akıl yürütme tarzı kanıtlamada çok kullanılır.Örnek :

Her çift tamsayının karesi de çifttir.

Formül olarak: ∀n ∈ Z[(n çift tamsayı) → new-predicateLogic-1_22.png çift tamsayı)]

Kanıt :

n ∈ Z olduğu kabul edilsin. (n gelişigüzel bir tamsayıdır)

n sayısının çift sayı olduğu kabul edilsin  (Öncül)

∃k ∈ Z (n = 2k) (Çift sayı tanımı)

∃k ∈ Z new-predicateLogic-1_23.png = new-predicateLogic-1_24.png) (Her iki tarafın karesi alınırsa)

∃k ∈ new-predicateLogic-1_25.png = new-predicateLogic-1_26.png)) (Basitleştir ve 2 nin çarpanlarına ayır)

∃q ∈ new-predicateLogic-1_27.png= 2q) {q= new-predicateLogic-1_28.png, q ∈ Z , çünkü tamsayılar kümesi, çarpma altında kapalıdır). (Yani her çarpım sonucu tine aynı tamsayılar kümesinin bir başka elemanıdır).

new-predicateLogic-1_29.pngbir çift sayıdır. (tamsayılar kümesi çarpma altında kapalıdır.

new-predicateLogic-1_30.png

Demek ki ∀n ∈ Z (n çift sayı → new-predicateLogic-1_31.png (Evrensel Genelleme)

5.17 - Prenex Normal Form

Prenex Normal form, birinci düzey mantık formüllerinin bir düzenleme türüdür. Bu konu, Mathworld (Wolfram Alpha) da, Alex Saharov tarafından çok açık bir şekilde açıklanmıştır. Bu açıklama https://www.open.wolframcloud.com/env/18650a0e-853c-41c9-b6f4-d6bc1ccc08ad#sidebar=compute adresinden,

In[2]:=

Entity["MathWorld", "PrenexNormalForm"][EntityProperty["MathWorld", "TypesetDescription"]]

şeklinde bir giriş yapılırsa, prenex normal formun Alex Saharov tarfından yapılmış açıklaması görüntülenir.

Bu açıklamada,

Birinci düzey mantıkta eğer bir formül aşağıda verilen yapıda ise, bu formül prenex normal formda olan bir formüldür.

new-predicateLogic-1_32.png new-predicateLogic-1_33.png, ..., new-predicateLogic-1_34.png  new-predicateLogic-1_35.png  M

Burada, Q bir niceleyici (∀ veya ∃), M niceliyici olmayan bir terimdir.

Örnek olarak,

∃x ∀y ∃z (P(x) ∨ Q(x,y,z))

formülü, prenex normal formdadır. Oysa,

∃x ∀y (P(x ) ∨ ∃z  Q(x,y,z))

prenex normal formda değildir.

Birinci düzey mantıkta tüm formüller, prenex normal forma dönüştürülebilirler.

Aynı tanımlar Wikipedia’dan da elde edilebilir.

Birinci düzey mantıkta, formüllerin prenex normal formlara dönüştürülmesi, yerine göre, yorumlanmalarını kolaylaştırabilir. Ama ne yazık ki Mathematica’da (12.0) bunu gerçekleştirecek bir fonksiyon yoktur. Bu dönüşümlerin elle gerçekleştirilmesi ise, ancak çok bilgili ve deneyimli insanlar tarafından yapılabilir.

5.18 -  Konu Üzerine

Yüklemler mantığıgeniş kapsamlı, yoğun ve derin bir konudur. Bu konu üzerinde  daha çok filosoflar çalışmaktadırlar. Buradaki formülasyon ve örnekler, Teksas devlet üniversitesi, bilgisayar bölümünde, Prof. Schrum tarafından verilmiş ders notları örnek alınarak hazırlanmıştır. Bu ders notlarına bu çalışma kapsamında Mathematica uygulamaları eklenmiştir. Verilmiş olan formüller ve konular ancak giriş düzeyindedir ve özellikle kolay anlaşılması amacı ile en basit şeklinde açıklanmıştır.

Konunun ilerletilmesi için, ana kaynaklara inilmelidir. Bu da, ancak burada verilmiş olan formülasyon ve açıklamalar iyice anlaşıldıktan sonra gerçekleşebilecektir.

Ayrıca bu bölümde, kanıt konusuna da giriş yapmış bulunuyoruz. Bir şeyi sıfırdan kanıtlamak oldukça zordur ve gerek mantık, gerek matematik konusuna yeterince hakim olunması gerekmektedir. Bu da matematik öğreniminde mantık konusuna verdiğimiz önemi doğrulamaktadır. Mantık olmazsa matematik olmaz. Bunun için iyi çalışmalı, iyi öğrenmeliyiz.

Kısa süre sonra kanıtlara gireceğiz.

Created with the Wolfram Language

Geçerli html5