geri ileri

Temel Matematik
Bölüm 6
Sembolik Gösterimden Gündelik Dile

6.1 - Giriş

Sembollerle çalışmak çok kolay gelebilir, ama salt semboller gündelik dil için hiçbir anlam taşımaz. Semboller evrenseldir, her türlü dile çevrilebilirler. Sembollerin yarayışları da buradadır.

Gündelik dil, çok renklidir. Matematiğin, kesinliği ile hiç bağdaşmaz. Bu nedenle, mantık formülleri ancak olabildiğince gündelik dile çevrilebilir. Gündelik dilin zenginliği ve renkliği, mantık formüllerinin gündelik dile çevrilmesini, bir bilimden çok bir sanat olarak ele alınmasını zorunlu hale getirir. Bu yüzden, mantık formüllerinin gündelik dile çevrilmesinde kurallar konulamamış ve çeviri, çevirmenin sezgilerine bağlı kalmıştır. Sonuçta, oluşturulan yazıtta, matematik formülün olabildiğince anlamı sakınılıp gündelik dile çevrilebilen örneği bulanabilecektir. Bu bölümde, bu çevirmeyi en ince noktasına kadar tanıtmaya çalışacağız.

6.2 - Değişkenler ve Sabitler

Bilindiği gibi, değişkenler birer yer tutucudur. Bir değişkenin yerine, çeşitli gerçek değerler geçebilir ve bu gerçek değerlerin özellikleri, değişkenin özellikleri olur. Örnek olarak,

GenelMatematik6_1.png

GenelMatematik6_2.png

GenelMatematik6_3.png

Burada hesaplanacak bağıntı, x + y toplamıdır. Bu bağıntıda x ve y birer değişkendir ve başlangıçta hiçbir değerleri yoktur. Bu nedenle, x ve y değişkenlerinin değerleri belli olmadığı durumlarda x + y bağıntısının da belirli bir sayısal değeri yoktur. Bu bağıntıda söylenen “Eğer x ve y yerine değeri belli sabitler geçerse, onlerin toplamlarının değeri, şu kadar olacaktır” şeklindedir.  Böylece x + y bir yapı (form) açıklamasıdır. Bu form ile aynı yapıda, milyonlarca gerçek dünya örneği oluşturulabilir ve hepsinin sonucu, x ve ynin yerine geçen sabitlerin değerlerine bağlı olarak birbirinden farklı olur. Bunun böyle sonuçlanması doğaldır. Her sabitin değeri sabit ama başkasından farklıdır. Buna göre sonuç da farklı olacaktır. Önemli olan yapıdır. Aynen Java sınıf yapısı gibi bir yöntem tanımıdır. Bu tanıma uygun her gerçek dünya örneği, bu sınıfın örneği sayılır.

Yukarıdaki örnekte de, aynen öyle, A = 9 ve B = -5 değerinde iki sabittir. Bu sabitler, x + y sınıf yapısındaki x ve y yer tutucuların yerine geçerse, A + B olarak bir gerçek dünya örneği oluşur. Bu örneğin toplamı sabittir. 9 - 5 = 4 olarak hesaplanır. Bir başka örnek, C = 25 , D = 98 sabitleri ile oluşturulabilir. Bunun sonucu da,

GenelMatematik6_4.png

GenelMatematik6_5.png

GenelMatematik6_6.png

olarak bulunur.

Görüldüğü gibi, sınıf yapısı sadece işlemin nasıl yapılacağını tanımlıyor. Bunun yöntemini de x ve y gibi başlangıçta sayısal değeri olmayan yer tutucular (değişkenler) ile yapıyor. Sınıfın kendi değeri yoktur. Sınıf yapısı, yer tutucular yerine gerçek dünya sabitleri geçtiğinde maddi değeri olacak bir yöntemi tanımlamaktadır.

Sınıf yapısındaki yer tutucuların yerine geçebilecek değerler A , B gibi belli değerleri olan sabitlerdir. Bu sabitler kullanılarak, belirli bir veri sınıfına ait sayısız örnek türetilebilir ve her özgün örneğin değeri diğerinden farklı olur. Aynı sonucu veren örneklerde de, sınıf yapısındaki yer tutuculara atanan sabitlerin değerlerinin aynı olduğu anlışılmış olur.

Mantıksal bağlantılarda da aynı tanımlama - yerleştirme sistemi uygulanır. Ne var ki, p ve q gibi mantıksal değişkenlerinin alabilecekleri değerler, 2 değerlikli (Doğru/Yanlış) tipi mantıkta ya “Doğru (T)” veya “Yanlış (F)” olabilir. Bu da p ve q değişkenleri (yer tutucuları) cinsinden (p ∧ q) olarak tanımlanan bir sınıf yapısının değişkenler gerçek değerlerlerle değiştirildiğinde, olası doğruluk değerinin kolaylıkla önceden saptanmasına olanak sağlar.

Sayısal bağıntılarda değişken değerleri sonsuz seçenekler arasından seçilebilir. Bu da, bağıntının gerçek örneklerdeki olası değerinin sonsuz sayıda sonuçla gerçekleşmesine neden olur. Doğal olarak, olasılıklar sonsuz olduğundan, bağıntının olası değeri önceden öngörülemez.

Oysa, mantıksal bağıntılarda böyle değil. Tanrıya şükür, iki değerli mantıkta, değişkenlerin sadece “Doğru (T)” veya “Yanlış (F)” olarak iki değer alabilmeleri, iki değişkenli (p , q) bir mantıksal bağıntının, mantıksal değişkenler yerine geçebilecek, gerçek sabitlerin (A, B, C, ...) mantıksal doğruluk değerlerine bağlı olarak, mantıksal doğuluk değerinin, sadece GenelMatematik6_7.png = 4 olasılık arasından seçilebileceğini ortaya koyar. Bu seçenekler de, doğruluk tabloları ile oluşturulur. Bu yöntem, çok uygulamış olduğumuz ve artık bilincimize yerleşmiş bir uygulamadır. Bu konuda çok deneyimimiz olduğundan, buradaki açıklamalar, kolayca anlaşılmaktadır.

Matıksal yer tutucuların kendilerine özgü bir değerleri yoktur. Bu yer tutucuların mantıksal doğruluk değerleri, yerlerine geçecek gerçek değerlerin mantıksal doğruluk değerlerine bağlıdır. Bu nedenle sınıf yapısındaki (p , q) gibi yer tutuculara değişken adı verilmektedir. Yer tutucuların yerine geçecek  (A, B, C, ...) gibi gerçek değerlerin ise değişmez mantıksal doğruluk değerleri vardır. Bu nedenle bunlara, “Sabit” (Constant) adı verilmektedir.

Sabit değerlerin anlamı ≡ sembolü ile belirtilir. Sabit değerler, anlamlarını anımsatacak büyük harflerle belirtilirler.

Örnek :

(Gündelik dil ile) :  “Ali ve Hasan işi yapmak için hazırdırlar.”

(Sembolik gösterime uygun bir dil yapısı ile) : “Ali  işi yapmak için hazırdır ve Hasan  işi yapmak için hazırdır.”

(Sabit değerlerlerin tanıtımı) : A ≡ Ali  işi yapmak için hazırdır. , B ≡Hasan işi yapmak için hazırdır

(Gerçek dünya örneği) : A ∧ B

Oluşturulan sınıf örneği, (A ∧ B) nin mantıksal doğruluk değeri, kaçınılmaz ve değişmez olarak “Doğru (T)” dir, çünkü birleşme işlemcisinin mantıksal doğruluk değeri, tanım olarak, sadece her işlenenin mantıksal doğruluk değeri “Doğru (T)” ise “Doğru (T)” olabilir. Sınıf örneği (A ∧ B) de ise, gerek A gerek B sabitlerinin mantıksal doğruluk değerleri “Doğru (T)” olarak belirtilmiştir. Bir işi yapacak görevlilerin her ikisinin de hazır olmaları mantıksal olarak mevcudiyetlerini “Doğru (T)” kılar.

Bu örnek sonucunda oluşturulan sınıf örneğinin (A ∧ B) olarak ortaya konulması, salt bu probleme özgün bir formülasyon değildir. Bu sembolik gösterim, farklı sabitler için de aynı şekilde belirtilir. Bu yüzden, sabitlerin tanımı mutlaka gereklidir.

Örnek :

“Atom başlığının atışa hazır olması için, iki görevlinin anahtarlarını aynı zaman aralığında çevirmeleri gereklidir. Ahmet ve Mehmet bu görev için hazırdırlar.”

"Bu görev için Ahmet hazırdır ve bu görev için Mehmet hazırdır.”

A ≡ Ahmet hazırdır (neye hazır ? Burada net ve detaylı bir tanıma gereksinme var. En doğrusu detaylı olarak, A ≡ Ahmet, nükleer bombanın aktivasyon anahtarını çevirmeye hazırdır olarak tanımlanmalı), B ≡ Mehmet nükleer bombanın aktivasyon anahtarını çevirmeye hazırdır.

(Gerçek dünya örneği) : A ∧ B

Tamamen aynı bağıntı, tamamen farklı iki sabit. Bu nedenle, sabitlerin açık olarak tanımlanması, olağanüstü önem kazanmaktadır.

Gündelik dil ile uzun olarak açıklanabilen bir olayın, Büyük harflerle belirtilerek, kısa olarak açıklanabilmesi, bir çeşit kriptolojik (daha doğrusu stenografik) bir kısa yol düzenlemesi olarak düşünülmelidir.

Gündelik dil ile açıklanan mantıksal olayların, sembolik düzenlenmesi için, önce gündelik dilin sembolik mantık düzenine göre yerinden düzenlemesi, sonra mantıksal sabitlerin tanımı yapılarak, sembolik gösterime geçilmesi, kriptolojik işlemlerde, büyük kolaylık sağlar.

6.3 - Mantıksal Anlamı Olan ve Olmayan Bağlaçlar

Gündelik konuşma diline birçok bağlaç bulunabilir. Mantık için bunlardan sadece beşi (¬, ∧, ∨, →, ↔) kullanılabilmektedir. Mantıkta kullanılabilen bu bağlaçlar “Doğruluk Belirtebilen” (Truth Functional) olarak nitelendirilmiştir. Bu bağlaçların özelliği, bileşenlerinin doğruluk değerleri bilindiğinde, sonucun doğruluk değerinin kuşkusuz olarak belirlenebilmesidir. Doğal olarak mantık çalışmaları için bu bağlaçların sonuç verme kuralları açıkça bilinmelidir. Açıkça bilinmelidir ki doğruluk tablolarının yapılabilme olanağı olsun. Bu çalışmalarda da öğrencilere belirtmek istediğimiz konular bunlardır. Kurallar, onlar olmazsa, mantık da olmaz.

Bazı bağlaçlar, örnek olarak, “Çünkü” tüm olarak  bir doğruluk belirtebilen bağlaç değildir. Bu bağlaç ancak, eğer demek ki anlamını kısıtlı olarak belirtebilen “materyel koşul” ( → ) bağlacında işe yarayabilir. Ayrıca, bunun gibi düşünce belirtebilen “İnannıyorum ki” gibi birçok bağlaç da “Doğruluk Fonksiyonlu” olmadıkları için, mantıkta kullanılamazlar.

Created with the Wolfram Language

Geçerli html5