geri ileri

Temel Matematik
Bölüm 7
Temel ve Türetilmiş Mantık Kuralları

7.1 - Tanıtım

Mantık, kurallar çerçevesinde yürütülen bir bilim türüdür. Burda 8 tane temel tane türetilmiş, (yer değiştirme) (Replacement) kuralları açıklanmaktadır. Bu kuralları, buraya kadar olan çalışmalarımızda, birçok kez tanıtttık. Burada tam bir liste oluşturmaya çalışacağız. Mantık kuralları, soyut yapılardır. Bunlar, sav yapıları (form) olarak da tanınırlar. Bu yapılar aslında bir yol haritası anlamına gelir. Yaşanan fiziksel dünyada bir anlamları olmaları için, bu yapıların somutlaştırılmaları )örneklenmeleri gerekir. Yapısı geçerli olan bir savın tüm örnekleri geçerli olur. İleri sürülen bir yapının geçerli olması için, bu yapıdan oluşturulan her örneğin doğrulanabilmesi gerekir. Aksi hale bir ters örnek oluşturulmuş olur ve bu da, ileri sürülen yapının geçersiz olduğunu belirtir. Yapısı geçerli bir savın bütün örnekleri “akla yakın”, (mantıklı) olarak oluşursa bu yapı “tutarlı”, (sound) bir yapı olarak nitelendilir. Şimdi listelere bakalım.

7.2- Sekiz Temel Bilgilenme (İnfrerans) Kuralları (Sav Yapıları)

7.2.1 - Modus Ponens

Modus Ponendo Ponens, kısa adı ile “Modus Ponens” olarak ve bilgilenme kurallarının kralı olarak tanınır. Yapısı,

GenelMatematik7_1.png

p

-------------

∴ q

şeklindedir. Sequent notasyonu ile,

p→ q (tek yönlü koşullu önerme) , p -| q (Modus Ponens)

olarak yazılır (Wikipedia). Turnike sembolü standart bir sembol değildir bu yüzden kullanılırken açıklama yapılır. Fakat açıklama gerektirmeyen en kabul görmüş anlamı, q nün p nin sentaktik sonucu olduğunu gösterir.

Modus Ponens geçerli bir sav yapısıdır. Geçerliği, doğruluk tabloları ve Mathematica fonksiyon uygulamaları ile önceki programlarımızda sınanmış ve kaçak vermediği, yani hiçbir örneğinin, “ters örnek” oluşturmadığı görülmüştür. Dolayısı ile bu sağlam bir yapıdır.

Modus ponendo ponens, latince olarak, “doğrulayarak doğrulama yöntemi” anlamına gelir. Bu, istenirse, “yeter nedenin doğrulanması” (P doğru) olarak da hatırda tutulabilir.

Örnek :
Eğer çalışma günü ise, çalışanlar işe gider.

Bugün çalışma günüdür.

-----------------------------------------

Demek ki çalışanlar işe giderler.

Modus Ponens de kaçak yoktur. Eğer öncüller doğru ise, sonuç kesin doğrudur.

7.2.2- Modus Tollens

Aslında, “Modus Tollendo Tollens” (yanlışlıyarak yanlış olduğunu kanıtlama yöntemi” adındaki bu yapısal oluşum, kısa adı ile “Modus Tollens” olarak tanınır.

Modus Tollens, Modus Pollens’in kontrapozitifidir. Eğer tek yönlü koşullu önerme doğruysa, kontrapozitifi de doğrudur. Bu yüzden Modus Tollens de Modus Ponens gibi, güçlü ve geçerli bir yapılanmadır.

Sequent notasyonu ile,

p -| q  (Tek yönlü koşullu önerme), ¬q -| ¬p (Modus Tollens)

Olarak belirtilir ve buna istenirse, “Gerek koşulun doğrulanmaması” olarak hatırda kalma sloganı verilebilir.Hatırda kalma sloganı, tamamı ile kişiseldir. Hatırımızda kalmaya yardım edebilecek, her türlü slogan kullanılabilir.

Modus Tollens sav yapısı,

GenelMatematik7_2.png

¬q

------------------

∴ ¬ p

olarak açıklanır. Örnek,

Eğer şekil çember ise çevresi 2 π r dir.

Çevresi 2 π r değil. (Not q)

-------------

Demek ki  bu şekil bir çember değil. (Not p)

Öncüller sağlam olduklarında, Modus Tollens, aynı Modus Ponens gibi, kesin doğru sonuç verir.

7.2.3 -Hipotetik Sillogism

Bu bilgilenme yapısına, “Çifte Modus Ponens” adı da verilir. Yapısı,

GenelMatematik7_3.png

q → r

------------------

∴ p → r

şeklindedir. Örnek,

Eğer su  bulunabilirse ekinler yeşerir.

Eğer ekinler yeşerirse bereket olur.

-------------

Demek ki, su bulunabilirse, bereket olur.

Hipotetik sillogism, ilk incelenen üç tane koşullu öncül içeren bilgilenme yöntemlerinin sonuncusudur. Akılda kalmaları için, bilgilenme kurallarını (geçerli sav yapılarını) grup grup öğrenmek daha kolay olur.

7.2.4 - Basitleştirme

Bu yöntem, iki tane mantıksal doğruluk değerleri (Doğru) olan terimlerin birleşmesinin mantıksal değerinin doğru olmasından yararlanır, yani adı ile ilgisi yoktur. Bu yapı iki tane sillogism ile açıklanır.

GenelMatematik7_4.png

-----------------------------

∴ p∴ q

şeklindedir. Örnek,

Güneş doğarsa, gün başlar.                                        Güneş doğarsa gün başlar

-------------------------------                                     -----------------------------------

∴Güneş doğduğunda günün başladığı doğrudur.    ∴ Günün başlangıcında güneşin doğması doğrudur.

Eski Mısır dininde güneşin Tanrı olarak düşünülmesi boş değilmiş. Müslümanlar da gün doğunca, sabah namazı (Namaz Hintçe selam anlamına gelir) kılar. Şintoism de gündoğumunu yüceltir. Japon bayrağı doğan güneşi simgeler. Eğer öncüller doğru olursa, birleşme, tanımı nedeni ile mutlaka doğru olacaktır.

7.2.5 - Birleşme

Birleşme kuralı aynı basitleştirme gibi, “Eğer birleşme (Conjuction) (Birbirine Yapışma) doğruysa, her iki birleşenin (Conjunct) mantıksal doğruluk değeri de doğru olmalıdır” kuralını uygular. Yapısı,

GenelMatematik7_5.png

q

-------------

∴ p ∧ q

olarak uygulanır.

7.2.6 - Ayrışık Sav (Disjonctive Syllogism)

Bu yöntem, “Eğer ayrışma sonunda oluşan önermenin mantıksal doğruluk değeri doğru ise, ayrışık (Disjunct) ların en birisinin mantıksal değeri doğrudur” tanımından yararlanır.

GenelMatematik7_6.png

¬p                        ¬q

-------------          -------------------

∴   q                    ∴ p

Ayrışık Sav yapısının uygulanmasında, ikinci öncülün mutlaka birinci öncülün ayrışık (Disnjunct) lardan birinin değillemesi olmasına dikkat edilmelidir. Aksi halde yapı Ayrık Sav olmaz.

7.2.7 - Ekleme (Addition)

Bir başka adının uygun olmadığı sav yapısı. Bu yapı yine ayrışmanın mantıksal doğruluk değerinin doğru olması durumunda, ayrışıkların herhengi birisinin, mantıksal doğruluk değerinin mutlaka doğru olması gereğinden yararlanır. Bu kural da iki form halinde uygulanır.

        q                                           p

-------------                       -------------------

GenelMatematik7_7.png

Bu yöntemin sorunu, daha kesin olandan daha gevşek olan için agreman alınmasıdır.

“Afer Duhter’in kesesini çalmıştır” bilgisinden birleşme ile “Ya Afer, ya da Ali Duhter’in kesesini çalmıştır” demek Ali ‘ye büyük haksızlık olacaktır. Çünkü, Aferin Duhter’in kesesini çalmış olduğu, zaten önceden bilinmektedir. Bu bir açık kötü niyet olarak düşünülmelidir.

7.2.8 - Açmaz (Dilemma)

Bu yöntem, iki koşullu önerme olan öncüllerinin yeter nedenlerinin ayrışmasından, gerek nedenlerinin ayrışması üzerine bilgi alınabileceği savını ileri sürmektedir ve ikiden fazla öncül gerektiren tek sav yapısı türüdür.

GenelMatematik7_8.png

r → s

p ∨ r                                                                  

-------------                                                 

∴   q ∨ s                                                       

Bu yapının uygulanmasında, öncüllerin ve sonucun düzenlenmesine olağanüstü dikkat edilmelidir.

Bu yöntemin isminin uygunluğu uygulamalarından anlaşılabilir.

Nükleer enerji kullanımı büyük kaza olasığı içerir.

Kömür kullanımı, hava kirliliğini arttırır.

Ya kömür kullanılacak ya da nükleer enerji.

-----------------------------------------------------

Ya nükleer kaza olacak ya da hava kirliliği artacak (başka çıkış yolu yok- yani açmaz-)

Kolay olamayabilir ama, buna benzer geçerli çok açmaz örneği yaratılabilir.

7.3 - 10 Tane Birbirinin Yerine Yerleştirme (Replacement) Kuralları

Bir önceki konumuzda, temel geçerli sav yapılarını inceledik. Bu bölümde ise, biraz farklı bir yöntemi, yerine yerleştirme yöntemini inceleyeceğiz. Bu yöntem, bir önermenin, eşdeğeri ile yer değiştirilmesine dayanır. Öncelikle sembolik mantık çok iyi bilinmeli ve hangi önermenin eşdeğerinin ne olduğu üzerinde bilgilenmiş olunmalıdır. Yer değişebilir (Eşdeğerdir) sembolü dört nokta (∷) dır. Örnek olarak bir önerme ile somutlaştırılmış (Bir örneği yaratılmış) kontrapozisyon kuralını düşünelim. Bu kural yapısal olarak,

(A ↔ B) → (¬ C  →  ¬ D) /∴ (A ↔ B)  → (D  →C)

Şeklinde belirtilir. Sequent yazıt (Script) olarak

(A ↔ B) → (¬ C  →  ¬ D) -| (A ↔ B)  → (D  →C)

olarak yazılabilir. Burada, tek yönlü koşullu önerme ve kontrapozifinin mantıksal olarak eşdeğerliğinden yararlanılıyor. Yer değiştirme yöntemi,

(A ↔ B) → (¬ C  →  ¬ D) ∷ (A ↔ B)  → (D  →C)

olarak açıklanır.

Yer değiştirme yöntemi, Temel bağıntılardan temelinde (Fondamental olarak) farklıdır. Hrşeyden önce bu bağıntılar simetriktir. Yani çift taraflı (Hem soldan sağa, hem de, sağdan sola eşdeğedirler). Ayrıca tüm formülün eşdeğer olmasına gerek yok, sadece bir kısmının (Alt formül) (Subformula) mantıksal olarak eşdeğer olması yeterlidir. Böylece, ana formül içinde bir başka formül ile eşdeğer olan kısım yer değişerek yeni bir formül yarartılabilir. Aynen yukarıdaki örnek gibi, eşdeğerliğin her iki yöndeki formül yazımları da kullanılabilir. Bu iki formül mantıksal olarak eşdeğerdir. Çözümlendiklerinde (Genel olarak doğruluk tabloları ile) aynı mantıksal sonuçları verirler. Doğal olarak, oluşturulması zor olan şeylerden bahsediyoruz. Bu işleri ancak çok bilgili mantıkçılar başarı ile yürütebilirler. Başlangıçta anlayarak izlenebilmesi bile yeterli olur.

7.4 - Dört Basit Yerleştirme Kuralı

7.4.1 - Çifte Değilleme (Double Negation)

p ∷ ¬ ¬ p

Bu bağıntı çok bildiğimiz bir bağıntıdır. Bu bağıntıda önemli olan, her iki negasyon sembolünün arada başka bir şey olmadan birbirini izlemesidir. Örnek olarak, ¬ (¬ geçerli değildir. Bunun bir örneklemesi,

¬ ¬ A -| A  

veya

¬ ¬(A ∧ B) -| (A ∧ B)

olabilir.

7.4.2 - Komütasyon (Commutation) (Comm.)

(p ∧ q) ∷ (q ∧ p)

(p ∨ q) ∷ (q ∨ p)

olarak açıklanabilen, komütasyon kuralı mutlaka daha önce bildiğimiz gibi, Aritmetikte çok yeri olan bir yerleştirme (eşdeğerlik) kuralıdır. Bu kural hem birleşme (conjunction), hem de ayrışma (disjunction) işemlerinde geçerlidir. Onun için ki tane yazılımı vardır. Aritmetikte örnek olarak,

(x+y) = (y + x)  veya (x*y) = (y*x)

olarak bu kurala uygun olarak yazılabilir.

7.4.3 - Asosiasyon (Association) (Assoc.)

((p ∧ q) ∧ r) : : p ∧ (q ∧ r)

((p ∨ q) ∨ r) : : p ∨ (q ∨ r)

Aritmetikte çok uygulaması olan bir yer değiştirme kuralı daha.

(x + y) +z = (z+x) +y

(x * y) * z  = (z * x) * y

Dikkat edilmesi gereken, asosiasyon kuralının sadece birleşme (conjunction) ve ayrışma (disjunction) olaylarında uygulanabilir olduğudur. Koşullu önermelerde bu kural uygulanamaz.
Ayrıca, uygulanabilmesi için, tüm işlemcilerin birleşme veya ayrışma işemcileri olmasına dikkat edilmelidir. Farlı işlemlerin bir araya gelebildiği önermelerde, De Morgan Kuralları uygulanabilir.

7.4.4 - Duplikasyon (DUP)

Duplicasyon, çiftleme anlamına gelir. Bu kural, an anlaşılır şelilde p nin  bir başka değikenler oluşturduğu, birleşme veya ayışma ile yer değitirebileceğini açıklar. Yazılımı,

P : : (p v p)
p : : (p ∧ p)

Bu kuralın somutlaştırılması (örneklenmesi)  örneği aşağıda görülmektedir.

(A ∧ B) ~ (C ≡ (~D ∧~ D)) / ∴ (A ∧ B) ~ (C≡ ~ D).

Bu kural da koşullu önermeler için geçerli değildir.

7.5 - Üç Ara Kural

7.5.1 - De Morgan Kuralları (DEM.)

DEmorgan kuralları, benim de çalışmış olmaktan onur duyduğum, University ofLondon, University College Biriminin kurucusu, mantıkçı Augustus De Morgan tarafından oluşturulmuştur. Bu kurallar,

¬ (p v q) : : (¬p ∧ ¬q)
¬ (p ∧ q) : : (¬p v ¬q)

olarak açıklanırlar.

Dikkat edilecek şey, bileşmenin olumsuzunun ayrışma olduğu, ayrışmanın olumsuzunun da birleşme olduğudur. Bu kurallar mantık için olağanüstü önemlidir.

Bu kurallar syut değişkenler kullanımı ile bir soyut yapı açıklaması olduğunda, çeşitli örneklemler yapılarak somutlaştırılabilirler. Somut bir örnek, Klenk tarafından verilmiştir:

¬ (A ∨ ¬ B) /∴ ¬ A ∧ ¬ ¬ B (first form)
¬ (A → B) ∧ ¬ (B → A) /∴ ¬ ((A → B) ∨ (B → A)) (first form)
A ↔ ¬ (B∧ ¬ C) /∴ A ↔ (¬B ∨ ¬ ¬ C) (second form)
¬ ¬ A ∨ ¬ ¬ B /∴ ¬ ( ¬ A ¬ B) (second form)

Ne soyut kuralın, ne de somut örneklerin pek kolay uygulanabilecek şeyler olmadıklarını belirtmek gerek. Anlamak için, çok çalışmalıyız.

7.5.2 - Eşdeğerlik Değişimi (Biconditional Exchange) (B.E.)

(p ↔ q) : : ((p → q) ∧ (q → P))

Bu kuralın kullanımı ile iki yönlü koşul ( eğer ve sadece eğer ...) (eşdeğerlik) (biconditional) içeren önermelerde yer değiştirme işlemleri gerçekleştirilebilecektir. Bu kuralı sembolik mantıktan biliyoruz.

Eşdeğerlik değişimi (B.E), Basitleştirme(Simp) ve Modus Tollens içeren bir türetme süreci Klenk tarafından verilmiştir.

A ↔ (B ∨ ¬ C)

¬ A

A → ((B ∨ ¬C )) ((B ∨ ¬C) → A)     (B:E)

(B ∨ ¬C ) → A         (Simp)

¬(B ∨ ¬C)                      (M.T.)

Modus Tollens yerine Modus  Ponens içeren başka bir örnekleme yine Klenk den,

1 . A ↔ (B ∨ ¬ C)

2. B ∨ ¬C               /∴ ( A)

3. (A → (B ∨ ¬C )) ∧ ((B ∨ ¬C)      (B.E.)

4. (B ∨ ¬C ) → A           (Simp)

5. A                                    (M.P.)

Daha kolay anlaşılabilen örnekler.

7.5.3 - Kontrapozisyon (Contraposition) (CONTRAP.) Kuralı

(p → q) : : ( ¬ q → ¬p)

Bu kuralı artık neredeyse ezberlemiş durumdayız. Unutulmaması gereken bir tek yönlü koşullu önermenin kontrapozitif eşedeğerinin bulunması için, yeter ve gerek koşullar hem yer değiştirmeli hem de negatifleri alınmalıdır. Bu basit uygulamanın somut örneğini oluşturmak son derece kolaydır, sadece kuralları doğru bir şekilde uygulamak gerekir. Bir somut yapı :

(¬ (A ∧ B) → (¬C ↔ D))

olarak verilmiştir (Klenk). Bu yapının kontrapozitif eşedeğerinin bulunması için ilk önce terimler yer değiştirilir.

(¬C ↔ D)) → (¬ (A ∧ B)

Sonra işeretleri değiştirilir :

¬(¬C ↔ D)) → ¬¬ (A ∧ B)

Çift değilleme kaldırılarak

¬(¬C ↔ D)) → (A ∧ B)

yazılabilir. Bu önerme orijinal tek yönlü koşullu önermenin kontrapozitif eşdeğeridir.

(¬C ↔ D)) → (¬ (A ∧ B) /∴ (¬ (A ∧ B) → (¬C ↔ D))

Döne döne aynı yere geliniyor (Trivial bir işlem).

7.6 - Son Üç Kural

Bu son üç kural ile işlemler giderek zorlaşıyor. Çünkü bu kurallar ilk bakışta anlaşılabilen türden kurallar değildir. Anlaşılabilmeleri için çok çalışılmaları gerekli olmaktadır.

7.6.1 - Tek Yönlü Koşullu Önermenin Eşdeğeri ile Yer Değiştirmesi Kuralı (Conditional Exchange) (C.E.)

Bu kural,

(p → q) : : (¬p ∨ q)

olarak belirtilir. Bu kuralı sembolik mantık uygulamalarından iyice tanıyoruz. Eşdeğerlikleri, doğruluk tablolarının aynı olması ile kanıtlanıyor. Bu konuda fazla bir şey söylemeye gerek yok. İki eşdeğer formül, daha büyük formüllerde birbirlerinin yerine geçebilirler.

7.6.2 - Dışa Taşıma (Exportation) Kuralı (EXP.)

Bu kural,

(p ∧ q) → r : : ( p → ( q → r))

olarak açıklanmaktadır.

7.6.3 - Dağılım (Distribution) Kuralları (DIST.)

Bu kural, uygulaması en zor olanlardan biridir ve biri birleşim diğeri ayrışım  olmak üzere iki açıklaması bulunmaktadır.

(p ∧ (q ∨ r) : : ((p ∧ q) ∨ (p ∧ r))

(p ∨ (q ∧ r) : : ((p ∨ q) (p ∨ r))

Bu kural aynen De Morgan kurarları gibi çapraz ilişkileri içerir. Kanıtlarda kullanımı için, iyice alışılıp, üzerinde çok uygulama yapılması gereklidir.

Özet

(Virginia Klenk, “Understanding Symbolic Logic”)

GenelMatematik7_9.gif

GenelMatematik7_10.gif

Not bu kısımda, geniş ölçüde, Minnesota Devlet Universitesi (Moorhead) Emekli Öğretm Üyesi (Virginia Klenk’in, “Understanding Symbolic Logic”) kitabından yararlanılmıştır. Ayrıca, Internet üzerinde yayınlanmış geniş ölüde bilgiler ve Wikipedia bilgilerinden de yararlanılmıştır.
Bu notlar, sadece başlangıç düzeyindedir ve konuyu tanıtmaktan ileri bir amaç için yarayışları ancak yolu açmak için olabilir. Bu konuda ilerlemek için geniş ölçüde çalışılması ve ileri kaynaklardan yararlanılması gereklidir.

Artık, mantığa giriş konusunu yavaş yavaş tamamlamış oluyoruz. Bu çalışmalardaki “Mantığa Giriş” konsepti sadece basit kanıtlara giriş amacı ve kapsamı ile incelenmiştir. Bundan sonraki konumuz, “Kanıtlamalar”olacaktır. Kazandığımız mantık bilgileri, bir tür uygulama çalışması olan kanıtlamaları anlayarak izleyebilmemiz için yardımcı olacaktır.

Created with the Wolfram Language

Geçerli html5